Решение слау методом обратной матрицы реферат

Обновлено: 19.05.2024

Процесс вычисления обратной матрицы достаточно трудоемкий. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы не является самым удобным, но такой способ есть. Данный метод применим, если определитель, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю.

Содержимое работы - 1 файл

Метод обратной матрицы.docx

Метод обратной матрицы. (Решение систем линейных уравнений)

Введите исходные данные
целые числа и ( или ) десятичные дроби ( например -0.125 -5 2.12 10 )

Обратную матрицу найти

Решение вашей системы методом Гаусса .

Решение вашей системы методом Крамера .

Решим систему уравнений

Запишем систему уравнений в матричной форме

Найдем матицу A -1 , обратную к матрице А, методом алгебраических дополнений

Будем обозначать элементы матрицы A маленькими буквами а_ij. Первый индекс i обозначает номер строки , а второй j - номер столбца, где находится элемент матрицы а_ij.

Обратную матрицу A -1 , будем искать в следующем виде:

Обратите внимание на множитель 1 / det A - стоящей перед матрицей. Очевидно, если определитель матрицы А равен нулю , то обратной матрицы не существует.

М _ij это минор элемента а _ij, т.е. определитель , полученный вычеркиванием из матрицы А строки с номером i и столбца с номером j. А _ij - это алгебраическое дополнение элемента а _ij, или, проще говоря, минор взятый с определенным знаком. Если сумма номера строки и номера столбца элемента а_ij четная , то алгебраическое дополнение это минор. Если сумма номера строки и номера столбца элемента а_ij нечетная , то алгебраическое дополнение это минор, взятый со знаком минус. Математически это выражается выражением ( -1 ) i+j . Не забудьте обратить внимание на индексы алгебраических дополнений в обратной матрице.

Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) четырьмя способами: с помощью формул Крамера; обратной матрицы; метода замещения (способом последовательных приближений) и классического метода Гаусса (последовательного исключения переменных).

Рубрика	Математика
Вид	задача
Язык	русский
Дата добавления	15.01.2014
Размер файла	224,9 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Решить систему с помощью:

а) формул Крамера;

б) обратной матрицы;

в) метода замещения;

г) метода Гаусса.

Сделать проверку результатов.

Решение СЛАУ с помощью формул Крамера

Запишем систему в матричном виде:

B T = (21,34,16,7) - транспонированный вектор - столбец результатов (чисел, стоящих за знаками равно в выражениях системы);

Найдем главный определитель:

Найдем определитель для этого минора:

?_1,1 = 3 * (( -3) * ( -3) -4 * 2) -7 * (( -4) * ( -3) -4 * 5)+( -5) * (( -4) * 2 -( -3) * 5) = 24

Минор для элемента (2,1):

Найдем определитель для этого минора по аналогии с предыдущим:

?_2,1 = ( -2) * (( -3) * ( -3) -4 * 2) -7 * (1 * ( -3) -4 * ( -4))+( -5) * (1 * 2 -( -3) * ( -4)) = -43

?_3,1 = ( -2) * (( -4) * ( -3) -4 * 5) -3 * (1 * ( -3) -4 * ( -4))+( -5) * (1 * 5 -( -4) * ( -4)) = 32

Главный определитель:

? = ( -1) 1+1 6 * 24+( -1) 2+1 3 * ( -43)+( -1) 3+1 2 * 32+( -1) 4+1 4 * ( -61) = 6 * 24 -3 * ( -43)+

+2 * 32 -4 * ( -61) = 581

Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В:

Найдем определитель полученной матрицы:

Найдем определитель для этого минора:

?_1,1 = 3 * (( -3) * ( -3) -4 * 2) -7 * (( -4) * ( -3) -4 * 5)+( -5) * (( -4) * 2 -( -3) * 5) = 24

Определитель для этого минора:

?_2,1 = ( -2) * (( -3) * ( -3) -4 * 2) -7 * (1 * ( -3) -4 * ( -4))+( -5) * (1 * 2 -( -3) * ( -4)) = -43

Найдем определитель аналогичным способом:

?_3,1 = ( -2) * (( -4) * ( -3) -4 * 5) -3 * (1 * ( -3) -4 * ( -4))+( -5) * (1 * 5 -( -4) * ( -4)) = 32

Вычислим определитель минора:

+( -1) 2+1 34 * ( -43)+( -1) 3+1 16 * 32+( -1) 4+1 7 * ( -61) = 21 * 24 -34 * ( -43)+

+16 * 32 -7 * ( -61) = 2905;

Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В:

Найдем определитель полученной матрицы.

Найдем определитель минора (1,1):

Найдем определитель для этого минора:

По аналогии находим:

?_4,1 = 21 * (( -4) * 2 -( -3) * 5) -34 * (1 * 2 -( -3) * ( -4))+16 * (1 * 5 -( -4) * ( -4)) = 311

+( -1) 2+1 3 * ( -257)+( -1) 3+1 2 * ( -687)+( -1) 4+1 4 * 311 = 6 * 211 -3 * ( -257)+2 * ( -687) -

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В:

Найдем определитель полученной матрицы.

?_1,1 = 3 * (16 * ( -3) -7 * 2) -7 * (34 * ( -3) -7 * 5)+( -5) * (34 * 2 -16 * 5) = 833

Найдем определитель для минора (2,1):

?_2,1 = ( -2) * (16 * ( -3) -7 * 2) -7 * (21 * ( -3) -7 * ( -4))+( -5) * (21 * 2 -16 * ( -4)) = -161

крамер гаусс обратная матрица

?_3,1 = ( -2) * (34 * ( -3) -7 * 5) -3 * (21 * ( -3) -7 * ( -4))+( -5) * (21 * 5 -34 * ( -4)) = -826

+( -1) 2+1 3 * ( -161)+( -1) 3+1 2 * ( -826)+( -1) 4+1 4 * 1393 = 6 * 833 -3 * ( -161)+2 * ( -826) -

Заменим 4-й столбец матрицы А на вектор результата В:

Найдем определитель полученной матрицы.

Найдем определитель для этого минора:

?_1,1 = 3 * (( -3) * 7 -4 * 16) -7 * (( -4) * 7 -4 * 34)+( -5) * (( -4) * 16 -( -3) * 34) = 703

Найдем определитель для минора:

?_2,1 = ( -2) * (( -3) * 7 -4 * 16) -7 * (1 * 7 -4 * 21)+( -5) * (1 * 16 -( -3) * 21) = 314

Определитель для минора (3,1):

?_3,1 = ( -2) * (( -4) * 7 -4 * 34) -3 * (1 * 7 -4 * 21)+( -5) * (1 * 34 -( -4) * 21) = -31

Найдем определитель для этого минора:

+( -1) 2+1 3 * 314+( -1) 3+1 2 * ( -31)+( -1) 4+1 4 * 513 = 6 * 703 -3 * 314+2 * ( -31) -4 * 513 = 1162;

Выпишем отдельно найденные переменные Х:

Найденное решение верно!

Решение СЛАУ с помощью обратной матрицы

Обозначим через А - матрицу коэффициентов при неизвестных; X - матрицу - столбец неизвестных; B - матрицу - столбец свободных членов:

Вектор B: B T =(21,34,16,7) - транспонированная матрица - столбец свободных членов;

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.

Если матрица А - невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А - 1 . Умножив обе части уравнения на А - 1 , получим:

А - 1 *А*Х = А - 1 *B, где А - 1 *А=Е (единичная матрица).

Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А - 1 .

Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.

?= 581 (мы его вычислили в предыдущем методе (методе Крамера))

Итак, определитель 581 ? 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.

Пусть имеем невырожденную матрицу А:

где A_ij - алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе матрицы А, которое является произведением ( -1) i+j на минор (определитель) n - 1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричный вид записи: А × X = B

где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n - матрица системы.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - столбец неизвестных,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A - 1 :

A - 1 × A × X = A - 1 × B .

Так как А - 1 × А = Е , то Е × X = А - 1 × В или X = А - 1 × В .

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А .

В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где

А = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .

d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × ( - 2 ) × 5 + 3 × ( - 4 ) × 4 + 3 × ( - 1 ) × 1 - 3 × ( - 2 ) × 3 - - 1 × ( - 4 ) × 5 - 2 × 4 - ( - 1 ) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

Находим обратную матрицу А - 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А :

А 11 = ( - 1 ) ( 1 + 1 ) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6 ,

А 12 = ( - 1 ) 1 + 2 1 4 3 5 = - ( 5 - 12 ) = 7 ,

А 13 = ( - 1 ) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5 ,

А 21 = ( - 1 ) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - ( - 20 + 3 ) = 17 ,

А 22 = ( - 1 ) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1 ,

А 23 = ( - 1 ) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - ( - 2 + 12 ) = - 10 ,

А 31 = ( - 1 ) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10 ,

А 32 = ( - 1 ) 3 + 2 2 3 1 4 = - ( 8 - 3 ) = - 5 ,

А 33 = ( - 1 ) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0 .

Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А :

А * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A - 1 = 1 d e t A ( A * ) T : А - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 ,

Умножаем обратную матрицу А - 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

ФЕДИРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО

ДАЛЬНИВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ВЛАДИВОСТОТСКИЙ ИНСТИТУТ МЕЖДУНАРОДНЫХ ОТНОШЕНИЙ

Факультет политических наук и социального управления

Кафедра государственного и муниципального управления

Система линейных уравнений

Студентки группы 1113а

Лариной Натальи Владиславовны

Винокурова Татьяна Васильевна, к. м. н., доцент кафедры математического анализа

Глава 1. Критерий совместимости……………………………………………….3

Глава 4. Матричный метод……………………………………………………. 14

Система линейных уравнений имеет вид:

Здесь а_ij и b_i (i = ; j = ) - заданные, а x_j - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде:

где A = (а_ij) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x₁, x₂. x_n) T , B = (b₁, b₂. b_m) T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных x_j и из свободных членов b_i..

Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c₁, c₂. c_n) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x₁, x₂. x_n каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c₁, c₂. c_n) T такой, что AC ? B.

Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.

образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера- Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и ? совпадают, т.е.

Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:

M = ? (в этом случае система несовместна);

M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной);

M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.

Система имеет единственное решение только в том случае, когда r(A) = n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (m ? n); если m > n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0 (1) (если a₂₂ (1) 0)

Продолжая этот процесс и дальше, мы, наконец, на (m-1) шаге приведем исходную систему к треугольной системе.

Матрица этой системы имеет вид:

На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается. Второй этап – обратный ход, заключается в решении треугольной системы. Из последнего уравнения находим x_m. По найденному x_m из (m-1) уравнения находим x_m-1. Затем по x_m-1 и x_m из (m-2) уравнения находим x_m-2. Процесс продолжаем, пока не найдем x₁ из первого уравнения.

Если у нас число уравнений меньше числа неизвестных, то мы придем не к треугольной системе, а к ступенчатой.

Так как прямой ход метода Гаусса прервется, когда уравнения закончатся, а неизвестные еще останутся. В таком случае в каждом уравнении системы перенесем все члены с неизвестными x_k+1,….,x_m в правую часть.

Придавая неизвестным x_k+1,….,x_m (называемым свободными) произвольные значения, получим треугольную систему из которой последовательно найдем все остальные неизвестные (называемые базисными). Так как произвольные значения можно придавать любыми способами, система будет иметь бесчисленное множество значений.

В решении следующего примера не будем выписывать каждую систему, а ограничимся лишь преобразованиями над матрицами:

Такая модификация метода называется методом Жордана-Гауcса.

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана – Гаусса

1 шаг: а) первую строку не меняем б) из второй вычитаем первую, умноженную на 2 в) третью не меняем, т.к. там неизвестное х₁ и так отсутствует.

2 шаг: а) вторую строку делим на - 4 б) из третьей строки вычитаем новую вторую (поделенную на -4).

3 шаг: делим третью строку на (-7/4).

Последней матрице соответствует система:

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А

и n вспомогательных определителей D _i (i=), которые получаются из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

Если главный определитель системы D и все вспомогательные определители D _i = 0 (i= ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы D = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Пример. Решить методом Крамера систему уравнений:

Решение. Главный определитель этой системы:

значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители D _i ( i = ), получающиеся из определителя D путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при x_i, столбцом из свободных членов:

Отсюда x₁ = D ₁/D = 1, x₂ = D ₂/D = 2, x₃ = D ₃/D = 3, x₄ = D ₄/D = -1, решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1) T .

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е.
det A ? 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с вектором C = A - 1 B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A - 1 B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

Пример. Решить матричным способом систему уравнений:

Решение. Обозначим:

Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B.

Поскольку, то матрица A невырождена и поэтому имеет обратную:

Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева на матрицу A: X = A - 1 B. В данном случае

Выполняя действия над матрицами, получим:

x₂ = 1/5 (-3?6 +1?3 - 1?5) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2

x₃ = 1/5 (1?6 - 2?3 + 3?5) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3

Итак, С = (1, -2, 3) T .

Г.И. Кручкович. “Сборник задач по курсу высшей математике”, М. “Высшая школа”, 1973 год.

В.СШипачев. “Высшая математика”, М. “Высшая школа”, 1985 год.

Читайте также: