Реферат по математике на тему площадь

Обновлено: 07.05.2024

Площади фигур имеют огромное значение в геометрии, как в науке. Ведь площадь это одна из важнейших величин в геометрии. Без знания площадей невозможно решить множество геометрических задач, доказать теоремы, обосновать аксиомы. Площади фигур имели огромное значение много веков назад, но не утратили своего значения в современном мире. Понятия площадей используются во многих профессиях. Они применяются в строительстве, проектирование и во многих других видах деятельности человека. Из этого можно сделать вывод ,что без развития геометрии, в частности понятий о площадях, человечество не смогло бы такой большой прорыв в области наук и технике.

Список использованной литературы:

Поиск рефератов по алфавиту

2. Реферат: Платіжний баланс держави
Платіжний баланс - це один з головних документів будь-якої країни, оскільки в ньому знаходять своє узагальнююче вираження економічні зв'язки даної країни з іншими державами; на осн.

3. Реферат: Платіжний та торговельний баланси
Платіжний баланс — це категорія, в якій знаходять вартісний вираз зовнішньоекономічні відносини країни зі світом. У ньому відбиваються результати міжнародних економічних відносин. .

4. Реферат: Платон
Платон (427-347до н.е.), учень Сократа, виклав свої погляди на державу, демократію, політичні режими і форми правління у своїй відомомій роботі “Держава”. У своїх поглядах на д.

5. Реферат: Племена индоевропейского круга в Северном Причерноморье
Изучая научные исследования археологов, работающих в регионе Северного Прикаспия – Северного Причерноморья, мы увидели, что существуют два типа работ. Первый тип (наиболее обширный.

6. Реферат: Плодородие почв
С давних времен человек при использовании земли оценивал ее прежде всего с точки зрения способности производить урожай растений. Поэтому понятие плодородие почвы было известно еще .

7. Реферат: Плоскости и их проекции
1. Проекции плоскостей общего положения 2. Проекции плоскостей уровня Горизонтальная плоскость Фронтальная плоскость Профильная плоскость 3. Проекции проецирующих плоскостей .

8. Реферат: Плотность населения
Украина принадлежит к наиболее густонаселенным странам Европы. Средняя плотность населения — 86,3 чел. на 1км2. Наиболее густо заселены области Донбасса и Приднепровья (Донецка.

9. Реферат: Площади в геометрии
В Киевской Руси мер площади, как квадратных мер, судя по сохранившимся источникам, не было. Хотя, древнерусские зодчие и землемеры имели о них представление. Меры площади нужны бы.

11. Реферат: Площади фигур
Площади фигур имеют огромное значение в геометрии, как в науке. Ведь площадь это одна из важнейших величин в геометрии. Без знания площадей невозможно решить множество геометрическ.

12. Реферат: Плутон
ПЛУТОН, дев'ята від Сонця велика планета Сонячної системи. Деякі параметри планети Плутон рухається навколо Сонця по еліптичній орбіті зі значним ексцентриситетом, рівним 0,25, щ.

13. Реферат: Плутон-планета или астероид?
Далекая планета Солнечной системы, Плутон, - наименее изученная из всех планет. Она была открыта в марте 1930 года американским астрономом К. Томбо. Позже она была найдена и на бол.

14. Реферат: Побудова і редагування малюнка за допомогою графічного редактора Paint (лабораторна робота)
Побудова малюнка Для побудови малюнка слід у першу чергу вибрати основний колір і колір фону. Для вибору основного кольору (кольору фону) слід встановити курсор миші на потрібний .

15. Реферат: Побудова кривих регресій методом парабол
Лінійна залежність є найпростішою і в більшості випадків є початковим, першим наближенням до істини. Часто потрібно встановити більш адекватну залежність між компонентами наприкл.

17. Реферат: Побудова на основі натурних спостережень емпіричних формул лінійних залежностей методом найменших квадратів
Сучасна наука характеризується глибоким проникненням математичних методів в різні галузі природознавства. Істотно зростає роль математики в розвитку сучасної біології та екології. .

18. Реферат: Побудова перспективних зображень
Поняття перспективи. Усі предмети, які нас оточують (плоскі фігури, об’ємні тіла) мають певну форму, розмір і колір. Проте, розглядаючи предмети з різних точок і на різних відстаня.

19. Реферат: Поведение в чрезвычайных ситуациях
При дезактивации необходимо выполнить следующие меры: — обмести стены, потолок, мебель, все предметы щеткой (веником) и протереть все влажной тряпкой — мягкую мебель пропылесоси.

20. Реферат: Поведение животных при внутривидовых взаимоотношениях
Для животных, находящихся в естественных условиях, там, где они, как правило, окружены врагами, скопление в многочисленные группы, казалось бы, должно было увеличить их способность.

21. Реферат: Поведение человека в аварийных ситуациях
Страх — естественная реакция человека на всякую реальную или воображаемую ситуацию, угрожающую жизни или здоровью. Нельзя однозначно утверждать, что в аварийной ситуации страх толь.

В Киевской Руси мер площади, как квадратных мер, судя по сохранившимся источникам, не было. Хотя, древнерусские зодчие и землемеры имели о них представление.

Меры площади нужны были для определения размеров земельных участков. Участки же не всегда были четко разграничены, соприкасались друг с другом, имели межевые знаки.

Площади сенокосных участков оценивали копной (площадь луга, на которой можно накосить копну сена). Эти меры позволяли определить урожайность, а о форме и размерах земельных участков полного представления не давали.

Переход от четверти к десятине оказался затруднительным, т. к. в основе четверти лежало реальное засеваемое зерно, это было понятно всем, кроме того, в писцовых книгах было зафиксировано определение земельных площадей в четвертях.

площади мера доказательство формула

Площадь многоугольника и его свойства

Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения аналогично измерению длин отрезков. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Квадратным сантиметром обозначается см 2 . Аналогично определяется квадратный метр (м 2 ), квадратный миллиметр (мм 2 ) и т.д.

При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выражается положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике.

Обычно измеряют лишь некоторые связанные с многоугольником отрезки, а затем вычисляют площадь по определенным формулам.

Вывод этих формул основан на свойствах площадей, которые мы сейчас и рассмотрим.

Прежде всего отметим, что если два многоугольника равны, то единица измерения площадей и ее части укладываются в таких многоугольниках одинаковое число раз, т.е. имеет место следующее свойство:

1. Равные многоугольники имеют равные площади

Далее, пусть многоугольник составлен из нескольких многоугольников так, что внутренние области любых двух из этих многоугольников не имеют общих точек. Очевидно, величина части плоскости, занимаемой всем многоугольником, является суммой величин тех частей плоскости, которые занимают составляющие его многоугольники. Итак:

2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников

Свойства 1 0 и 2 0 называют основными свойствами площадей. Аналогичными свойствами обладают и длины отрезков.

Наряду с этими свойствами нам понадобится еще одно свойство площадей.

3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны

Краткую формулировку этого свойства следует понимать так: если сторона квадрата при выбранной единице измерения отрезков выражается числом а, то площадь этого квадрата выражается числом а 2 .

Площадь квадрата

Докажем, что площадь S квадрата со стороной а равна а 2 .

Начнем с того, что а =, где n – целое число. Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n 2 равных квадратов так, как показано на рисунке а) (на рисунке n=5).

a=Так как площадь большого квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата равна . Сторона каждого маленького квадрата равна , т.е. равна а . Итак,

S== (формула 1)

Пусть теперь число а представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую n знаков после запятой (В частности, число а может быть целым, и тогда n=0). Тогда число m= целое. Разобьем данный квадрат со стороной а на m 2 равных квадратов так, как показано на рисунке б) (на рисунке m=7)

При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на m равных частей и, значит, сторона любого маленького квадрата равна

По формуле 1 площадь маленького квадрата равна. Следовательно, площадь S данного квадрата равна

Наконец, пусть число а представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число а, получаемое из а отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n+1) – го. Так как число а отличается от а _n не более чем на , то , откуда

Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной и площадью квадрата со стороной (рисунок в)), т.е. между и :

(формула 3)

рис. в)

Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число будет сколь угодно мало отличаться от числа . Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа . Следовательно, эти числа равны: , что и требовалось доказать.

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон

Рассмотрим прямоугольник со сторонами a, b и площадью S(рис. а). Докажем,

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b, как показано на (рис. б)

По свойству 3 0 площадь этого квадрата равна .

С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с

площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S(свойство 1 0 площадей) и двух квадратов с площадями a 2 и b 2 (свойство 3 0 площадей). По свойству 2 0 имеем:

, или .

Отсюда получаем: S = ab. Теорема доказана.

Площадь параллелограмма

Основание – одна из сторон параллелограмма

Высота параллелограмма – перпендикуляр, проведенный из любой точки

Противоположной стороны к прямой, содержащей основание.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD

за основание и проведем высоты BH и CK (см. рис.). Докажем, что S = ADBH.

Докажем сначала, что площадь прямоугольника HBCK также равна S.

Трапеция ABCK составлена из параллелограмма ABCD и треугольника ABH.

Но прямоугольные треугольники DCK и ABH равны по гипотенузе и острому углу (их гипотенузы AB и CD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AD), поэтому их площади равны.

Следовательно, площади параллелограмма ABCD и прямоугольника HBCK также равны, т.е. площадь прямоугольника HBCK равна S. По теореме о площади прямоугольника S = BC BH, а так как BC = AD, то S = AD BH. Теорема доказана .

Площадь треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Пусть S – площадь треугольника ABC(см. рис.). Примем сторону AB за основание треугольника и проведем высоту CH. Докажем, что ABCH.

Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD так, как показано на рисунке. Треугольники ABC и DCB равны по трем сторонам (BC– их общая сторона, AB = CD и AC = BD как противоположные стороны параллелограмма ABDC), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABDC, т.е. ABCH. Теорема доказана .

Следствие 1

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Следствие 2

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Воспользуемся следствием 2 для доказательства теоремы об отношении

площадей треугольников, имеющих по равному углу.

Ели угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Доказательство:

Пусть S и – площади треугольников ABC и , у которых (см. рис.) Докажем, что .

Наложим треугольник на треугольник ABC так, чтобы вершина совместилась с вершиной А, а стороны и наложились соответственно на лучи AB и AC. Треугольники ABC и AC имеют общую высоту CH, поэтому . Треугольники ACи A также имеют общую высоту , поэтому . Перемножая полученные равенства, находим:

= или .

Теорема доказана .

Площадь трапеции

Докажем следующую формулу для вычисления площади трапеции:

Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перпендикуляра, опущенного на неё из середины другой боковой стороны.

Доказательство. Пусть ABCD – данная трапеция (), – середина стороны – перпендикуляр, опущенный из точки на прямую . (рис. 1)

Проведём через точку K прямую, параллельную прямой АВ. Пусть М и Р – точки её пересечения с прямыми ВС и AD. Параллелограмм АВМР равновелик данной трапеции, так как пятиугольник АВСКР является для них общим, а треугольник СМК конгруэнтен треугольнику KPD, т.е. трапеция и параллелограмм составлены из одинаковых частей.

Поскольку площадь параллелограмма равна произведению его основания АВ на высоту КН, утверждение доказано.

Замечание . Последний абзац решения можно (более формально) записать и так:

(по построению),

(по стороне и двум прилежащим углам), поэтому

следовательно, .

Теорема Пифагора

Пользуясь свойствами площадей многоугольников, мы установим теперь замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Теорема, которую мы докажем, называется теоремой Пифагора.

Она является важнейшей теоремой геометрии.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c.

Докажем, что .

Достроим треугольник до квадрата со стороной a + b. Площадь S этого квадрата равна . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна , и квадрата со стороной c, поэтому

Доказательство Евклида

Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны.

Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника – BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах.

Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK.

Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, – это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно: треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно – AB=AK, AD=AC – равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата – 90°).

Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично.

Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах. Идея данного доказательства дополнительно проиллюстрирована с помощью анимации, расположенной выше.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Доказательство

Пусть в треугольнике ABC. Докажем, что угол C прямой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом , у которого и . По теореме Пифагора , и, значит, . Но по условию теоремы. Следовательно, , откуда

Треугольники ABC и равны по трем сторонам, поэтому , т.е. треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C. Теорема доказана.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Реферат

на тему

площадь плоских

фигур.

Подготовила: ученица 5 r класса

Агаева Кямаля Абатхановна.

1) ломаная . многоугольник.

3) свойства площадей

4) е диницы измерения

11) мозаика из геометрических фигур

Фигура, состоящая из точек и последовательно соединяющих их отрезков, называется ломаной . При этом точки называют вершинами ломаной, а отрезки — звеньями .Ломаная называется замкнутой , если она начинается и заканчивается в одной точке.Простая замкнутая линия называется многоугольником ,

если её соседние стороны не лежат на одной прямой.

Точки,из которых состоит многоугольник, называют вершинами,а отрезки, из которых состоит многоугольник- сторонами. Стороны, замкнутой ломаной называются сторонами

многоугольника, а вершины, его вершинами .

Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются его диагоналями. Многоугольник, имеющий n сторон, называется n -угольником.

Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.

За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков (например, квадратный метр – м 2 ).

Свойства площадей
- Равные многоугольники имеют равные площади.

- Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Единицы измерения площадей: км² ; га ; ар ; м² ; дм² ;см ² ; мм ².

Измерить площадь фигуры можно разными способами.

Н апример с помощью палетки.

Среди многоугольников выделяют правильные многоугольники, то есть многоугольники, у которых все стороны равны и все углы равны.Некоторые из них мы и рассмотрим:

Квадрат-это четырёхугольник, у которого все стороны равны.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Прямоугольник-это четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны

Площадь прямоугольника равна произведению

его смежных сторон.

Параллелограмм -это четырёхугольник, у которого противоположные углы равны.

Площадь параллелограмм равна произведению

его основания на высоту.

Треугольник-это фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Площадь треугольника равна половине произведения его

основания на высоту.

Трапеция-это четырёхугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы

ее оснований на высоту.

Ромб-это параллелограмм, у которого все стороны равны

Площадь ромба равна половине произведения его

Мозаика из геометрических фигур

Из геометрических фигур разных дел мастера набирают великолепные мозаики . Наборная мозаика из геометрических фигур является наиболее сложным и дорогим видом отделки. Основным материалом для фигур выбирается мрамор, керамогранит, стекло .

(В двух словах сделай заключение о твоей выполненной работе)

Краткое описание документа:

Реферат на тему площадь плоских фигур. Подготовила: ученица 5r классаФейзиева Рейхан.Руководитель:Агаева К. А. 2014СОДЕРЖАНИЕ:1)ломаная. многоугольник.2)площадь многоугольника.3)свойства площадей4)единицы измерения5)квадрат6)прямоугольник7)параллелограмм8)треугольник9)трапеция10)ромб11) мозаика из геометрических фигур12)заключение МногоугольникЛоманаяФигура, состоящая из точек и последовательно соединяющих их отрезков, называется ломаной. При этом точки называют вершинами ломаной, а отрезки — звеньями .Ломаная называется замкнутой, если она начинается и заканчивается в одной точке.Простая замкнутая линия называется многоугольником,если её соседние стороны не лежат на одной прямой.Точки,из которых состоит многоугольник, называют вершинами,а отрезки, из которых состоит многоугольник- сторонами.Стороны, замкнутой ломаной называются сторонамимногоугольника, а вершины, его вершинами.Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются его диагоналями. Многоугольник, имеющий n сторон, называется n-угольником.Площадь многоугольникаПлощадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков (например, квадратный метр – м2). Свойства площадей - Равные многоугольники имеют равные площади.- Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. Единицы измерения площадей: км² ; га ; ар ; м² ; дм² ;см ² ; мм ².

Данная работа была представлена на районной научно-практической конференции (1 место).Кроме того её текст отражен в сборнике статей межвузовской конференции.

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя школа № 12

Городской округ город Выкса Нижегородской области

Работу выполнила:

учитель математики МБОУ СШ № 12

Костина Елена Евгеньевна

Глава 2. Материалы и методы исследований--------------------------------14-19

2.1 Нахождение площадей геометрических фигур в школьном курсе математики ---------------------------------------------------------------------------14-17

3.3. Результаты тестирования среди учащихся школы.-----------------------21-22

Актуальность данной темы продиктована желанием показать разнообразие способов решения одной задачи. Такие задачи встречаются при решении олимпиадных заданий, а также в КИМах и ЕГЭ. Я решила помочь учащимся освоить решения таких задач, чтобы как можно меньше времени тратить на выполнение таких заданий.

В своей работе я поставила следующую цель:

Расширение возможностей учащихся использовать различные способы решения задач по нахождению площадей геометрических фигур на клетчатой бумаге.

Мною были намечены следующие задачи: изучить литературу, изучить различные способы нахождения площадей на клетчатой бумаге, провести эксперимент среди учащихся школы, проанализировать и обобщить результаты

Большинство учащихся пользуются формулами для нахождения площадей из школьного курса математики

Методы исследований:

Теоретический: изучение литературы

Эмпирический: эксперимент, анализ, сравнения.

Математический: построение таблиц, вычисления.

В результате я сделала вывод, что существует достаточное количество способов решения такого рода задач, но самым результативным является решение по формуле Пика.

Предмет исследования: площадь фигур.

Объект исследования: фигуры на клетчатой бумаге.

Еще в начальной школе мы изучали формулы нахождения площадей прямоугольника, квадрата и прямоугольного треугольника. С каждым годом наши знания о нахождении площадей фигур расширялись. В школьную программу включены задания, в которых необходимо найти площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге. Подобные задания включены в ЕГЭ.

В своей работе я поставила следующую цель:

Мною были намечены следующие задачи:

Изучить литературу с целью выявления разных способов решения задач

Изучить различные способы нахождения площадей на клетчатой бумаге

Провести эксперимент среди учащихся школы, проанализировать и обобщить результаты

Большинство учащихся пользуются формулами для нахождения площадей из школьного курса математики

Практическая значимость: данная работа поможет учащимся при решении задач на нахождение площадей геометрических фигур на клетчатой бумаге и выпускникам при подготовке и сдаче ЕГЭ.

Глава 1. Обзор литературы

1.1. Когда зародилась наука геометрия?

Для первобытных людей важную роль играла форма окружавших их предметов. По форме и цвету они отличали съедобные грибы от несъедобных, пригодные для построек породы деревьев от тех, которые годятся лишь на дрова, вкусные орехи от горьких и т.д. Особенно вкусными казались им орехи кокосовой пальмы, которые имеют форму шара. А добывая каменную соль, люди наталкивались на кристаллы, имевшие форму куба. Так, овладевая окружающим их миром, люди знакомились с простейшими геометрическими формами.

А когда люди стали строить дома из дерева, пришлось глубже разобраться в том, какую форму следует придавать стенам и крыше, какой формы должны быть бревна. Сами того не зная, люди все время занимались геометрией: женщины, изготавливая одежду, охотники, изготавливая наконечники для копий или бумеранги сложной формы, рыболовы, делая такие крючки из кости, чтобы рыба с них не срывалась.

Когда стали строить здания из камня, пришлось перетаскивать тяжелые каменные глыбы. Для этого применялись катки.
Но не только в процессе работы люди знакомились с геометрическим фигурами.

Издавна они любили украшать себя, свою одежду, свое жилище (бусинки, браслеты, кольца, украшения из драгоценных камней и металлов, роспись дворцов).

Для того, чтобы взимать налоги с земли, необходимо было знать их площадь. Гончару необходимо было знать, какую форму следует придать сосуду, чтобы в него входило то или иное количество жидкости. Астрономы, наблюдавшие за небом и дававшие на основе этих наблюдений указания, когда начинать полевые работы, должны были научиться определять положение звезд на небе. Для этого понадобилось измерять углы.

Почти все великие ученые древности и средних веков были выдающимися геометрами. Девиз древней школы был: "Не знающие геометрии не допускаются!"

С отни раз книги были переписаны от руки, а когда изобрели книгопечатание, то она много раз переиздавалась на языках всех народов и стала одной из самых распространенных книг в мире.

В одной легенде говорится, что однажды египетский царь Птолемей I спросил древнегреческого математика, нет ли более короткого пути для понимания геометрии, чем тот, который описан в его знаменитом труде, содержащемся в 13 книгах.

Ученый гордо ответил: "В геометрии нет царской дороги".

1.2. Измерение площадей

Необходимость измерять площадь возникла у человека тогда, когда он стал переходить от кочевого образа жизни к оседлому. Занятие земледелием, строительством жилищ, другие виды деятельности потребовали измерения площади.
Вначале людей удовлетворяли субъективные меры, общие для жителей некоторой территории. Так, например, в Южной Индии единицей измерения площади был участок земли, который занимал загон овец. В России такой мерой был "плуг" - часть поля, которую можно было вспахать на паре волов за день. В Америке - индейцы при покупке земли в качестве единиц измерения принимали территорию, которую человек мог обежать за один день. Поэтому покупатели обычно нанимали для этой цели самого быстрого бегуна.
Похожую историю рассказывает Л. Н. Толстой в притче "Много ли человеку земли надо" (Толстой Л.Н. ,1886). Герой ее - мужик Пахом - покупает землю. За 1000 рублей ему передается во владение участок, который он сможет обойти за день. Конечно, мужику хочется получить за свои деньги как можно больше земли. Он торопится, спешит и загоняет себя до смерти. В результате Пахом получает, как и любой покойник три аршина земли."Поднял работник скребку, выкопал Пахому могилу, ровно насколько он от ног до головы захватил - три аршина, и закопал его" ( цит. по. кн. Толстой Л.Н., 1981, с.255). Так кончает писатель свой рассказ.
То, что в разных странах существовали различные меры длины, веса, площади и т. п., было неудобно. Это мешало развитию торговли, ремесел, и в 1791 году Национальное собрание Франции по предложению Комиссии по мерам и весам Академии наук утвердило новую систему мер, которая, по мнению ее создателей, годилась "на все времена и для всех народов". В соответствии с этой системой длина измерялась в метрах, вес - в килограммах, а площадь земельных участков - в арах.

В 1875 году 17 стран, в том числе и Россия, подписали Метрическую конвенцию, по которой обязывались ввести в своих странах систему мер, разработанную французскими учеными. Но еще долго всюду употреблялись местные меры. В России это были старинные меры, узаконенные еще Петром 1. Вот они и их перевод в современные единицы измерения.
Квадратная (кв.) верста = 250000 кв. саженей = 1,1381 км2;

десятина = 2400 кв. саженям =1,0925 га = 10925 м2;

кв. сажень = 9 кв. аршинам =4,5522 м2; кв. аршин = 256 кв. вершкам = =0,5058 м 2 ;

кв. вершок = 19,758 см 2 .
Только после Великой Октябрьской социалистической революции метрическая система стала обязательной на всей территории России. 14 сентября 1918 года был принят декрет "О введении международной метрической десятичной системы мер и весов". Окончательно же эта система вошла в употребление в СССР с 1927 года.

1.3. Меры площади

О возникновении мер площади известно крайне мало. Они появились так давно, что письменные источники, найденные в Двуречье, содержат и первые единицы мер. Никто точно не скажет, у какого народа появились первые мерила. Чтобы представить себе хотя бы общую картину возникновения мер, нам предстоит совершить экскурсию в глубину веков.

Россия. Десятина - мера земельной площади десятая часть. Введена в обиход в XVI в. В России существовали различные виды десятины. Они отличались друг от друга как по площади, так и названием. В словаре В.Даля приводятся следующие виды десятины: казённая, круглая, сотенная, астраханская и бахчевая. В XVIII-XIX в. пользовались владельческой (хозяйственной) десятиной.

Египет. В Египте сечат, ремен, хесеб, са - меры площади. 1 сечат = 2 ременам = 4 хесебам = 8 са = 100 мехам = 2735 кв. м.

Китай. Как и во всех древних государствах, основной ценностью в Китае была земля. По – видимому, полномерным можно было считать поле – цин, состоявшее из 100 му земли. Сама же му состояла из 240 квадратиков со стороной, равной двойному шагу бу. Такой квадрат содержал 2,75 квадратных метра, следовательно, в му был 661 кв. м. Поле - цин было большой площадью. 3 и три четверти цин составляли квадратный ли. Таким образом: 1 цин = 100 му = 24000 кв. бу = 6,61 га.

Рим. Основной единицей площади можно считать югер. Он делится на 2 квадратных акта, 2 югера составляли гередий. 200 югеров образовывали центурию, 4 центурии- сальт. Обычно мерили землю югерами, которые с древности делились на унции

Италия. Мерили землю в разных провинциях Италии по – разному: где пертикой (шестом), и там счётной единицей становилась квадратная пертика; где катеной (цепью) – с единицей квадратная катена. Основной поземельной единицей в большинстве мест Северной Италии была табула (полоса) и стайо.

Большинство старых мер забыто, вышло из употребления, но многие из них фигурируют в литературных произведениях, исторических памятниках. Они заложены в старинных постройках, в древних рецептах лекарств. У них есть история, как и у человеческого общества.

1.4. Формула Пика

Еще в начальной школе мы изучали формулы нахождения площадей прямоугольника, квадрата и прямоугольного треугольника. С каждым годом наши знания о нахождении площадей фигур расширялись. В школьную программу включены задания, в которых необходимо найти площадь многоугольника изображенного на клетчатой бумаге. Я узнала, что существует универсальная формула для решения такого рода заданий, которая не рассматривается в школе.

Формула Пика (или теорема Пика) — формула, согласно которой площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна:

где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В частности, площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна ½. Этот факт даёт геометрические доказательство формулы для разницы подходящих дробей цепной дроби.

Открыта австрийским математиком Георгом Пиком (см. приложение № 1) в 1899 году.

Формула Пика используется не только для вычисления площадей многоугольников, но и для решения многих задач олимпиадного уровня. Пример использования формулы Пика при решении задач:

1) Шахматный король обошел доску 8 × 8 клеток, побывав на каждом поле ровно один раз и последним ходом вернувшись на исходное поле. Ломаная, соединяющая последовательно центры полей, которые проходил король, не имеет самопересечений. Какую площадь может ограничивать эта ломаная? (Сторона клетки равна 1.)

Читайте также: