Реферат на тему треугольник паскаля

Обновлено: 02.07.2024

Треугольник - первая геометрическая фигура, встречающаяся в древних орнаментах. Изучая литературу, я узнала, что в Египте он символизировал триаду духовной воли, любви, интуиции и высшего разума человека, то есть его личность или душу.

Существует множество видов треугольников, но больше всего меня заинтересовал треугольник Паскаля.

Актуальность проекта

Данная работа предназначена для выявления того, насколько широко треугольники используются в практической жизни.

Цель проекта

- ознакомиться с треугольником Паскаля как разновидностью треугольников;

- рассмотреть способы построения треугольника Паскаля;

Если числа треугольника Паскаля обладают особыми свойствами, то его можно считать волшебным.

выявить свойства чисел, входящих в состав треугольника Паскаля;

определить применение свойств чисел треугольника Паскаля;

сформулировать вывод и итоги исследования;

Объект исследования: треугольник как геометрическая фигура

Предмет исследования: свойства треугольника Паскаля

Методы исследования:

- аналитико-статистическая работа со справочной, научно-познавательной и специальной литературой;

- поиск информации в интернет - ресурсах.

2. Биография Блеза Паскаля.

3. Определение треугольника Паскаля.

Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы . Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Продолжать треугольник можно бесконечно. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Имеет применение в теории вероятности и обладает занимательными свойствами

Мартин Гарднер пишет в книге "Математические новеллы" (М., Мир, 1974): "Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике".

Предположим, что вы входите в город как показано на схеме синей стрелкой, и можете двигаться только вперед, точнее, все время выбирая, вперед налево, или вперед направо. Узлы, в которые можно попасть только единственным образом, отмечены зелеными смайликами, точка, в которую можно попасть двумя способами, показана красным смаликом, а тремя, соответственно, розовым. Это один из вариантов построения треугольника, предложенный Гуго Штейнгаузом в его классическом "Математическом калейдоскопе".

4. Свойства треугольника Паскаля.

Второе число каждой строки соответствует её номеру.

Третье число каждой строки равно сумме номеров строк, ей предшествующих.

Третье число каждой строки является треугольным .

Четвертое число каждой строки является тетраэдрическим .

Сумма чисел n -й восходящей диагонали, проведенной через строку треугольника с номером n − 1 , есть n -е число Фибоначчи :

Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана .

Сумма чисел n -й строки треугольника Паскаля равна 2n .

Простые делители чисел треугольника Паскаля образуют симметричные самоподобные структуры.

Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные - в белый, то образуется треугольник Серпинского .

5. Построение треугольника Паскаля.

Треугольник Паскаля - это просто бесконечная числовая таблица "треугольной формы", в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Таблица обладает симметрией относительно оси, проходящей через его вершину.

Треугольник Паскаля часто выписывают в виде равнобедренного треугольника, в котором на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каж дое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоя щих над ним слева и справа в предшествующей строке. А еще проще объясняют устройство треугольника Паскаля слова: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Все элементарно, но, сколько в этом таится чудес.

На вершине треугольника стоит 1. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Вдоль диагоналей параллельных сторонам треугольника (на рисунке отмечены зелеными линиями) выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей.

Следующая зеленая линия покажет нам тетраэдральные числа - один шар мы можем положить на три - итого четыре, под три подложим шесть - итого десять, и так далее.

А следующая зеленая линия (1, 5, 15, 35. ) продемонстрирует попытку выкладывания гипертетраэдра в четырехмерном пространстве - один шар касается четырех, а те, в свою очередь, десяти. В нашем мире и нашем измерении это невозможно, возможно только в четырехмерном, виртуальном. И тем более пятимерный тетраэдр, о котором свидетельствует следующая зеленая линия, он может существовать только в рассуждениях топологов.

А о чем же говорит нам самая верхняя зеленая линия, на которой расположились числа натурального ряда? Это тоже треугольные числа, но одномерные, показывающие, сколько шаров можно выложить вдоль линии - сколько есть, столько и выложите. Если уж идти до конца, то самый верхний ряд из единиц - это тоже треугольные числа в нульмерном пространстве - сколько бы шаров мы не взяли - больше одного расположить не сможем, ибо просто негде - нет ни длины, ни ширины, ни высоты.

Даже беглого взгляда, брошенного на треугольник Паскаля, достаточно, чтобы отметить следующие любопытные факты: 10 ядер можно сложить и в виде тетраэдра и в виде плоского треугольника. А 56 гиперядер, образующих тетраэдр в пятимерном пространстве, можно уложить в обычный привычный трехмерный тетраэдр, однако, если бы мы попытались выложить из 56 ядер треугольник, то одно ядро осталось бы лишним.

А вот еще два интересных свойства треугольника Паскаля. Чтобы найти сумму чисел, стоящих на любой диагонали от начала до интересующего нас места, достаточно взглянуть на число, расположенное снизу и слева от последнего слагаемого (слева для правой диагонали, для левой диагонали будет справа, а вообще - ближе к середине треугольника). Пусть, например, мы хотим вычислить сумму чисел натурального ряда от 1 до 9. "Спустившись" по диагонали до числа 9, мы увидим слева снизу от него число 45. Оно то и дает искомую сумму. Чему равна сумма первых восьми треугольных чисел? Отыскиваем восьмое число на второй диагонали и сдвигаемся вниз и влево. Ответ: 120. Но, кстати, 120 - тетраэдральное число. Следовательно, взяв все шары, из которых сложены 8 первых треугольников, мы могли бы сложить тетраэдр.

Суммы чисел, стоящих вдоль не столь круто падающих диагоналей (на рисунке отмечены красными линиями) образуют хорошо известную последовательность Фибоначчи.

6. Заключение.

Работа по выбранной теме осуществлялась в полном соответствии с планом исследования. В данной работе была дана общая характеристика треугольника как геометрической фигуры, был детально рассмотрен треугольник Паскаля, его свойства.

Я пришел к выводу, что одной из наиболее известных и изящных численных схем во всей математике является треугольник Паскаля. Треугольник Паскаля - понятие значительно шире, чем мне представлялось. Он обладает не только удивительными свойствами, но и применялся в архитектуре средних веков для построения схем пропорциональности и для построения прямых углов землемерами и архитекторами. Используя треугольник Паскаля, можно решить задачи из теории вероятности.

7. Список литературы.

2. Воробьев Н. Н. "Числа Фибоначчи". Москва, 2008. 144 с.

3. Мартин Гарднер Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля. Математические новеллы. Москва: Мир, 2003. 456 с.

Понятие и характеристика треугольника Паскаля, история его открытия, специфика и предназначение биномиальных тождеств. Описание, отличительные черты методов включений и исключений. Использование производящих функций, сущность рекуррентных соотношений.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	30.03.2016
Размер файла	119,3 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Блез Паскаль. Биография

Биномиальные тождества. Метод включений и исключений.

Введение

`'Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике `'- писал знаменитый американский математик Мартин Гарднер.

Блез Паскаль, французский математик и философ, посвятил ей специальный "Трактат об арифметическом треугольнике". Впрочем, эта треугольная таблица была известна задолго до 1665 года - даты выхода в свет трактата.

Так, в 1529 году треугольник Паскаля был воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанного астрономом Петром Апианом. Изображен треугольник и на иллюстрации книги "Яшмовое зеркало четырех элементов" китайского математика Чжу Шицзе, выпущенной в 1303 году. Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника в 1110 году, в свою очередь заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.

Цели и задачи

Цель: рассмотреть треугольник Паскаля, его свойства, связь с числами Фибоначчи и биномиальными коэффициентами.

Задачи:

1.Выявить свойства чисел, входящих в состав треугольника Паскаля;

2. Определить применение свойств чисел треугольника Паскаля;

3. Изучить научную и учебную литературу по теме исследования;

4. Изучить исторические сведения;

5. Обобщить и систематизировать теоретический сведения, связанные с треугольником Паскаля и его свойствами;

6. Сформулировать вывод и итоги исследования.

Блез Паскаль. Биография

Блез Паскаль - выдающийся французский математик, физик, писатель, религиозный философ; его авторству принадлежит целый ряд работ, посвященных теории чисел, алгебре, теории вероятности. Ученый являлся одним из основателей математического анализа, проективной геометрии, создал первые образцы счетной техники, сформулировал основной закон гидростатики. Блез Паскаль родился 19 июня 1623 г. в Клермоне; его отец был председателем суда, одним из самых известных юристов города. Все Паскали отличались незаурядными способностями, а в Блезе одаренность проявилась с раннего детства.

Природа наделила Блеза Паскаля необычными, выдающимися способностями, но обделила здоровьем. Когда их семья переехала в Руан в январе 1640 г., самочувствие Блеза начало заметно ухудшаться. Он изобрел арифметическую машину, чем прославился даже за пределами своей родины, но интенсивные нагрузки серьезно навредили его здоровью. Забившие тревогу отец, друзья, врачи запретили любую умственную деятельность, и Блез постепенно втянулся в светскую жизнь с ее удовольствиями и увлечениями. Однако в истинном смысле светским человеком он так и не стал: с его робостью, излишней наивностью, искренностью он выбивался из общей массы.

В 1646 г. состоялось событие, направившее биографию Паскаля в совершенно иное русло. Он знакомится с янсенизмом и испытывает сомнения по поводу оправданности занятий наукой, задумывается, не является ли его деятельность богопротивной, но не оставляет ее. В ноябрьскую ночь 1664 г. Паскаль, по его собственному признанию, пережил озарение свыше, но что именно оно собой представляло, он не рассказал даже самым близким. После этого ученый оборвал все светские связи, обратился с просьбой стать его духовником к главе монастыря Пор-Рояль и уехал из Парижа.

Начиная с 1658 г. недуги Блеза Паскаля стремительно прогрессируют, он чувствует себя очень слабым, его мучают сильные головные боли. Очевидцы вспоминали его, мужчину в расцвете лет, как изможденного старика. Современные ученые определили, что у Паскаля был целый букет болезней - рак мозга, ревматизм и др. Испытывая огромные физические страдания, не имея возможности заниматься любимыми делами, он отдает силы благотворительности, периодически наносит визиты старым друзьям. 39-летний Паскаль скончался 19 августа 1662 г. после агонии, которая длилась целые сутки. Похоронили его в парижской приходской церкви Сен-Этьен-дю-Мон.

Треугольник Паскаля

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

. . . . . . . . . . . . . . .

Выделим основные Свойства треугольника

Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.

В строке с номером n:

-первое и последнее числа равны 1.

-второе и предпоследнее числа равны n.

Третье число равно треугольному числу, что также равно сумме номеров предшествующих строк.

Четвёртое число является тетраэдрическим.

m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту.

Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:

Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна .

Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n, если и только если n является простым числом (следствие теоремы Люка).

Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.

Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

Биномиальные тождества. Метод включений и исключений. Производящие функции

Как уже отмечали, числа имеют ряд важных свойств. Укажем некоторые из них:

Известна также формула бинома Ньютона:

Коэффициенты формулы (6) называются биномиальными коэффициентами: -е слагаемое суммы (6) считается -м членом разложения и обозначается через .

Свойства биномиальных коэффициентов:

1. Число биномиальных коэффициентов равно .

2. Коэффициенты членов, равноотстоящих от начала и конца бинома, равны между собой.

3. Сумма биномиальных коэффициентов равна .

4. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на четных местах.

Задача 1. Найдите член разложения , не содержащий .

Решение. Согласно формуле (2.8) имеем . По условию задачи число должно удовлетворять уравнению

Таким образом, искомым будет второй член разложения:

В комбинаторном анализе существует целый ряд подходов для изучения комбинаторных объектов и чисел.

Теоретико-множественный подход

Этот подход связан с вычислением мощностей конечных множеств.

Пусть множество имеет элементов и одноместных отношений (свойств) . Каждый из элементов может обладать или не обладать любым из этих свойств. Обозначим через число элементов, обладающих свойствами и может быть, некоторыми другими. Тогда число элементов, не обладающих ни одним из свойств , определяется по следующей формуле, называемой формулой включений и исключений:

Обобщая формулу (2.9), получаем формулу, позволяющую вычислить число элементов, обладающих ровно свойствами ():

треугольник паскаль рекуррентный

Метод производящих функций

Метод производящих функций используется для перечисления комбинаторных чисел и установления комбинаторных тождеств.

Производящей функцией последовательности называется степенной ряд .

Если последовательность растет слишком быстро, то бывает необходимо использовать экспоненциальную производящую функцию:

Задача 2. Сколько положительных чисел от 1 до 200 делятся ровно на одно из чисел 3 или 5?

Решение. Обозначим свойство делимости на 3 и 5 соответственно через и . Тогда для имеем , (где - наибольшее целое число, не превосходящее ). Так как - число общих кратных для чисел 3 и 5, наименьшее общее кратное которых равно 15, то совпадает с количеством чисел, которые делятся на 15, т.е. . По формуле (12) находим искомое число чисел .

Из формулы бинома Ньютона при имеем:

Таким образом, является производящей функцией для биномиальных коэффициентов.

Задача 3. С помощью производящей функции установим тождество:

Так как, , то разложим функции и в левой и правой частях этого тождества в ряды:

Сравнивая коэффициенты при в левой и правой частях последнего тождества, получаем

Существует и ряд других задач (см. приложение 1).

Рекуррентные соотношения

Однородное линейное рекуррентное соотношение -го порядка имеет вид:

Многочлен (3.2) называется характеристическим для соотношения (3.1).

Если - простые корни характеристического многочлена, то общее решение рекуррентного соотношения имеет вид:

где - произвольные постоянные.

Если - корень кратности характеристического многочлена, то общее решение рекуррентного соотношения имеет вид:

где - произвольные постоянные.

Задача 4. Найти общее решение рекуррентного соотношения .

Решение. Характеристический многочлен данного соотношения имеет вид . Этот многочлен имеет два различных корня: с кратностью и с кратностью .

Следовательно, в формуле общего решения будет два слагаемых (количество различных корней ). Коэффициент в скобке при должен содержать одно слагаемое (), а при - два слагаемых (). Поэтому общее решение имеет вид:

Задачи к теме приведены в приложении 2.

Таким образом, мы рассмотрели треугольник Паскаля, его свойства и приложения.

Приложение 1.

Задачи для самостоятельного решения

2.1. Найдите средний член разложения .

2.2. Найдите номер члена разложения , не содержащего .

2.3. Найдите член разложения , не содержащий .

2.4. Каков наибольший коэффициент разложения , если сумма всех коэффициентов равна 4096?

2.5. Определите сколько рациональных членов содержится в разложении:

2.6. Найдите члены, не содержащие иррациональности в разложении:

2.7. Коэффициент при во втором члене разложения равен 31. Найдите степень .

2.8. Найдите наибольший член разложения .

2.9. Найдите коэффициент при в выражении .

2.10. Найдите коэффициент при в разложении .

2.11. В разложении коэффициент четвертого члена разложения относится к коэффициенту третьего члена как 7:2. Найдите член разложения, содержащий в первой степени.

2.12. Второй, третий и четвертый члены разложения равны соответственно 240, 720 и 1080. Найдите и .

2.13. Найдите коэффициент при в разложении:

2.14. Докажите следующие тождества:

2.15. Докажите следующие тождества с использованием производящей функции :

2.16. Найдите общий член последовательности, для которой функция является производящей:

2.17. Пусть и - производящие функции последовательностей и соответственно, и пусть . Найдите и по заданной последовательности :

Приложение 2.

Задачи для самостоятельного решения

3.1. Найдите общее решение рекуррентных соотношений:

3.2. Найдите по рекуррентным соотношениям и начальным условиям:

3.4. Решите неоднородные рекуррентные соотношения:

Приложение 3.

Типовые задачи с решениями.

1. Найти член разложения 10 , не содержащий x (т.е. содержащий х в нулевой степени).

Решение. Согласно формуле (5) имеем Т_k = x 10- k k .

По условию число k должно удовлетворять уравнению 10-k-4k=0.

Единственным таким уравнением является k=2. Таким образом, искомым будет второй член разложения: T₂=x 8 ==45.

2. Найти шестой член разложения ( ) n , если биномиальный коэффициент третьего от конца члена равен 45.

Решение. Найдем сначала степень бинома. Согласно условию задачи число n удовлетворяет уравнению , корнями которого являются n₁=10, n₂=-9. Так как n₂=-9 не является натуральным числом, то степенью бинома будет n=10, следовательно, представляется в виде T₆= 4 ( 6 = 2 x 3 =210y 2 x 3 .

Ответ: 210y 2 x 3 .

Подобные документы

Свойства изящной математической системы - треугольника Паскаля, в котором каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Расстановка шаров в бильярде как классический пример треугольника Паскаля. Изображение треугольника Паскаля в виде точек.

презентация [382,4 K], добавлен 16.12.2010

Определение свойств чисел и выражение соотношений между подмножествами одного множества. Арифметический треугольник Паскаля. Алгоритм вычисления биномиальных коэффициентов. Рассмотрение комбинаторных тождеств: правила симметрии и свертки Вандермонда.

курсовая работа [471,2 K], добавлен 10.10.2011

Биссектриса треугольника, центр вписанной окружности треугольника, точка Жергонна. Центр тяжести окружности треугольника. Решение задач на применение свойств биссектрисы. Окружность и прямая Эйлера, свойства окружности. Ортоцентр окружности треугольника.

курсовая работа [330,3 K], добавлен 13.05.2015

Медианы треугольника и их свойства. Открытие немецкого математика Г. Лейбница. Применение медиан в математической статистике. Основная сущность понятия "медиана тетраедра". Шесть доказательств теоремы о медианах. Теорема о медианах треугольника.

реферат [44,3 K], добавлен 05.01.2010

Методика нахождения уравнения прямой исследуемого треугольника и параллельной ей стороне с использованием углового коэффициента. Определение уравнения высоты этого треугольника. Порядок и составление алгоритма вычисления площади данного треугольника.

В школьном курсе алгебры рассматриваются формулы сокращенного умножения второй и третей степени, но меня заинтересовала задача возведение двучлена в более высокую степень.

Изучая треугольник Паскаля знакомимся с множеством интересных и удивительных свойств. Применение этих свойств поможет при решение задач комбинаторики. Изучение этих свойств и их применение рассмотрено в данной работе.

Определение треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля — арифметический треугольник, образованный биномиальными коэффициентами. Назван в честь Блеза Паскаля, данный треугольник представлен на рисунке 1.

Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух, расположенных над ним чисел. Продолжать треугольник можно бесконечно. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Имеет применение в теории вероятности и обладает занимательными свойствами.

Рисунок 1 Треугольник Паскаля
Из истории.

Рисунок 2 Треугольник Яна Хуэя в китайском средневековом манускрипте, 1303 год

Построение треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля часто выписывают в виде равнобедренного треугольника рисунок 3, в котором на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину.

Рисунок 3 Треугольник Паскаля

Свойства треугольника Паскаля и их применения

1 - Второе число каждой строки соответствует её номеру.
2 - Третье число каждой строки равно сумме номеров строк, ей предшествующих.
3 – Треугольник Паскаля представляет собой различные системы измерения пространства:

одномерное, двухмерное, трехмерное, четырехмерное и т.д. На рисунке 4 каждая зеленая линия показывает пространство, т.е. то количество шаров которые можно выложить друг под другом.

Рисунок 4 Треугольник Паскаля

3.1 – Одномерное пространство - первая зеленая линия

Это треугольные числа в одномерном пространстве - сколько бы шаров мы не взяли - больше одного расположить не сможем.

3.2. – Двухмерное пространство – вторая зеленая линия

Треугольное число — это число кружков, которые могут быть расставлены в форме равностороннего треугольника, смотри рисунок 5.

Рисунок 5 Треугольное число

Последовательность треугольных чисел для n = 0, 1, 2, … начинается так:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120

Классический пример треугольных чисел встречающихся в повседневной жизни – это начальная расстановка шаров в бильярде, представлена на рисунке 6.

Рисунок 6 Треугольные числа на бильярдном столе
3.3 – Трехмерное пространство это третья зеленая линия.

Это треугольные числа в трехмерном пространстве т.е. один шар мы можем положить на три – итого четыре, под три подложим шесть, представлено на рисунке 7.

Рисунок 7 Расположение четырех шаров в трехмерном пространстве
4 - Сумма чисел n-й восходящей диагонали, проведенной через строку треугольника с номером n − 1, есть n-е число Фибоначчи:

Числа Фибоначчи — элементы числовой последовательности

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,…

в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи).

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается линейным рекуррентным соотношением:

5 - Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.[4]

Числа Катала́на — числовая последовательность, встречающаяся в многих задачах комбинаторики. Последовательность названа в честь бельгийского математика Каталана, хотя была известна ещё Л. Эйлеру.

Первые несколько чисел Каталана:

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430,…

Числа Каталана удовлетворяют рекуррентному соотношению

,и для
6 - Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2 n .
7 - Простые делители чисел треугольника Паскаля образуют симметричные самоподобные структуры.

Рассмотрите треугольник, построенный "относительно" числа 7, то есть, числа, не делящиеся на 7 без остатка, нарисованы черным цветом, делящиеся - белым, и попробуем увидеть закономерность.

Рисунок 8 Треугольник Паскаля относительно делителя 7

8 - Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные - в белый, то образуется треугольник Серпинского. Данный треугольник представлен на рисунке 9.

Рисунок 9 Треугольник Серпинского

Применение свойств треугольника Паскаля

Предположим, что вы входите в город как показано на схеме синей стрелкой, и можете двигаться только вперед, точнее, все время выбирая, вперед налево, или вперед направо. Узлы, в которые можно попасть только единственным образом, отмечены зелеными смайликами, точка, в которую можно попасть двумя способами, показана красным смаликом, а тремя, соответственно, розовым. Это один из вариантов построения треугольника, предложенный Гуго Штейнгаузом в его классическом "Математическом калейдоскопе".

Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше.

Альтернатива треугольнику Паскаля:

перемножить почленно четыре скобки:

вспомнить разложение бинома Ньютона четвертой степени:

общий член разложения бинома n-й степени: ,

Используя свойства треугольника Паскаля мы можем вычислить сумму чисел натурального ряда. Например: нам необходимо вычислить сумму натурального ряда от 1 до 9. "Спустившись" по диагонали до числа 9, мы увидим слева снизу от него число 45. Оно то и дает искомую сумму.

Заключение

В работе приведены треугольник Паскаля, его интересные и удивительные свойства. Треугольник Паскаля применяется при решении различных алгебраических задач.

Данная работа позволяет научиться возводить двучлен в любую целую положительную степень, познакомиться с биномом Ньютона.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Научно- иследовательская работа на тему:

Выполнила: Морозова Ольга Васильевна

Научный руководитель:Сударева Евгения Аркадьевна

Г.Нижний Новгород. 2016-2017 гг.

Глава 1: Биография Блеза Паскаля, открытие треугольника Паскаля, его построение.

§1 Кто такой Блез Паскаль……………………………………………………. 5

§ 2 Что такое треугольник Паскаля…………………………………………….7

Глава 2: свойства треугольника Паскаля, решене комбнаторных задач возведение в степень с его помощью.

§ 1 Свойства треугольника Паскаля……………………………………. 9

§ 2 Решение комбинаторных задач с помощью треугольника Паскаля……..14

§3 Нахождение биномиальных коэффициентов……………………………. 16

§4 Нахождение степеней числа 11 с помощью треугольника Паскаля…. 17

Используемая литература…………………………………………………. .19

Обьект иследования: треугольник Паскаля.

Предмет по которому выполняется работа: математика.

Актуальность: Данная работа позволяет выявить, насколько широко может применятся треугольник Паскаля в практической жизни и повысить навыки решения задач с применением треугольника Паскаля, которые могут помочь в рамках изучения школьного курса математики.

1. Ознакомиться с биографией Блеза Паскаля.

2. Узнать что такое треугольник Паскаля.

3. Изучить свойства треугольника Паскаля.

4. Решить задачи с помощью треугольника Паскаля.

Мой личный вклад в работу состоит в отслеживании свойств арифметического треугольника в школьных учебниках, материалах ГИА и ЕГЭ, а также дополнительной литературе.

Практическое значение работы: материалы данной работы могут быть использованы в качестве дополнительного материала на уроках алгебры и геометрии как в обычных, так и в профильных классах.

На уроках геометрии мы часто разбирали темы связанные с треугольниками. Из учебника я узнала, что треугольники бывают прямоугольные, равносторонние и многие другие, но там рассказывалось только о геометрических треугольниках, и мне стало интересно узнать, существуют ли другие виды треугольников. Оказалось, что ещё бывают знаковые и арифметические треугольники. Одним из арифметических треугольников является треугольник Паскаля. О нём говорилось, что он обладает уникальными свойствами и с его помощью можно с лёгкостью решать многие задачи. Это меня очень заинтерисовало, и я решила изучить свойства треугольника Паскаля и научиться с его помощью решать задачи.

Когда я подробно познакомилась с треугольником Паскаля, большим открытием для меня оказалось, что это и не совсем треугольник в привычном для нас представлении. Это скорее таблица с интересной структурой, простой и совершенной, содержащая числа – коэффициенты. Поскольку числа данного треугольника обладают особыми свойствами, то сам треугольник Паскаля можно считать универсальным математическим инструментом . Именно это и является гипотезой моего исследования.

§1. Кто такой Блез Паскаль?

Также он сконструировал суммирующую машину. Был один из основоположников гидростатики, установил ее основной закон (Закон Паскаля: давление на поверхность жидкости, производимое внешними силами, передается жидкостью одинаково во всех направлениях). На законе Паскаля основано действие гидравлических прессов и других гидростатических машин.

Одно из его открытий – треугольник Паскаля, именно про него и будет эта работа.

§2. Что такое треугольник Паскаля.

Назван в честь Блеза Паскаля. В действительности, треугольник Паскаля был известен задолго до 1653 года - даты выхода "Трактата об арифметическом треугольнике". Так, этот треугольник воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанном в начале XVI Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета. Изображен треугольник и на иллюстрации в книге одного китайского математика, выпущенной в 1303 году. Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника около 1100 года, в свою очередь, заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.

Читайте также: