Реферат язык логики высказываний
Обновлено: 05.07.2024
Логика высказываний (пропозициональная логика) – это раздел логики, изучающий способы построения и логическую структуру высказываний, отношения между ними и выводы, полученные с помощью логических операций конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции, отрицания и т.д. Часто в логике это обозначается КЛВ – классическая логика высказываний. Алфавит логики высказываний включает в себя четыре вида символов:
1) пропозициональные переменные – p, q, r, s, .
2) пропозициональные связки – Ø, &, Ú, Ú, É, º
3) скобки – ( … )
4)запятая -,
Формулами в языке КЛВ называютзначимые выражения. Пропозициональные переменные сами по себе уже являются (атомарными) формулами. Более сложные формулы получаются из атомарных с использованием связок.
Определение формулы. (1) Пропозициональные переменные являются формулами. (2) Если Аи В – формулы, то ØА, А&В, АÚВ, АÚВ, АÉВ, АºВ – тоже формулы. (3) Ничто другое не является формулой.
Упражнение 1.Расставьте пропущенные скобки в следующих формулах:
а) p Ú Ø q & r É s & q Ú Ø p º Øs É q Ú r
б) p & q º r & s Ú q Ú Ø p É Øs Ú q & r
– «Неверно, что Марья некрасивая
– «Если Марья красива, а Иван-царевич храбр,
Семантика языка КЛВ основана на двух принципах:
1) Принцип бивалентности. Каждая пропозициональная переменная, замещающая собой простое предложение, может быть либо истинной, либо ложной. Истинность будем обозначать как 1, ложность – как 0.
2) Принцип композициональности. Истинностное значение сложной формулы есть функция от истинностных значений входящих в нее переменных.
Таким образом, каждая пропозициональная связка трактуется как истинностно-истинностная функция. Для наглядности воспользуемся таблицей истинности:
| p | q | Øp | p&q | pÚq | pÚq | pÉq | pºq |
Алгоритм построения таблицы истинности:
1) Определить число строк (оно вычисляется по формуле k = 2 n , где k – количество строк, а n – число различных пропозициональных переменных, входящих в формулу).
2) Задать все комбинации совместной истинности/ложности пропозициональных переменных[1].
3) Вычислить (построчно) значение каждой подформулы и формулы в целом (используя данное выше табличное определение пропозициональных связок).
| p | q | Øp | Øq | p&q | ØpÚØq | Ø(ØpÚØq) | (p&q) É Ø(ØpÚØq) |
В данной таблице всего четыре строки, поскольку формула содержит лишь две переменные – p и q. Первые два столбца задают все возможные комбинации совместной истинности и ложности этих переменных. Следующие пять столбцов показывают, каким будет значение каждой подформулы в той или иной строчке. Последний (результирующий) столбец показывает значение всей формулы в целом.
В зависимости от того, каким является результирующий столбец таблицы, выделяют три вида формул: тождественно-истинные, тождественно-ложные и логически случайные.
В приведенном примере формула является тождественно-истинной. Она истинна всегда, независимо от того, истинны или ложны входящие в нее пропозициональные переменные. Другими словами, данная формула выражает собой логический закон.
Упражнение 2. установите табличным способом, к каким видам относятся следующие формулы:
Сущность логики как науки о формах и законах правильного мышления. Логический анализ рассуждений, его связь с анализом языка. Характеристика формализации рассуждений, ее основные аспекты. Процесс соотношения логических и грамматических категорий.
| Рубрика | Иностранные языки и языкознание |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.12.2017 |
| Размер файла | 24,9 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
МИНОБР НАУКИ РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Выполнил: студент 1 курса
1. Логика и язык
Список используемой литературы
Логика (от греч.: logos - слово, понятие, разум) - наука о формах и законах правильного мышления. Сферой логики является интеллектуальная познавательная деятельность или процесс мышления. С учетом этого можно дать следующее определение науки логики: логика - есть наука о законах, формах и приемах мышления, осуществляемого с помощью языка. Мышление не может существовать без языка. Язык придает нашим мыслям определенность, с его помощью мысль обретает форму слова, предложения, и таким образом она становится доступной другим людям. Язык выступает как непосредственная действительность мысли; благодаря языку мысль предстает как информация, которая накапливается из поколения в поколение и передается ими в целях дальнейшего использования. Язык, таким образом, выступает важнейшим связующим звеном исторических поколений. Что же касается мышления (рассуждения), то каждый из нас знает из собственного опыта, как трудно бывает порой выразить свои мысли, если мы не владеем языком. Язык может быть препятствием мышления, и может быть его стимулом. Кроме того, язык обладает тем свойством, что он позволяет нам выразить мысли о предметах в обобщенной, абстрактной форме.
Способность человека к абстрактному мышлению заложена в нем от рождения, но по мере его взросления, а также обучения, воспитания, общения с другими людьми, овладения культурными ценностями, она развивается и затем реализуется в его жизнедеятельности. Несмотря на столь тесную связь языка и мышления, они представляют собой разные явления и исследуются разными науками: язык является предметом языкознания, мышление изучается формальной логикой. Каждая наука использует естественный язык, но в то же время не может обойтись без искусственного языка.
Особенно это касается математики, физики и др. наук, но и логики тоже. Так называемый формализованный язык здесь применяется очень широко.
1. Логика и язык
Для выражения всех элементов рассуждения служат различные средства языка. Понятия выражаются посредством отдельных слов или словосочетаний, суждения и умозаключения - с помощью простых или сложных предложений. Поэтому логический анализ рассуждений тесно связан с анализом языка, хотя отнюдь не сводится к последнему. Действительно, при логическом анализе суждений мы интересуемся его логической структурой, а не грамматической формой. Поэтому выделяем в суждении те элементы, которые имеют существенное значение для его характеристики с точки зрения истинности и ложности. В строгом смысле слова только суждения могут рассматриваться как истинные или ложные, ибо именно они могут верно или неверно, адекватно или неадекватно относиться к действительности. Предложения же хотя и используются для выражения суждений, сами по себе не могут рассматриваться как истинные или ложные. Более того, существуют в нашем языке такие предложения, которые служат не для выражения суждений, а представляют собой вопросы, повеления и т.п. Почему так важен логический анализ, какую роль он играет в повседневном и особенно научном познании?
Как универсальное средство для коммуникации и обмена мыслями и информацией, язык выполняет множество функций, которые не интересуют логику. Логика, напротив, стремится как можно точнее передать и преобразовать существующую информацию и тем самым устранить некоторые недостатки естественного языка путем создания искусственных формализованных языков. Такие искусственные языки используются прежде всего в научном познании, а в последние годы они нашли широкое распространение в программировании и алгоритмизации различных процессов с помощью компьютеров. Достоинство подобных языков состоит прежде всего в их точности, однозначности, а самое главное -- в возможности представления обычного содержательного рассуждения посредством вычисления.
Формализация рассуждения состоит в представлении его посредством символов и формул искусственного (формализованного) языка, в котором перечисляются, исходные формулы, выражающие основные утверждения содержательной теории, первоначальные понятия, которые фигурируют в этих утверждениях, явно указываются те правила вывода или преобразования, с помощью которых в содержательных теориях получают теоремы из аксиом, а в формальных теориях исходные формулы преобразуют в производные. Нетрудно заметить, что формализация рассуждения происходит в соответствии с требованиями аксиоматического метода, знакомого нам из школьного курса геометрии. Разница состоит только в том, что вместо понятий и суждений в ней используются символы и формулы, а логический вывод теорем из аксиом заменяется преобразованием исходных формул в производные. Таким образом, при полной формализации содержательное мышление (рассуждение) его отображается в формальном исчислении. Кроме формализованных языков логики и математики, к искусственным научным языкам относят также языки тех наук, в которых широко используются символы и формулы. Типичным является, например, язык химических символов и формул. Однако в таких языках символы и формулы служат для более компактной и краткой записи соответствующих понятий и утверждений. Так, в химии символы употребляются для записи химических элементов или простых веществ, а формулы - для записи их соединений и сложных веществ. Но само рассуждение проводится как обычно на содержательном уровне.
Формализация дает возможность анализировать, уточнять, определять и эксплицировать (разъяснять) понятия. Интуитивные понятия хотя и кажутся более ясными и очевидными с точки зрения здравого смысла, оказываются не подходящими для научного познания в силу их неопределенности, неоднозначности и неточности. Так, например, понятия непрерывности функции, геометрической фигуры в математике, одновременности событий в физике, наследственности в биологии и многие другие существенно отличаются от тех представлений, которые они имеют в обыденном сознании. Кроме того, некоторые исходные понятия обозначаются в науке теми же словами, которые употребляются в разговорном языке для выражения совершенно других вещей и процессов. Такие основополагающие понятия физики, как сила, работа и энергия, отображают вполне определенные и точно указанные процессы: например сила рассматривается в физике как причина изменения скорости движущегося тела, а работа - как произведение силы на путь. В разговорной речи им придается более широкий, но неопределенный смысл, вследствие чего физическое понятие, например работы, неприменимо к характеристике умственной деятельности. Но даже в науке смысл и значение вводимых понятий со временем изменяется, уточняется и обобщается.
Формализация приобретает особую роль при анализе доказательств. Представление доказательства в виде последовательности формул, получаемых из исходных с помощью точно указанных правил преобразования, придает ему необходимую строгость и точность. При таком подходе исключаются ссылки на интуицию, очевидность или наглядность чертежа, так что при соответствующей программе доказательство можно передать вычислительной машине. О том, какое значение имеет строгость доказательства, свидетельствует история попыток доказательства аксиомы о параллельных в геометрии, когда вместо такого доказательства сама аксиома заменялась эквивалентным утверждением.
Формализация, основанная на построении искусственных логических языков, служит теоретическим фундаментом для процессов алгоритмизации и программирования вычислительных устройств, а тем самым и компьютеризации не только научно-технического, но и другого знания.
Следовательно, формализация предполагает содержательный логический анализ тех способов рассуждения, посредством которых получаются одни утверждения из других, но сами утверждения, представляющие по своей структуре суждения, в свою очередь состоят из понятий. Поэтому мы начнем изучение логики с анализа понятий.
Необходимая связь мышления и языка, при которой язык выступает материальной оболочкой мыслей, означает, что выявление логических структур возможно лишь путем анализа языковых выражений. Логические формы могут быть выявлены лишь, путем анализа языка.
В целях овладения логико-языковым анализом рассмотрим кратко структуру и функции языка, соотношение логических и грамматических категорий, а также принципы построения особого языка логики.
Язык - это знаковая информационная система, выполняющая функцию формирования, хранения и передачи информации в процессе познания действительности и общения между людьми.
Основным строительным материалом при конструировании языка выступают используемые в нем знаки. Знак - это любой чувственно воспринимаемый (зрительно, на слух или иным способом) предмет, выступающий представителем другого предмета. Среди различных знаков выделим два вида: знаки-образы и знаки-символы.
Знаки-образы имеют определенное сходство с обозначаемыми предметами. Примеры таких знаков: копии документов; дактилоскопические отпечатки пальцев; фотоснимки; некоторые дорожные знаки с изображением детей, пешеходов и других объектов. Знаки- символы не имеют сходства с обозначаемыми предметами. Например: нотные знаки; знаки азбуки Морзе; буквы в алфавитах национальных языков.
Множество исходных знаков языка составляет его алфавит.
Комплексное изучение языка осуществляется общей теорией знаковых систем -- семиотикой, которая анализирует язык в трех аспектах: синтаксическом, семантическом и прагматическом.
Синтаксис - это раздел семиотики, изучающий структуру языка: способы образования, преобразования и связи между знаками. Семантика занимается проблемой интерпретации, т.е. анализом отношений между знаками и обозначаемыми объектами. Прагматика анализирует коммуникативную функцию языка - эмоциональные, психологические, эстетические, экономические и другие отношения носителя языка к самому языку.
По происхождению языки бывают естественные и искусственные.
Естественные языки - это исторически сложившиеся в обществе звуковые (речь), а затем и графические (письмо) информационные знаковые системы. Они возникли для закрепления и передачи накопленной информации в процессе общения между людьми. Естественные языки выступают носителями многовековой культуры народов. Они отличаются богатыми выразительными возможностями и универсальным охватом самых различных областей жизни.
Искусственные языки - это вспомогательные знаковые системы, создаваемые на базе естественных языков для точной и экономной передачи научной и другой информации. Они конструируются с помощью естественного языка или ранее построенного искусственного языка. Язык, выступающий средством построения или изучения другого языка, называют метаязыком, основной - языком-объектом. Метаязык, как правило, обладает более богатыми по сравнению с языком-объектом выразительными возможностями.
Искусственные языки различной степени строгости широко используются в современной науке и технике: химии, математике, теоретической физике, вычислительной технике, кибернетике, связи, стенографии.
Искусственные языки успешно используются и логикой для точного теоретического и практического анализа мыслительных структур.
Один из таких языков - язык логики высказываний. Он применяется в логической системе, называемой исчислением высказываний, которая анализирует рассуждения, опираясь на истинностные характеристики логических связок и отвлекаясь от внутренней структуры суждений. Принципы построения этого языка будут изложены в главе о дедуктивных умозаключениях.
Второй язык - это язык логики предикатов. Он применяется в логической системе, называемой исчислением предикатов, которая при анализе рассуждений учитывает не только истинностные характеристики логических связок, но и внутреннюю структуру суждений. Рассмотрим кратко состав и структуру этого языка, отдельные элементы которого будут использованы в процессе содержательного изложения курса.
Предназначенный для логического анализа рассуждений, язык логики предикатов структурно отражает и точно следует за смысловыми характеристиками естественного языка. Основной смысловой (семантической) категорией языка логики предикатов является понятие имени.
Имя - это имеющее определенный смысл языковое выражение в виде отдельного слова или словосочетания, обозначающее или именующее какой-либо внеязыковой объект. Имя как языковая категория имеет таким образом две обязательные характеристики или значения: предметное значение и смысловое значение.
Отношение между именем, смыслом и денотатом (объектом) можно представить следующей семантической схемой:
Это значит, что имя обозначает объекты только через смысл, а не непосредственно. Языковое выражение, не имеющее смысла, не может быть именем, поскольку оно не осмысленно, а значит и не опредмечено, т.е. не имеет денотата.
Типы имен языка логики предикатов, определяемые спецификой объектов именования и представляющие собою его основные семантические категории, это имена: 1) предметов, 2) признаков и 3) предложений.
Имена предметов обозначают единичные предметы, явления, события иди их множества. Объектом исследования в этом случае могут быть как материальные (самолет, молния, сосна), т ак и идеальные (воля, правоспособность, мечта) предметы.
По составу различают имена простые, которые не включают других имен (государство), и сложные, включающие другие имена (спутник Земли). По денотату имена бывают единичные и общие. Единичное имя обозначает один объект и бывает представлено в языке именем собственным (Аристотель) или дается описательно (самая большая река в Европе). Общее имя обозначает множество, состоящее более чем из одного объекта; в языке оно бывает представлено нарицательным именем (закон) либо дается описательно (большой деревянный дом).
Предложения - это имена для выражений языка, в которых нечто утверждается или отрицается. По своему логическому значению они выражают истину либо ложь.
Алфавит языка логики предикатов включает следующие виды знаков (символов):
1) а, b, с. - символы для единичных (собственных или описательных) имен предметов; их называют предметными постоянными, или константами;
2) х, y, z, . - символы общих имен предметов, принимающие значения в той или другой области; их называют предметными переменными;
3) Р1,Q1, R1. - символы для предикатов, индексы над которыми выражают их местность; их называют предикатными переменными;
5) символы для количественной характеристики высказываний; их называют кванторами: - квантор общности; он символизирует выражения -- все, каждый, всякий, всегда и т.п.; - квантор существования; он символизирует выражения -- некоторый, иногда, бывает, встречается, существует и т.п.;
6) логические связки:
Технические знаки языка: (,) - левая и правая скобки.
Других знаков данный алфавит не включает. Допустимые, т.е. имеющие смысл в языке логики предикатов выражения называются правильно построенными формулами - ППФ. Понятие ППФ вводится следующими определениями:
1. Всякая пропозициональная переменная - р, q, r, . есть ППФ.
2. Всякая предикатная переменная, взятая с последовательностью предметных переменных или констант, число которых соответствует ее местности, является ППФ: А1 (х), А2 (х, у), А3(х, у, z), А" (х, у. n), где А1, А2, А3. Аn - знаки метаязыка для предикаторов.
3. Для всякой формулы с предметными переменными, в которой любая из переменных связывается квантором, выражения хА (х) и хА(х) также будут ППФ.
4. Если А и В - формулы (А и В - знаки метаязыка для выражения схем формул), то выражения:
также являются формулами.
5. Любые иные выражения, помимо предусмотренных в п. 1 - 4,
не являются ППФ данного языка.
формализация логика мышление
Необходимая связь мышления и языка, при которой язык выступает материальной оболочкой мыслей, означает, что выявление логических структур возможно лишь путем анализа языковых выражений. Подобно тому, как к ядру ореха можно добраться лишь вскрыв его скорлупу, так и логические формы могут быть выявлены лишь, путем анализа языка.
С помощью приведенного логического языка строится формализованная логическая система, называемая исчислением предикатов. Элементы языка логики предикатов будут использованы в дальнейшем изложении для анализа отдельных фрагментов естественного языка.
Список используемой литературы
2. Бойко А. П. Логика: Учебное пособие / А. П. Бойко. - М., 2002.
3. Гетманова А. Д. Учебник по логике / А. Д. Гетманова. - М, 2004.
4. Иванов Е. А. Логика / Е. А. Иванов. - М., 2002.
5. Рузавин Г.И. Логика и аргументация: Уч.пос. - М: Культура и спорт, ЮНИТИ, 2000
Подобные документы
Культурно-историческая природа русского языка. Язык как компонент научного знания. Специализированный язык как инструмент научного познания. Живая речь и возможности формализации в языке естественных наук. Некоторые особенности языка гуманитарных наук.
реферат [25,0 K], добавлен 23.09.2014
Философские основы лингвистической концепции Гумбольдта. Определение сущности языка. Учение о внутренней форме языка. Проблема соотношения языка и мышления. Учение о происхождении и развитии языка. Морфологическая классификация языков. Антиномии языка.
реферат [47,7 K], добавлен 31.03.2008
Методический аспект описания языка. Связь методики изучения языка с педагогической психологией в методологическом отношении. Взаимосвязь восприятия и понимания речи. Цель лингводидактического исследования материала для учебников, выделение основ обучения.
статья [37,1 K], добавлен 02.05.2015
Особенности грамматических категорий латинского языка. Времена, формы, наклонение, залог и лицо глаголов. Количественные и порядковые числительные: особенности склонений и согласование с существительными. Пример перевода текста с латинского языка.
контрольная работа [8,0 K], добавлен 25.05.2009
Взаимосвязь между языком и мышлением. Понятие и основа наглядно-чувственного мышления. Сущность языка как системы словесного выражения мыслей. Противоположные точки зрения разных исследователей-лингвистов на степень взаимоотношения языка и мышления.
Важнейшей функцией логики является установление того, что из чего следует, а значит установление того, какие формулы являются теоремами, а какие нет. Это достигается с помощью аксиоматического метода. При аксиоматическом построении исчисления высказываний выбирают некоторое, небольшое количество формул, которые включают в систему без доказательства. Это аксиомы системы. Остальные формулы могут быть присоединены к системе только тогда, когда они следуют из аксиом или являются определениями. Существует много эквивалентных систем исчисления высказываний, различающихся аксиомами и исходными терминами. Здесь мы опишем систему Д. Гильберта и В. Аккермана. В исчислении высказываний определение формулы такое же, как и в алгебре высказываний.
В качестве аксиом принимаются следующие четыре высказывания:
d) (р® q) ®( rÚ р ® rÚ q)
В этой системе принимаются три определения:
Д3 (φ ≡ ψ) ≡ (φ →ψ) Ù (ψ →φ)
Для получения новых формул, как из положенных в основу исходных формул, так и из уже выведенных формул, принимаются два правила:
α) Правило подстановки.
Вместо переменного высказывания можно везде, где эта буква встречается, подставить одну и ту же формулу исчисления высказывания.
β) Схема заключения.
Из двух формул φ и φ → ψ получаем новую формулу ψ.
Из сформулированных правил и аксиом можно вывести новые правила вывода формул.
ПРАВИЛО I. Если φ Ú φ – доказуемая формула, то доказуема также формула φ.
Доказательство: Подставим в α) формулу φ. Получим φ Ú φ→ φ. Поскольку φ Ú φ доказуемая формула, то, по правилу β) доказуема и формула φ.
ПРАВИЛО II. Если φ – доказуемая формула, а ψ – любая другая формула, то формула φ Ú ψ является также доказуемой.
Доказательство: Подставим в в) вместо р формулу φ, а вместо q - формулу ψ. Получаем φ ® φ Ú ψ. Схема заключения дает φ Ú ψ.
ПРАВИЛО III. Если φÚ ψ – доказуемая формула, то доказуема и формула ψ Úφ.
Доказательство: Получаем из с) заменой р на φ, q на ψ и применяем схемы заключения.
ПРАВИЛО IV. Если φ→ ψ доказуемая формула, то формула γÚφ→ γ Ú ψ также доказуема.
Доказательство : Получаем из α) заменой р на φ, q на ψ, r на γ и применяем схемы заключения.
Из аксиом, принятых и выведенных правил можно выводить новые формулы и правила.
Докажем, например, формулу:
Доказательство: Заменим в d) r на`r. Получаем (p→q)→ ((`rÚp)→(`rÚq)), но по Д1 эта формула есть иная запись доказываемой формулы.
Доказательство: Подставим в формулу вместо р формулу ψ, вместо q формулу γ, вместо r формулу φ. Получаем: (ψ → γ )→(( φ→ ψ)→( φ→ γ)) .
Применяя два раза схему заключения, получаем: φ→ γ.
Легко доказать, что в предложенной аксиоматической системе выводимы формулы алгебры высказываний. Докажем например, что формула `рÚp выводима.
Доказательство: Подставляем в в) вместо q переменную р , получаем формулу р→ рÚp. Из а) той же подстановкой получаем рÚp→ р. По правилу У выводим формулу p→ р. По Д1 эта формула представляет собой иную запись формулы`рÚp.
Аналогичным образом можно доказать остальные формулы алгебры высказываний.
Предложенное аксиоматическое исчисление высказываний удовлетворяет всем требованиям аксиоматического метода: система аксиом этого исчисления высказываний полна, независима и противоречива. Доказательство этого факта читатель может найти в любом учебнике по математической логике.
В натуральном исчислении высказываний принимается определение формулы алгебры высказываний и следующие правила:
1) Правило отделения (обозначает ПО):
;
2) Правило введения конъюнкции
;
Способ чтения этой схемы аналогичен.
3) Правило удаления конъюнкции:
УК ,
Правило УК можно записать в виде одной схемы:
УК
Правило введения дизъюнкции:
ВД ,
4) Правило удаления дизъюнкции:
,
5) Правило введения эквивалентности:
 |
ВЭ φ→ ψ
6)Правило удаления эквивалентности:
УЭ ,
Прямое доказательство выражения φ1 →(φ2 →( φ3 → …(φп-1 →φп )…) строится следующим образом:
1. В первых n-1 строках выписываются последовательно выражения φ1 , φ2 ,… φп-1 в качестве условий теоремы.
2. К доказательству можно присоединить:
a) ранее доказанные теоремы в качестве новых строк;
b) новые строки на основании уже имеющихся строк по правилам ПО, ВК, УК, ВД, УД, ВЭ, УЭ.
1. Доказательство закончено, если его последняя строка есть выражение φп. Последняя строка доказательства не нумеруется; тем самым отмечается, что доказательство закончено.
Косвенное доказательство выражения φ1 →(φ2 →( φ3 → …(φп-1 →φп )…) строится следующим образом:
1. а) В первых n-1 строках выписываются последовательно выражения φ1 , φ2 ,… φп-1 в качестве условий теоремы.
b) В n-ой строке выписывается выражение`φп в качестве допущения косвенного доказательства.
2. К доказательству можно присоединить:
a) ранее доказанные теоремы в качестве новых строк;
b) новые строки на основании уже имеющихся строк по правилам ПО, ВК, УК, ВД, УД, ВЭ, УЭ.
Продемонстрируем приемы доказательства на ряде примеров. Их мы будем нумеровать с указанием слева Ті ( теорема номері )
Т1 (Закон гипотетического силлогизма)
1) p→q
2) q → r íДопущенияý
Т2 (Закон контрапозиции)
1) `p→q íДопущенияý
3) `p íДопущения косвенного доказательстваý
Т3 (Второй закон гипотетического силлогизма)
1) p→q
2) q → r íДопущенияý
Т4 ( Закон экспортации)
(pÙq → r) →(р→(q → r)) (32)
1) pÙq → r
2) р íДопущенияý
(p→q)Ù( р → r) →(p→q Ù r) (32¢ )
1) (p→q)Ù( р → r) íДопущенияý
3) p→q íУК : 1ý q Ù r
Докажем теперь аксиомы a), b), c), d):
1) pÚq íДопущенияý
1) p íДопущенияý
1) pÚq íДопущенияý
2) qÚр íДопущения к.д.ý
1) р→ q íДопущенияý
С помощью таблиц истинности можно убедиться, что ПО исключают случаи, когда его применения к истинным посылкам дает ложные результаты.
По определению импликации φ→ ψ ψ есть следствие φ во всех случаях, кроме такого, когда посылка φ истинна, а заключение ψ ложно. Так, что для доказательства того, что ПО позволяет делать из посылок следствия достаточно доказать, что импликация, антицидент которой является конъюнкция посылок, консеквент – вывод, полученный с помощью этого правила, является всегда истинной формулой.
Для ПО составляем формулу:
И с помощью таблицы истинности убеждаемся, что эта формула тождественно истинна
| φ | ψ | φ→ ψ | (φ→ ψ)Ù φ | (φ→ ψ)Ù φ→ ψ |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Для ВК : φÙψ →φ Ùψ.
Таблица истинности имеет вид
| φ | ψ | φÙψ | φÙψ →φ Ùψ |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
С помощью таблиц истинности можно убедиться, что и остальные правила натурального исчисления высказываний исключают случаи, когда результат их применение к истинным посылкам был бы ложным. С другой стороны, поскольку конъюнкция посылок ложна, когда хотя бы одна из посылок ложна, то по определению импликации из конъюнкции этих посылок следует любое высказывание как истинное, так и ложное. Следовательно, ложные посылки лишены смысла. Так, что и с формальной, и с содержательной точки зрения правила построения доказательств, по видимому, не должны вызывать сильных возражений.
Выявим вначале все простые высказывания — их три: обозначим каждое каким-нибудь пропозициональным символом (причем одинаковые по содержанию высказывания обозначим одним и тем же символом, а разные различными). Затем определим, какими связками они связаны, а при наличии нескольких связок установим, что связывает теснее, и отразим это скобками. Пусть необходимо записать на языке логики высказываний… Читать ещё >
Языки логики высказываний и логики предикатов ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )
Прежде чем приступить к описанию специальных языков, используемых в процессе логического анализа, важно указать на некоторые особенности этих языков по сравнению с естественными языками. Все логические языки предназначены для определенных целей. Комплексное изучение языка осуществляется общей теорией знаковых систем — семиотикой, которая анализирует язык в трех аспектах: синтаксическом, семантическом и прагматическом.
Языки, используемые в логике, как правило называют символическими, поскольку в них используется определенная символика. Например, применяется особая символика для обозначения логических связок, а также операций, предметов, свойств и отношений.
Использование символов способствует сокращению записи высказываний, что облегчает понимание смысла соответствующих высказываний.
Отличительная особенность языков логики предикатов и логики высказываний — их экстенсиональный признак, суть которого заключается в следующем: для языка логики предикатов — предметные значения его термов (аналогов имен естественного языка) зависят лишь от предметных значений их составляющих, а истинностные значения сложных формул — от истинностных значений составляющих этих формул.
Аналогично обстоит дело и с языком логики высказываний.
Таким образом, формализованные языки служат средством выделения различных типов отношений вещей и представляют собой логические содержания высказываний, а также определяют формы правильных рассуждений в процессах познания.
Язык логики высказываний
Логика изучает не только естественный язык, которым люди пользуются в процессе повседневного общения, но также создает искусственные, специальные языки логики.
Для решения различных задач логики было выработано несколько специальных искусственных языков. Одним из наиболее широко распространенных считается язык логики высказываний.
Логика высказываний — это раздел логики, в котором вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний из так называемых элементарных, не разлагаемых на части и не анализируемых высказываний с помощью логических операций конъюнкции, дизъюнкции, импликации, отрицания и т. д.
Как и в естественных языках, в этом языке есть алфавит, а также сложные выражения. Алфавит языка логики высказываний составляют следующие символы:
- 1) р, q, r, s, … — пропозициональные переменные, символы для повествовательных предложений, выражающих суждения. Каждый символ соответствует целому предложению;
- 2) логические термины:
3) определенные типы знаков составляют модальности:
Выражения в языке логики высказываний являются формулами. Так, формулы первого уровня — это элементарные формулы, к которым применена только одна логическая связка, например: р U q; р? q; р — q.
Более сложные формулы строят, присоединяя высказывания при помощи логических связок к уже имеющимся формулам. Процесс построения сложного высказывания из простых регулируется скобками, означающими порядок применения связок, например (p)? q. В случае если сложное высказывание содержит много формул, которые требуется выделять скобками, используют правило старшинства логических связок: сильнее всех является связка , за ней идут &, U, U, ?• Если формула записана в виде р U q & s, то q & s было построено раньше, а затем соединено с р младшей связкой U .
Перечисление исходных символов и правил образования формул составляет синтаксис языка. Операция приписывания определенных значений выражениям языка называется интерпретацией. Существование интерпретации определяет семантику языка.
Интерпретация включает в себя два этапа:
- 1) пропозициональным знакам в качестве предметных значений приписываются объекты из множества истинностных значений (и — истина; л — ложь). При этом каждому пропозициональному знаку в случае интерпретации приписывается лишь одно из названных значений;
- 2) формулы, образованные с использованием логических констант, получают следующие истинностные значения:
- (А & В) истинно, если и только если A — истинно и В — истинно;
- (A U В) истинно, если и только если А — истинно или В — истинно;
- (AEB) истинно, если и только если А — ложно или В — истинно;
А — истинно, если и только если А — ложно.
Полностью интерпретированная формула (получаемая в результате приписывания истинностных значений пропозициональным переменным) — это некоторое высказывание нашего языка.
Завершив построение языка логики высказываний, поясним, каким образом в нем выражается логическая форма естественного языка.
Выявим вначале все простые высказывания — их три: обозначим каждое каким-нибудь пропозициональным символом (причем одинаковые по содержанию высказывания обозначим одним и тем же символом, а разные различными). Затем определим, какими связками они связаны, а при наличии нескольких связок установим, что связывает теснее, и отразим это скобками.
В данное высказывание входят следующие простые высказывания:
Читайте также: