Реферат на тему теорема морли

Обновлено: 02.07.2024

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Проектная работа по математике на тему:

«Доказательство теоремы Морлея

Авторы:Сарайкина Ольга, Немков Ян

Руководители:Ленчевская Людмила Ивановна,

Барышева Элла Николаевна,

Моисеева Надежда Николаевна

Введение 6История открытия и доказательства теоремы Морлея 8Доказательство теоремы Франка Морлея для прямоугольного треугольника 11Заключение 13Литература 14

Цель работы:

- доказать собственным авторским способом теорему Франка Морлея о трисектрисах треугольника для любого прямоугольного треугольника.

При работе над этим проектом были поставлены следующие задачи:

- расширение математического кругозора;

- развитие творческих способностей;

- приобретение опыта самостоятельной научной работы;

- углубление знаний по математике и по истории математики.

Следовать за мыслями великого человека

есть наука самая замечательная

Представленная проектная работа имеет две части: в первой части рассматривается история открытия и доказательства английским ученым Франком Морлеем теоремы о трисектрисах треугольника; во второй части приводится оригинальное собственное доказательство авторами проекта теоремы Морлея для прямоугольного треугольника. Выполняя доказательство, авторы проявили эрудицию, смекалку и находчивость.

Данный проект имеет непосредственное отношение к одной теореме математики, которую окрестили “последним великим открытием планиметрии”. Сегодня она известна как теорема Морлея. Эта теорема является фундаментом многих исследований в области планиметрии и геометрии треугольника. Существует множество различных доказательств самой теоремы Морлея, но они раскрыли далеко не все тонкости, готовых принести пользу математике, а лишь затронули отдельный вопрос. Мы же в работе занялись исследованием некоторых особенностей, которые таит в себе теорема Морлея.

Актуальность рассматриваемой темы вытекает из того факта, что вопрос о трисектрисах треугольника и их свойствах еще недостаточно изучен, поэтому представляет интерес для изучения, с целью расширения наших знаний о математике и ее дальнейшем развитии.

Полученный результат оригинален и не был замечен нами ранее в литературе.

Фрэнк Морли (1860–1937) — английский математик, известный своими работами по алгебре и геометрии. Морли любил придумывать задачи, и за более чем 50 лет своей работы со времени окончания Кембриджского университета он опубликовал более 60 задач в Educational Times. Большинство этих задач — геометрические. Морли очень хорошо играл в шахматы. Одни раз он даже выиграл у чемпиона мира по шахматам Эмануэля Ласкера (примеч. Интересно, что Ласкер тоже занимался математикой, и одна из теорем названа его именем — теорема Ласкера — Нётер). Морли внес огромный вклад в развитие математики в США. В течение 30 лет он был редактором журнала American Journal of Mathematics, работал и в журнале Bulletin of the American Mathematical Society, в 1919–20 годах был президентом Американского математического общества.

Самым известным результатом Фрэнка Морли является теорема о трисектрисах треугольника, носящая его имя.

Сначала определим трисектрису, а затем докажем теорему.

Определение. Трисектрисой угла называется каждый из двух лучей, делящих этот угол на три равные части.

Теорема Морли. Точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего (правильного) треугольника.

Доказательство. Нужно доказать, что треугольник равносторонний.

Используя обозначения, приведенные на рисунке, поскольку в треугольнике сумма углов , имеем

Возьмем произвольный равносторонний треугольник . Пусть — точки на высотах треугольника (или на продолжениях высот) такие, что

$\angle XPY=\angle XPZ=\alpha+\frac<\pi> ,$

$\angle YQZ=\angle YQX=\beta+\frac<\pi> ,$

$\angle ZRX=\angle ZRY=\gamma+\frac<\pi> .$

Пусть — точка пересечения и , — точка пересечения и , и — точка пересечения и . Тогда в четырехугольнике

$\angle AQX=2\beta+\frac<\pi> ,$

$\angle ARX=2\gamma+\frac<\pi> ,$

$\angle QXR=2\alpha+\beta+\gamma+\frac<\pi> .$

Следовательно, . Аналогично, и .

Проведем окружность с центром в точке , касающуюся . Так как — биссектриса , то эта окружность также касается . Теперь проведем касательные к окружности и . Обозначим через точку пересечения этих касательных. Тогда

Тогда сумма углов и в четырехугольнике равна

$\displaystyle 2\alpha+\frac<\pi> +2\beta+2\gamma=\pi,$

откуда . Другими словами, — прямая, так что точки и совпадают. Следовательно, . Аналогично определяются углы треугольников и , откуда получаем, что углы треугольника равны и . Если необходимо, этот треугольник можно заменить подобным ему, который будет совпадать с .

Фрэнк Морли (1860–1937) — английский математик, известный своими работами по алгебре и геометрии. Морли любил придумывать задачи, и за более чем 50 лет своей работы со времени окончания Кембриджского университета он опубликовал более 60 задач в Educational Times. Большинство этих задач — геометрические. Морли очень хорошо играл в шахматы. Одни раз он даже выиграл у чемпиона мира по шахматам Эмануэля Ласкера (примеч. Интересно, что Ласкер тоже занимался математикой, и одна из теорем названа его именем — теорема Ласкера — Нётер). Морли внес огромный вклад в развитие математики в США. В течение 30 лет он был редактором журнала American Journal of Mathematics, работал и в журнале Bulletin of the American Mathematical Society, в 1919–20 годах был президентом Американского математического общества. Самым известным результатом Фрэнка Морли является теорема о трисектрисах треугольника, носящая его имя.

Определение. Трисектрисой угла называется каждый из двух лучей, делящих этот угол на три равные части .

Теорема : Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника Дано: Δ ABC Доказать: Δ ZYX – равносторонний A С B X Y Z         

Теорема : Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника A С B X Y Z          Пусть  А=3  ,  B =3  ,  C =3  , тогда 3  +3  +3  =180  . Тогда  +  +  =60  . В треугольнике ABC сторона AC =2 RsinB , поэтому в треугольнике AZC AC =2 Rsin ³  ,  ZAC =  ,  ZCA =  . Применим к этому треугольнику теорему синусов: Т.к  Z =180  -  -  и α+  +  =60  , то sin С= sin (180-  -  )= sin (  +  )= sin (60-  ), следовательно, согласно формуле, Доказательство :

Теорема : Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника A С B X Y Z          s in3  =4sin  sin(60+  )sin(60-  ), поэтому AZ =8 Rsin  sin  sin (60+  ) Аналогично из треугольника ABY находим: AY =8 Rsin  sin  sin (60+  ) Теперь по теореме косинусов из треугольника AZY можно найти ZY ²: Доказательство :

Теорема : Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника A С B X Y Z          Преобразуем выражение в квадратных скобках. Для этого рассмотрим какой-нибудь треугольник, два угла которого равны (60+  ) и (60+  ). Такой треугольник существует, поскольку сумма этих углов меньше 180  . Третий угол этого треугольника равен  . Пусть r – радиус описанной около него окружности. Тогда его стороны равны: 2 rsin (60+  ), 2 rsin (60+  ) и 2 rsin  . Применим к нему теорему косинусов: Доказательство :

Теорема : Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника A С B X Y Z          С окращ аем на 4 r ² , делаем вывод, что выражение в квадратных скобках равно sin ²  . Следовательно, для стороны ZY окончательно получаем ZY=8R sin  sin  sin  . В это выражение углы  ,  и  входят симметрично. Поэтому для выражений для XY и XZ будут такими же. Это означает, что треугольник XYZ – равносторонний. Доказательство :

Задача 1. Биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. Доказать, что угол СОВ на 90 º больше, чем половина угла А.

Теорема Морлея [1] или теорема Морли [2] о трисектрисах — одна из самых удивительных теорем геометрии треугольника. Трисектрисами угла называются два луча, делящие угол на три равные части.

Точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника.

На чертеже справа три разноцветных угла при каждой вершине большого треугольника равны. Теорема утверждает, что независимо от выбора большого треугольника маленький фиолетовый треугольник будет равносторонним.

История

См. также

Примечания

↑Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П.Новые встречи с геометрией. — М .: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
↑В. В. Прасолов.Задачи по планиметрии. — М .: МЦНМО, 2006. — 640 с. — ISBN 5-94057-214-6

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Теорема Морли" в других словарях:

Морли, Фрэнк — Фрэнк Морли Франк Морлей (другие написания: Фрэнк Морли) (англ. Frank Morley, 9 сентября 1860 17 октября 1937) математик, который внёс большой вклад в алгебру и геоме … Википедия

Морли Фрэнк — Фрэнк Морли Франк Морлей (англ. Frank Morley, 9 сентября 1860 17 октября 1937) был математиком, который внёс большой вклад в алгебру и геометрию. Родился в Англии в городке Вудбридж. Его родители были владельцами небольшого магазинчика. В 1900… … Википедия

Фрэнк Морли — Франк Морлей (англ. Frank Morley, 9 сентября 1860 17 октября 1937) был математиком, который внёс большой вклад в алгебру и геометрию. Родился в Англии в городке Вудбридж. Его родители были владельцами небольшого магазинчика. В 1900 году Морлей… … Википедия

МОДЕЛЕЙ ТЕОРИЯ — раздел математической логики, изучающий математические модели. Начало М. т. относится к 30 м гг. 20 в., когда были доказаны следующие две основные теоремы. Теорема 1 (теорема Гёделя Мальцева). Если каждая конечная подсовокупность совокупности… … Математическая энциклопедия

ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ — физическая теория, рассматривающая пространственно временные закономерности, справедливые для любых физ. процессов. Универсальность пространственно временных св в, рассматриваемых О. т., позволяет говорить о них просто как о .св вах пространства… … Физическая энциклопедия

Морлей, Франк — Фрэнк Морли Франк Морлей (англ. Frank Morley, 9 сентября 1860 17 октября 1937) был математиком, который внёс большой вклад в алгебру и геометрию. Родился в Англии в городке Вудбридж. Его родители были владельцами небольшого магазинчика. В 1900… … Википедия

Морлей, Фрэнк — Фрэнк Морли Франк Морлей (англ. Frank Morley, 9 сентября 1860 17 октября 1937) был математиком, который внёс большой вклад в алгебру и геометрию. Родился в Англии в городке Вудбридж. Его родители были владельцами небольшого магазинчика. В 1900… … Википедия

Морлей Ф. — Фрэнк Морли Франк Морлей (англ. Frank Morley, 9 сентября 1860 17 октября 1937) был математиком, который внёс большой вклад в алгебру и геометрию. Родился в Англии в городке Вудбридж. Его родители были владельцами небольшого магазинчика. В 1900… … Википедия

Морлей Франк — Фрэнк Морли Франк Морлей (англ. Frank Morley, 9 сентября 1860 17 октября 1937) был математиком, который внёс большой вклад в алгебру и геометрию. Родился в Англии в городке Вудбридж. Его родители были владельцами небольшого магазинчика. В 1900… … Википедия

Франк Морлей — Фрэнк Морли Франк Морлей (англ. Frank Morley, 9 сентября 1860 17 октября 1937) был математиком, который внёс большой вклад в алгебру и геометрию. Родился в Англии в городке Вудбридж. Его родители были владельцами небольшого магазинчика. В 1900… … Википедия

Читайте также: