Реферат расширение множества натуральных чисел целые рациональные действительные комплексные

Обновлено: 02.07.2024

2. Рациональное число как класс эквивалентных дробей.

3. Арифметические действия над рациональными числами. Сумма, произведение, разность, частное рациональных чисел. Законы сложения и умножения.

Действительные числа - не последние в ряду различных чисел. Процесс, начавшийся с расширения множества натуральных чисел, продолжается и сегодня - этого требует развитие различных наук и самой математики.

Знакомство учащихся с дробными числами происходит, как правило, в начальных классах. Затем понятие дроби уточняется и расширяется в средней школе. В связи с этим учителю необходимо владеть понятием дроби и рационального числа, знать правила выполнения действий над рациональными числами, свойства этих действий. Все это нужно не только для того, чтобы математически грамотно ввести понятие дроби и обучать младших школьников выполнять с ними действия, но и, что не менее важно, видеть взаимосвязи множеств рациональных и действительных чисел с множеством натуральных чисел. Без их понимания нельзя решить проблему преемственности в обучении математике в начальных и последующих классах школы.

Отметим особенность изложения материала данного параграфа, которая обусловлена как небольшим объемом курса математики для учителей начальных классов, так и его назначением: материал будет представлен во многом конспективно, часто без строгих доказательств; более подробно будет изложен материал, связанный с рациональными числами.

Расширение множества N натуральных чисел будет происходить в такой последовательности: сначала строится множество Q+ положительных рациональных чисел, затем показывается, как его можно расширить до множества R+ положительных действительных чисел, и, наконец, очень кратко описывается расширение множества R+ до множества R всех действительных чисел.
94. Понятие дроби

Пусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е (рис. 128). При измерении оказалось, что отрезок х состоит из трех отрезков, равных е, и отрезка, который короче отрезка е. В этом случае длина отрезка х не может быть выражена натуральным числом.

Рис. 128
Однако если отрезок е разбить на 4 равные части, то отрезок х окажется состоящим из 14 отрезков, равных четвертой части отрезка е. И тогда, говоря о длине отрезка х, мы должны указать два числа 4 и 14: четвертая часть отрезка е укладывается в отрезке точно 14 раз. Поэтому условились длину отрезка х записывать в виде ∙Е , где Е - длина единичного отрезка е, а символ называть дробью.

В общем виде понятие дроби определяют так.

В записи дроби числа m и n - натуральные, m называется числителем, n - знаменателем дроби.

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

Вернемся к рисунку 128, где показано, что четвертая часть отрезка уложилась в отрезке х точно 14 раз. Очевидно, это не единственный вариант выбора такой части отрезка е, которая укладывается в отрезке х целое число раз. Можно взять восьмую часть отрезка е, тогда отрезок х будет состоять из 28 таких частей и его длина будет выражаться дробью 28/8. Можно взять шестнадцатую часть отрезка е, тогда отрезок х будет состоять из 56 таких частей и его длина будет выражаться дробью 56/16.

Вообще длина одного и того же отрезка х при заданном единичном отрезке е может выражаться различными дробями, причем, если длина выражена дробью , то она может быть выражена и любой дробью вида , где к - натуральное число.

Теорема. Для того чтобы дроби и выражали длину одного и того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство mq = пр.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Определение. Две дроби m/n и p/q называются равными, если mq= n p.

Если дроби равны, то пишут m/n = p/q .

Например, 17/3 = 119/21, так как 17∙21 = 119∙3 = 357, а 17/19 23/27, потому что 17∙27 = 459, 19∙23 = 437 и 459 ¹ 437.

Из сформулированных выше теоремы и определения следует, что две дроби равны тогда и только тогда, когда они выражают длину одного и того же отрезка.

Нам известно, что отношение равенства дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Теперь, используя определение равных дробей, это можно доказать.
Теорема. Равенство дробей является отношением эквивалентности.

Доказательство. Действительно, равенство дробей рефлексивно: = , так как равенство

m/n = m/n справедливо для любых натуральных чисел т и п. Равенство дробей симметрично: если = , то = , так как из тq= пр следует, что рп = qт (т, п, р, qÎN).

Оно транзитивно: если = и = , то = . В самом деле, так как, то тq= пр, а так как = , то рs= qr. Умножив обе части равенства тq= пр наs, а равенства рs= qr на п, получим тqs = прs и прs= qrп. Откуда тqs =qrп или тs = пr. Последнее равенство означает, что = . Итак, равенство дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно, следовательно, оно является отношением эквивалентности.
Из определения равных дробей вытекает основное свойство дроби. Напомним его.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.

Сокращение дробей - это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробь называют несократимой. Например, - несократимая дробь, так как ее числитель и знаменатель делятся одновременно только на единицу, т.е. D(5, 17) = 1.

Приведение дробей к общему знаменателю - это замена данных дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели. Общим знаменателем двух дробей и является общее кратное чисел п и q, а наименьшим общим знаменателем - их наименьшее кратное К(п, q).

Задача. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби и .

Решение. Разложим числа 15 и 35 на простые множители: 15 = 3∙5, 35 = 5∙7. Тогда К(15, 35) = 3∙5∙7= 105. Поскольку 105= 15∙7 = 35∙3, то ==, ==

1. Известно, что длина отрезка х при единичном отрезке е выражается дробью . Как могла получиться такая дробь при измерении длины отрезка х? Существуют ли другие дроби, выражающие длину отрезка х при том же единичном отрезке е?

2. Выберите единицу длины и постройте отрезок, длина которого выражается дробью: а) 15/4; б) 17/3; в) 4/7 .

3. Как установить, равны ли дроби:

На множестве дробей í, , , , , ý задано отношение равенства. Постройте граф этого отношения. Каковы особенности этого графа? С чем они связаны?
Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю.

а) 108/144, б) 402/455, в) 780/2730.

95. Положительные рациональные числа
Отношение равенства является отношением эквивалентности на множестве дробей, поэтому оно порождает на нем классы эквивалентности. В каждом таком классе содержатся равные между собой дроби. Например, множество дробей í, , , , …ý - это один класс, множество дробей í, , , , …ý - это другой класс и т.д.

Дроби одного класса выражают длину одного и того же отрезка. Но длина отрезка должна представляться единственным числом. Поэтому считают, что равные дроби - это различные записи одного и того же положительного рационального числа.
Определение. Положительным рациональный числом называется класс равных дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись (представление) этого числа.

Например, о дроби мы должны говорить, что она является записью некоторого рационального числа. Однако часто для краткости говорят: это рациональное число.

Множество всех положительных рациональных чисел принято обозначать символом Q+. Определим на этом множестве отношение равенства.

Определение. Если положительное рациональное число а представлено дробью, а положительное рациональное число b - другой дробью , то а = b тогда и только тогда, когда

mq = пр.
Из данного определения следует, что равные рациональные числа представляются равными дробями. Среди всех записей любого положительного рационального числа выделяют дробь, которая является несократимой, и доказывают, что любое рациональное число представимо единственным образом несократимой дробью (мы это доказательство опускаем). Для того чтобы рациональное число представить несократимой дробью, достаточно числитель m и знаменатель n разделить на их наибольший общий делитель.

Выясним теперь, как определяются арифметические действия с положительными рациональными числами.

Пусть при некотором единичном отрезке е длина отрезка х выражается дробью , а длина отрезка у – дробью , и пусть отрезок z состоит из отрезков х и у. Тогда n-ая часть отрезка е укладывается в отрезке zm + p раз, т.е. длина отрезка z выражается дробью .

Поэтому полагают, что + =.

Определение. Если положительное рациональное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b - дробью , то их суммой называется число а + b, которое представляется дробью .

Таким образом, по определению

Можно доказать, что при замене дробей и , представляющих числа а и b, равными им дробями, дробь заменяется равной ей дробью. Поэтому сумма рациональных чисел не зависит от выбора представляющих их дробей.

В определении суммы рациональных чисел мы использовали их представления в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если же числа а и b представлены дробями с различными знаменателями, то cначала надо привести их к одному знаменателю, а затем применять правило (1).

Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно,

("а, bÎQ+) а + b = b + а;

("а, b, сÎQ+) (а + b)+ с = а + (b + с).
Коммутативность сложения положительных рациональных чисел вытекает из коммутативности сложения натуральных чисел.

Прежде чем сформулировать определение умножения положительных рациональных чисел, рассмотрим следующую задачу: известно, что длина отрезка X выражается дробью при единице длины Е, а длина единичного отрезка измерена при помощи единицы Е₁ и выражается дробью . Как найти число, которым будет представлена длина отрезка X, если измерить ее при помощи единицы длины Е₁?

Так как Х = ∙ Е , то п∙Х = m∙Е , а из того, что Е = ∙Е₁ следует что q∙Е = р∙Е₁. Умножим первое полученное равенство на q, а второе – на m. Тогда (пq)∙Х = (mq) ∙Е и (mq) ∙Е = (mq) ∙ Е₁, откуда (пq)Х= (тр)Е₁ . Это равенство показывает, что длина отрезка х при единице длины Е₁

выражается дробью , а значит, • = , т.е. умножение дробей связано с переходом от одной единицы длины к другой при измерении длины одного и того же отрезка.

Большинство применений математики связано с измерением величин. Однако для этих целей натуральных чисел недостаточно: не всегда единица величины укладывается целое число раз в измеряемой величине. Чтобы в такой ситуации точно выразить результат измерения, необходимо расширить запас чисел, введя числа, отличные от натуральных. К этому выводу люди пришли еще в глубокой древности: измерение длин, площадей, масс и других величин привело сначала к возникновению дробных чисел - получили рациональные числа, а в V в до н.э. математиками школы Пифагора было установлено, что существуют отрезки, длину которых при выбранной единице длины нельзя выразить рациональным числом. Позднее, в связи с решением этой проблемы, появились числа иррациональные. Рациональные и иррациональные числа назвали действительными. Строгое определение действительного числа и обоснование его свойств было дано в XIX в.

Взаимосвязи между различными множествами чисел (N, Z, Q и R) можно изобразить наглядно при помощи кругов Эйлера (рис 26).

Действительные числа – не последние в ряду различных чисел. Процесс, начавшийся с расширения множества натуральных чисел, продолжается и сегодня – этого требует развитие различных наук и самой математики.

Расширение множества N натуральных чисел будет происходить в такой последовательности: сначала строится множество положительных рациональных чисел, затем показывается, как его можно расширить до множества положительных действительных чисел, и, наконец, описывается расширение множества до множества R всех действительных чисел.

Действительные числа

Одним из источников появления десятичных дробей является деление натуральных чисел, другим – измерение величин. Выясним, например, как могут получиться десятичные дроби при измерении длины отрезка.

Пусть x – отрезок, длину которого надо измерить, e – единичный отрезок (рис.29). Длину отрезка x обозначим буквой X, а длину отрезка e – буквой E.

Пусть отрезок x состоит из n отрезков равных e, и отрезка , который короче отрезка e (рис.) т.е. . Числа n и n+1 есть приближенные значения длины отрезка x при единице длины E с недостатком и с избытком с точностью до 1.

Чтобы получить ответ с большей точностью, возьмем отрезок – десятую часть отрезка e и будем укладывать его в отрезке . При этом возможный два случая.

1) Отрезок уложился в отрезке точно n раз. Тогда длина n отрезка x выражается конечной десятичной дробью: . Например, .

2) Отрезок оказывается состоящим из n отрезков, равных , и отрезка , который короче отрезка . Тогда , где и - приближенные значения длины отрезка x с недостатком и с избытком с точностью до 0,1.

Ясно, что во втором случае процесс измерения длины отрезка x можно продолжать, взяв новый единичный отрезок - сотую часть e.

На практике этот процесс измерения длины отрезка на каком-то этапе закончится. И тогда результат измерения длины отрезка будет либо натуральное число, либо конечная десятичная дробь. Если же представить этот процесс измерения длины отрезка в идеале (как и делают в математике), то возможны два исхода:

1) На k-том шагу процесс измерения окончится. Тогда длина отрезка x выразится конечной десятичной дробью вида .

2) Описанный процесс измерения длины отрезка x продолжается бесконечно. Тогда отчет о нем можно представить символом , который называют бесконечной десятичной дробью.

Как убедиться в возможности второго исхода? Для этого достаточно произвести измерение длины такого отрезка, для которого известно, что его длина выражена, например, рациональным числом . Если бы оказалось, что в результате измерения длины такого отрезка получается конечная десятичная дробь, то это означало бы, что число можно представить в виде конечной десятичной дроби, что невозможно: .

Итак, при измерении длин отрезков могут получиться бесконечные десятичные дроби. Но всегда ли эти дроби периодические? Ответ на этот вопрос отрицателен: существуют отрезки, длины которых нельзя выразить бесконечной периодической дробью (т.е. положительным рациональным числом) при выбранной единице длины. Это было важнейшим открытием в математике, из которого следовало, что рациональных чисел недостаточно для измерения отрезков.

Теорема. Если единицей длины является длина стороны квадрата, то длина диагонали этого квадрата не может быть выражена положительным рациональным числом.

Доказательство. Пусть длина стороны квадрата выражается числом 1. Предположим противное тому, что надо доказать, т.е., что длина диагонали AC квадрата ABCD выражается несократимой дробью . Тогда по теореме Пифагора, выполнялось бы равенство . Из него следует, что . Значит, - четное число, тогда и число m – четно (квадрат нечетного числа не может быть четным). Итак, . Заменив в равенстве число m на 2p, получаем, что , т.е. . Отсюда следует, что четно, следовательно, n – четное число. Таким образом, числа m и n четны, значит, дробь можно сократить на 2, что противоречит предположению о ее несократимости. Установленное противоречие доказывает, что если единицей длины является длина стороны квадрата, то длину диагонали этого квадрата нельзя выразить рациональным числом.

Из доказанной теоремы следует, что существуют отрезки, длины которых нельзя выразить положительным числом (при выбранной единице длины), или, другими словами, записать в виде бесконечной периодической дроби. И значит, получаемые при измерении длин отрезков бесконечные десятичные дроби могут быть не периодическими.

Считают, что бесконечные непериодические десятичные дроби являются записью новых чисел – положительных иррациональных чисел. Так как часто понятия числа и его записи отождествляют, то говорят, что бесконечные непериодические десятичные дроби – это и есть положительные иррациональные числа.

Мы пришли к понятию положительного иррационального числа через процесс измерения длин отрезков. Но иррациональные числа можно получить и при извлечение корней из некоторых рациональных чисел. Так, , , - это иррациональные числа. Иррациональными являются также lg 5, sin 31, числа π=3,14…, e=2,7828… и другие.

Множество положительных иррациональных чисел обозначают символом J+.

Объединение двух множеств чисел: положительных рациональных и положительных иррациональных называют множеством положительных действительных чисел и обозначают R+. Таким образом, Q+ J+ = R+.

Любое положительное действительное число может быть представлено бесконечной десятичной дробью – периодической (если оно является рациональным), либо непериодической (если оно является иррациональным).

Действия над положительными действительными числами сводится к действиям над положительными рациональными числами.

Для этого надо ввести понятие приближенного значения действительного числа по недостатку и по избытку.

Пусть a=n, n1 n2… nk… - некоторое действительное число. Приближенным значением числа a по недостатку с точностью до называется число ak=n, n1 n2… nk (т.е. приближенное значение числа a по недостатку получается, если взять целую часть и первые k цифр после запятой, а все остальные цифры отбросить).

Приближенным значением числа a=n, n1 n2… nk… по избытку с точностью до называется число =n, n1 n2… nk+ (т.е. приближенное значение числа a по избытку получается, если в записи n, n1 n2… nk последнюю цифру увеличить на 1).

Для любого действительного числа a справедливо неравенство ak a

© 2014-2022 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.021)

Натуральные числа определение – это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа:

Это натуральный ряд чисел.
Ноль натуральное число? Нет, ноль не является натуральным числом.
Сколько натуральных чисел существует? Существует бесконечное множество натуральных чисел.
Каково наименьшее натуральное число? Единица — это наименьшее натуральное число.
Каково наибольшее натуральное число? Его невозможно указать, ведь существует бесконечное множество натуральных чисел.

Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b:

с — это всегда натуральное число.

Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b:

с — это всегда натуральное число.

Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе — нет.

Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b

где с — натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a — делимое, b — делитель, c — частное.

Делитель натурального числа — это натуральное число, на которое первое число делится нацело.

Каждое натуральное число делится на единицу и на себя.

Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь имеется ввиду делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа.

Единицу не считают простым числом.

Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел:

Единицу не считают составным числом.

Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа.

Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N.

Свойства сложения и умножения натуральных чисел:

переместительное свойство сложения

сочетательное свойство сложения

переместительное свойство умножения

сочетательное свойство умножения

распределительное свойство умножения

Целые числа

Целые числа — это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным.

Числа, противоположные натуральным — это целые отрицательные числа, например:

Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.

Рациональные числа

Рациональные числа — это целые числа и дроби.

Любое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби. Примеры:

Из примеров видно, что любое целое число есть периодическая дробь с периодом ноль.

Любое рациональное число может быть представлено в виде дроби m/n, где m целое число,n натуральное число. Представим в виде такой дроби число 3,(6) из предыдущего примера:

Другой пример: рациональное число 9 может быть представлено в виде простой дроби как 18/2 или как 36/4.

Ещё пример: рациональное число -9 может быть представлено в виде простой дроби как -18/2 или как -72/8.

Множество рациональных чисел обозначается латинской буквой Q.

Подробнее о рациональных числах в разделе Рациональные числа.

Иррациональные числа

Иррациональные числа — это бесконечные непериодические десятичные дроби. Примеры:

Читайте также: