Реферат на тему звездчатые многогранники
Обновлено: 30.06.2024
Презентация на тему: " ЗВЕЗДЧАТЫЕ МНОГОГРАННИКИ " — Транскрипт:
2 Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путём продления граней данного многогранника через рёбра до их следующего пересечения с другими гранями по новым рёбрам. Звёздчатый многогранник Правильные звёздчатые многогранники Полуправильные звёздчатые многогранники
3 Правильные звёздчатые многогранники это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые (конгруэнтные) правильные или звёздчатые многоугольники. В отличие от пяти классических правильных многогранников (платоновых тел), данные многогранники не являются выпуклыми телами. В 1811 году Огюстен Лу Коши установил, что существуют всего 4 правильных звёздчатых тела (они называются телами Кеплера Пуансо), которые не являются соединениями платоновых и звёздчатых тел. К ним относятся открытые в 1619 году Иоганном Кеплером малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр, а также большой додекаэдр и большой икосаэдр, открытые в 1809 году Луи Пуансо. Остальные правильные звёздчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел Кеплера Пуансо
4 Малый звездчатый додекаэдр Продолжение ребер додекаэдра приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником, и в результате возникает многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром. Этот многогранник можно также получить из додекаэдра, установкой на его гранях правильных пятиугольных пирамид.
5 Большой звездчатый додекаэдр Этот многогранник получается при продолжении граней додекаэдра. При этом каждая грань заменяется на правильный звездчатый пятиугольник.Его можно также получить из икосаэдра, установкой на его гранях правильных треугольных пирамид.
6 Большой додекаэдр Этот многогранник получается при продолжении граней додекаэдра. Его можно также получить из икосаэдра, вырезанием из его граней правильных треугольных пирамид.
7 Большой икосаэдр Его можно также получить из малого звездчатого додекаэдра вырезанием из его граней треугольных пирамид.
8 Звездчатые кубооктаэдры Помимо правильных звездчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо) имеется более сотни различных звездчатых форм многогранников. На рисунке показаны звездчатые формы кубооктаэдра. Кубооктаэдр имеет 4 звёздчатые формы, удовлетворяющие ограничениям, введённым Миллером. Первая из них является соединением куба и октаэдра.
9 Звездчатые икосаэдры На рисунке показаны некоторые звездчатые формы икосаэдра. Всего их 59.
10 Звездчатые икосододекаэдры На рисунке показаны некоторые звездчатые формы икосододекаэдра. Всего их 19.
ЗВЕДЧАТЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Звёздчатый многогранник (звёздчатое тело) — это невыпуклый многогранник, грани которого пересекаются между собой. Как и у не звёздчатых многогранников грани попарно соединяются в ребрах, при этом внутренние линии пересечения не считаются рёбрами. Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путём продления граней данного многогранника через рёбра до их следующего пересечения с другими гранями по новым рёбрам.
Правильные звёздчатые многогранники - это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые правильные или звёздчатые многоугольники. Коши установил, что существует всего 4 правильных звёздчатых тела, не являющиеся соединениями платоновых и звёздчатых тел, называемые телами Кепплера-Пуансо: все 3 звёздчатых формы додекаэдра и одна из звёздчатых форм икосаэдра. Остальные правильные звёздчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел Кепплера-Пуансо.
Звёздчатый октаэдр можно было бы признать правильным многогранником, так как все его грани - правильные треугольники одинакового размера и все углы между ними равны. Но на самом деле это геометрическое тело не является шестым правильным многогранником на равне с пятью известными Платоновыми телами. Причина в том, что в определении правильного многогранника присутствует слово выпуклый, то есть все грани должны лежать по одну сторону от плоскости, проходящей через любую из них.
Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы: малый звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр (звёздчатый большой додекаэдр, завершающая форма). Первые две из них были открыты Кеплером (1619), третья — Пуансо (1809). В отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением платоновых тел, а образует новый многогранник. Все 3 звёздчатые формы додекаэдра, вместе с большим икосаэдром образуют семейство тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых (звёздчатых) многогранников. У большого додекаэдра гранями являются пятиугольники, которые, сходятся по пять в каждой из вершин. У малого звёздчатого и большого звёздчатого додекаэдров грани - пятиконечные звёзды (пентаграммы), которые в первом случае сходятся по 5, а во втором по 3. (малый звёздчатый додекаэдр большой додэкаэдр большой звездчатый додекаэдр)
Малый звездчатый додекаэдр - Продолжение ребер додекаэдра приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником, и в результате возникает многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром. Этот многогранник можно также получить из додекаэдра, установкой на его гранях правильных пятиугольных пирамид.
Большой звездчатый додекаэдр - Этот многогранник получается при продолжении граней додекаэдра. При этом каждая грань заменяется на правильный звездчатый пятиугольник.Его можно также получить из икосаэдра, установкой на его гранях правильных треугольных пирамид.
Икосаэдр имеет двадцать граней. Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окруженовеликим многообразием отсеков – частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звездчатыеформы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20+30+60+20+60+120+ 12+30+60+60 отсеков десятиразличных форм и размеров. Большой икосаэдр (см. рис) состоит из всех этих кусков, за исключениемпоследних шестидесяти.
Среди звёздчатых форм икосаэдра встречаются некоторые соединения платоновых тел. Среди них:соединения пяти октаэдров, энантиоморфные формы соединения пяти тетраэдров и соединения десятитетраэдров. Если бы Платон смог видеть эти формы, они привели бы его в восхищение. После того как былиоткрыты эти и ряд других многогранников, ученые, естественно, задумались над вопросом: сколькосуществует звездчатых форм икосаэдра? В 1900 году Брюкнер опубликовал классическую работу омногогранниках, озаглавленную "Vielecke und Vielflache", в которой были представлены некоторые новыезвездчатые формы икосаэдра. Открытием еще несколько форм мы обязаны Уиллеру(1924). В 1938 годусистематическое и полное исследование вопроса провел Кокстер совместно с Дювалем, Флэзером, Петри. Для различения исходных форм и выделения характерных форм они применили правила ограничения, установленные Дж. Миллером. Кокстер доказал, что существует всего 59 звездчатых форм икосаэдра, изкоторых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией (последнее обстоятельство даетвозможность строить энантиоморфные им аналоги, которые имеют красивый и необычный вид).
ЗВЕЗДЧАТЫЕ КУБООКТАЭДРЫ
Звёздчатый кубооктаэдр ( кубооктаэдр) – полуправильный многогранник. В кубе проводятся отсекающие плоскости через середину ребер , выходящих из одной вершины . В результате получится полуправильный многогранник - кубооктаэдр . Его гранями являются шесть квадратов , как у куба , и восемь правильных треугольников , как у октаэдра . Отсюда и его название . Квадратные грани группируются в пары таким образом, что грани каждой из них параллельны между собойи перпендикулярны к остальным подобным граням.
Итоговая звёздчатая форма кубооктаэдра является соединением двух тетраэдров, Кеплеровой stellaoctangula, итоговой звёздчатой формы октаэдра и трёх правильных четырёхугольных призм, общимпересечением которых является исходный куб. Каждое основание этих призм представляет собой глубокуювпадину, образованную четырьмя рёбрами.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ САРАТОВСКОЙ ОБЛАСТИ
г осударственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
с аратовской области
по общеобразовательной дисциплине:
звёздчатые многогранники
обучающийся 2 курса, группа №23
по профессии: Машиниста локомотива
Маковкин Семён Михайлович
Список используемой литературы………………………………………….8
Актуальность темы исследования заключается в том, что учёные в наши дни изучают многогранники и составляют различные научные гипотезы, которые в будущем могут привести к различным открытиям. Данная тема актуальна, так как немногие люди знают правильные многогранники, но знание этих геометрических тел поможет в создании различных шедевров (как в архитектуре, так и в живописи и во многом другом, потому что многогранники имеют обширную область применения).
Исходя из актуальности темы исследования, в работе можно поставить следующую цель.
Цель исследования: раскрытие тайны моделирования звёздчатых многогранников.
В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие задачи:
1. Проследить историю развития многогранников.
2. Расширить знания о звёздчатых многогранниках.
3.Исследовать способы изготовления различных моделей звёздчатых многогранников.
4.Доказать, что многогранники - слагаемые прекрасного.
Объект исследования. Объектом исследования является моделирование звездчатых многогранников.
Предмет исследования: является различное применение звездчатых многогранников в настоящее время .
Информационная база. Информационной базой проекта послужили различные учебники и учебные пособия, материалы Интернет.
Структура работы. Работа состоит из введения, основной части, заключения и списка используемой литературы.
Основная часть
Теоретическая часть
Звездчатые многогранники интересны сами по себе. Они имеют красивые формы. Звёздчатый многогранник ( звёздчатое тело ) — это невыпуклый многогранник , грани которого пересекаются между собой. Как и у не звёздчатых многогранников , грани попарно соединяются в рёбрах (при этом внутренние линии пересечения не считаются рёбрами). Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путём продления граней данного многогранника через рёбра до их следующего пересечения с другими гранями по новым рёбрам.
Согласно теории Луи Огюстена Коши, может существовать лишь четыре правильных звёздчатых тела, которые не будут соединениями платоновых тел и звёздчатых. Поэтому в список входят: малый звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр и большой икосаэдр.
Правильные звёздчатые многогранники получаются из выпуклых правильных многогранников, если продолжить их рёбра или грани. Но не все простые правильные многогранники могут стать звёздчатыми. Тетраэдр, куб и октаэдр не дают звёздчатых форм. Чтобы отличать именно эти многогранники, от множества других, их называют телами Кеплера-Пуансо.
Звёздчатые многогранники известны людям давно, и всегда привлекали внимание своей декоративностью. Ими занимались известные художники, например, Леонардо да Винчи. Сейчас они востребованы в декоративных ремёслах и ювелирной промышленности. Источником вдохновения является сама природа, достаточно вспомнить снежинки — самые настоящие звёздчатые многогранники. Есть целые атласы снежинок, разнообразие их форм привлекало людей с древности. К настоящему времени описано несколько тысяч типов. Развитие любой науки, математика не исключение, никогда не идёт по прямой линии. Теория звездчатых многогранников, как раздел математики, связана с алгеброй, теорией чисел, естествознанием, прикладной математикой.
Звёздчатый многогранник — это правильный невыпуклый многогранник. Многогранники из-за их необычных свойств симметрии исследуются с древнейших времён. Также формы многогранников широко используются в декоративном искусстве.
Звёздчатый октаэдр
Существует только одна звёздчатая форма октаэдра. Звёздчатый октаэдр был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером, и назван им Stella octangula — звезда восьмиугольная. Отсюда эта форма имеет и второе название stella octangula Кеплера. По сути она является соединением двух тетраэдров.
Звёздчатые формы додекаэдра
Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы: малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр(звёздчатый большой додекаэдр, завершающая форма). Первые две из них были открыты Кеплером (1619), третья — Пуансо (1809). В отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением платоновых тел, а образует новый многогранник.
Все 3 звёздчатые формы додекаэдра, вместе с большим икосаэдром образуют семейство тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых (звёздчатых) многогранников.
У большого додекаэдра гранями являются пятиугольники, которые, сходятся по пять в каждой из вершин. У малого звёздчатого и большого звёздчатого додекаэдров грани - пятиконечные звёзды (пентаграммы), которые в первом случае сходятся по 5, а во втором по 3.
Вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.
Звёздчатые формы икосаэдра
Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией, что было доказано Кокстером совместно с Дювалем, Флэзером и Петри c применением правил ограничения, установленных Дж. Миллером. Одна из этих звёздчатых форм (20-я, мод. 41 по Веннинджеру), называемая большим икосаэдром, является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера—Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром.
Среди звёздчатых форм также имеются: соединение пяти октаэдров, соединение пяти тетраэдров, соединение десяти тетраэдров.
Икосаэдр имеет двадцать граней. Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено большим многообразием отсеков — частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звёздчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20+30+60+20+60+120+ 12+30+60+60 отсеков десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр (см. рис) состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти.
Звёздчатые формы кубооктаэдра
Кубооктаэдр имеет 4 звёздчатые формы, удовлетворяющие ограничениям, введённым Миллером. Первая из них является соединением куба и октаэдра.
Звёздчатые формы икосододекаэдра
Икосододекаэдр имеет множество звёздчатых форм.
Икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 — правильные треугольники. Что касается вопроса о том, могут ли получившиеся многогранники оказаться правильными, то на него давно получен ответ. Великий математик Коши ещё в 1811 году доказал, что список правильных многогранников исчерпывается пятью платоновыми телами вкупе с четырьмя многогранниками Кеплера — Пуансо.
Этот многогранник получается при продолжении граней додекаэдра. Его можно также получить из икосаэдра, вырезанием из его граней правильных треугольных пирамид.
Получается продолжением граней икосаэдра. Его можно также получить из малого звездчатого додекаэдра вырезанием из его граней треугольных пирамид.
Помимо правильных звездчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо) имеется более сотни различных звездчатых форм многогранников. На рисунке показаны звездчатые формы кубооктаэдра.
На рисунке показаны некоторые звездчатые формы икосаэдра. Всего их 59.
На рисунке показаны некоторые звездчатые формы икосододекаэдра. Всего их 19.
А вот ещё группа красавцев…
На рисунке изображен многогранник, называемый звездчатым октаэдром, получающийся продолжением граней октаэдра. Он был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти сто лет переоткрыт И. Кеплером и назван им "Stella octangula" - звезда восьмиугольная.
Объединением каких двух многогранников он является? Что является их пересечением?
Ответ: Тетраэдров; октаэдр.
Какие боковые ребра должны быть у правильных пятиугольных пирамид, чтобы при добавлении их к граням додекаэдра с ребром a получился малый звездчатый додекаэдр?
Какие ребра должны быть у правильных треугольных пирамид, чтобы при удалении их из граней икосаэдра с ребром a получился большой додекаэдр?
Какие ребра должны быть у правильных треугольных пирамид, чтобы при добавлении их к граням икосаэдра с ребром a получился большой звездчатый додекаэдр?
Вершинами какого многогранника являются вершины большого звездчатого додекаэдра?
Как из большого додекаэдра можно получить многогранник, изображенный на рисунке?
Ответ: Операцией усечения.
Трехмерные модели однородных многогранников и их звездчатых форм
Здесь можно увидеть трехмерные модели всех известных однородных многогранников: выпуклых Платоновых и Архимедовых тел, тел Кеплера - Пуансо и полуправильных звездчатых многогранников. В таблице представлен полный список многогранников и их некоторые характеристики. Для каждой трехмерной модели предусмотрено несколько вариантов раскраски, имеется также возможность просмотра строения граней и вершин. В специальном разделе галереи можно бегло ознакомиться с обзорными изображениями моделей.
Для каждого однородного многогранника можно породить как в трехмерном калейдоскопе огромное множество звездчатых форм, внешне чрезвычайно привлекательных. Достаточно рассмотреть изображения звезд в галерее, а также примеры звездоформ икосаэдра и кубоктаэдра. Для более сложных многогранников звездчатые формы практически не известны; этот сайт практически впервые дает возможность их увидеть и изучить. Для вас доступны два пути поиска новых многогранников: выбор какой-либо уже представленной на сайте звездчатой формы (а всего их тут более миллиона), либо целенаправленная сборка нового многогранника из отсеков в режиме ручного редактирования звездчатых форм.
Привлекательный внешний вид и огромное разнообразие форм однородных многогранников и их звездчатых форм делают перспективным применение оных как декоративных элементов.
Вы можете сохранить на локальный диск любой многогранник для использования в собственных проектах, компьютерном дизайне и графике. Возможен экспорт трехмерных моделей в форматах 3DMAX (*.3ds), VRML (*.vrml), DirectX (*.x) и соответствующих анимированных изображений (*.jpg, *.avi, *.swf).
Вы можете создавать оригинальные электронные поздравительные открытки с изображениями многогранников. Достаточно выбрать самый красивый многогранник и подписать текст. Вашей открытке будет присвоен уникальный URL (интернет-ссылка), которую вы можете передать заинтересованным лицам. Новинка сезона - создание надписей прямо на гранях многогранника!
Многие великие и умные люди проявляли интерес к многогранникам. Во времена Пифагора учение о многогранниках было сакральным, тайной, доступной только избранным. В философской системе Платона важная роль отводилась правильным многогранникам. Архимед перечислил все полуправильные выпуклые многогранники. Кеплер придумал два звёздчатых правильных многогранника, затем Пуансо нашел ещё два, а Коши доказал: других правильных нет. Коксетер и другие только в середине 20 века перечислили остальные полуправильные невыпуклые многогранники. Ещё позднее удалось доказать, что список однородных многогранников полон.
Что касается звездчатых форм сложных многогранников, то они практически никому не известны. Возможно именно Вам посчастливится найти интересно устроенный или особенно красивый многогранник! Тогда в галерее среди достойнейших мужей вы сможете занять свое почетное место.
Читайте также: