Спектральное представление периодических сигналов реферат

Обновлено: 05.07.2024

Итак, прямое преобразование Фурье (2.29) ставит в соответствие сигналу, заданному во времени, его спектральную функцию. При этом осуществляется переход из временной области в частотную. Преобразование Фурье является взаимно-однозначным, поэтому представление сигнала в частотной области (спектральная функция) содержит ровно столько же информации, сколько и исходный сигнал, заданный во временной… Читать ещё >

Спектральное представление непериодических сигналов с помощью преобразований Фурье ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Метод рядов Фурье допускает определенное обобщение, позволяющее получать спектральные характеристики и непериодических сигналов.

Преобразование Фурье (Fourier transform) является инструментом спектрального анализа непериодических (импульсных) сигналов (их еще называют финитными, т. е. пространственно ограниченными). Такие сигналы отличны от нуля только на ограниченном интервале времени. Очевидно, что импульсный сигнал будет иметь и конечную энергию — если только он не содержит разрывов второго рода (с уходящими в бесконечность ветвями функции).

Для иллюстрации перехода от ряда к интегральному преобразованию Фурье применяют пе вполне строгий математически, по зато понятный аналитический подход. В теории спектрального представления непериодических импульсных сигналов используют искусственный прием, формально (мысленно) заменяя одиночные сигналы периодическими с бесконечно большим периодом следования Т —*? 00 (рис. 2.17). Положим, что некая функция u (t) аналитически описывает одиночный импульсный сигнал ко;

Рис. 2.17. Непериодические сигналы:

а — одиночный импульс; б — условное периодическое представление нечной длительности (рис. 2.17, а). Мысленно дополнив его такими же импульсными сигналами, следующими с некоторым интервалом Т (штриховые импульсы на рис. 2.17,6), получим периодическую последовательность аналогичных импульсов u_n(t) = u (t ± пТ).

Для того чтобы вне искусственно введенного интервала времени [О, Т| исходный сигнал был равен нулю, необходимо увеличить период повторения этих импульсов. В пределе, при увеличении длительности периода и Т —?оо, все импульсы уйдут вправо и влево в бесконечность и периодическая последовательность импульсов u_n(t) вновь станет одиночным импульсом u (t). В этом случае выражения (2.20) и (2.21) сохраняют смысл. Подставив соотношение (2.21) в формулу (2.20), запишем периодическую функцию.

Так как период следования импульсов Т= 2тс/со^ то.

Нетрудно заметить, что при увеличении периода следования импульсов Т гармоники располагаются ближе друг к другу по частоте (линейный спектр становится все более плотным), а амплитуды спектральных составляющих становятся все меньше. При этом вид вычисляемого интеграла (2.21) не меняется. В предельном случае, когда Т —? оо, равные расстояния между спектральными линиями уменьшатся настолько, что спектр станет фактически сплошным, а амплитуды спектральных составляющих окажутся бесконечно малыми. При этом частота следования импульсов coj = 2л/Г—? 0 и превращается в б/со, дискретная переменная /?со, — в мгновенную (текущую) частоту со, а сумма трансформируется в интеграл. Периодическая последовательность импульсов u_n(t) станет одиночным импульсом u (t), и формула (2.27) запишется в виде.

Интеграл в скобках в формуле (2.28) есть комплексная функция частоты. Обозначив его.

С точки зрения преобразований Фурье физический смысл аргумента функции и (время t или координатах) не играет роли. Однако интуитивно более легко воспринимаются результаты разложения функций времени u (t).

Соотношения (2.29) и (2.30) носят фундаментальный характер в теории сигналов и определяют соответственно прямое и обратное преобразования Фурье (direct, inverse Fourier transform). Они связывают между собой вещественную функцию времени u (t) и комплексную функцию частоты5(со).

Если использовать не угловую частоту со, а циклическую / = со/(2л), то формулы прямого (2.29) и обратного (2.30) преобразования Фурье становятся еще более симметричными, отличаясь лишь знаком в показателе экспоненты:

Преобразования (2.29) и (2.30) существуют, если анализируемая функция u (t) удовлетворяет условиям Дирихле (по аналогии с периодическим сигналом), к которым добавляется требование абсолютной интегрируемости сигнала

Итак, прямое преобразование Фурье (2.29) ставит в соответствие сигналу, заданному во времени, его спектральную функцию. При этом осуществляется переход из временной области в частотную. Преобразование Фурье является взаимно-однозначным, поэтому представление сигнала в частотной области (спектральная функция) содержит ровно столько же информации, сколько и исходный сигнал, заданный во временной области. Спектральная плотность — комплексная функция частоты, одновременно несущая информацию как об амплитуде, так и о фазе гармоник.

Поскольку интеграл Фурье (2.29) содержит непрерывную последовательность спектральных составляющих сигнала с бесконечно малыми амплитудами, то функцию 5(со) называют спектральной функцией (спектральной плотностью или просто спектром). Она характеризует интенсивность сплошного распределения амплитуд гармоник непериодического сигнала вдоль оси частот. В этом основное отличие спектральной плотности непериодического сигнала от дискретного спектра периодического сигнала, в котором каждая гармоническая составляющая имеет определенное значение частоты и отстоит от соседней на со, = 2п/Т.

Дискретный спектр периодического сигнала и спектральная плотность непериодического сигнала имеют разные размерности. Размерность амплитудного спектра периодического сигнала совпадает с размерностью самого сигнала — [В| или | А|, а размерность спектральной плотности амплитуд определяется отношением размерности сигнала к размерности частоты — [В/Гц] или [А/Гц] [18, "https://referat.bookap.info"].

Поскольку анализируемый непериодический сигнал u (t) и его спектральная плотность ^(со) взаимно-однозначно связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье, то последние позволяют аналитически отыскать спектральную плотность, но заданной форме сигнала, и наоборот, его форму по полученной спектральной плотности. В общем случае ^(со) является комплексной величиной. Как комплексная величина она записывается в виде

где |5(со)|, cp (co) — соответственно модуль и аргумент комплексной величины, т. е. амплитудный и фазовый спектры сигнала.

Прямое преобразование Фурье четного сигнала u (t) всегда дает вещественную функцию частоты со, а нечетного сигнала u (t) — мнимую функцию частоты.

Нетрудно показать, что интеграл.

представляет собой комплексно-сопряженную спектральную плотность непериодического сигнала.

|Пр|/1мер 2.2Щ. ?' .- - V .'_Л.? ',.3 ' ' *1

Сравнив выражения для спектральной плотности одиночного прямоугольного импульса (2.33) и спектра их периодической последовательности (2.22), находим, что модуль спектральной плотности и огибающая гармоник дискретного спектра совпадают, но форме и отличаются масштабом по оси амплитуд.

Спектры некоторых распространенных импульсов

Использование спектра в представлении звуков, радио и телевещании, в физике света, в обработке любых сигналов независимо от физической природы их возникновения. Спектральный анализ, основанный на классических рядах Фурье. Примеры периодических сигналов.

Рубрика	Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника
Вид	курсовая работа
Язык	русский
Дата добавления	10.01.2017
Размер файла	385,8 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Министерство образования и науки РФ

ФГБОУ ВПО

Курсовая работа

Студент: Дураков В.С.

Руководитель: к.г.-м.н., доцент

Екатеринбург 2016 г.

Введение

Кроме естественного представления сигналов во временной области в анализе сигналов и систем широко используется частотное представление. Задачу представления сигналов в частотной области называют также спектральным анализом, гармоническим анализом, частотным анализом, или Фурье-анализом. Многие физические процессы описываются в виде суммы индивидуальных частотных составляющих. Понятие спектра широко используется в представлении звуков, радио и телевещании, в физике света, в обработке любых сигналов независимо от физической природы их возникновения. На нем базируется исключительно эффективный и очень простой в использовании частотный метод анализа линейных систем.

Спектральный анализ основывается на классических рядах Фурье и преобразовании Фурье. Ряды Фурье используются для периодических сигналов и сигналов, заданных на конечном интервале времени . В последнем случае сигнал может быть периодически продолжен с периодом .

Преобразование Фурье применяется для непериодических сигналов, заданных на всей временной оси .

Основная задача спектрального анализа заключается в определении частотного спектра сигнала (функции). Любой сигнал может быть представлен своим частотным спектром.

Обычное гармоническое колебание (гармонический сигнал)

характеризуется: 1. амплитудой A > 0, 2. Частотой , 3. начальной фазой .

Параметры А, , дают полное описание гармонического сигнала в частотной области в виде спектра, представляющего значение амплитуды и начальной фазы в зависимости от частоты гармоники . Задавая эти параметры, можно определить гармонический сигнал двумя способами:

1. Как косинусоидальное колебание с амплитудой А, частотой и фазой ,

2. Как сумму двух комплексных экспонент (гармоник), каждая с амплитудой . При этом одна составляющая имеет частоту и фазу , другая - отрицательную частоту и отрицательную фазу .

Оба представления дают одинаковый результат, но во многих случаях комплексная форма оказывается более эффективной для инженерных задач.

Комплексный ряд Фурье

Сигнал x(t) является периодическим, если он точно повторяет свои значения через интервал времени, называемый периодом Т, т.е.

Примеры периодических сигналов разной формы с периодом Т = 0,2с

спектральный анализ фурье

Реальные периодические сигналы могут быть разложены в ряд Фурье, т.е. представлены в виде суммы гармоник кратных частот. Такое представление и играет исключительно важную роль во многих практических приложениях: электроника, связь, обработка сигналов, акустика, музыка и др.

Теорема математического анализа:

Любой конечный периодический сигнал (функция) x(t), определенный для всех действительных t или на конечном интервале времени , можно представить рядом Фурье.

Комплексная (экспоненциальная) форма ряда Фурье:

- выражение синтеза сигнала

- основная частота, - основная угловая частота.

При этом коэффициенты комплексного ряда Фурье определяются по выражению:

- выражение анализа сигнала.

Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длительностью период (Т), например, от 0 до Т или от -Т/2 до Т/2 и т.п. Коэффициенты Фурье полностью определяют сигнал x(t) в частотной области.

В математическом анализе доказывается, что если периодическая функция x(t) (сигнал) удовлетворяет условиям Дирихле, то её ряд Фурье сходится к самой функции в точках непрерывности функции и к полусумме в точках разрыва,

Условия Дирихле:

1. Функция x(t) абсолютно сходится в пределах периода, т.е.,

2. x(t) на интервале Т имеет конечное число максимумов/минимумов и разрывов первого рода.

Любой реальный сигнал удовлетворяет условиям Дирихле.

На конечном временном интервале x(t) должна иметь конечное число максимумов и минимумов и конечное число разрывов первого рода.

Применим формулу Эйлера в выражении для , тогда:

Здесь

В общем случае коэффициенты Фурье являются комплексными числами, т.е.

, - модуль коэффициента, - аргумент (фаза) .

Поскольку в выражении косинус является четной функцией значения k, а синус - нечетной, то Фурье - коэффициенты для действительного сигнала x(t) обладают следующими свойствами симметрии

, - четная функция k

- нечетная функция k

Здесь используется тот факт, что произведение нечетных функций дает четную функцию, а частное четной и нечетной функции - нечетную функцию.

Следовательно, исходя из соответствующей симметрии спектров- четной или нечетной, достаточно рассматривать амплитуды и фазы гармоник только для положительных частот (положительные значения k). Для отрицательных частот спектры всегда могут быть получены из соображений четной или нечетной симметрии.

Тригонометрические формы ряда Фурье

Для действительных периодических сигналов чаще используются тригонометрические формы ряда Фурье, как более простые для вычислений

Тригонометрические формы можно получить из комплексной с помощью формулы Эйлера и дальнейших преобразований. Покажем это подробнее:

Поскольку cos(x) = cos(-x), sin(x)=-sin(-x), то - это комплексно - сопряженное значение , поэтому предыдущее выражение можно записать в таком виде:

Сумма и разность комплексно - сопряженных чисел и равны соответственно

C учетом этих равенств:

Учтем также известное тригонометрическое тождество для косинуса:

При этом предыдущее выражение запишем в виде:

Обозначим , тогда получаем:

Если обозначить , то получим другую тригонометрическую форму ряда Фурье:

Здесь при этом коэффициенты ряда:

Для четных сигналов коэффициенты , т.к. и ряд содержит только косинусы. Для нечетных сигналов , поскольку .

В результате упрощается вычисление коэффициентов Фурье. Если сигнал задан на конечном интервале , то его можно периодически продолжить четным или нечетным образом и тем самым достигнуть упрощения разложения в ряд Фурье.

В заключение укажем соответствия между коэффициентами различных форм ряда Фурье:

Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала

Разложение в ряд Фурье является основой спектрального представления периодических сигналов.

Совокупность коэффициентов или образует амплитудный частотный спектр периодического сигналa. Это зависимость амплитуд гармоник сигнала от частоты. Набор - фазовый спектр, зависимость начальных фаз гармоник от частоты. При этом односторонний спектр имеет составляющие только на частотах

, -двусторонний - на частотах , -Член ряда с k=0 называется постоянной составляющей (ПС), с k=1 - первой, или основной гармоникой, k=2 - второй гармоникой сигнала и т.д. Обычно спектры для наглядности представляются в виде графиков. В любом случае для периодических сигналов характер спектров - линейчатый.

Общий вид амплитудного спектра. Амплитуды гармоник при возрастании k.

Частота и номер гармоники связаны очень просто: или

Спектр фаз - нечетная функция аргумента k.

Общий вид:

Ввиду четной/нечетной симметрии спектров для действительных сигналов достаточно отображать только часть спектра, соответствующую положительным частотам, т.е. использовать односторонние спектры.

Заключение

Задачу представления сигналов в частотной области называют спектральным анализом или Фурье-анализом. Спектральный анализ широко используется в ряде прикладных областей, в том числе обработке сигналов.

Спектральный анализ периодических сигналов основывается на разложении сигнала в ряд Фурье.

Комплексная форма ряда Фурье:

Тригонометрические ряды Фурье:

Амплитудный спектр периодического сигнала - это зависимость амплитуд гармоник сигнала или от частоты или номера гармоники.

фазовый спектр - зависимость начальных фаз гармоник сигнала от частоты или номера гармоники. Гармоники - собственные функции линейных систем.

Спектры полностью определяют сигнал.

Литература

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. -М.: Высшая школа, 2000. -462 с

2. Солонина А.И. и др. Основы цифровой обработки сигналов. Учебное пособие. - СПб.: БХВ Петербург, 2005. - 768 с.

Подобные документы

Расчет спектра сигнала через ряд Фурье. Диапазон частот, в пределах которого заключена часть энергии колебания. Восстановленный сигнал из гармоник. Алгоритм восстановления и дискретные значения времени. Изучение спектрального представления сигналов.

лабораторная работа [356,3 K], добавлен 18.05.2019

Общие сведения о радиотехнических сигналах, их спектральное представление. Анализ периодических сигналов посредством рядов Фурье. Преобразование заданного графического изображения импульса в аналитическую форму, его разложение в тригонометрический ряд.

курсовая работа [1,1 M], добавлен 28.12.2011

Понятие, сущность, размерность, виды, классификация, особенности преобразования и спектральное представление сигналов, их математическое описание и модели. Общая характеристика и графическое изображение аналогового, дискретного и цифрового сигналов.

реферат [605,8 K], добавлен 29.04.2010

Спектральный анализ аналоговых непериодического и периодического сигналов. Анализ аналоговой линейной электрической цепи во временной и частотной области. Расчет и построение спектра коэффициентов комплексного ряда Фурье. Расчет шины спектра сигнала.

курсовая работа [582,6 K], добавлен 02.09.2013

Характеристика видов и цифровых методов измерений. Анализ спектра сигналов с использованием оконных функций. Выбор оконных функций при цифровой обработке сигналов. Исследование спектра сигналов различной формы с помощью цифрового анализатора LESO4.

дипломная работа [2,5 M], добавлен 03.05.2018

Спектральный анализ периодического и непериодического управляющих сигналов. Особенности поинтервального описания входного сигнала. Расчет прохождения периодических и непериодических сигналов через линейные электрические цепи первого и второго порядков.

контрольная работа [827,4 K], добавлен 07.03.2010

Расчет спектральной плотности непериодических сигналов. Спектральный анализ непериодических сигналов. Определение ширины спектра по заданному уровню энергии. Расчет автокорреляционной функции сигнала и корреляционных функций импульсных видеосигналов.

Математической моделью радиотехнического сигнала может служить некоторая функция времени f(t). Эта функция может быть вещественной или комплексной, одномерной или многомерной, детерминированной или случайной (сигналы с помехами). В радиотехнике одна и та же математическая модель с равным успехом описывает ток, напряжение, напряженность электрического поля и т.п.

Содержание работы

Введение
1.1. ЧАСТЬ 1. Периодический сигнал
1.2. ЧАСТЬ 2. Четная непериодическая функция
1.3. ЧАСТЬ 3. Произвольный непериодический сигнал
Список литературы

Содержимое работы - 1 файл

Курсовой по тэс.docx

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

Кафедра ______________________________ ______

Теория электрической связи

Специальность 5В071900 Радиотехника, электроника и телекоммуникация

тема Спектральное представление сигнала

с оценкой ______

(оценка прописью) Выполнил:

Руководитель подпись ________________

Кафедра ______________________________ ______

на курсовую работу по дисциплине: Теория электрической связи

студент ________________ группа __________

Тема проекта (работы) Спектральное представление сигнала ______________________________ ______________________________ ______________________________ ______________________________ __________

a= 1.5, b= 3, c= -1, d= 2, l= 4

Содержание пояснительной записки

Примерный объем (кол. листов)

Понятие собственных функций

Спектры некоторых сигналов

Функции Лапласа и Гаусса

Дата выдачи задания ___________, дата защиты проекта_________________

Руководитель проекта (работы)

Задание принял к исполнению ___________________(дата, подпись студента)

1.1. ЧАСТЬ 1. Периодический сигнал

1.2. ЧАСТЬ 2. Четная непериодическая функция

1.3. ЧАСТЬ 3. Произвольный непериодический сигнал

В курсовой работе по ТЕС рассматриваются вещественные одномерные детерминированные сигналы.

Множества функций (сигналов) принято рассматривать как линейные функциональные нормированные пространства, в которых введены следующие понятия и аксиомы:

• выполнены все аксиомы линейного пространства;

• скалярное произведение двух действительных сигналов определяется следующим образом:

• два сигнала называются ортогональными, если их скалярное произведение (1) равно нулю;

• система ортогональных сигналов образует бесконечномерный координатный базис, по которому можно разложить любой периодический сигнал, принадлежащий линейному пространству;

• нормой действительного сигнала f(t) называется

Квадрат нормы называется энергией сигнала

Среди разнообразных систем ортогональных функций, по которым можно разложить сигнал, наиболее распространенной является система гармонических (синусоидальных и косинусоидальных) функций:

Представление некоторого периодического сигнала в виде суммы

гармонических колебаний с различными частотами (2) называется

спектральным представлением сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр. С математической точки зрения спектральное представление эквивалентно разложению периодической функции (сигнала) в ряд Фурье.

Значение спектрального разложения функций в радиотехнике обусловлено рядом причин:

• простота изучения свойств произвольного сигнала, т.к. гармонические функции хорошо изучены;

• возможность генерирования произвольного сигнала, т.к. техника генерирования гармонических сигналов достаточно проста;

• простота передачи и приема сигнала по радиоканалу, т.к. гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении через любую линейную цепь. Сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, изменяется лишь амплитуда и начальная фаза колебания;

• разложение сигнала по синусам и косинусам позволяет использовать символический метод, разработанный для анализа передачи гармонических колебаний через линейные цепи.

В курсовой работе требуется определить спектральные представления некоторых периодических и непериодических сигналов.

1.1. Пусть задана кусочно-линейная функция

являющаяся математической моделью некоторого сигнала.

1.2. Продолжим эту функцию периодически на всю числовую ось, получим периодическую функцию f(x) с периодом T = 2l = 8, график которой изображен на рис. 1.

Рис.1. График периодически продолженной функции

Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле:

1) f(x) непрерывна на главном периоде [−3; 3], за исключением конечного числа точек разрыва первого рода;

2) производная имеет на отрезке [−3; 3] конечное число точек разрыва первого рода.

Выполнение этих условий означает, что функция является на отрезке [−3; 3] кусочно-гладкой. Ряд Фурье кусочно-гладкой функции сходится к значению f(x) в каждой точке непрерывности функции и к значению

в каждой точке разрыва.

1.3. График суммы ряда Фурье приведен на рис. 2. В точках непрерывности функции график суммы ряда полностью совпадает с графиком функции. В точках разрыва первого рода значения суммы ряда отличаются от значений заданной функции и равны среднему арифметическому левого и правого пределов функции в этой точке.

Рис. 2. График суммы ряда Фурье периодической функции

1.4. Для функции f(x), периодической с периодом T = 2l и удовлетворяющей на отрезке [−l; l] условиям Дирихле, можно записать ряд Фурье:

Соотношение (4) означает, что функции f(x) соответствует ряд Фурье, записанный справа. Согласно теореме Дирихле, равенство левой и правой частей в (4) выполняется в отдельных точках. Из этого, однако, еще не следует равенство функций, т.е. что ряд в правой части (4) сходится, причем именно к f(x). Действительно, если значения двух функций отличаются только в конечном числе точек, то интегралы (5), (6), определяющие их коэффициенты Фурье, будут одинаковыми. Такие функции имеют один и тот же ряд Фурье.

Вычислим по формулам (5), (6) коэффициенты ряда Фурье заданной функции:

По формуле (4) запишем искомый ряд Фурье

Равенство в (10) имеет место во всех точках непрерывности функции f(x). В точках разрыва значение суммы ряда равно:

Проверим выполнение условия (11) в точке x = 0. Подставляя x = 0 в правую часть (10) и учитывая, что cos0 = 1, sin0 = 0, получим

Здесь использована известная сумма ряда из приложение 1.

Ряд Фурье (4) в общем случае можно записать в комплексной форме с комплексными коэффициентами. Воспользуемся формулами Эйлера:

Если ввести обозначения

Ряд (14) можно переписать в виде

Это и есть комплексная форма ряда Фурье с комплексными коэффициентами, определяемыми по формулам (15).

Коэффициенты комплексного ряда Фурье можно получить и непосредственно, вычисляя их по формуле

Непосредственное интегрирование по формуле (17) приводит к тем же выражениям для комплексных коэффициентов, что и формулы (15).

Запишем теперь в комплексной форме ряд Фурье заданной функции:

1.5. Запишем частичные суммы ряда (10):

Графики частичных сумм приведены на рис. 3.

Рис. 3. Графики частичных сумм ряда Фурье

Вывод: с ростом n графики частичных сумм S_n (x) в точках

непрерывности x∈(−3; 0)∪(0; 3) приближаются к графику функции f(x). В точках разрыва значения частичных сумм приближаются к .

1.6. Выражение в ряде Фурье называется n-й гармоникой. Известно, что

Или с учетом четверти.

Совокупности <> и <>, n = 1, 2, . , называются соответственно амплитудным и фазовым спектром периодической функции. Графически спектры изображаются в виде отрезков длины или , проведенных перпендикулярно оси, на которую наносится значение n =1, 2, . или

. Спектры имеют дискретный характер, причем расстояние между отдельными линиями спектра равно для 2l - периодической функции. Графическое изображение соответствующего спектра называется амплитудной или фазовой диаграммой.

Вычислим несколько первых значений амплитудного и фазового спектра:

Так как , то – четверти

Продолжим эти вычисления для n = 4, 5, . 8 и занесем данные в таблицу. Откладывая на графиках вертикальные отрезки соответствующей длины, получим амплитудную и фазовую диаграммы данной функции. Диаграммы приведены на рис. 4 и 5.

Название работы: Спектральное представление сигналов

Предметная область: Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Описание: Представление сигнала в виде ряда может использоваться и как исходное при его описании и анализе. Фурье свел единую функцию трудно поддающуюся математическому описанию к более удобным в обращении рядам гармонических тригонометрических функций которые в сумме дают исходную функцию. Представим периодический сигнал наиболее распространенной в теории сигналов тригонометрической синуснокосинусной формой ряда Фурье.

Дата добавления: 2015-02-16

Размер файла: 109 KB

Работу скачали: 22 чел.

В радиотехнике используют оригинальный прием, при котором реал ь ные, сложные по структуре и форме сигналы заменяют (представляют) набором (взвешенной суммой) математических моделей, описываемых элеме н тарными функциями. Представление сигнала в виде ряда может использоваться и как и с ходное при его описании и анализе. При этом можно существенно упростить о б ратную задачу синтез сложных сигналов из совокупности элементарных функций.

Фурье свел единую функцию, трудно поддающуюся математическому описанию, к более удобным в обращении рядам гармонических тригонометрич е ских функций, которые в сумме дают исхо д ную функцию.

Представим периодический сигнал наиболее распространенной в теории сигналов тригонометрической (синусно-косинусной) формой ряда Фурье: (1)

компоненты анализируемого сигнала:

- постоянная составляющая (2)

- амплитуды косинусоидальных составляющих: (3)

- амплитуды синусоидальных составляющих: (4)

Спектральную составляющую с частотой ω 1 в радиотехнике называют первой (основной) гармоникой, а составляющие с частотами nω 1 ( n > 1) высшими гармониками периодического сигнала.

Из курса математики известно, что если сигнал представляет собой четную функцию времени u(t) = u(-t), то в тригонометрической записи ряда Фурье (1) отсутствуют синусоидальные коэффициенты b n так как в соответствии с формулой (4) они обращаются в нуль. Для сигнала u(t), описываемого нечетной функцией времени, наоборот, согласно формуле (3), нулю равны косинусоидальные коэффициенты а n и ряд содержит составляющие b n (кстати, постоянная составляющая а 0 также отсутствует). Заметим, что пределы интегрирования (от -T/2 до T/2) не обязательно должны быть такими, как в приведенных формулах (2 - 4). Интегрирование может производиться по любому интервалу времени шириной T результат от этого не изменится. Конкретные пределы выбираются из соображений удобства вычислений; например, может оказаться проще выполнять интегрирование от 0 до T или от -T до 0, и т. д.

Часто применение синусно-косинусной формы ряда Фурье не совсем удобно, поскольку для каждого значения индекса суммирования n (т. е. для каждой гармоники с частотой nω 1 ) в формуле (1) фигурируют два слагаемых косинус и синус. С математической точки зрения удобнее эту формулу представить эквивалентным рядом Фурье в вещественной форме: (5)

А n амплитуда; φ n - начальная фаза n-й гармоники сигнала.

Также широко используют комплексную форму ряда Фурье. Она получается из вещественной формы ряда представлением косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент. Представление вытекает из формулы Эйлера е jх = cosx +jsinx :

Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье (5), получим суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показателями: (6)

А теперь будем трактовать в (6) экспоненты при частоте ω 1 со знаком минус в показателе как члены ряда с отрицательными номерами. В рамках этого же подхода коэффициент А 0 станет членом ряда с нулевым номером. После несложных преобразований приходим к комплексной форме ряда Фурье (7)

комплексная амплитуда n-й гармоники.

Cвязь между коэффициентами тригонометрической и комплексной форм ряда Фурье.(9)

Можно также показать, что коэффициенты: (10)

Различают амплитудно-частотные и фазо- частотные спектры (не следует путать с амплитудно- и фазочастотными характеристиками электрических цепей). Совокупность амплитуд гармоник А n называют амплитудным спектром, их фаз ф n фазовым спектром. Совокупность С n = |С n | является комплексным амплитудным спектром

Рис. 1. Спектры периодического сигнала:

а амплитудный; б фазовый; в амплитудный спектр комплексного ряда Фурье

Из всех видов спектров наиболее информативен амплитудный, поскольку с его помощью можно оценить количественное содержание тех или иных гармоник в частотном составе сигнала.

Амплитудный спектр анализируемого сигнала в значительной степени зависит от отношения периода повторения T и длительности импульса ти, т. е. от скважности q. Расстояние по частоте между соседними гармониками спектра равно частоте следования импульсов ω 1 = 2π/T

Рис. 2. Спектры последовательности прямоугольных импульсов:

а амплитудный; б фазовый

Ширина лепестков спектра последовательности, измеренная в единицах частоты, равна 2π/τ И , т. е. обратно пропорциональна длительности импульсов. Отметим, что при одной и той же длительности импульса ти с увеличением периода их повторения Т основная частота ω 1 уменьшается, и спектр становится плотнее. Ту же картину наблюдают, если укорачивают длительность импульса τ И при неизменном периоде Т. Амплитуды всех гармоник при этом уменьшаются. Это проявление общего закона (принципа неопределенности В. Гейзенберга), чем короче длительность сигнала, тем шире его спектр.

Фазы составляющих определим из формулы φ n = arctg (b n /а n ). Так как здесь коэффициенты b n = 0, то (11)

Амплитуды гармоник периодически меняют знак в соответствии с изменением знака функции sin(n ω 1 τ И /2). Изменение знака в эквивалентно сдвигу фазы этой функции на π. Следовательно, когда данная функция положительна, фаза гармоники φ n = 2mπ, а когда отрицательна φ n = (2m+ 1)π (рис. 2, б).

Заметим, что хотя амплитуды составляющих в спектре прямоугольных импульсов и уменьшаются с ростом частоты (см. рис. 2, а), этот спад довольно медленный (амплитуды убывают обратно пропорционально частоте). Для передачи таких импульсов без искажений необходима бесконечная полоса частот канала связи. Для сравнительно малозаметных искажений граничное значение полосы частот должно быть во много раз больше значения, обратного длительности импульса. Однако все реальные каналы имеют конечную полосу пропускания, что приводит к искажениям формы переданных импульсов.

Спектральное представление непериодических сигналов. Преобразование Фурье

Для радиотехники интерес представляют импульсные (одиночные) сигналы. Преобразование Фурье (Fourier transform) является инструментом спектрального анализа непериодических (импульсных) сигналов (их еще называют сигналами конечной длительности, или финитными, т. е. пространственно ограниченными).

Положим, что некоторая функция u(t) аналитически описывает одиночный импульсный сигнал конечной длительности (рис. 3, а). Мысленно дополнив его такими же импульсными сигналами, следующими с некоторым интервалом Г (штриховые импульсы на рис. 3, б), получим периодическую последовательность аналогичных импульсов un(t) = u(t ± пТ). Для того чтобы вне искусственно введенного интервала времени 0 . Т исходный сигнал был равен нулю, необходимо увеличить период повторения этих импульсов. В пределе, при увеличении длительности периода и Т -> ∞, все импульсы уйдут вправо и влево в бесконечность и периодическая последовательность импульсов u n (t) вновь станет одиночным импульсом u(t). В этом случае выражения (7) и (8) сохраняют смысл. Подставив соотношение (8) в формулу (7), запишем периодическую функцию

Так как период следования импульсов Т= 2π/ω 1 то (12)

В предельном случае, когда Т > ∞, равные расстояния между спектральными линиями уменьшатся настолько, что спектр станет сплошным, а амплитуды отдельных спектральных составляющих окажутся бесконечно малыми. При этом частота следования импульсов ω 1 = 2π/Т >0 и превращается в dω, дискретная переменная nω 1 в мгновенную (текущую) частоту ω, а сумма трансформируется в интеграл. Периодическая последовательность импульсов u n (t) станет одиночным импульсом u(t), и выражение (12) запишется в виде

Интеграл в скобках есть комплексная функция частоты. Обозначив его (13)

Соотношения (13) и (14) носят фундаментальный характер в теории сигналов и определяют соответственно прямое и обратное преобразования Фурье (direct, inverse Fourier transform). Они связывают между собой вещественную функцию времени u(t) и комплексную функцию частоты S(ω).

Если использовать не угловую частоту со, а циклическу f = ω/(2π), то формулы прямого (13) и обратного (14) преобразования Фурье становятся еще более симметричными, отличаясь лишь знаком в показателе

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Министерство образования Республики Беларусь

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра радиотехнических устройств

К защите допустить:

к курсовому проекту

Выполнил: Руководитель проекта:

Студент ФРЭ гр.741301 Дашенков В.М.

Содержание

1. Введение и постановка задачи

2. Спектральные свойства сигнала

3. Расчет спектра сигнала и его энергии (Е)

4. ЭВМ программа расчета спектра сигнала

5. Расчет спектра сигнала, распределение энергии Е ( f ) и синтез сигнала по его спектру

Сигнал и событие

В технике сигнал всегда является событием. Другими словами, событие - изменение состояния любого компонента технической системы, опознаваемое логикой системы как значимое, является сигналом. Событие, неопознаваемое данной системой логических или технических отношений как значимое, сигналом не является.

Временной и частотный способ представления сигналов. Спектр сигнала.
Есть два способа представления сигнала в зависимости от области определения: временной и частотный. В первом случае сигнал представляется функцией времени s(t) характеризующей изменение его параметра.

Кроме привычного временного представления сигналов и функций при анализе и обработке данных широко используется описание сигналов функциями частоты. Действительно, любой сколь угодно сложный по своей форме сигнал можно представить в виде суммы более простых сигналов, и, в частности, в виде суммы простейших гармонических колебаний, совокупность которых называется частотным спектром сигнала.

Для перехода к частотному способу представления используется преобразование Фурье:

S(ω)= -∞+∞s(t)e-jωtdt .
Функция S(ω) называется спектральной функцией или спектральной плотностью.

Поскольку спектральная функция S(ω) является комплексной, то можно говорить о спектре амплитуд | S(ω) | и спектре фаз φ(ω) = arg(S(ω)). Физический смысл спектральной функции: сигнал s(t) представляется в виде суммы бесконечного ряда гармонических составляющих (синусоид) с амплитудами |S(ω)|πdω, непрерывно заполняющими интервал частот от 0 до , и начальными фазами φ(ω). Размерность спектральной функции есть размерность сигнала, умноженная на время.
Параметры сигналов
Мощность сигнала P = S2(t) .

Удельная энергия сигнала E =-∞+∞s2(t)dt .

Длительность сигнала (T) определяет интервал времени, в течение которого сигнал существует (отличен от нуля).

Динамический диапазон есть отношение наибольшей мгновенной мощности сигнала к наименьшей D = 10lgPmax / Pmin.

Ширина спектра сигнала F — полоса частот, в пределах которой сосредоточена основная энергия сигнала[~95%].

База сигнала есть произведение длительности сигнала на ширину его спектра B = TF. Необходимо отметить, что между шириной спектра и длительностью сигнала существует обратно пропорциональная зависимость: тем короче спектр, тем больше длительность сигнала. Таким образом, величина базы остается практически неизменной.

Отношение сигнал/шум равно отношению мощности полезного сигнала к мощности шума.

Объем сигнала характеризует пропускную способность канала связи, необходимую для передачи сигнала. Он определяется как произведение ширины спектра сигнала на его длительность и динамический диапазон

V = FTD.
Итак, среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления радиотехнических сигналов,

исключительное место занимают гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) функции. Значение гармонических сигналов для радиотехники обусловлено рядом причин.

Можно сказать, что электрический сигнал представляет собой физический (электрический) процесс, несущий в себе информацию. Количество информации, которое можно передать с помощью некоторого сигнала, зависит от основных его параметров: длительности, полосы частот, мощности и некоторых других характеристик. Важное значение имеет также уровень помех в канале связи: чем меньше этот уровень, тем большее количество информации можно передать с помощью сигнала с заданной мощностью. Прежде чем говорить об информационных возможностях сигнала, необходимо ознакомиться с его основными характеристиками. Целесообразно рассмотреть отдельно детерминированные и случайные сигналы.

Детерминированным называют любой сигнал, мгновенное значение которого в любой момент времени можно предсказать с вероятностью равной единице.

Примерами детерминированных сигналов могут служить импульсы или пачки импульсов, форма, величина и положение во времени которых известны, а также непрерывный сигнал с заданными амплитудными и фазовыми соотношениями внутри его спектра. Детерминированные сигналы можно подразделить на периодические и непериодические.

Периодическим называется любой сигнал, для которого выполняется условие s ( t )= s ( t + k Т), где период Т является конечным отрезком, а k – любое целое число.

Простейшим периодическим детерминированным сигналом является гармоническое колебание. Строго гармоническое колебание называют монохроматическим. Этот заимствованный из оптики термин подчёркивает, что спектр гармонического колебания состоит из одной спектральной линии. У реальных сигналов, имеющих начало и конец, спектр неизбежно размывается. Поэтому строго монохроматического колебания в природе не существует. В дальнейшем под гармоническим и монохроматическим сигналом условно будет подразумеваться колебание. Любой сложный периодический сигнал, как известно, можно представить

в виде суммы гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте w = 2* Pi / T . Основной характеристикой сложного периодического сигнала является его спектральная функция, содержащая информацию об амплитудах и фазах отдельных гармоник.

Непериодическим детерминированным сигналом называется любой детерминированный сигнал, для которого выполняется условие s ( t ) s ( t + kT ).

Основной характеристикой непериодического, как и периодического сигнала, является его спектральная функция.

Для характеристики и анализа случайных сигналов применяется статистический подход. В качестве основных характеристик случайных сигналов принимают:

а) закон распределения вероятностей.

б) спектральное распределение мощности сигнала.

На основе первой характеристики можно найти относительное время пребывания величины сигнала в определённом интервале уровней, отношение

максимальных значений к среднеквадратическому и ряд других важных параметров сигнала. Вторая характеристика даёт лишь распределение по частотам средней мощности сигнала. Более подробной информации относительно отдельных составляющих спектра – об их амплитудах и фазах – спектральная характеристика случайного процесса не даёт.

Наряду с полезными случайными сигналами в теории и практике приходится иметь дело со случайными помехами – шумами. Как уже упоминалось выше, уровень шумов является основным фактором, ограничивающим скорость передачи информации при заданном сигнале.
2.1 Спектральные характеристики периодических сигналов
Для упрощения методов решения задач анализа цепей, сигналы представляют в виде суммы определенных функций.

Этот процесс обосновывается понятием обобщенного ряда Фурье. В математике доказано, что любая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда:

Для определения умножим левую и правую части ряда на и возьмем интеграл от левой и правой части:

, для интервала [a;b] в котором выполняются условия ортогональности.

Видно, что .Получили выражение для обобщенного ряда Фурье:

Выделим конкретный вид функции , для разложения в ряд сигнала . В

качестве такой функции выберем ортогональную систему функций:
Для определения ряда вычислим значение :

Таким образом, получим:

Графически данный ряд представляется в виде двух графиков амплитудных гармонических составляющих.

Полученное выражение можно представить в виде:

Получили вторую форму записи тригонометрического ряда Фурье. Графически данный ряд представляется в виде двух графиков - амплитудного и фазового спектров.

Найдем комплексную форму ряда Фурье, для этого воспользуемся формулами Эйлера:
или , где

Графически спектр в этой форме представлен на оси частот в диапазоне .

Очевидно, что спектр периодического сигнала, выраженный в комплексной или амплитудной форме – дискретный. Это значит, что в спектре имеются составляющие с частотами

2.2 Спектральные характеристики непериодического сигнала
Так как в качестве непериодического сигнала в радиотехнике рассматривают одиночный сигнал, то для нахождения его спектра представим сигнал как периодический с периодом . Воспользуемся преобразование ряда Фурье для данного периода. Получим для :

Анализ полученного выражения показывает, что при амплитуды составляющих становятся бесконечно малыми и на оси частот они расположены непрерывно. Тогда, что б выйти из этого положения воспользуемся понятием спектральной плотности:

Подставим полученное выражение в комплексный ряд Фурье, получим:

Здесь - спектральная плотность, а само выражение – прямое преобразование Фурье. Для определения сигнала по его спектру используют обратное преобразование Фурье:

1) Свойство линейности преобразования Фурье:

Получили, что спектр суммы сигналов равен сумме их спектров.

2) Спектр сигнала сдвинутого во времени:

Получили, что при сдвиге сигнала амплитудный спектр не изменяется, а изменяется только фазовый спектр на величину
3) Изменение масштаба времени:

т.е при расширении(сужении) сигнала в несколько раз спектр этого сигнала сужается(расширяется).

4) Спектр смещения:

.
5) Спектр производной от сигнала:

Возьмем производную от левой и правой части обратного преобразования Фурье:

Видим, что спектр производной от сигнала равен спектру исходного сигнала умноженного на , то есть изменяется амплитудный спектр и меняется фазовый на

6) Спектр интеграла сигнала:

Возьмем интеграл от левой и правой части обратного преобразования Фурье:

Видим, что спектр производной от сигнала равен спектру исходного сигнала деленного на .

7) Спектр произведения двух сигналов:

Таким образом, спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров умноженной на коэффициент .

8) Свойство дуальности:

Таким образом, если к какому-то сигналу соответствует спектр , то сигналу по форме совпадающему с вышеуказанным спектром соответствует спектр по форме совпадающий с вышеуказанным сигналом.

9) Теорема о свёрке 2-х функций:

Синтез сигнала в полосе частот (0,50кГц )

Синтез сигнала в полосе частот (0,75кГц )

Синтез сигнала в полосе частот (0,100кГц )

При выполнении данной работы была написана программа на языке C Sharp.

В ходе выполнения данной работы, на конкретном примере, был произведен расчет спектра сигнала. C помощью прямого преобразования Фурье на каждом из интервалов функции исходного сигнала. Неоценимую помощь оказали свойства преобразования Фурье, а особенно свойства интегрирования и дифференцирования. Благодаря этим свойствам расчёт спектра выходного сигнала стал значительно легче.

Основной трудностью при выполнении курсового проекта являлся расчёт синтеза сигнала на основании его спектра, что было связано с громоздкостью аналитического выражения для спектра выходного сигнала, и следовательно, с трудностью расчёта его интеграла. Обычными методами интеграл рассчитать не удалось. Поэтому для этой цели была написана программа на языке программирования C Sharp. В которой для расчета интеграла был использован один из численных методов, а именно метод с автоматическим выбором шага по заданной точности, достоинствами которого является простота реализации, высокая точность и надёжность выполнения кода.

В ходе выполнения курсовой работы, были использованы некоторые программные приложения: MS Office 2007, MathCAD 14 и графическое приложение MS Pain . Расчет и построение некоторых графиков производились при помощи программного пакета MathCAD 14, оформление и редактирование отчёта о проделанной работе выполнялось при помощи приложений MS Office 2007 и графического редактора Paint .

Читайте также: