Реферат прямоугольная система координат

Обновлено: 05.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

ООО Учебный центр

Реферат по дисциплине:

Исполнитель: Яцентюк Ольга Александровна

Москва 2018 год.

1.Системв координат применяемые в топографии

2.Определение географических координат

3.Определение прямоугольных координат

Система координат необходима для определения расстояний и направлений на земле. Географическая система координат, использующая широту и долготу, хороша для определения положений объектов, расположенных на сферической поверхности Земли или промежуточном глобусе ( reference globe ). Поскольку чаще всего мы будем иметь дело с двухмерными картами, спроецированными с этого глобуса, нам потребуется одна или несколько систем координат, соответствующих различным проекциям. Такие системы координат на плоскости называются картографическими (геодезическими) прямоугольными системами координат,они позволяют нам точно указывать положение объектов на плоских картах.

Декартова система координат. Классическая система прямоугольных координат. Каждая точка определяется парой величин — координатой Х (абсциссой) и координатой Y (ординатой).

1. Системы координат, применяемые в топографии

Координатами называются угловые и линейные величины (числа), определяющие положение точки на какой-либо поверхности или в пространстве.Существует много различных систем координат, которые находят широкое применение в различных областях науки и техники.

В топографии применяют такие системы координат, которые позволяют наиболее просто и однозначно определять положение точек земной поверхности как по результатам непосредственных измерений на местности, так и с помощью карт. К числу таких систем относятся географические, плоские прямоугольные, полярные и биполярные координаты.

В системе географических координат положение любой точки земной поверхности относительно начала координат определяется в угловой мере. За начало у нас и в большинстве других государств принята точка пересечения начального (Гринвичского) меридиана с экватором. Являясь, таким образом, единой для всей нашей планеты, система географических координат удобна для решения задач по определению взаимного положения объектов, расположенных на значительных расстояниях друг от друга. Поэтому в военном деле эту систему используют главным образом для ведения расчетов, связанных с применением боевых средств дальнего действия, например баллистических ракет, авиации и др.

Система плоских прямоугольных координат является зональной; она установлена для каждой шестиградусной зоны, на которые делится поверхность Земли при изображении ее на картах в проекции Гаусса, и предназначена для указания положения изображений точек земной поверхности на плоскости (карте) в этой проекции.

Началом координат в зоне является точка пересечения осевого меридиана с экватором, относительно которой и определяется в линейной мере положение всех остальных точек зоны. Начало координат зоны и ее координатные оси занимают строго определенное положение на земной поверхности. Поэтому система плоских прямоугольных координат каждой зоны связана как с системами координат всех остальных зон, так и с системой географических координат.

Применение линейных величин для определения положения точек делает систему плоских прямоугольных координат весьма удобной для ведения расчетов как при работе на местности, так и на карте. Поэтому в войсках эта система находит наиболее широкое применение. Прямоугольными координатами указывают положение точек местности, своих боевых порядков и целей, с их помощью определяют взаимное положение объектов в пределах одной координатной зоны или на смежных участках двух зон.

Системы полярных и биполярных координат являются местными системами. В войсковой практике они применяются для определения положения одних тачек относительно других на сравнительно небольших участках местности, например при целеуказании, засечке ориентиров и целей, составлении схем местности и др. Эти системы могут быть связаны с системами прямоугольных и географических координат.

Система плоских полярных координат состоит из точки О — начало координат, или полюса, и начального направления ОР, называемого полярной осью. Положение точки М на местности или на карте в этой системе определяется двумя координатами: углом положения Q, который измеряется по ходу часовой стрелки от полярной оси до направления на определяемую точку М (от 0 до 360°), и расстоянием OM=D.

В зависимости от решаемой задачи за полюс принимают наблюдательный пункт, огневую позицию, исходный пункт движения и т. п., а за полярную ось - географический (истинный) меридиан, магнитный меридиан (направление магнитной стрелки компаса) или же направление на какой-либо ориентир.

Система плоских биполярных (двухполюсных) координат состоит из двух полюсов А и В и общей оси АВ, называемой базисом или базой засечки. Положение любой точки М относительно двух данных на карте (местности) точек А и В определяется координатами, которые измеряются на карте или на местности.

Этими координатами могут служить либо два угла положения, определяющих направления с точек А и В на искомую точку М, либо расстояния D1=AМ и D2=BM до нее. Углы положения при этом, как показано на рис. 17, измеряются в точках А и В или от направления базиса (т. е. ÐА=ВАМ и ÐB=ABM) или от других каких-либо направлений, проходящих через точки Л и В и принимаемых за начальные. Например, на рис. 17 место точки М определено углами положения Q1 н Q2, измеренными от направлений магнитных меридианов.

Указанные выше системы координат определяют плановое положение точек на поверхности земного эллипсоида. Чтобы определить положение точки на физической поверхности Земли, дополнительно к плановому положению указывают ее высоту (отметку) над уровнем моря. В СССР счет высот ведется от среднего уровня Балтийского моря, от нульпункта Кронштадтского водомерного поста. Высоты точек земной поверхности над уровнем моря называются абсолютными, а их превышения над какой-либо другой точкой — относительными.

2. Определение географических координат

Различают географические координаты, полученные из наблюдений небесных светил, называемые астрономическими, и из геодезических измерений земной поверхности, называемые геодезическими.

Астрономические координаты определяют положение точек местности на поверхности геоида (рис. 1 и 2), на которую эти точки проектируются отвесными линиями с физической поверхности Земли.

Геодезические координаты указывают положение точек на поверхности земного эллипсоида, куда они проектируются нормалями к этой поверхности.

При создании топографических карт применяются преимущественно геодезические координаты. Поэтому, говоря о географических координатах, в дальнейшем будем иметь в виду лишь геодезические координаты.

Географическими координатами какой-либо точки, например М (рис. 18), являются ее широта В и долгота L.

Широта точки — угол, составленный плоскостью экватора и нормалью к поверхности земного эллипсоида, проходящей через данную точку. Счет широт ведется по дуге меридиана в обе стороны от экватора, от 0 до 90°. Широты точек северного полушария называются северными, а южного — южными.

Долгота точки — двугранный угол между плоскостью начального (Гринвичского) меридиана и плоскостью меридиана данной точки. Счет долгот ведется по дуге экватора или параллели в обе стороны от начального меридиана, от 0 до 180°. Долготы точек, расположенных к востоку от Гринвича до 180°, называются восточными, а к западу — западными.

По топографическим картам масштабов 1:25000 — 1:200000 географические координаты определяют с помощью шкал, имеющихся на рамке каждого листа (рис. 19). Цена деления шкал на картах масштабов 1:25000 — 1:100000 равна 10", а на карте масштаба 1 : 200000 — Г. Для определения географических координат по склеенной карте внутри рамки каждого листа проставлены короткие черточки, показывающие выходы меридианов и параллелей внутрь листа с интервалом через V.

На картах масштабов 1:500000 (рис. 20) и 1:1000000 кроме шкал на рамках имеются и сами линии меридианов и параллелей, образующие сетку географических координат (географическую сетку).

Оцифровка шкал и линий сетки географических координат показана на рис. 19 и 20.

Чтобы определить широту какой-либо точки, например точки М, по карте масштабов 1 : 25 000 — 1 : 200 000 (рис. 19), надо приложить линейку к этой точке так, чтобы она проходила через одноименные деления (или их доли) на шкалах западной и восточной сторон рамки, и по одной из этих шкал сделать отсчет. Аналогично, пользуясь шкалами северной и южной сторон рамки определяют и долготу точки.

При определении географических координат по карте масштаба 1:500000 или 1:1000000 вместо шкал на рамке карты линейку прикладывают к одноименным делениям (или их долям), находящимся на меридианах (параллелях), ближайших к определяемой точке (рис. 20).

3. Определение прямоугольных координат.

Особенности системы плоских прямоугольных координат, применяемой в топографии. За оси координат (рис. 21) в этой системе приняты изображение осевого меридиана координатной зоны — ось абсцисс Х и изображение экватора — ось ординат Y.

Оси координат делят зону на четверти, счет которых ведется по ходу часовой стрелки от положительного направления оси X. За положительное направление осей принимают: для оси абсцисс — направление на север, для оси ординат — на восток.

Положение какой-либо точки, например М, указывается ее расстоянием от осей координат: абсциссой х и ординатой у.

Чтобы не иметь дела с отрицательными ординатами, условились значение ординаты у осевого меридиана каждой зоны принимать равным 500 км. Этим самым ось Х как бы переносят к западу от осевого меридиана на 500 км.

Так как в каждой зоне числовые значения ординат повторяются, то для того чтобы по координатам точки можно было определить, к какой зоне она относится, к значению ординаты слева приписывается номер зоны.

Прямоугольная координатная сетка на топографических картах. На всех листах карт (кроме карты масштаба 1:1000000) имеется сетка квадратов (рис. 19), которую называют прямоугольной координатной сеткой.

Линии сетки (рис. 22) проведены параллельно осям координат через 2 см на картах масштабов 1 : 50 000 — 1 : 500 000 и через 4 см на карте масштаба 1 : 25 000, что соответствует целому числу километров на местности. Поэтому прямоугольную координатную сетку называют также километровой, а ее линии — километровыми.

Координатная сетка используется для определения прямоугольных координат точек, отыскания на карте местоположения различных объектов при докладах, постановке задач, составлении донесений, для быстрой глазомерной оценки расстояний, площадей, определения направлений и ориентирования карты.

Километровые линии , ближайшие к углам рамки листа карты, подписываются полным числом километров, остальные — сокращенно, последними двумя цифрами. Таким образом, подпись 5588 (рис. 19) у крайней снизу горизонтальной линии означает, что эта линия проходит в 5588 км к северу от экватора. Подпись 6394 у крайней слева вертикальной километровой линии означает, что она находится в шестой зоне и проходит в 394 км от начала счета ординат, т. е. на 106 км западнее осевого меридиана зоны.

В том случае, когда приходится пользоваться картой в сложенном виде, определить числовое значение километровых линий можно по подписям, расположенным внутри листа у пересечений горизонтальных линий с вертикальными (рис. 19).

Дополнительная сетка на стыке координатных зон. Так как вертикальные километровые линии параллельны осевому меридиану своей зоны, а осевые меридианы соседних зон между собой не параллельны, то при смыкании сеток двух зон линии одной из них расположатся под углом к линиям другой. Вследствие этого при работе на стыке зон могут возникнуть затруднения с использованием координатных сеток, так как они будут относиться к разным осям координат.

Чтобы устранить это неудобство, в каждой зоне на всех листах карт, расположенных в пределах 2° к востоку и западу от границы зоны, обозначена координатная сетка смежной зоны. Чтобы не затемнять такие листы карты, эта сетка показана на карте лишь ее выходами за рамку листа (рис. 23). Ее оцифровка представляет собой продолжение нумерации километровых .линий смежной зоны.

Километровой сеткой смежной зоны пользуются тогда, когда работа ведется с листами карт на стыке двух зон и требуется пользоваться на всех этих листах единой системой координат. Эту сетку проводят карандашом на листах карт одной из этих зон, соединяя по линейке противоположные концы одноименных километровых (вертикальных и горизонтальных) линий сетки соседней зоны.

Использование километровой сетки для определения прямоугольных координат точек и нанесения на карту точек по их координатам. Чтобы указать приближенное местоположение какого-либо пункта на карте, достаточно назвать квадрат сетки, в котором он расположен. Для этого сначала читают (называют) оцифровку горизонтальной километровой линии, образующей южную сторону квадрата, а затем вертикальной линии, образующей его западную сторону, т. е. сначала абсциссу, а затем ординату юго-западного угла квадрата.

Для более точного указания положения какой-либо точки определяют ее координаты. Для этого к координатам южной и западной линий квадрата, в котором она находится, добавляют расстояния до определяемой точки от этих линий, записывая отдельно абсциссу х и ординату у точки.

Определяя, например, координаты точки Л (рис. 24), сначала записывают абсциссу нижней километровой линии квадрата, в котором находится эта точка (т. е. 78). Затем измеряют по масштабу (расстояние (по перпендикуляру) от точки А до этой километровой линии, т. е. отрезок т, и полученную величину (1,225км) добавляют к абсциссе линии. Так получается абсцисса х точки А.

Для получения ординаты у точки записывают ординату левой (вертикальной) стороны того же квадрата (т. е. 14) и затем добавляют к ней расстояние, измеренное по перпендикуляру от определяемой точки до этой линии, т. е. отрезок п (в нашем примере 1,365 км).

Таким образом, координаты точки Л будут

x =79225 м; у =15 365 м.

Так как в данном случае при определении координат точки цифровое обозначение километровых линий было записано не полностью а, лишь последними двумя цифрами (78 и 14), то такие координаты называют сокращенными координатами точки Л.

Если же оцифровку километровых линий записывать полностью, то получим полные координаты. Для точки Л:

x=6179225 м; у=8315365 м.

Если сокращенные подписи километровых линий на данном участке карты не повторяются, а потому положение объектов на нем определяется однозначно, то пользуются сокращенными координатами. В противном случае применяются полные координаты.

При определении координат точек по карте и нанесении точек на карту по координатам измерения выполняют циркулем или линейкой с миллиметровыми делениями. Для этой цели могут применяться также специальные координатомеры, которые несколько упрощают работу, заменяя циркуль и масштабную линейку.

Координатомеры (отдельно для карты масштаба 1:25000 и карты масштаба 1:50000) имеются, например, на артиллерийском целлулоидном круге АК-3 (рис. 27). Каждый из них представляет по площади квадрат километровой сетки на карте соответствующего масштаба, разбитый на более мелкие квадраты со сторонами по 200 м в масштабе карты. Наименьшее деление на координатомере, изготовленном в масштабе 1: 25 000, соответствует 20 м, в масштабе 1 : 50 000 — 50 м.

Точность измерения (отсчета) прямоугольных координат на карте по поперечному масштабу примерно равна ±0,2 мм, по миллиметровой линейке и координатомеру ±0,5 мм.

Координатная сетка на карте представляет собой сетку квадратов, образованных линиями, параллельными координатным осям зоны. Линии сетки проведены через целое число километров. Поэтому координатную сетку называют также километровой сеткой, а ее линии километровыми.

На карте 1:25000 линии, образующие координатную сетку, проведены через 4 см, то есть через 1 км на местности, а на картах 1:50000-1:200000 через 2 см (1,2 и 4 км на местности соответственно). На карте 1:500000 наносятся лишь выходы линий координатной сетки на внутренней рамке каждого листа через 2 см (10 км на местности). При необходимости по этим выходам координатные линии могут быть нанесены на карту.

На топографических картах значения абсцисс и ординат координатных линий подписывают у выходов линий за внутренней рамкой листа и девяти местах на каждом листе карты. Полные значения абсцисс и ординат в километрах подписываются около ближайших к углам рамки карты координатных линий и около ближайшего к северо-западному углу пересечения координатных линий. Остальные координатные линии подписываются сокращенно двумя цифрами (десятки и единицы километров). Подписи около горизонтальных линий координатной сетки соответствуют расстояниям от оси ординат в километрах.

Подписи около вертикальных линий обозначают номер зоны (одна или две первые цифры) и расстояние в километрах (всегда три цифры) от начала координат, условно перенесенного к западу от осевого меридиана зоны на 500 км. Например, подпись 6740 означает: 6 - номер зоны, 740 - расстояние от условного начала координат в километрах.

Декарт впервые ввел координатную систему, которая существенно отличалась от общепринятой в наши дни. Он использовал косоугольную систему координат на плоскости, рассматривая кривую относительно некоторой прямой с фиксированной системой отсчета. Положение точек кривой задавалось с помощью системы параллельных отрезков, наклонных или перпендикулярных к исходной прямой. Декарт не вводил второй координатной оси, не фиксировал направления отсчета от начала координат. Только в 18 в. сформировалось современное понимание координатной системы, получившее имя Декарта.

Прикрепленные файлы: 1 файл

матан.docx

Министерство образования и науки

ГБОУ СПО Поволжский

По теме : " Декартова система координат "

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ

ДЕКА́РТОВА СИСТЕ́МА КООРДИНА́Т, прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве (обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям). Названа по имени Р. Декарта (см. ДЕКАРТ Рене).
Декарт впервые ввел координатную систему, которая существенно отличалась от общепринятой в наши дни. Он использовал косоугольную систему координат на плоскости, рассматривая кривую относительно некоторой прямой с фиксированной системой отсчета. Положение точек кривой задавалось с помощью системы параллельных отрезков, наклонных или перпендикулярных к исходной прямой. Декарт не вводил второй координатной оси, не фиксировал направления отсчета от начала координат. Только в 18 в. сформировалось современное понимание координатной системы, получившее имя Декарта.
***
Для задания декартовой прямоугольной системы координат выбирают взаимно перпендикулярные прямые, называемые осями. Точка пересечения осей O называется началом координат. На каждой оси задается положительное направление и выбирается единица масштаба. Координаты точки P считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, на какую полуось попадает проекция точки P.

Двухмерная система координат
Декартовыми прямоугольными координатами точки P на плоскости в двухмерной системе координат называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до двух взаимно перпендикулярных прямых — осей координат или проекции радиус-вектора r точки P на две взаимно перпендикулярные координатные оси.
В двухмерной системе координат горизонтальная ось называется осью абсцисс (ось OX), вертикальная ось — осью ординат (ось ОY). Положительные направления выбирают на оси OX — вправо, на оси OY — вверх. Координаты x и y называются соответственно абсциссой и ординатой точки. Запись P(a,b) означает, что точка P на плоскости имеет абсциссу a и ординату b.

Трехмерная система координат
Декартовыми прямоугольными координатами точки P в трехмерном пространстве называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей или проекции радиус-вектора (см. РАДИУС-ВЕКТОР) r точки P на три взаимно перпендикулярные координатные оси.
Через произвольную точку пространства O — начало координат — проведены три попарно перпендикулярные прямые: ось OX (ось абсцисс), ось OY (ось ординат), ось OZ (ось аппликат).
На осях координат могут задаваться единичные вектора i, j, k по осям OX,OY, OZ соответственно.
В зависимости от взаимного расположения положительных направлений координатных осей возможны правая и левая координатные системы. Как правило, пользуются правой системой координат. В правой системе координат положительные направления выбирают следующим образом: по оси OX — на наблюдателя; по оси OY — вправо; по оси OZ — вверх. В правой системе координат кратчайший поворот от оси X к оси Y осуществляется против часовой стрелки; если одновременно с таким поворотом двигаться вдоль положительного направления оси Z, то получится движение по правилу правого винта.
Запись P(a,b,c) означает, что точка Р имеет абсциссу a, ординату b и аппликату c.
Каждая тройка чисел (a,b,c) задает единственную точку Р. Следовательно, прямоугольная декартова система координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством точек пространства и множеством упорядоченных троек действительных чисел.
Кроме координатных осей существуют также координатные плоскости. Координатными поверхностями, для которых одна из координат остается постоянной, здесь являются плоскости, параллельные координатным плоскостям, а координатными линиями, вдоль которых меняется только одна координата, — прямые, параллельные координатным осям. Координатные поверхности пересекаются по координатным линиям.
Координатная плоскость XOY содержит оси OX и OY, координатная плоскость YOZ содержит оси OY и OZ, координатная плоскость XOZ содержит оси OX и OZ.

Цель нашей работы: провести анализ литературы и изучить историю возникновения координат; показать использование программного обеспечения для построения точек на плоскости; рассмотреть использование координатной плоскости в практических целях и в жизни человека.

Собственный интерес автора к математическим открытиям французского математика, физика и философа Декарта является одной из центральных причин обращения к данной теме.

Актуальность темы исследования диктуется тем, что введённые в 17 веке Рене Декартом координаты на плоскости в настоящее время позволяют создавать на ней рисунки. Существует возможность использовать для этого программное обеспечение.

Задачи: - познакомиться с историей возникновения координат на плоскости;

- расширить область познания в рамках выбранной темы;

- создать рисунки на плоскости с указанными координатами точек.

Выводы:

- Рене Декарт ввел координатную прямую с положительными и отрицательными числами (1637 год), систему таких прямых;

- комбинации точек на плоскости, соединённые в определённом порядке, позволяют создавать рисунки;

- системы координат пронизывают всю практическую жизнь человека.

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ……… ….7

РЕНЕ ДЕКАРТ- ФИЛОСОФ, МАТЕМАТИК, ФИЗИК…………………… …. 9

2.2 Влияние Декарта на развитие науки и философии………………………11

РИСУНКИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ……………………………….….13

3.1 Стать художником может каждый……………………………………… 13

3.2 Использование программного обеспечения …………………….14

ПРИМЕНЕНИЕ КООРДИНАТ В ПРАКТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ЧЕЛОВЕКА………………………………………………………………………17

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ……………….…..21

На этих уроках мы поняли, что из абстрактных точек можно получить знакомый рисунок: изображали не только отдельные точки, отрезки, но и любые предметы, животных, растения, даже целые сюжеты.

Работа в прямоугольной системе координат предполагает ее вычерчивание, а построение единичного отрезка – работу с измерительными приборами, что позволяет сочетать зрительную и мыслительную деятельность.

Данная тема заинтересовала автора, который поставил перед собой следующие вопросы:

Зачем нужны координаты в жизни человека?
Кто ввел координаты и создал систему координат?
Какие построения можно выполнять в прямоугольной системе координат?
Можно ли для этого использовать компьютерные программы?
Как применяются координаты в практической деятельности человека?

Умение выполнять построения в прямоугольной системе координат от игровой формы в 6 классе переходит в применение полученных умений и навыков при построении графиков функций, рассматриваемых в курсе алгебры средней и старшей школы.

При написании исследовательской работы были использованы следующие методы научного исследования:

Цель нашей работы:

- провести анализ литературы и изучить историю возникновения координат;

- показать использование программного обеспечения для построения точек на плоскости;

- рассмотреть использование координатной плоскости в практических целях и в жизни человека.

Актуальность темы исследования диктуется тем, что введённые в 17 веке Рене Декартом координаты на плоскости в настоящее время позволяют создавать рисунки. Существует возможность использовать для этого программное обеспечение.

Задачи:

- познакомиться с историей возникновения координат на плоскости;

- расширить область познания в рамках выбранной темы;

- создать рисунки на плоскости с указанными координатами точек.

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

История возникновения координат и системы координат начинается очень давно. Первоначально идея метода координат возникла ещё в древнем мире в связи с потребностями живописи, с необходимостью определять положение светил на небе и определенных пунктов на поверхности Земли, при составлении календаря, звездных и географических карт. Следы применения идеи прямоугольных координат в виде квадратной сетки (палетки) изображены на стене одной из погребальных камер Древнего Египта. [7]

Древнегреческого ученого Анаксимандра Милетского (ок. 610-546 до н. э.) считают составителем первой географической карты. Он четко описывал широту и долготу места, используя прямоугольные проекции. Более чем за 100 лет до н.э греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести теперь хорошо известные географические координаты: широту и долготу, обозначая их числами.

С помощью этих двух чисел можно точно определить положение острова, поселка, горы или колодца в пустыне и нанести их на карту или глобус. Научившись определять в открытом море широту и долготу местонахождения корабля, моряки получили возможность выбирать нужное им направление.

Долгое время лишь география- "землеописание" - пользовалась этим замечательным изобретением, и только в 14 веке французский математик Никола Орсем (1323-1382) попытался приложить его к "землеизмерению" - геометрии. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой. [8]

Основная заслуга в создании метода координат принадлежит великому французскому математику Рене Декарту (1596 - 1650). В его честь такая система координат называется декартовой, обозначающая место любой точки плоскости расстояниями от этой точки до "нулевой широты" - оси абсцисс " и "нулевого меридиана" - оси ординат.

РИСУНКИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

3.1 Стать художником может каждый

Горизонтальная ось называется осью ОХ- абсцисс, вертикальная- осью OY- ординат. Место пересечения осей ОХ и OY называется началом координат, которое обозначают цифрой 0. Каждая точка на координатной плоскости имеет свой точный адрес. Это пара чисел: первое число по оси ОХ, второе — по оси OY. Эти числа называются координатами точки.[2]

В системе координат решаются две задачи:

построение точек на плоскости по заданным координатам;

нахождение координат точек, расположенных на плоскости.

Оказалось, что создание таких рисунков - интересное и увлекательное занятие. В свободное время я и мои друзья становимся художниками.

3.2 Использование программного обеспечения

Программа может работать в трёх режимах.

1-й режим. Построение точки.

2-й режим. Конкурс художников (режим конструктора).

Работа заключается в построении рисунка, а программа сама записывает координаты в координатное поле. При нажатии точки на координатной плоскости последние точки соединяются автоматически. Если есть необходимость не соединять соседние точки, необходимо нажать соответствующую кнопку Не соединять точки. Также существует кнопка Очистка, которая очищает координатную плоскость и координатное поле. Имеются компоненты выбора цвета точек и линий, изменения цвета фона и флажок включения и выключения подсказок.

Координатное поле можно редактировать. Для этого в координатном поле необходимо выбрать контекстное меню Режим редактирования.

Режим редактирования

После этого вид контекстного меню изменяется и координатное поле становится доступным для редактирования.

Для того, чтобы все изменения в координатном поле вошли в силу, необходимо нажать кнопку Построить.

Построенный рисунок можно сохранить или повторно открыть. Все файлы сохраняются с расширением *.кооr.

В дальнейшем построенные рисунки могут применяться в следующем режиме.

3-й режим. Конкурс художников (режим построения).

Большинство компонентов программы остались теми же, но теперь основной целью является построение рисунка по координатам точек. Первоначально ученик должен выбрать соответствующий файл с расширением *.кооr для построения.

Выбор файлов для построения

После выбора в координатном поле появляются координаты. Ученик последовательно строит данные точки, а программа проверяет правильность построения и выставляет оценку.

ПРИМЕНЕНИЕ КООРДИНАТ В ПРАКТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ЧЕЛОВЕКА

На координатной системе основаны многие способы указания места. Например, на билете в кинотеатр стоят два числа: ряд и место — их можно рассматривать как координаты места в зале.

Подобные координаты приняты в шахматах. Вместо одного из чисел берется буква: вертикальные ряды клеток обозначаются буквами латинского алфавита, а горизонтальные — цифрами. Таким образом, каждой клетке шахматной доски ставится в соответствие пара из буквы и числа, и шахматисты получают возможность записывать свои партии.

Тот же принцип применяется на планах городов. План города разбивают на квадраты, занумерованные с помощью букв и цифр, а на оборотной стороне перечисляют все изображенные улицы в алфавитном порядке и указывают, в каком квадрате они находятся.[10]

Существуют также координаты, задаваемые одним числом. Это координаты на прямой. Достаточно задать одно число - расстояние от точки до начала отсчета, чтобы указать на прямой положение этой точки. В жизни мы очень часто сталкиваемся с такими координатами. Например, железная дорога с километровыми столбами вдоль нее или номера домов на улице.

Системы координат пронизывают всю практическую жизнь человека.

Математика. Одна из важнейших сфер, где математика демонстрирует себя во всей своей силе,- это описание законов, решение задач. Применяя чертежи от самых простых до самых сложных, нельзя обойтись без той или иной системы координат.[6]

Информатика. Рисунки, схемы, чертежи, графики – графические формы представления информации. Метод кодирования – это один из удобных способов представления числовой информации с помощью графиков, которые строятся в различных системах координат.

Биология: построение схем молекул ДНК, построение диаграмм и графиков, прослеживающих эволюцию развития.

Медицина: – проведение медицинских исследований в области хирургии; - флюорография; - разнообразные снимки органов; - кардиология (кардиограммы).

Экономика. Разнообразные системы координат применяются для построения графика спроса и предложения, при графическом изображении разнообразных зависимых величин.[9]

Химия: – построение таблицы Менделеева (изменение показателей происходит в горизонтальной и вертикальной плоскости); - взаимное расположение молекул.

Инженерная графика. Координатные системы разных видов применяют для моделирования эскизов промышленных машин, оборудования, объектов на местности.[10]

В географии положение точек на земной поверхности также определяется двумя числами – географическими координатами: широтой и долготой, которые также записываются в круглых скобках. По аналогии с математикой получаем: широта – это абсцисса, долгота – это ордината.

Проведя анализ литературы, Интернет - ресурсов, мы изучили историю возникновения координат. Мы узнали, что первоначально идея метода координат возникла ещё в древнем мире в связи с потребностями живописи, с необходимостью определять положение светил на небе, при составлении календаря, звездных и географических карт.

Но Рене Декарт был не только математиком. Он внёс большой вклад и в развитие физики, философии.

Проанализировав справочную литературу, проведя опрос представителей различных профессий, мы узнали, что системы координат пронизывают всю практическую жизнь человека. Это и математика, и информатика, и биология, и медицина, а также – экономика, химия, инженерная графика, география. А это означает, что усвоив школьную программу о координатной плоскости, мы в будущем сможем выбрать и успешно овладеть одной из перечисленных профессий.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Боголюбов А. Н. Математики, механики: Биографический справочник - К.: Наукова думка, 1999, с. 161-163

2. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков С. И. Математика: Учебник для 6 кл. общеобразовательных учреждений.- М.: Мнемозина, 2002, с. 160

3. Глейзер Г.И. История математики в школе. - М., 1983, с. 157-160

4. Матвиевская Г.П. Рене Декарт. - М.: Просвещение, 1987, с. 158

5. Нешков К. И., Чесноков А. С. Дидактический материал по математике для 6 класса.-М.: Просвещение, 2002, 160 с.

6. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 кл. средней школы- 3 изд. – М.: Просвещение, 1992, с. 270-271.

7. Просветов Г. И. История математики -М.:Альфа-пресс, 2011, с. 96

8. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки. М.: Наука, 1987, с. 140

9. Математическая энциклопедия (в 5 томах). - М.: Советска Энциклопедия, 2002. - Т. 1, с. 149 10. Новейший справочник школьника/ Сост. Волин М.Д.- М.: ДОМ XXI век, 2008, с.330

11. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А.П. Савин.-М.: Педагогика, 1985, с. 151-152.

Работу выполнили: учащиеся 11 класса Глушко Виктория, Швыркин Максим, Колесников Евгений, Кайнак Василий, Шведко Сергей.

Актуальность:

Одна из основных целей учебно - исследовательской работы найти оптимальные способы решения стереометрических задач, которые встречаются при решении ЕГЭ: задач С2. Создать методическое пособие для подготовки к экзамену. А так же показать решения многих задач наиболее простым методом, приобрести навыки решения задач. Школьный курс геометрии не достаточно уделяет внимания применению векторных приемов при решении геометрических задач, хотя это один из универсальных и хорошо понятных методов ученику. Проанализировав результаты сдачи экзамена по математике нашей школы, мы увидели, что учащиеся 11 классов боятся решать геометрические задачи, особенно части С.

Если ребята берутся решать задания части С, то это в основном алгебраические задания. Надеемся, что наша коллективная учебно – исследовательская работа поможет нам повысить качество сдачи экзамена и научит нас и других учеников решать задания части С с наименьшими затратами времени, так как этот способ не содержит огромных вычислений, сложных преобразований, не перегружен формулами. Достаточно только хорошо знать и уметь выполнять действия с координатами точек и векторами.

Вложение	Размер
primenenie_metoda_koordinat_dlya_resheniya_zadaniy_chasti_s.rar	383.04 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальная бюджетная общеобразовательная школа-интернат

школа-интернат среднего (полного) общего образования с. Некрасовка

Учебно – исследовательская работа по теме:

Работу выполнили: учащиеся 11 класса

Глушко Виктория, Швыркин Максим,

Колесников Евгений, Кайнак Василий,

учитель математики Князева Е.С.

II. Основная часть

Кратко из теории.
Основные понятия теоретические и формулы.

III. Применение теоретического материала при решении задач части С2:

Задача на нахождение угла между плоскостями.
Нахождение угла между прямыми
Нахождение расстояния между прямыми
Нахождение угла между прямой и плоскостью
Нахождение расстояния от точки до плоскости

V.Список использованной литературы

Повысить свой теоретический уровень знаний;
Совершенствовать умения в координатной плоскости изображать фигуры и находить координаты точек;
Научиться применять координатно - векторный метод при решении различных задач.
Совершенствовать свои умения при выполнении действий над векторами и с помощью векторов.
Доказать, что с помощью прямоугольной системы координат многие стереометрические задачи решаются проще.
Подготовить себя к сдаче ЕГЭ.

%учащихся выполнивших части С

%учащихся выполнивших части С 2

Кроме прямоугольных систем координат существуют косоугольные системы. Прямоугольные и косоугольные координатные системы объединяются под названием декартовых систем координат . Иногда на плоскости применяют полярные системы координат, а в пространстве - цилиндрические или сферические системы координат.

Так, в своей деятельности географы предпочитают использовать полярную систему координат. Трудно переоценить значение декартовой системы координат в развитии математики и её приложений. Огромное количество задач, требует для решения геометрической интуиции, специфических методов, в аккуратном проведении алгебраических выкладок. Применение декартовой системы координат иногда упрощает решение геометрических задач. Заслуга в том, что мы пользуемся прямоугольной системой координат принадлежит Рене Декарту (31.03.1596 - 11.02.1650) - французский философ, физик, математик и физиолог.

Декартова прямоугольная система координат
(на плоскости).
Системой координат на плоскости называется совокупность двух пересекающихся взаимно перпендикулярных координатных осейОу и Ох. Каждая точка в системе координат определяется двумя координатами(х,у).Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной (или ортогональной ), или декартовой.В элементарной математике чаще всего рассматривается двухмерная декартова система координат; координаты обычно обозначаются латинскими буквами x , y и называются, соответственно, абсциссой, ординатой . Координатная ось OX называется осью абсцисс , ось OY – осью ординат. Положительные направления отсчета по каждой из осей обозначаются стрелками.

Декартова система координат в пространстве.

Состоит из трёх взаимно перпендикулярных осей Ох,Оу, Oz.

OZ-ось аппликат
точка их пересечения O – началом координат, а плоскости xOy , xOz и yOz – координатными плоскостями , взаимно перпендикулярными.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами

Метод координат — весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Основные формулы, которыми необходимо пользоваться при решении задач с применением координатного метода.

Расстояние между двумя точками.

А(x 1 ;y 1 ;z 1 ) и B(x 2 ;y 2 ;z 2 ).

Координаты середины отрезка AB:

А(x 1 ;y 1 ;z 1 ), B(x 2 ;y 2 ;z 2 ).

Точка М середина отрезка AB.

Косинус угла между ненулевыми векторами

и вычисляется по формуле:

Угол междупрямыми а и b

Углом между прямыми(скрещивающимися) в пространстве называется угол между любыми параллельными им пересекающимися прямыми. Этот угол равен углу между направляющими векторами данных прямых (и не превосходит 90 градусов).

Алгоритм нахождения угла между прямыми.

1) Задаем направление прямым(на каждой прямой выделяем направляющий вектор).

2) Определяем координаты векторов по соответствующим координатам их начал и концов (от координат конца вектора нужно вычесть координату начала).

3)Вычисляем по формуле косинус угла между векторами:

Для нахождения самого угла, нужно найти арккосинус полученного результата.

Угол между прямой и плоскостью.

Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, нужно найти угол между этой прямой и нормалью к плоскости.

Нормалью к плоскости называется любой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной к этой плоскости.

Допустим, что намзаданы прямая АВ и плоскость. Зададим координаты направляющему вектору прямой и нормали. Косинус угла между прямой и нормалью равен синусу угла между этой прямой и плоскостью. Угол между прямой и плоскостью вычисляется по следующей формуле:

,где угол -угол между прямой и плоскостью, -вектор нормали к плоскости

АВ > - направляющий вектор прямой

Угол между плоскостями

Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.

Величина двугранного угла принадлежит промежутку(0˚; 180˚)

Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0˚; 90˚].

Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0˚

Угол между двумя пересекающимися плоскостями можно вычислить:

как угол между нормалями по формуле или в координатной форме , где - вектор нормали плоскости А 1 х+В 1 у+С 1 z+D 1 =0, и

- вектор нормали плоскостиA 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0.

Уравнение плоскости в пространстве:

Точки, удовлетворяющие равенству Ах+Ву+Сz+D=0 образуют плоскость с нормалью . Коэффициент D отвечает за величину отклонения (параллельного сдвига) между двумя плоскостями с одной и той же заданной нормалью . Для того, чтобы написать уравнение плоскости нужно сначала найти ее нормаль, а затем подставить координаты любой точки плоскости вместе с координатами найденной нормали в уравнение Ах+Ву+Сz+D=0 и найти коэффициент или найти в плоскости 3 точки и их координаты и решить систему 3 – х уравнений.

Если плоскость проходит через начало координат, то D=0

Если плоскость пересекает оси координат в точках А, В, С, то

уравнение плоскости, где А, В, С длины отрезков на осях координат.

Составить уравнение плоскости, проходящей через 3 точки

А(-2;3;5), В(4;-3;0), С(0;6;-5) и найти координаты нормали.

Составим уравнение плоскости, подставив координаты точек в уравнение плоскости и решим систему уравнений.

- 2а + 3b + 5с + d = 0; 2a + 5c + 2d = 0; d = 5c – 6b

4a - 3b + d = 0; -2a + 9b + 2d = 0; 25c – 15b = 0

6d – 5c + d = 0; 6b – 5c + d = 0; 2a + 15 c – 12b = 0

cx + cy + cz – 5c = 0

15x + 10y + 6z – 30 = 0 - уравнение плоскости, n- координаты нормали.

Нахождение расстояния от точки до плоскости .

Расстояние от точки до плоскости , не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра опущенного из этой точки на плоскость.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо найти длину их общего перпендикуляра, для этого необходимо :

1) а) Провести через одну из скрещивающихся прямых плоскость, которая параллельна другой скрещивающейся прямой.

б) Опустить перпендикуляр из любой точки второй прямой на полученную плоскость. Длина этого перпендикуляра будет являться искомым расстоянием между прямыми.

2) Заключить обе прямые в параллельные плоскости и найти расстояние между параллельными плоскостями

3) а) Построить плоскость перпендикулярную одной прямой.

б) Построить проекцию другой прямой на эту плоскость

в) Найти длину перпендикуляра, проведенного из точки к данной проекции.

4) Координатно – векторный метод:

Найти координаты направляющих векторов прямых и воспользоваться условием :

a · PQ = 0 и b · PQ = 0, где PQ – направляющий вектор их общего перпендикуляра, а затем найти его длину.

Расстояние от точки М до плоскости α

вычисляется по формуле Р(М;α )= ⃒

где М(х 0 ;у 0 ;z 0 ) , плоскость α задана уравнением Ах+Ву+Сz+D=0

Рассмотрим применение теоретического материала при решении задач части С2.

Задача на нахождение угла между плоскостями.

В кубе АВСDА 1 В 1 С 1 с ребром 1.Найти косинус угла между плоскостью АD 1 В 1 и А 1 С 1 В.

Введем прямоугольную систему координат.

Зададим плоскости уравнениями, найдем координаты точек, задающих плоскости, зная, что уравнение плоскости имеет вид: Ах +By + Cz + D = 0, решим систему уравнений.

A + D = 0; A= - D; A + C + D = 0; 2C + D = 0;

C + D= 0; C= - D; A + B + D = 0; A = C;

A + B + C + D = 0 ; B= D; B + C + D = 0; B = -D – C;

- Dх + Dy – Dz + D = 0 : (- D) C = -

Воспользуемся формулой нахождения косинуса угла между плоскостями:

Ответ : Косинус угла между плоскостями .

В единичном кубе АВСDA 1 В 1 С 1 D 1 найдите угол между плоскостями АD 1 Е и D 1 FC, где точки Еи F-середины ребер А 1 В 1 и В 1 С 1 соответственно.

Введём прямоугольную систему координат. Тогда А (0;0;0), С(1;1;0), D 1 (1;0;1), E(0;0,5;1), F(0,5;1;1).

1) Решая систему

, составляем уравнение плоскости (АD 1 E): x+2y-z=0 .

2) плоскость CFD 1 :

отсюда находим уравнение 2x+y+z-3=0. Найдём искомый угол как угол между нормалями плоскостей.

Задача на нахождение угла между прямыми.

В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1 длина ребра 1. Точка D середина А 1 С 1 , точка Е середина ребра С 1 В 1 . Найти косинус угла между прямыми АD и СЕ.

Введем прямоугольную систему координат, найдем координаты точек:

А( 0; 0 ; 0) ; В 1 (0; 1 ; 1); С( ; ; 0) ; С 1 ( ; ; 1) ; А 1 (0; 0; 1) ; Е ( ; ; 1) ; D ( ; ; 1) ;

Зададим направление прямым AD и CE:

AD < 1>; СE < - ; 1>, воспользуемся формулой нахождение угла между прямыми.

Сos ( AD и CE ) = = = = 0,7

Задача на нахождение расстояния между прямыми

Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 длина ребра. Найти расстояние между диагоналями A 1 C и AD.

Предположим что FQ расстояние между прямыми AD и A 1 C, найдем координаты вектора FQ.

А(1;0;0); B(0;0;0) ;С(0;1;0) ; D(1;1;0); A 1 (1;0;1) ; CD

AD ; A 1 C. FQ=FC+CD+DQ, FQ=aA 1 C+CD+вAD,

Ответ : Расстояние между прямыми

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF длина ребра основания равна 1, а бокового ребра 2. Найдите расстояние между прямыми SB и FD.

Точка P лежит на прямой FD, точка K на прямой SB

Предположим , что PK- общий перпендикуляр. Рассмотрим PK :

Введем прямоугольную систему координат и найдем координаты точек :

F( ;- ;0) A( B( ;1;0) D(0;1;0) S( ; )

Найдем координаты векторов

Найдем координаты вектора PK < + +0- ; - + +1- ; b>;

Т.к. PK DF и PK BS то их скалярное произведение равно нулю

Решим уравнения и найдем переменные a и b

Задача на нахождение угла между прямой и плоскостью.

SABCDEF правильная шестиугольная пирамида FA=1; SA=2. Найти синус угла между прямой ВС и плоскостью SАF.

Введем прямоугольную систему координат, найдем координаты точек и составим уравнение плоскости.

А( ; 0; 0) A + D = 0 A = A =

F( ; - ; 0) A - + D=0 B = A + 2D B = D

S ( ; ; ;) A + + C + D=0 A + + C + D = 0 C =

х - y + z - = 0 уравнение плоскости AFS

Зададим направление прямой BC:

Задача на нахождение расстояния от точки до плоскости.

В правильной шестиугольной призме длина ребра равна 1. Найти расстояние от точки А до плоскости BFE 1 .

Введем прямоугольную систему координат.

Зададим уравнением плоскость BFE 1 по 3 точкам.

B ( 1;0) F( ;- ;0) E 1 (0;0;1)

Уравнение плоскости ВFE 1

И найдем расстояние от точки А до плоскости, подставив в формулу:

В кубе АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 проведена диагональ B 1 D. В каком отношении, считая от вершины B 1 , плоскостьА 1 BC 1 делит диагональB 1 D.

Составим уравнение плоскости А 1 BC 1 и найдём расстояние от этой плоскости до каждой из точек B 1 и D . Пусть 1 – ребро куба.

В(0;0;0), А 1 (1;0;1), С 1 (0;1;1)

Решив систему определяем, что уравнение плоскости имеет вид:

x+y–z=0 а=1, b=1, c= –1. B 1 (0;0;1),D(1;1;0).

Теперь найдём расстояние от каждой точки до плоскости по формуле

d 1 расстояние от точки D до плоскости.

d 2 расстояние от точки В1 d 1 : d 2

Методом координат можно находить не только углы и расстояния в пространстве, но и вычислять:

1) площади многоугольников (треугольника, параллелограмма), расположенных в заданной плоскости.

2) объемы простейших многогранников (параллелепипедов и пирамид).

Для понимания таких формул нужно изучить понятия координатно – векторного метода. В школьной программе не предусмотрено время для изучения векторных приемов вообще или дается обзором, однако ЕГЭ этого требует, особенно решение заданий части С. Отсюда мораль: учите координаты и умейте с ними работать. Расширенная подготовка к ЕГЭ по математике с изучением приемов аналитической геометрии даст мощное и универсальное средство для решения огромного класса задач типа С2.

Читайте также: