Реферат на тему противоположные числа

Обновлено: 17.05.2024

На самых ранних ступенях развития люди знали только натуральные числа. Но этими числами нельзя обойтись даже в самых простых случаях. Действительно, одно натуральное число невозможно в общем случае разделить на другое, если пользоваться только натуральными числами. Между тем в жизни бывает так, что надо делить, скажем, 3 на 4, 5 на 12 и т. д. Без введения дробных чисел деление натуральных чисел — невозможное действие; введение дробей делает это действие возможным.

Прикрепленные файлы: 1 файл

Положительные и отрицательные числа.docx

На тему: Положительные и отрицательные числа

Учительница: Атаева Гяндаб Рафиковна

Ученик: 6а класса Теймур Гасымов

Но действие вычитания и после введения дробей остается не всегда возможным: нельзя вычесть большее число из меньшего, например 5 из 3. Однако в повседневной жизни и не представляется необходимым производить подобное вычитание, и потому очень долгое время оно считалось не только невозможным, но и совершенно бессмысленным.

Развитие алгебры показало, что такое действие необходимо ввести в математику, и оно было узаконено индийскими учеными примерно в VII в., а китайскими еще раньше. Индийские ученые, стараясь найти и в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчетов.

Так мы получаем новые числа, обозначаемые в настоящее время так:

Введение целых отрицательных чисел влечет за собой введение и дробных отрицательных чисел.Если мы принимаем, что 0 - 5= -5, то должны принять также, что 0 - 12/7= -12/7. Число -12/7 есть дробное отрицательное число.

Положительные и отрицательные числа (целые и дробные) вместе в школьных руководствах именуют относительными числами. В принятой научной терминологии эти числа вместе с числом нуль называют рациональными. Смысл этого названия выясняется при введении понятия иррационального числа. Подобно тому, как до введения отрицательного числа нет никаких положительных чисел, и число 3/4 есть просто дробное число, а не положительное дробное число, так и до введения иррационального числа числа +5, -5, -3/4, +3/4 и т.д. просто суть положительные и отрицательные целые и дробные числа, а не рациональные числа. Рациональные числа обозначаются большой латинской буквой R. Число 0 относится к целым рациональным числам. С натуральными и дробными положительными числами мы ознакомились ранее. Рассмотрим подробнее отрицательные числа в составе рациональных чисел.

Каждому рациональному числу на числовой оси соответствует единственная точка. Рассмотрим числовую ось (рисунок внизу), обозначим на ней точку О.

Точке О поставим в соответствие число 0. Число 0 служит границей междуположительными и отрицательными числами: справа от 0 — положительные числа, величина которых изменяется от 0 до плюс бесконечности, а слева от 0 —отрицательные числа, величина которых тоже изменяется от 0 до минус бесконечности.

Правило. Всякое число, стоящее на числовой оси правее, больше числа, стоящего левее.

Исходя из этого правила, положительные числа растут слева направо, а отрицательные убывают справа налево (при этом модуль отрицательного числа увеличивается).

Свойства чисел на числовой оси

Всякое положительное число и 0 больше любого отрицательного числа.
Всякое положительное число больше 0. Всякое отрицательное число меньше 0.
Всякое отрицательное число меньше положительного числа. Положительное или отрицательное число, стоящее правее, больше положительного или отрицательного числа, стоящего левее на числовой оси.

Определение. Числа, которые отличаются друг от друга только знаком, называются противоположными.

Например, числа 2 и -2, 6 и -6. -10 и 10. Противоположные числа расположены на числовой оси в противоположных направлениях от точки О, но на одинаковом расстоянии от нее.

Дробные числа, представляющие собой в записи обыкновенную или десятичную дробь, подчиняются тем же правилам на числовой оси, что и целые числа. Из двух дробей больше та, которая стоит на числовой оси правее; отрицательные дроби меньше положительных дробей; всякая положительная дробь больше 0; всякая отрицательная дробь меньше 0.

Например: Противоположные дроби: 0,5 и -0,5;

Для каждого натурального числа n существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое -n, которое дополняет n до нуля:

Оба числа называются противоположн ыми друг для друга. Вычитание целого числа a из другого целого числа b равносильно сложению b с противоположным для a:

При делении с остатком частное может иметь любой знак, но остаток, по соглашению, всегда неотрицателен (иначе он определяется не однозначно). Например, разделим −24 на 5 с остатком:

Свойства отрицательных чисел

Отрицательные числа подчиняются практически тем же алгебраическим правилам, что и натуральные, но имеют некоторые особенности.

Радость и грусть, энергичность и слабость — противоположные эмоции, которые мы все испытывали и знаем. А какие числа называют противоположными в 6 классе еще известно не всем.

О чем эта статья:

Определение противоположных чисел

В 6 классе каждый школьник должен узнать, какие числа являются противоположными. Сейчас расскажем! Для начала построим координатную прямую.

Координатная ось — это прямая линия, на которой отмечено начало координат, задан единичный отрезок и стрелкой указано положительное направление.

Точки M(-4) и N(4) одинаково удалены от точки O и находятся в противоположных направлениях по разные стороны от нее. Поэтому числа -4 и 4 называют противоположными.

Противоположными называются числа, которым соответствуют такие точки на координатной прямой, в которые мы попадем, если отметим одно и то же расстояние от начала отсчета в разных направлениях (положительном и отрицательном). Нуль при этом находится в начале отсчета и противоположен сам себе.

Пары противоположных чисел:

Целые числа включают в себя натуральные числа, числа противоположные натуральным (то есть с отрицательным знаком) и ноль.

Обозначение противоположных чисел

Противоположные числа — это два числа, которые отличаются друг от друга знаками.

Другими словами, число, которое противоположно t, обозначается -t. Например:

Если t = -13, то ему противоположное -t = 13.
Если t = 0,123, то ему противоположное -t = -0,123.
Если t = 0, то ему противоположное -t = 0.

Запись -(-t) означает число, противоположное -t. Например, -(-0,09) = 0,09. Число, противоположное -0,09, есть число 0,09.

Примеры противоположных чисел:

Примеры противоположных рациональных чисел:

Противоположными могут быть и иррациональные числа, например, значения числовых выражений (√4 + 2) и -(√4 + 2).

Свойства противоположных чисел

Перечислим основные свойства противоположных чисел:

Для каждого действительного числа существует только одно число, которое ему противоположно.

Это объясняется тем, что для каждой точки координатной оси существует только одна точка, симметричная ей относительно нуля.

Противоположные числа имеют разные знаки: одно из них является положительным, а второе отрицательным.

Это свойство следует из того, что противоположные числа находятся на координатной оси по разные стороны от нуля и имеют разные знаки. Исключение: число нуль (0).

Значит, если исходное число со знаком плюс, то противоположное ему будет со знаком минус. А если исходное число является отрицательным, то противоположное ему будет положительным.

Свойство симметричности: если число a противоположно числу b , то b противоположно a .
Модули противоположных чисел равны.

Точки координатной прямой, которые соответствуют противоположным числам, находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета.

Сумма противоположных чисел всегда равна нулю:
n + (-n) = n - n = 0.

То есть, такие числа одинаковы по модулю, но имеют разные знаки.

Рассмотрим несколько примеров. Сумма противоположных чисел 101 и -101 равна 0, результат сложения противоположных чисел √5 и -√5 также равен нулю.

Задания для самопроверки

Назовите число, противоположное данному:

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Определение противоположных чисел

Противоположными называются два числа, которые отличаются друг от друга только знаком.

Обозначим некоторое число буквой a. Тогда противоположным ему будет число -a.

Примеры

Приведем несколько примеров пар противоположных чисел:

Противоположные числа на координатной оси

Проведем координатную ось – прямую линию, на которой отмечено начало координат, задан масштаб и стрелкой указано положительное направление.

Изобразим на координатной оси два противоположных числа a и -a.

Рис. 1. Изображение противоположных чисел на координатной оси.

Из рис. 1 видно, что противоположные числа расположены на одинаковом расстоянии, но в противоположных направлениях от начала координатной оси. Поэтому такие числа и называются противоположными.

Как найти число, противоположное данному

Сформулируем правило, по которому мы можем написать два противоположных числа.

Есть только одно число, которое является противоположным самому себе. Это число 0 (нуль).

В городе Будапеште, который является столицей Венгрии, установлен памятник нулю. Высота памятника составляет 3 м.

Рис. 2. Памятник нулю в Будапеште.

В России тоже есть несколько мест, которые называют памятниками нулю. Например, памятный знак нулевого километра у Воскресенских ворот в Москве.

Рис. 3. Памятный знак нулевого километра в Москве.

Многие считают, что если кинуть монетку так, чтобы попасть на бронзовый памятный знак, и загадать желание, оно обязательно сбудется. А если это высокие памятники, как памятник в Будапеште, то существует следующая легенда: нужно пролезть внутрь нуля – тогда к зарплате прибавится несколько нулей.

Основные свойства противоположных чисел

Перечислим основные свойства противоположных чисел. Справедливость этих свойств подтверждает рис. 1.

Для каждого числа существует только одно число, которое ему противоположно.

Два противоположных числа имеют разные знаки: одно из них является положительным, а второе отрицательным.

Это свойство следует из того, что противоположные числа находятся на координатной оси по разные стороны от нуля, они имеют разные знаки.

Исключение: число 0.

Таким образом, если исходное число является положительным, то противоположное ему будет отрицательным. А если исходное число является отрицательным, то противоположное ему будет положительным.

Это объясняется тем, что они одинаковы по модулю, но имеют разные знаки.

Пример

Рассмотрим число 4.

Найдем сумму этих чисел:

Что мы узнали?

Из темы по алгебре, которая изучается в 6 классе, мы узнали, что противоположные числа образуют пару чисел, из которых одно является положительным, а второе – отрицательным. Единственным исключением является число 0, которое противоположно самому себе. На числовой (координатной) оси противоположные числа находятся на одинаковых расстояниях, но в противоположных направлениях от начала координат.

С числами, которые называют магическими, сталкивались все. В сказках, легендах, пословицах и поговорках, в календарях и на циферблатах, в ритуалах и культах можно встретить такие установившиеся формы как три желания, семь дней недели, семеро козлят, 12 месяцев. С русским языком и литературой неразрывно связана математика и алгебра. Вообще, особое внимание всегда уделялось числам 7, 12, 3 и 9.Эти цифры всегда считались магическими –3 фазы жизни, 3 уровня загробной жизни, 7 дней в неделе, 12 месяцев.

Вложение	Размер
smirnova_marina_prezentatsiya_na_temu_polozhitelnye_i_otritsatelnye_chisla.ppt	108.5 КБ
smirnova_marina_referat.doc	774.5 КБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Противоположные числа. Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами. -5 и 5 противоположные числа 7 и -7 тоже противоположные числа Натуральные числа ,противоположные им числа и нуль называют целыми числами.

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел. Сложение чисел с помощью координатной прямой. Пусть температура воздуха равна 8градусов.Если она изменится на 3градуса (т.е. повысится на 3градуса),то она станет равной 11градусов: 8+3=11.Таким образом, температура стала равной сумме первоначального значения и изменения. Например :Найдем сумму чисел -7и 4. (-7)+4=-3

Сложение чисел с разными знаками. Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:1)из большего модуля слагаемых вычесть меньший;2)поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше. Обычно сначала определяют и записывают знак суммы, а потом находят разность модулей. Например: 1)6,1+(-4,2)=+(6,1-4,2)=1,9,или, короче, 6,1+(-4,2)=6,1-4,2=1,9

Вычитание. Вычитание отрицательных чисел имеет тот же самый смысл, что и вычитание положительных чисел: по заданной сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое. Чтобы найти искомое слагаемое, можно прибавить к сумме число, противоположное известному слагаемому. Например: 8+3=11,и потому 11-8=3. Но 11+(-8) тоже равно 3, Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому : а - б = а +(-б). Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.

Предварительный просмотр:

Выполнила ученица 6а класса

Представленные в человеческой речи числа возникли не случайно. Их возникновение связано с существованием и деятельностью человека. Процесс счета окружающих предметов с течением времени приобретал характер естественности, так как без чисел и, собственно, счисления, человечество не могло существовать. В древности некоторые числа были связаны с представлениями об окружающих предметах, таких как Луна, Солнце, руки, пальцы, ноги и т.д. Но в процессе эволюции у развитых цивилизаций, обладающей собственной системой счисления, появилась потребность в облегчении представлений о числе, облачая их сущность и значение в общепринятых, передаваемых из поколения в поколение пословицах и поговорках. Наиболее развиты в отношении пословиц и поговорок оказались представители русского народа.
Давайте начнем рассматривать числа в известных всем пословицах и поговорках, загадках. Олицетворение чисел положило собой начало долгого пути становления их в народных пословицах и поговорках, загадках.

Число 2 (два) в пословицах и поговорках
Одна нога тут - другая там.
Два сапога - пара.
Одна голова хорошо, а две лучше.
Как две капли воды.
Меж двух огней.
Сидеть меж двух стульев.
Скупой платит дважды.
Старый друг лучше новых двух.
Одним выстрелом убить двух зайцев.
Хромать на обе ноги.
За одного битого двух небитых дают.
Двум смертям не бывать, а одной не миновать.
Из двух зол выбирай меньшее.

Число 3 (три) в пословицах и поговорках
Заблудиться в трех соснах.
Обещанного три года ждут.
От горшка - три вершка.
Рыдать в три ручья.

Число 4 (четыре) в пословицах и поговорках
На все четыре стороны.
Конь на четырех ногах, да и то спотыкается.
Закрыться в четырех стенах.

Число 5 (пять) в пословицах и поговорках
Знать, как свои пять пальцев.

Число 6 (шесть) в пословицах и поговорках
Шестое чувство.

Число 8 (восемь) в пословицах и поговорках
Весна да осень - на день погод восемь.

Число 9 (девять) в пословицах и поговорках
За три девять земель.

Число 10 (десять) в пословицах и поговорках
Десятая вода на киселе
Десять знающих не стоят одного, который дело делает.
На одного стрелка по десятку загонщиков
О женитьбе сына посоветуйся с десятью, о разводе - с сотней
Один умный десять безумных водит
Семь сел, один вол, да и тот гол, а десять урядников

Число 13 (тринадцать) в пословицах и поговорках
Вам уже страшно? Однако всем известно, что число тринадцать у большинства народов имеет другое название - Чертова дюжина. Отнесем его к поговоркам:

Число 0 (ноль) в пословицах и поговорках
Ноль без палочки.
Ноль внимания.

Ч исло 25 (двадцать пять) в пословицах и поговорках
Двадцать пять лет - солдатский век
Опять-двадцать пять!

Число 33 + 3 (тридцать три) в пословицах и поговорках
Третий не прикуривает
Не везет до трех раз
Суеверия, связанные с числом три, относятся к тому времени, когда у древних людей счет не доходил дальше трех. На этой основе в христианской религии возведено в догму представление о пресвятой Троице - об едином Боге, выступающем в трех лицах (ипостасях): Бога-отца, Бога-сына, Бога-духа святого. Сюда же относится и так называемое трехперстное крестное знамение, якобы защищающее верующих от злых духов. Существует масса поверий, а также пословиц и поговорок, содержанием которых является число три, приносящее несчастье.

Число 40 (сорок) в пословицах и поговорках
Сорок лет - бабий век.
Сорок лет не сорок реп.

Число 100 (сто) в пословицах и поговорках
Одним махом сто побивахом, а прочих не считахом.
Сто голов - сто умов.
Трус умирает сто раз, а герой - один раз.
Одна весна на Родине лучше, чем сто весен на чужбине.

Число 1000 (тысяча) в пословицах и поговорках
Руки поборют одного, знанье - тысячу.
Один воин тысячу водит.
Одного храбреца и тысяча трусов не заменит.
Тысяча друзей - мало, один враг - много (турецкая).
И тысяча слухов еще не правда (монгольская).
Талантов тысяча, а сердца нет (японская).
У иноходца тысяча путей, у хитрого тысяча слов (русская).
И тысяча нарисованных ламп не заменят одной настоящей (японская).
По одному поступку можно судить о 1000 других (вьетнамская).И через тысячу преград вода все равно течет в море (китайская).
Тот, кто учен, от тысячи бед защищен (татарская).
От тысячи сует пользы делу нет (туркменская).
Лучше один раз увидеть, чем 1000 раз услышать (китайская).
Один глупый бросит алмаз в море - тысяча умных не достанет (грузинская).
И путешествие в тысяче стран начинается с первого шага (монгольская).
Если не один возьмется, а тысяча, тогда и самое тяжелое бревно станет легким (эфиопская).

Вот один, иль единица,

Очень тонкая, как спица

А вот это - цифра два.

Выгибает двойка шею,

Волочится хвост за нею.

Проживают в этой книжке

Десять их, но братья эти

Сосчитают все на свете. (Цифры)

Сколько лет в яйце цыпленку,

Сколько крыльев у котенка,

Сколько в алфавите цифр,

Сколько гор проглотит тигр,

Сколько мышка весит тонн,

Сколько в стае рыб ворон,

Сколько зайцев съела моль,

Знает только цифра… (ноль)

Сколько солнышек за тучкой,

Сколько стержней в авторучке,

Сколько у слона носов,

Сколько на руке часов?

Сколько ног у мухомора

И попыток у сапера,

Знает и собой гордится,

Сколько ушек на макушке,

Сколько ног у пол-лягушки,

Сколько у сома усов

У планеты полюсов,

Сколько в целом половинок,

В паре - новеньких ботинок,

И передних лап у льва

Знает только цифра… (два)

Сколько месяцев в зиме,

В лете, в осени, в весне,

Сколько глаз у светофора,

Баз на поле для бейсбола,

Граней у спортивной шпаги

И полос на нашем флаге,

Что нам кто ни говори,

Знает правду цифра… (три)

Числа в русских народных сказках

Среди книг самые удивительные – сказки. Они не знают власти времени.

Впервые с числами мы встречаемся в самом раннем детстве, когда читаем свои первые сказки.

• «Было у царя 3 сына. 3 задания давал царь невестам: испечь хлеб, соткать ков ѐ р и смотр невест.

Лягушка 3 раза превращалась в царевну. На царевну было наложено заклятие: 3 года быть

• Главных героев – 3. Всех предметов по 3(миски, кровати, стулья)

Коня Илья Муромец 3 месяца кормил пшеницей, через 3 зари выгуливал коня на ш ѐ лковом поле.

В дремучем лесу был дуб в 3 обхвата, 30 богатырей и 30 коней. Святобогатырь спал 300 лет.

• Проанализировав только малую часть русских народных сказок, можно убедиться в том, что

В детстве поэт слушал сказки от няни, от бабушки Марии Алексеевны Ганнибал, от дворового Никиты Козлова. Сохранились свидетельства и о дальнейшем глубоком интересе А.С. Пушкина к живому народному языку и фольклору.

В работе над литературным воплощением фольклорных сюжетов Пушкин учитывал уже сложившиеся традиции.

Употребление числительных в художественных текстах настолько ограничено, что вроде бы и не стоит говорить о функции этих слов. Однако так уж незначительна ли и какова роль числительных в тексте? На этот вопрос решили мы ответить, проанализировав сказки А.С. Пушкина.

Самым распространенным числительным в сказках Пушкина является число 3.

Первые два задания чертёнок придумал:

А третье задание сам Балда задал:

«Кобылу подыми-ка ты,

Мы видим, как хитрый Балда лихо и весело побеждает чёрта.

Не зря испугались черти Балды. С таким же страхом ждёт своей расплаты поп.

С первого щелчка

Прыгнул поп до потолка;

Со второго щелчка

Лишился он языка,

А с третьего щелчка

Вышибло ум у старика.

Уже в первой строчке читаем:

«Три девицы под окном

Так же, как и в народных сказках, у Пушкина из 3-х се стриц две оказались злыми, коварными и завистливыми. Обманом, хитростью заставили бросить в океан младшую сестрицу с сыном.

Через 3 дня , как пустили бочку с матерью и с младенцем в океан, царевич и царица стали княжить в городе, подаренном им лебедем. Чудо свершилось через 3 дня . Они как бы заново воскресли. Дальнейшее утроение мотивов позволяет поэту углубить идею сказки. Чтобы царевич смог попасть в царство Салтана, три раза лебедь превращает его в насекомое. Сначала он становится комаром, затем мухой, а потом превращается в шмеля. В царстве своего отца он узнает сначала о чудесной белке, затем о 33 богатырях и, наконец, о прекрасной царевне. Три раза выручает лебедь цареви ча.

Тридцать три богатыря на берегу очутились. Цифра 33 содержит в себе значение множества:

«И очутятся на берегу,

В чешуе как жар горя,

Тридцать три богатыря.

Все красавцы удалые,

Все равны как на подбор,

Когда в третий раз прилетел царевич к царю Салтану, мы читаем:

«А ткачиха с поварихой,

Со сватьей бабой Бабарихой,

Около царя сидят –

Действительно, у поварихи с ткачихой осталось по одному глазу, а у бабы Бабарихи – два. Так наказал царевич своих тёток за злые языки.

В приданое царевне было дано «семь торговых городов

Утроение мотива (поиски невесты) создает размеренный ритм повествования. Три раза обращается к своему зеркалу злая царевна.

Елисей в своих поисках три раза обращается за помощью:

И только от ветра он узнает, где царевна.

После смерти царевны богатыри « ждали три дня, но она

И они « гроб её к шести столбам

на цепях чугунных там

Известно, что в народе число 6 ассоциируется с нечистой силой. А обычай хоронить покойника через три дня связан с христианским вероучением.

Так же, как и в предыдущей сказке, утроенный мотив создаёт размеренный ритм повествования.

Три раза старик кидал в море свой невод:

Раз он в море закинул невод, –

Пришел невод с одной тиной,

Он в другой раз закинул невод, -

Пришел невод с травой морской,

В третий раз закинул он невод, -

Пришел невод с одной рыбкой,

С непростою рыбкой – золотой.

Три раза выезжало войско биться с врагом. Через 8 дней, как выехал старший сын царя, закричал петух. После выезда младшего сына опять через 8 дней петух снова возвестил о нападении врага.

В третий раз сам царь поехал. Через 8 дней доехал он до места. И что же видит царь?

Что за страшная картина!

Перед ним его два сына

Без шеломов и без лат

Оба мёртвые лежат.

Числа являются и источником происхождения многих пословиц и поговорок, загадок без которых наша речь была бы невыразительной и обедненной

Проанализировав употребление в сказках Пушкиным различных чисел, мы можем смело утверждать , что выбор чисел в сказках не случаен. Пушкин использовал стилистическую традицию произведений народного творчества, где используются числительные- символы.

Выбор числительных в сказках основан на народном представлении о значении чисел. Мы пришли к выводу, что числительные играют в художественном тексте немаловажную роль они помогают увидеть, почувствовать глубину текста, проникнуть в заложенную творцом мысль текста.

Вывод можно сделать такой, что математика и ее отголоски всегда сопровождают нас, она появляется везде, даже в русском языке, диаметрально противоположной гуманитарной науке.

Читайте также: