Решение уравнений с модулем реферат

Обновлено: 05.07.2024

Практически каждый учитель знает, какие проблемы вызывают у учащихся задания, содержащие модуль. Это один из самых трудных материалов, с которыми школьники сталкиваются на экзаменах.

Исходя из всего вышесказанного, учителю необходимо находить разнообразные методические приемы, использовать различные подходы и методы в обучении решению задач с модулем. Разнообразие методов будет способствовать сознательному усвоению математических знаний, вовлечению учащихся в творческую деятельность, а также решению ряда методических задач, встающих перед учителем в процессе обучения, в частности, реализации внутрипредметных связей (алгебра-геометрия), расширению области использования графиков, повышению графической культуры учеников.

Напомним основные понятия, используемые в данной теме. Уравнением с одной переменной называют равенство, содержащее переменную. Корнями уравнения называются значения переменной, при которых уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнением с модулем называют равенство, содержащее переменную под знаком модуля.

При решении уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа.

Существует несколько способов решения уравнений с модулем. Рассмотрим подробнее каждый из них.

1 способ. Метод последовательного раскрытия модуля.

Пример 1. Решим уравнение |х-5|=4.

Пример 2. Решим уравнение ||2х-1|-4|=6.

Рассуждая аналогично, рассмотрим два случая.
1). |2х-1|-4=6, |2х-1|=10. Используя еще раз определение модуля, получим: 2х-1=10 либо 2х-1= -10. Откуда х1=5,5, х2= -4,5.
2). |2х-1|-4= -6, |2х-1|= -2. Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как по определению модуль всегда неотрицателен.
Ответ: 5,5; -4,5.
2 способ. Метод интервалов.
Опорная информация:

Метод интервалов – это метод разбиения числовой прямой на промежутки, в которых по определению модуля знак абсолютной величины можно будет снять. Для каждого из промежутков необходимо решить уравнение и сделать вывод относительно получившихся корней. Корни, удовлетворяющие промежуткам, и дадут окончательный ответ.

Пример 3. Решим уравнение |х+3|+|х-1|=6.
Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащегося под знаком модуля: х+3=0, х= -3; х-1=0, х=1. Эти значения х разбивают числовую прямую на три промежутка:
-3 1

Решим уравнение отдельно в каждом из получившихся промежутков. В первом промежутке (х Давыдова Наталья Александровна 12.06.2011 241405 0

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Выступление на конференции.

Тема: "Решение уравнений , содержащих модуль".

Я выбрал именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования. Я хочу получить более широкие знания о модуле числа, различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

В архитектуре - это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике -это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п.

Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

2. Понятия и определения

Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомиться с простейшими определениями, которые мне будут необходимы:

Уравнение-это равенство, содержащее переменные.

Уравнение с модулем -это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).Например: |x|=1

Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.

В математике модуль имеет несколько значений, но в моей исследовательской работе я возьму лишь одно:

Модуль -абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой.

3.Определения модуля. Свойства модуля.

Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля:

Из определения следует, что для любого действительного числа a,

Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа равна большему из двух чисел a или -a.

Следствие 1. Из теоремы следует, что |-a| = |a|.

Следствие 2. Для любого действительного числа a справедливы неравенства

Теорема 2. Абсолютная величина любого действительного числа a равна арифметическому квадратному корню из

Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять |a| на

Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета.

Если то на координатной прямой существует две точки a и -a, равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если a = 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой 0 (см. рис.)

4.Способы решения уравнений, содержащих модуль

Для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, буду основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа. Решу несколько примеров одним и тем же способом и посмотрим, какой из способов окажется проще для решения уравнений, содержащих модуль.

Пример 1. Решим аналитически и графически уравнение |x - 2| = 3.

Рассуждать будем, исходя из определения модуля. Если выражение, находящееся под модулем неотрицательно, т. е. x - 2 0, тогда оно "выйдет" из под знака модуля со знаком "плюс" и уравнение примет вид: x - 2 = 3. Если значения выражения под знаком модуля отрицательно, тогда, по определению, оно будет равно: или x - 2=-3

Таким образом, получаем, либо x - 2 = 3, либо x - 2 = -3. Решая полученные уравнения, находим:

Теперь можно сделать вывод: если модуль некоторого выражения равен действительному положительному числу a, тогда выражение под модулем равно либо a, либо .

Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль, является графический способ. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций. В случае, если графики пересекутся, точки пересечений данных графиков будут являться корнями нашего уравнения. В случае, если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Этот способ, вероятно, реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными.

Другой способ решения уравнений, содержащих модуль- это способ разбиения числовой прямой на промежутки. В этом случае нам нужно разбить числовую прямую так, что по определению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будет снять. Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данное уравнение и сделать вывод, относительно получившихся корней(удовлетворяют они нашему промежутку или нет). Корни, удовлетворяющие промежутки и дадут окончательный ответ.

Установим, при каких значениях x, модуль равен нулю:

Получим два промежутка, на каждом из которых решим уравнение (см. рис. 9):

Получим две смешанных системы:

Решим каждую систему:

(1) (удовлетворяет данному промежутку)

(2) (удовлетворяет данному промежутку)

Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций и

Для построения графика функции , построим график функции - это прямая, пересекающая ось OX в точке (2; 0), а ось OY в точке а затем часть прямой, лежащую ниже оси OX зеркально отразить в оси OX.

Графиком функции является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку (0; 3) на оси OY (см. рис. 10).

Абсциссы точек пересечения графиков функций дадут решения уравнения.

Прямая графика функции y=3 пересеклась с графиком функции y=|x – 2| в точках с координатами (-1; 3) и (5; 3), следовательно решениями уравнения будут абсциссы точек:

Пример 2. Решим аналитически и графически уравнение 1 + |x| = 0.5.

Преобразуем уравнение: 1 + |x| = 0.5

Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как, по определению, модуль всегда неотрицателен.

Ответ: решений нет.

Преобразуем уравнение: : 1 + |x| = 0.5

Графиком функции являются лучи - биссектрисы 1-го и 2-го координатных углов. Графиком функции является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку -0,5 на оси OY.

Графики не пересекаются, значит уравнение не имеет решений (см. рис. 11).

Ответ: нет решений.

Пример 3. Решите аналитически и графически уравнение

Прежде следует установить область допустимых значений переменной. Возникает естественный вопрос, почему в предыдущих примерах не было необходимости делать этого, а сейчас она возникла.

Дело в том, что в этом примере в левой части уравнения модуль некоторого выражения, а в правой части не число, а выражение с переменной, - именно это важное обстоятельство отличает данный пример от предыдущих.

Поскольку в левой части - модуль, а в правой части, выражение, содержащее переменную, необходимо потребовать, чтобы это выражение было неотрицательным, т. е. Таким образом, область допустимых значений модуля

Теперь можно рассуждать также, как и в примере 1, когда в правой части равенства находилось положительной число. Получим две смешанных системы:

Решим каждую систему:

(1) входит в промежуток и является корнем уравнения.

(2) x = -3 не входит в промежуток и не является корнем уравнения.

Установим, при каких значениях x модуль в левой части уравнения обращается в нуль:

Получим два промежутка, на каждом из которых решим данное уравнение (см. рис. 12):

В результате будем иметь совокупность смешанных систем:

Решая полученные системы, находим:

(1) ; входит в промежуток, значит является корнем уравнения.

(2) ; -3 не входит в промежуток,значит x=-3 не является корнем уравнения

4.1 Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их модулями и квадратами этих чисел

Помимо приведенных мною выше способов существует определенная равносильность, между числами и модулями данных чисел, а также между квадратами и модулями данных чисел:

1.Если | a |=| b | , то a = b или a =- b

2. Если a2=b2 , то a=b или a=-b (1)

Отсюда в свою очередь получим, что

Если |a|=|b| , то a2=b2 (2)

Пример 4. Решим уравнение |x + 1|=|2x – 5| двумя различными способами.

1.Учитывая соотношение (1), получим:

x + 1=2x – 5 или x + 1=-2x + 5

x – 2x=-5 – 1 или x + 2x=5 – 1

Корень первого уравнения x=6, корень второго уравнения x=4/3

аким образом корни исходного уравнения x=6, x=4/3

2. В силу соотношения если |a|=|b| , то a2=b2 , получим

(x + 1)2=(2x – 5)2, или x2 + 2x + 1=4x2 – 20x + 25

x2 – 4x2 +2x+1 + 20x – 25=0

Как показывает решение, корнями данного уравнения также являются числа 4/3 и 6

Уравнение и неравенства с модулем встречаются практически во всех вариантах ЕГЭ профильного уровня, уже не говоря об их применениях в школьном курсе математики. Кроме того понятие модуля используется в физике и технике. Поэтому, в настоящей работе рассматриваются различные виды уравнений и неравенств и способы их решений.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НАУКИ И МОЛОДЕЖИ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

Секция: прикладная математика

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК МОДУЛЯ

Работу выполнил: Алимский Руслан Игоревич ученик 9-а класса МБОУ “Чистенькая школа-гимназия” Симферопольского района

Научный руководитель: Дмитриева Галина Игнатьевна Учитель математики МБОУ “Чистенькая школа гимназия” Симферопольского района

Симферопольский район 2017 г

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА МОДУЛЯ……………………..……4

УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК МОДУЛЯ………………..… 5

УРАВНЕНИЕ ВИДА: ………………………… 5

УРАВНЕНИЕ ВИДА …………………………………. …..7

УРАВНЕНИЕ ВИДА ………………………………….8

УРАВНЕНИЕ ВИДА …………………..10

НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ………………………………………..11

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………..…………….21

Цель работы применение свойств и определения модуля при решении уравнений и неравенств.

Изучить свойства модуля и правила его раскрытия

Исследовать возможности применения определения модуля и его свойств при решении различных видов уравнений и неравенств.

Научиться решать неравенства с модулем с помощью “метода интервалов”

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА МОДУЛЯ

Модулем или абсолютной величиной числа а называется само число а, если и число , если

Из определения следует, что под знаком модуля может быть любое число по знаку, а вот равен модуль только не отрицательному числу.

Очень удобно пользоваться определением модуля числа “а”, как расстояние на числовой прямой от начала отсчета до точки соответствующей данному числу.

противоположные числа имеют равные модули

Например: I6I – это расстояние от 0 до 6,I-6I- расстояние от 0 до-6 иI0I- это расстояние от 0 до 0

модуль произведения равен произведению модулей и обратно:

модуль суммы не больше суммы модулей слагаемых

2.УРАВНЕНИЯ СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК МОДУЛЯ.

2.1 Уравнение вида:

Уравнение вида решается раскрытием модуля по определению это совокупность уравнений

Следовательно, решая уравнения с модулями можно пользоваться его определением.

Цель работы: считаю, что эта тема требует более глубокого исследования, так как она прослеживается в различных заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, в заданиях вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на ЕГЭ.

Основной целью работы считаю получение расширенной информации о модуле числа, его применении, а также о различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ

ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ

7- 8 КЛАССОВ

АВТОР:

МКОУ СОШ № 2 г. АЛАГИРА

БУГУЛОВА АЛЬБИНА

2. Понятия и определения……………………………………3

2.1 Вспомогательный материал для изучения данной темы……4

3.Решение линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля…………. 8

4. Графики линейных функций, содержащих выражение под знаком модуля (аналитическое решение)……………..13

4.1. Графики простейших функций, содержащих знак модуля…19

5. Графическое решение линейных уравнений, содержащих модули………………………. 21

7. Список использованной литературы……………………………28

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Знак модуля был введен в XIX веке Вейерштрассом.

В архитектуре модуль – исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения.

В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например, модуль упругости, модуль зацепления.

В математике модуль имеет несколько значений, но я буду рассматривать его как абсолютную величину числа.

2. Понятия и определения.

Чтобы лучше изучить данную тему, необходимо вспомнить простейшие определения:

а) уравнение – это равенство, содержащее переменные.

б) уравнение с модулем – это уравнение, содержащее переменную под знаком модуля (абсолютной величины). Например: | x | = 5.

в) решить уравнение – это, значит, найти все его корни, или доказать, что их нет.

г) линейное уравнение с одной переменной – уравнение вида: ax = b , где x – независимая переменная, a и b – некоторые числа.

д) линейная функция – функция вида: y = kx + b , где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

е) графиком линейной функции является прямая линия.

ж) область определения линейной функции состоит из всех чисел;

если D (у) состоит не из всех чисел, то её график представляет собой соответствующую часть прямой. Например, это может быть полупрямая или отрезок.

з) раскрытие скобок:

2.1. Вспомогательный материал для изучения данной темы.

Для изучения данной темы необходимо познакомиться с графическим решением линейных уравнений и числовыми промежутками.

а) графическое решение уравнений.

Это один из способов решения уравнений.

Его применяют не так часто, так как он занимает в некоторых случаях много времени; результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций.

В случае, если графики пересекутся, то абсциссы точек пересечений данных графиков будут являться корнями данного уравнения.

В случае, если графики не пересекутся, то уравнение корней не имеет.

Абсцисса точки пересечения графиков линейных функций будет корнем линейного уравнения.

Читайте также: