Реферат системы дифференциальных уравнений

Обновлено: 03.07.2024

Любая система автоматического регулирования представляет совокупность отдельных взаимодействующих друг с другом элементов, соединенных между собой связями. Первым этапом при составлении дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования является разделение системы на отдельные элементы и составление уравнений этих элементов. Эти уравнения могут быть интегральными, линейными, трансцендентными, но чаще всего это оказываются дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения элементов и уравнения связей между отдельными элементами описывают процесс в системе, то есть изменение по времени всех координат системы.

Состояние системы, а также каждого входящего в нее элемента характеризуется некоторым числом независимых переменных. Этими переменными могут быть как электрические величины (ток, напряжение и т. д.), так и механические (скорость, угол поворота и т. д.). Обычно, чтобы характеризовать состояние системы или ее элемента, выбирают одну обобщенную координату на входе системы или элемента и одну - на выходе. Будем обозначать входную величину g(t), а выходную x(t). В ряде случаев такое представление невозможно, так как система или ее элемент могут иметь несколько входных и выходных величин. В многомерных системах можно рассматривать векторные входную и выходную величины с размерностями, совпадающими соответственно с числом входных и выходных элементов системы.

Рассмотрим пример: управление самолетом по углу рыскания. Предположим, что осевая линия самолета под действием порывов ветра отклонилась от заданного направления y на угол (рис.1). Возвращение самолета на заданный курс осуществляется с помощью руля, отклонение которого равно . Предполагается, что относительно оси, проходящей через центр тяжести ЦТ, самолет имеет момент инерции J. Восстанавливающая сила руля пропорциональна , трением в воздухе пренебрегаем.

Уравнение движения запишется по второму закону Ньютона:

где k(t) - восстанавливающая сила; m(t) - момент, вызванный порывами ветра. Разделив это уравнение на J и обозначив b=-k/J, (t)=m(t)/J, а также принимая (t) за управляющее воздействие u(t), получаем

Вводя в рассмотрение переменные состояния

к двум дифференциальным уравнениям первого порядка

которые в векторной форме запишутся так

Вводя векторно-матричные обозначения

приходим к дифференциальному уравнению:

2. Элементы теории дифференциальных уравнений

2.1. Понятие дифференциального уравнения

Уравнения, которые, кроме неизвестных функций одного или нескольких переменных, содержат также их производные, называются дифференциальными. Дифференциальные уравнения называются обыкновенными, если неизвестные функции являются функциями одного переменного, в противном случае дифференциальные уравнения называются уравнениями в частных производных.

называется дифференциальным уравнением n-го порядка. Решением дифференциального уравнения называется функция x=x(t), определенная на некотором интервале t, которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество на всем интервале . Это уравнение можно рассматривать как функцию, определяющую неявно производную n-го порядка x(n). При определенных условиях его можно решить относительно x(n):

Пусть x=x(t) - решение данного дифференциального уравнения. Тогда x(t) является непрерывной и непрерывно дифференцируемой функцией t. На плоскости (t,x) решению x=x(t) будет соответствовать непрерывная кривая, называемая интегральной кривой.

Функция x=x(t,C) называется общим решением дифференциального уравнения, если путем соответствующего выбора постоянной можно любую интегральную кривую.

2.2. Нормальная система дифференциальных уравнений

В дифференциальные уравнения вида

может входить n неизвестных функций x1,…, xn . Тогда системой дифференциальных уравнений будет совокупность соотношений

Предположим, что эту систему можно разрешить относительно старших производных. В этом случае получим систему уравнений:

Такая система называется канонической системой дифференциальных уравнений. Вводя новые неизвестные функции, можно привести эту систему к системе первого порядка. Пусть

Тогда наша система перепишется в виде

В дальнейшем будем рассматривать систему из n уравнений первого порядка в виде

Эта система называется нормальной (канонической) системой дифференциальных уравнений. Эту систему будем записывать в векторной форме:

Тогда данная система будет представлена в виде:

Решением этой системы на интервале G называется совокупность n функций xi=xi(t), определенных на интервале G и таких, что подстановка их в эту систему обращает каждое ее уравнение в тождество на всем интервале G.

Если вектор-функция не зависит явно от времени t, то эта система называется автономной (стационарной).

2.3. Задача Коши

Начальной задачей или задачей Коши для системы

называется следующая задача. Найти решение системы дифференциальных уравнений, определенное на некотором интервале G, содержащем точку t0, и удовлетворяющее условиям:

причем t0, xi0 (i=1, 2,…, n) называются начальными значениями для решения x1(t), …, xn(t), а эти условия - начальными условиями. Если ввести в рассмотрение (n+1)-мерное пространство с координатами t, x1,…, xn, то совокупность n функций xi=xi(t) будет представлять линию в n-мерном пространстве. Начальные значения t0, x10,…, xn0 представляют собой точку в этом пространстве.

2.4. Свойства дифференциальных уравнений

Пусть имеется нормальная система дифференциальных уравнений в векторной форме

Общим решением системы (1) в области G называется совокупность n функций xi=xi(t,c1,…,cn), i=1,2,…,n. Будем говорить, что функция f(t,x1,…,xn) удовлетворяет условию Липшица в области G по переменным x1,…,xn, если существует такое постоянное число L>0, что для любой пары точек (t,x1,…,xn) и (t, xs1,…,xsn), принадлежащих G, выполняется неравенство

Пусть в системе (1) функции fi(t, x) непрерывны по t и удовлетворяют условию Липшица по x1,…,xn в некоторой области G. Тогда существует и притом единственное решение xi=xi(t), I=1,2,…n системы (1), удовлетворяющее начальным условиям xi(t0)=xi0, определенное на отрезке K, содержащем точку t0.

Теорема утверждает существование единственного решения на отрезке K, содержащем точку t0. Однако, это решение может быть продолжено за пределы отрезка K вплоть до границы области G.

Если функция f(t, x1, . хn) имеет ограниченные частные производные по xi в выпуклой области G, то эта функция удовлетворяет условию Липшица.

2.5. Ломаная Эйлера и -приближенное решение

Рассмотрим систему уравнений

причем будем полагать, что эта система удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

Совокупность n функций z1(t), . zn(t) называется -приближенным решением системы (2) на отрезке А, если каждая из этих функций непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и

во всех точках tK, кроме точек разрыва непрерывности этой производной.

Пусть задана начальная точка (t0, x10, …, хn0) и пусть функции fi(t, xi. хn) непрерывны по t в области G и удовлетворяют в этой области условию Липшица по переменным t, x1, х2, . хn. Можно показать, что в этом случае функции fi(t, x1. хn) будут непрерывны по совокупности переменных t, x1. хn в области G. Из непрерывности функций fi (t, x1. хn) в замкнутой области G сле-дует их равномерная непрерывность. Таким образом, для любого >0 найдется такое >0, зависящее только от , что при

будет справедливо неравенство

Построим -приближенное решение системы (2). Для этого разобьем область G на кубы со сторонами, меньшими (для случая n=1 построение проведено на рис. 2, в этом случае область разбивается на квадраты). Из точки (t, xlo, . хn0) проведем прямую

Эту прямую продолжим до пересечения с одной из сторон соответствующего куба. Обозначим точку пересечения (t1, x11. xn1). Из этой точки проведем прямую

которую продолжим до пересечения с одной из сторон куба; обозначим точку пересечения (t2, x12. xn2), через эту точку проводим новую прямую

В результате указанных действий получим ломаную xi=xi(t) (i=l, 2, . n), называемую ломаной Эйлера. Эта ломаная представляет собой непрерывную кусочно-линейную функцию. Ломаную Эйлера мы можем продолжить до границы области G.

Пусть xi(t) (i=l, 2, . n) -- точное решение системы (2), удовлетво-ряющее начальным условиям. Обозначим через si(t) (i=1, 2, . n) -приближенное решение системы (1) для тех же начальных условий. Тогда

Отсюда следует, что если |t-t0| 0 существует такое (, h)>0, что другое решение x=s(t, t0, z0), удовлетворяющее начальным условиям

где ||x0-z0|| 0 существует такое (, h)>0, что если справедливо неравенство |м-м|

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

При решении многих задач требуется найти функции y₁=y₁(x), y₂=y₂(x),…, y_n=y_n(x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих аргумент x, искомые функции y₁, y₂,,…, y_n и их производные.

Рассмотрим систему уравнений первого порядка:

где y₁, y₂,,…, y_n – искомые функции, x – аргумент.

Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной.

Проинтегрировать систему – значит определить функции y₁, y₂,,…,y_n, удовлетворяющие системе уравнений (1) и данным начальным условиям:

Продолжая далее, таким же образом получим, наконец, уравнение

Итак, мы получаем следующую систему:

как функции от x, C₁, C₂,,…,C_n.

Подставляя эти функции в уравнение (4), определяем y₂, y₃,,…,y_n:

Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям (2), остается лишь найти из уравнений (6) и (7) соответствующие значения постоянных C₁, C₂,,…,C_n (подобно тому, как это делалось в случае одного дифференциального уравнения).

Замечание 1. Если система (1) линейна относительно искомых функций, то и уравнение (5) будет линейным.

Замечание 2. В приведенных рассуждениях мы предполагали, что из первых n-1 уравнений системы (3) можно определить функции y₂, y₃,,…,y_n. Может случиться, что переменные y₂,y₃,,…,y_n исключаются не из n, а из меньшего числа уравнений. Тогда для определения y мы получим уравнение, порядок которого ниже n.

В дифференциальные уравнения системы могут входить производные высших порядков. В этом случае получается система дифференциальных уравнений высших порядков.

Так, например, задача о движении материальной точки под действием силы F сводится к системе трех дифференциальных уравнений второго порядка. Пусть F_x, F_y, F_z – проекции силы F на оси координат. Положение точки в любой момент времени t определяется ее координатами x, y, z. Следовательно, x, y, z являются функциями от t. Проекция вектора скорости точки на оси координат будут

Предположим, что сила F, а следовательно, и ее проекции F_x, F_y, F_z зависят от времени t, положения x, y, z точки и от скорости движения точки, т.е. от

Искомыми функциями в этой задаче являются три функции:

x=x(t), y=y(t), z=z(t).

Эти функции определяются из уравнений динамики (закон Ньютона):

Получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В случае плоского движения, т.е. движения, когда траекторией является плоская кривая (лежащая, например, в плоскости Oxy), получаем систему двух уравнений для определения функций x(t) и y(t):

Решать систему дифференциальных уравнений высших порядков можно путем сведения ее к системе уравнений первого порядка. На примере уравнений (9) и (10) покажем, как это делается. Введем обозначения:

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Пусть мы имеем систему дифференциальных уравнений

где коэффициенты a_ij суть постоянные. Здесь t – аргумент, x₁(t), x₂(t),…x_n(t) – искомые функции. Система (1) называется системой линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эту систему можно решить путем сведения к одному уравнению n-го порядка, которое в данном случае будет линейным. Но можно решать систему (1) и другим методом, не сводя к уравнению n-го порядка. Этот метод дает возможность более наглядно анализировать характер решений.

Будем искать частное решение системы в следующем виде:

Требуется определить постоянные ₁,₂,,…,_n и k так, чтобы функции ₁e kt , ₂e kt ,…,_ne kt удовлетворяли системе уравнений (1). Подставляя их в систему (1), получим:

Таким образом, нетривиальные решения (2) мы получим только при таких k, при которых определитель (4) обращается в нуль. Мы приходим к уравнению n-го порядка для определения k:

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (1), его корни называются корнями характеристического уравнения.

Рассмотрим несколько случаев.

Корни характеристического уравнения действительные и различные.

Обозначим через k₁, k₂,,…,k_n корни характеристического уравнения. Для каждого корня k_i напишем систему (3) и определим коэффициенты

Можно показать, что один из них произвольный, его можно считать равным единице. Таким образом, получаем:

для корня k₁ решение системы (1):

Путем непосредственной подстановки в уравнения, можно убедиться, что система функций

Этим корням будут соответствовать решения

Снова ищем решение в форме

Подставляя эти выражения в систему (10) и сокращая на e kt , получаем систему уравнений для определения , и k:

Это есть характеристическое уравнение для системы (10); оно является уравнением 4-го порядка относительно k. Пусть k₁, k₂, k₃ и k₄ – его корни (предполагаем, что корни различны). Для каждого корня k_i из системы (11) находим значения и . Общее решение, аналогично (6), будет иметь вид

С собственными значениями и векторами матрицы приходится иметь дело в задачах, связанных с решением систем линейных дифференциальных уравнений и исследованием устойчивости этих решений. Дифференциальная векторно-матричная алгебра включает в себя операции интегрирования и дифференцирования, которые во множестве случаев в своей нотации напоминают соответствующие операции обычного дифференциального исчисления. Производная по скалярной переменной и интеграл от вектора и матрицы в заданных пределах изменения скалярной переменной определены так:

Производные от векторных и векторно-матричных выражений определяются следующими правилами:

2 . Векторное решение однородного уравнения

Пусть система линейных однородных дифференциальных уравнений задана в векторной форме:

Если уравнение записано в форме однородного дифференциального уравнения n -го порядка и его характеристический многочлен имеет различные корни, то общее решение представляется суммой n частных решений с экспоненциальными базовыми функциями:

где – константы, определяемые начальными условиями.

Можно предположить, что векторное уравнение, представляющее общее решение, имеет аналогичную форму

Для выяснения вопроса, что есть в таком представлении и , подставим частное решение в уравнение:

Отсюда видно, что будет частным решением, если будут собственным значением и собственным вектором матрицы A.

Таким образом, если матрица A имеет собственные значения и векторы , k=1,2,…, n, то общее решение однородного векторного уравнения после ряда эквивалентных преобразований предстанет в следующем виде:

Используя значение решения при t= 0, находим . Таким образом, общее решение однородного векторного уравнения имеет следующий вид: .

Матричная экспонента выражается через проекторы и собственные значения матрицы по формулам спектрального разложения:

После подстановки X в решение вместо экспоненты получим:

В случаях, когда собственные значения и векторы найти не удается, матричную функцию можно разложить в ряд по степеням матрицы:

что позволяет численно получать многомерный переходной процесс, если ряд сходится.

Матричный ряд сходится, если существует предел последовательности частичных сумм. Достаточным условием является сходимость ряда из норм членов степенного матричного ряда. Используя, например, признак сходимости Даламбера ряд, представляющий матричную экспоненту, сходится, если существует и меньше единицы предел отношения

где R – радиус сходимости.

Объем вычислительной работы при оцифровке многомерного переходного процесса существенно зависит от числа членов в матричном ряде. Для повышения скорости сходимости применяют различные аппроксимации этого ряда. В частности, для экспоненты широко используются аппроксимации отрезков ряда дробно-рациональными функциями Падэ вида:

Так, матричная экспонента для трех и четырех членов имеет вид:

В свете приведенных разложений матричной экспоненты общее решение линейного векторно-матричного дифференциального уравнения приближенно можно вычислить по формуле:

3. Решение неоднородных дифференциальных уравнений

Познакомившись с общим подходом к построению решений линейных векторных дифференциальных уравнений, покажем теперь, как получаются решения неоднородных уравнений.

Представим исходное уравнение с неоднородностью, локализованной в правой части уравнения, и умножим обе части уравнения на матричную экспоненту :

Обращаясь к правилам дифференцирования векторно-матричных выражений, приведенных выше, несложно заметить, что слева от знака равенства находится производная от произведения матричной экспоненты на вектор y :

Сделаем соответствующую замену и проинтегрируем левую и правую части по независимой переменной t :

Умножая слева обе части равенства на матрицу , получим общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

Формула общего решения в своей нотации точно соответствует случаю скалярного уравнения. При невозможности аналитического решения переходный процесс можно вычислить по точкам, заменив непрерывное время дискретным с шагом , где R – радиус сходимости степенного матричного ряда с матрицей :

В интеграле можно заменить независимую переменную на дискретную с тем же шагом, что и при разложении экспоненты: , тогда, применяя метод интегрирования по правилу прямоугольников и обозначая матричную экспоненту на k- том шаге через , получим

Удобно из формулы вычисления дискретных значений векторного переходного процесса получить рекуррентную формулу. Этого можно добиться, если найти в выражении для часть, которую можно заменить значением :

Повышения точности вычисления переходного процесса достигают за счет замены интеграла квадратурами более высокого порядка, например, первого – формула трапеций, или второго – формула парабол (Симпсона).

Использование формулы трапеций приводит после соответствующих преобразований к следующей рекуррентной формуле:

Если использовать формулу Симпсона, то рекуррентная формула для расчета переходного процесса от точки к точке будет такой:

В приведенных рекуррентных формулах матричные экспоненты имеют следующий вид:

4. Примеры численного решения векторно-матричных уравнений

В качестве примера построим переходный процесс для системы уравнений:

Эта система может быть представлена дифференциальным уравнением второго порядка относительно переменной :

или относительно переменной :

Характеристическое уравнение имеет два комплексных корня: . Общее решение этих уравнений будет:

где – постоянные, которые вычисляются по заданным начальным условиям путем решения системы уравнений:

Несложные преобразования приводят к следующим точным решениям этого уравнения для двух различных наборов начальных условий:

Получим такое же аналитическое решение векторного переходного процесса в форме экспоненциальной функции, используя спектральное разложение матрицы по собственным значениям.

Характеристический полином заданной матрицы имеет вид:

Собственные значения матрицы (корни характеристического уравнения) и собственные векторы равны:

Проекторы находим матричным произведением левых и правых собственных векторов. Для этого обратим матрицу и в качестве левых собственных векторов возьмем ее строки:

Векторное аналитическое решение имеет вид:

Решение совпадает с точным решением уравнений второго порядка.

Для численного построения векторного переходного процесса по заданному векторно-матричному уравнению с использованием Падэ-аппроксимации матричной экспоненты дробно-рациональными выражениями первого, второго и третьего порядков, вычислим сначала эти аппроксимирующие матрицы:

Вектор приближенного решения вычислим по рекуррентной формуле, в которую, для демонстрации влияния на точность результата, поочередно подставим каждое из трех приведенных выше приближений к матричной экспоненте:

…

В таблице помещены численные значения переходных процессов, полученные для трех названных случаев аппроксимации матричной экспоненты вместе с точным аналитическим решением.

Из сопоставления результатов можно сделать заключение, что аппроксимация экспоненты дробно-рациональной матричной функцией второго порядка позволяет при прочих равных условиях получать решение с 5–6-ю достоверными десятичными знаками.

Численное решение неоднородного дифференциального уравнения в векторно-матричном представлении проведем с прежней однородной частью в уравнении, но применим рекуррентные формулы с интегрированием по методу прямоугольников, трапеций и парабол:

Матричная экспонента для рекуррентных формул в данном примере бралась в абсолютно точном аналитическом представлении, полученном для этой матрицы выше (числовое представление для h= 0.1):

Аналитическое решение в векторно-матричной форме записи имеет следующий вид:

В таблице приведены результаты вычисления переходных процессов для векторно-матричного неоднородного дифференциального уравнения по формуле аналитического решения и трем рекуррентным выражениям, использующим различные квадратурные формулы интегрирования. Для заполнения таблицы с шагом 0.1 по третьей рекуррентной формуле второе значение (для t=0.1 ) было получено вычислением с шагом 0.05. Эти первые два значения использовались в качестве начальных значений двух рекуррентных процессов, вычислявших очередные значения с шагом 0.2.

Аналогичные формулы построения вычислительных процедур могут быть выведены для уравнений с переменными коэффициентами и нелинейных уравнений. Однако обеспечение устойчивости и точности построения переходных процессов в таких случаях решается для каждой конкретной задачи отдельно.

1. Бахвалов И.В. Численные методы. БИНОМ, 2008. – 636c.

2. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304c.

3. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 608 с.

5. Пантелеев А.В., Киреев В.И., Пантелеев В.И., Киреев А.В. Численные методы в примерах и задачах. М: Высшая школа, 2004. – 480c.

6. Шевцов Г.С., Крюкова О.Г., Мызникова Б.И. Численные методы линейной алгебры. Учебное пособие. Издательство: ИНФРА-М, 2008.

Если число уравнений меньше числа неизвестных, то систему называют не, доопределенной в этом случае, грубо говоря, несколько функций задаются произвольным образом, а остальные выражаются через них; если же число уравнений больше числа неизвестных, систему называют переопределенной, такие системы, за редким исключением, решений не имеют (ведь маловероятно, что два разных дифференциальных уравнения… Читать ещё >

Системы дифференциальных уравнений ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Лекция 17 Общая теория

Основные понятия, определения

В различных задачах физики, механики, химии и др. возникает необходимость изучать процессы, описываемые не одной, а несколькими функциями. Например, движение материальной точки в трехмерном пространстве описывается тремя функциями х (t), x^it), x^t) координатами точки в момент времени t. В случае, если мы хотим описать движение твердого тела, к трем координатам центра тяжести тела добавляются еще углы поворота этого тела относительно координатных осей, и таким образом получается уже шесть функций от времени. Движение системы п масс описывается, даже если это движение просто прямолинейное (как у вагонов поезда), набором функций xi (t), X2(t),. . x_n(t), каждая из которых описывает движение «своей 11 массы. Эти функции, как правило, не являются произвольными (об этом речь ниже), но если жестких связей, явно выражающих одни функции через другие, нет, то одной функцией мы движение полностью никак не опишем. Если же эти массы двигаются в пространстве, то число функций, описывающих движение тем более велико.

Конечно, в реальных ситуациях движение не произвольно, а удовлетворяет дополнительным условиям, в которых участвуют как сами функции, так и их производные (вспомним хотя бы знаменитые законы Ньютона).

Определение 17.1 Дифференциальным уравнением относительна р неизвестных функций х, (t). XoU)…, X_p(t) называется любое равенство, выражающее связь между независимой переменной, набором из нескольких (функций от этой переменной и производных этих функций. Обычно наличие такого соотношения записывают аналитической формулой

Максимальное из чисел, щ (порядков производных, входящих в уравнение) называется порядком, уравнения.

Если уравнений не одно, а несколько, то говорит, что задана система дифференциальных уравнений.

Решением уравнения (системы) называется набор функций ?]. (?), Х2(t),…, Xp (t). такой, что i-я функция имеет щ непрерывных производных и что при подстановке этих функций в уравнение (систему) получается тождество.

Такую форму записи называют канонический.

Обозначим через х саму функцию х, через Х2 ее производную х', через хз вторую производную х" и так далее, и, наконец, через х_п обозначим.

_x(n l) Хогда уравнение (17.4) будет выглядеть как.

которое вместе с соотношениями, описывающими связь Xi друг с другом.

образует систему дифференциальных уравнений первого порядка.

эквивалентную 2 исходному уравнению (17.4). Аналогично, если в системе уравнений (17.3) переобозначить все функции ж* и все их производные, кроме производных старшего порядка, через новые; переменные г/j, то получим систему дифференциальных уравнений вида.

где из т — п + пг + • •? + п_р уравнений р штук уравнения (17.3) в новых обозначениях, а остальные соотношения типа (17.5), описывающие связи между соседними производными, обозначенными теперь через различные xjj.

В дальнейшем мы будем предполагать, что система уравнений уже представлена в виде (17.7). При этом, чтобы не использовать лишних переобозначений, мы оставим за неизвестными функциями, относительно которых записано уравнение, обозначение ж, за правыми частями уравнений /;(…), а размерность системы (количество уравнений, оно же количество неизвестных) будем обозначать через п.