Реферат на тему теорема безу

Обновлено: 02.07.2024

Цель урока:

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Оборудование: мультимедиа проектор, презентация к уроку, компьютерный класс.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Возникновение проблемной ситуации

На этом уроке мы научимся решать уравнения высших степеней, а алгоритм решения выведем сами.

Решить уравнение: x 3 - 2x 2 - 6x + 4=0 (Слайд 3). Возникает проблема: Мы понимаем, что было бы удобно представить левую часть уравнения в виде произведения, и так как произведение равно нулю, то приравнять к нулю каждый множитель. Для этого надо разложить многочлен 3-ей степени на множители. Но как? Можно ли сгруппировать или вынести общий множитель за скобку в нашем случае? (Нет).

III. Актуализация опорных знаний

Вспомним, как разложить на множители многочлен х 2 - 5х - 6? (Слайд 4).

(По формуле разложения на множители квадратного трехчлена:

ах 2 + bх + с = a(x – x₁)(x-x₂), где х₁ и х₂ корни трехчлена).

Найдите корни трехчлена двумя способами. Какими?

(по формуле корней квадратного уравнения и по теореме Виета).

Решают на доске от каждой группы по одному ученику. Остальные учащиеся в тетрадях. Получили: х 2 - 5х - 6 = (х - 6) (х + 1).

Это значит, что трехчлен делится на каждый из двучленов: х – 6 и х + 1.

Обратите внимание на свободный член нашего трехчлена и найдите его делители (±1, ±2, ±3, ±6).

Какие из делителей являются корнями трехчлена? (-1 и 6)

Какой вывод можно сделать? (Корни трехчлена являются делителями свободного члена).

IV. Выдвижение гипотезы

Так какой же одночлен поможет подобрать корни многочлена?

Р(х) = x 3 - 2x 2 - 6x + 4=0?

Выпишите его делители: ±1; ±2; ±4.

Найдите значения многочлена для каждого делителя. С помощью электронных таблиц и непосредственно:

(При вычислении в электронных таблицах в ячейку В2 ученики вводят формулу: =А1^3-2*A1^2-6*A1+4. С помощью маркера автозаполнения получают значения многочлена во всем столбце).

Какой из делителей является корнем многочлена? (-2)

Таким образом, один из множителей в разложении будет х-(-2) = x + 2.

Как найти другие множители?

А как еще можно? (по схеме Горнера). (Слайд 5)

Что такое схема Горнера? (Схема Горнера – это алгоритм деления многочленов, записанный для частного случая, когда делитель равен двучлену x–a).

-2

-6

-2

Разделили без остатка.

Вернемся к уравнению: x 3 - 2x 2 - 6x + 4= (x 2 -4x+2)(x+ 2)=0

x 2 -2x+2=0 - квадратное уравнение. Решите его:

А мог получиться остаток при делении? Ответим на этот вопрос позднее. А сейчас назовите значение многочлена при х = - 2. (Значение равно нулю).

Прошу обратить ваше внимание, что x = - 2 является корнем многочлена и остаток от деления многочлена на х-(-2) равен 0.

Рассмотрим х=1 - не является корнем уравнения.

-2

-6

-2

Итак, x 3 - 2x 2 - 6x + 4 = (х – 1)∙( x 2 - х – 7) – 3.

Отметим, что x=1 не является корнем многочлена и остаток от деления многочлена на (х-1) равен значению многочлена при х=1.

Вот и ответ на вопрос об остатке. Да, остаток получился, при таком значении х, которое не является корнем многочлена.

Давайте продолжим схему Горнера для остальных делителей свободного члена. Теперь пусть первая группа вычисляет за компьютером, а вторая в тетрадях.

V. Доказательство гипотезы

(Слайд 6) Вы заметили закономерность об остатке. Какую? (остаток получился, при таком значении х, которое не является корнем многочлена).

А давайте запишем эту закономерность в общем виде.

Пусть Р(х) - многочлен, а - некоторое число.

Докажем утверждение: Остаток от деления Р(х) на (x - а) равен Р(а).

Доказательство. Разделим Р(х) c остатком на (x - а).

Получим Р(х)= (x - а)Q(х) + R; по определению остатка, многочлен r либо равен 0, либо имеет степень, меньшую степени (x - a), т.е. меньшую 1. Но степень многочлена меньше 1 только в случае, когда она равна 0, и поэтому в обоих случаях R на самом деле является числом – нулем или отличным от нуля.

Подставив теперь в равенство Р(х)= (x - а)Q(х) + R значение x = a, мы получим Р(a)= (a - а)Q(х) + R, P(a) = R, так что действительно R = P(a).

Эту закономерность отметил и математик Безу.

(Слайд 7) Этьенн Безу - французский математик, член Парижской Академии Наук (с 1758 года), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года. С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

Основные работы Этьенна Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений.

В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках.

Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный "Курс математики", написанный им в 1764-69 годах.

Безу развил метод неопределённых множителей. В элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе.

Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике.

Именем ученого названа одна из основных теорем алгебры.

Следствие

Какой должен быть остаток, чтобы многочлен Р(х) делился нацело на двучлен (х – а)? (равен 0).

Получаем следствие из теоремы Безу: Для того, чтобы многочлен Р(х) делился нацело на двучлен (х – а), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Р(а) = 0.

VI. Усвоение изученного

(Слайд 8) Решить уравнение: х 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 = 0.

Целые корни многочлена Р(х) = х 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 должны быть делителями свободного члена, так что это могут быть числа -1, 1, 3, -3.

французский математик, член Парижской Академии Наук( с 1758 года ), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.

С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей , развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К. Маклореном ) о том , что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный“Курс математики “, написанный им в 1764-69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе . Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры.

Теорема Безу.

Остаток от деления полинома P n ( x )

на двучлен ( x - a ) равен значению

этого полинома при x = a .

P n ( x ) – данный многочлен степени n ,

двучлен ( x - a ) - его делитель,

Q n -1 ( x ) – частное от деления P n ( x ) на x - a (многочлен степени n-1 ) ,

R – остаток от деления ( R не содержит переменной x как делитель первой степени относительно x ).

Доказательство :

Согласно правилу деления многочленов с остатком можно записать :

P n (x) = (x-a)Q n-1 (x) + R .

Отсюда при x = a :

P n (a) = (a-a)Q n-1 (a) + R =0*Q n-1 (a)+R=

=0+ R = R .

Значит , R = P n ( a ) , т.е. остаток от деления полинома на ( x - a ) равен значению этого

полинома при x = a , что и требовалось доказать .

Следствия из теоремы .

Следствие 1 :

Остаток от деления полинома P n ( x )

на двучлен ax + b равен значению

этого полинома при x = - b / a ,

т . е . R=P n (-b/a) .

Согласно правилу деления многочленов :

P n (x)= (ax + b) * Q n-1 (x) + R .

В нем мы хотим рассмотреть, что такое многочлен, что является корнем многочлена, а также рассказать про схему Горнера и теорему Безу.

В первой части мы разберем понятие многочлена, его корней и их виды и про схему Горнера. Во второй про теорему Безу.

Данная тема довольно актуальна, поскольку теорема Безу является одной из базовых теорем алгебры.

1.1. Понятие многочлена

Многочлен (полином) от одной переменной x – это выражение вида

где x – переменная , – коэффициенты из некоторого числового поля, n – целое неотрицательное число, а нулевое- свободный член. Отдельные слагаемые вида ……, k=0,1, …,n называются членами многочлена.

2 члена называются подобными, если их степени равны. При этом подобные между собой члены можно преобразовать в один, т.е. привести подобные члены.

Степенью многочлена называют наибольшую среди степеней многочлена, при этом многочлен f(x)- не тождественный нуль. Обозначается эта степень deg(f).

-многочлен четвертой степени (старшая степень равна четырем);

- многочлен второй степени или квадратный (старшая степень равна двум).

При этом тождественный нуль степени не имеет.

Предполагается, что коэффициенты многочлена принадлежат определенному полю (полю действительных, рациональных, комплексных чисел). Так, если выполнять над многочленом операции сложения, умножения или вычитания при помощи сочетательного, переместительного и распределительных законов, мы получаем снова многочлен.

Из вышесказанного следует, что совокупность всех многочленов с коэффициентами из данного поля Р образует кольцо Р - кольцо многочленов над данным полем, это кольцо не имеет делителей нуля, т.е. произведение многочленов, не равных нулю, не может дать нуль.

1.2. Определение корня многочлена

Элемент кольца Р называется корнем многочлена f(x) ∈ Р , если f( )=0. Другими словами, число является корнем многочлена f(x), если в выражение

+ =0

мы подставим , тогда получим

+ =0.

Таким образом, при подстановке вместо число получается верное выражение. Это означает, что число является корнем равенства f(x)=0.

Поэтому корень многочлена f(x) и корень соответствующего уравнения f(x)=0 по сути одно и то же.

К примеру, найдём корень многочлена f(x)=3 -10+3

Данное выражение является квадратным поэтому для нахождения корня многочлена нам необходимо решить следующее уравнение

3 -10х+3=0.

Для этого необходимо рассмотреть алгоритм решения квадратных уравнений.

Алгоритм решения квадратных уравнений

+bx+c=0

1.Найти дискриминант D по формуле D= -4ac.

2.Если D 0, то уравнение имеет два корня:

, .

Теперь приступим к решению нашего уравнения 3 -10х+3=0,

где =3, b=-10 а с=3.

D= -4*3*3=64

Поскольку D>0, то у данного уравнения два корня. Находим их:

; .

Таким образом, корнями многочлена f(x)=3 -10+3 будут являться числа 3 и .

Схема Горнера (или правило Горнера, метод Горнера) — алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы полиномов (одночленов), при заданном значении переменной. Она, в свою очередь, и помогает нам выяснить, является ли число корнем данного многочлена или нет.

Для начала рассмотрим как делится многочлен f(x )на двучлен g(x).

Это можно записать следующим образом: f(x):g(x)=n(x), где f(x)- делимое, g(x)- делитель а n(x)- частное.

Но в случае, когда f(x) не делится нацело на g(x) имеет место общая запись выражения

7. С. Каплунова Теория многочленов и уравнения высших степеней // Математика: учебно-методическая газета. —2007. — №14. — С.16-17

Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 21764
Количество таблиц: 22
Количество изображений: 0

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей , развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированнуюК. Маклореном ) о том , что две кривые порядка m и nпересекаются не более чем вmnточках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный“Курс математики “, написанный им в 1764-69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе . Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры.

ТеоремаБезу.

Остаток от деления полинома Pn(x)

на двучлен (x-a) равен значению

этого полинома приx = a.

Pn(x) – данный многочлен степениn ,

двучлен (x-a) -его делитель,

Qn-1(x) – частное от деления Pn(x) на x-a(многочлен степени n-1 ) ,

R – остаток от деления ( R не содержит переменной x как делитель первой степени относительно x ).

Доказательство :

Согласно правилу деления многочленов с остатком можно записать :

Pn (x) = (x-a)Qn-1(x) + R .

Pn (a) = (a-a)Qn-1 (a) + R =0*Qn-1(a)+R=

=0+R=R .Значит , R = Pn (a) , т.е. остаток от деления полиномана(x-a)равензначениюэтого

полиномаприx=a ,чтоитребовалось доказать .

Следствия из теоремы .

Остаток от деления полинома Pn (x)

надвучленax+b равензначению

этогополиномаприx = -b/a ,

т. е.R=Pn (-b/a) .

Согласно правилу деления многочленов :

Pn (x)= (ax + b)* Qn-1 (x) + R .

Pn (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R.Значит ,R = Pn (-b/a) , что и требовалось доказать.

Есличислоa является корнем

многочленаP (x) ,то этот

многочлен делится на(x-a)без

По теореме Безу остаток от делениямногочлена P (x) наx-aравенP (a) , а по условию a является корнем P (x) , а это значит , что P (a) = 0 ,что и требовалось доказать .Из данного следствия теоремыБезу видно , что задачарешения уравнения P (x) = 0 равносильназадаче выделения делителей многочленаP ,имеющихпервуюстепень ( линейных делителей ) .

ЕслимногочленP (x)имеет

попарноразличныекорни

a1 , a2 , … , an ,то он делится на

произведение(x-a1) … (x-an)

Теорема Безу.

Остаток от деления полинома Pn(x)

на двучлен (x-a) равен значению

этого полинома при x = a.

Пусть :

Pn(x) – данный многочлен степени n ,

двучлен (x-a) - его делитель,

Qn-1(x) – частное от деления Pn(x) на x-a (многочлен степени n-1 ) ,

R – остаток от деления ( R не содержит переменной x как делитель первой степени относительно x ).

Доказательство :

Согласно правилу деления многочленов с остатком можно записать :

Pn (x) = (x-a)Qn-1(x) + R .

Отсюда при x = a :

Pn (a) = (a-a)Qn-1 (a) + R =0*Qn-1(a)+R=

=0+R=R .

Значит , R = Pn (a) , т.е. остаток от деления полинома на (x-a) равен значению этого

полинома при x=a , что и требовалось доказать .

Следствия из теоремы .

Следствие 1 :

Остаток от деления полинома Pn (x)

на двучлен ax+b равен значению

этого полинома при x = -b/a ,

т. е. R=Pn (-b/a) .

Согласно правилу деления многочленов :

Pn (x)= (ax + b)* Qn-1 (x) + R .

Pn (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R. Значит , R = Pn (-b/a) , что и требовалось доказать.

Следствие 2:

Если число a является корнем

многочлена P (x) , то этот

многочлен делится на (x-a) без

остатка .

По теореме Безу остаток от деления многочлена P (x) на x-a равен P (a) , а по условию a является корнем P (x) , а это значит , что P (a) = 0 , что и требовалось доказать .

Из данного следствия теоремы Безу видно , что задача решения уравнения P (x) = 0 равносильна задаче выделения делителей многочлена P , имеющих первую степень ( линейных делителей ) .

Следствие 3 :

Если многочлен P (x) имеет

попарно различные корни

a1 , a2 , … , an , то он делится на

произведение (x-a1) … (x-an)

без остатка .

Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней . При n=1 утверждение доказано в следствии 2 . Пусть оно уже доказано для случая , когда число корней равно k , это значит , что P(x) делится без остатка на (x-a1)(x-a2) … (x-ak) , где

a1 , a2 , … , ak - его корни .

Пусть P(x) имеет k+1 попарно различных корней .По предположению индукции a1 , a2 , ak , … , ak+1 являются корнями многочлена, а , значит, многочлен делится на произедение (x-a1) … (x-ak) , откуда выходит , что

P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x).

При этом ak+1 – корень многочлена P(x) , т. е. P(ak+1) = 0 .

Значит , подставляя вместо x ak+1 , получаем верное равенство :

P(ak+1) = (ak+1-a1) … (ak+1-ak)Q(ak+1) =

Но ak+1 отлично от чисел a1 , … , ak , и потому ни одно из чисел ak+1-a1 , … , ak+1-ak не равно 0 . Следовательно , нулю равно Q(ak+1) , т. е. ak+1 – корень многочлена Q(x) . А из следствия 2 выходит , что Q(x) делится на x-ak+1 без остатка .

Q(x) = (x-ak+1)Q1(x) , и потому

=(x-a1) … (x-ak)(x-ak+1)Q1(x) .

Это и означает , что P(x) делится на (x-a1) … (x-ak+1) без остатка .

Итак, доказано , что теорема верна при k =1 , а из её справедливости при n = k вытекает , что она верна и при n = k+1. Таким образом, теорема верна при любом числе корней , что и требовалось доказать .

Следствие 4 :

Многочлен степени n имеет не более

n различных корней .

Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен Pn(x) степени n имел бы более n корней - n+k (a1 , a2 , … , an+k - его корни ) , тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он

бы делился на произведение (x-a1) … (x-an+k) , имеющее степень n+k , что невозможно .

Мы пришли к противоречию , значит наше предположение неверно и многочлен степени n не может иметь более , чем n корней , что и требовалось доказать .

Следствие 5 :

Для любого многочлена P(x)

и числа a разность

(P(x)-P(a)) делится без

остатка на двучлен (x-a) .

Пусть P(x) – данный многочлен степени n , a - любое число .

Многочлен Pn(x) можно представить в виде :

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.

Читайте также: