Реферат на тему предел функции

Обновлено: 19.05.2024

Предел функции. Число L называется пределом функции y = f ( x ) при x, стремящемся к a :

Предел функции. Некоторые замечательные пределы.

Бесконечно малая и бесконечно большая величины.

Конечный предел. Бесконечный предел.

Предел функции. Число L называется пределом функции y = f ( x ) при x, стремящемся к a :

если для любого > 0 найдётся такое положительное число = ( ), зависящее от , что из условия | x - a | f ( x ), если значение функции неограниченно приближается к L , когда значение аргумента x приближается к a. Геометрически это значит, что для любого > 0 можно найти такое число , что если x находится в интервале ( a- , a + ), то значение функции лежит в интервале ( L - , L + ). Отметим, что в соответствии с этим определением аргумент функции лишьприближается к a , не принимая этого значения! Это следует учитывать при вычислении предела любой функции в точке её разрыва, где функция не существует.

П р и м е р . Найти

Р е ш е н и е . Подставляя x = 3 в выражение получим не имеющее смысла
выражение ( см. пункт "О выражениях, не имеющих смысла" на стр.
"Степени и корни" в главе "Алгебра"). Поэтому решим по-другому:

Сокращение дроби в данном случае корректно, так как x 3 ,
он лишь приближается к 3. Теперь мы имеем:

поскольку, если x стремится к 3, то x + 3 стремится к 6 .

Некоторые замечательные пределы.

Бесконечно малая и бесконечно большая величины. Если предел некоторой переменной равен 0, то эта переменная называется бесконечно малой.

П р и м е р . Функция y = является бесконечно малой при x,

cтремящемся к 4, так как

Если абсолютное значение некоторой переменной неограниченно возрастает, то эта переменная называется бесконечно большой.

Бесконечно большая величина не имеет конечного предела, но она имеет так называемый бесконечный предел, что записывается как:

Символ ( “бесконечность” ) не означает некоторого числа, он означает только, что дробь неограниченно возрастает при x, стремящемся к 3.Следует отметить, что дробь может быть как положительной ( при x > 3 ), так и отрицательной ( при x 3 ). Если бесконечно большая величина может быть только положительной при любых значениях x, это отражается в записи. Например, при x 0 функция y = x - 2 бесконечно большая, но онаположительна как при x > 0, так и при x

Определение предела последовательности можно считать частным случаем определения предела функции на бесконечности (при , стремящемся к ), поскольку значения образуют последовательность, которая тем более будет стремиться к , если .

Число называется пределом функции при , если

При этом, разумеется, естественно считать, что имеет смысл говорить о том, что стремится к бесконечности, лишь когда область определения не является ограниченным множеством. Прежде чем перейти к случаю, когда стремится к конечному числу, введем несколько вспомогательных понятий.

Замыкание множества.

Окрестностью точки называется любой интервал , содержащий точку , или любое множество, содержащее такой интервал, -окрестностью точки называется интервал . Проколотой окрестностью точки называется окрестность без самой точки, то есть множество .

Пусть . Будем говорить, что точка является точкой сгущения, или предельной точкой, множества , если в любом интервале (), содержащем точку , найдется хотя бы одна другая точка множества . Если точка множества не является точкой сгущения этого множества, то она называется изолированной. Объединение множества и множества его точек сгущения называется замыканием множества и обозначается через . Для множества точек сгущения нет специального обозначения, но это множество получится, если из замыкания множества выкинуть все изолированные точки. Говорят также, что бесконечность является предельной точкой множества , если не является ограниченным.

Если некоторая точка не является предельной для области определения функции, то в ней понятие предела этой функции не имеет смысла.

Пример 1.

Пусть: , , . Тогда: , . При этом множество точек сгущения множества совпадает с . Для , и множество точек сгущения совпадает с их замыканиями. Бесконечность является предельной точкой для множеств , и .

Предел функции. Пусть — точка сгущения множества .

Число называется пределом функции при , если

Число является пределом функции при (пределом функции справа), если

Аналогично определяется предел функции слева и на бесконечности.

Число называется пределом функции при (пределом функции слева), если

Говорят, что функция стремится к + бесконечности при , если

Теорема об арифметических операциях с пределами. Если функции и имеют предел в точке хо, то функции , , также имеют предел, причем:

Все то же самое верно и для отношения , но при дополнительном предположении, что .

Дробно-рациональной функцией называется функция вида , где , .

Теорема о дробно-рациональной функции.

Пусть . Тогда: если , то ;

если , то ;

если , то .

Пусть . Тогда: если , то ;

если , то .

Пример 2.

Теорема о переходе к пределу в неравенстве. Если функции и имеют предел в некоторой точке и в какой-либо окрестности этой точки, то в этой точке .

Теорема о сжатой функции. Пусть три функции , и в некоторой окрестности точки удовлетворяют неравенствам . Если функции и имеют предел в этой точке и при этом , то функция также имеет предел и .

Ограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие.

Функция называется бесконечно малой в точке , если при .

Функция называется ограниченной на интервале (), если такое, что верно неравенство .

Функция называется ограниченной в окрестности точки , если существует интервал, содержащий точку , такой, что ограничена на этом интервале.

Утверждение. Произведение функции, бесконечно малой в некоторой точке, на ограниченную в окрестности этой же точки есть бесконечно малая в этой точке функция.

Функция называется бесконечно большой в точке , если при .

Утверждение. Произведение бесконечно малой на ограниченную есть бесконечно малая. Если ограниченную разделить на бесконечно большую, то получится бесконечно малая.

Примеры бесконечно малых функций:

при ;

при .

Примеры бесконечно больших функций:

Эквивалентные функции.

Две функции и называются эквивалентными в точке , если существует предел и если этот предел равен 1. При этом мы пишем: при .

Две функции и будем называть эквивалентными в точке с точностью до постоянной (с точностью до постоянного множителя), если существует предел и если этот предел не равен 0. Обозначив этот предел через , получим, что при .

Замечательные пределы.

Два предела принято называть замечательными:

Иногда замечательными называют также соотношения, являющиеся следствиями указанных двух:

Символ Ландау.

Примеры: при , при .

Если обе функции и являются бесконечно малыми в точке , то говорят, что является бесконечно малой более высокого порядка, чем .

Примеры: при , при .

Теорема о выделении линейной части. Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки и при этом в точке существует предел . Обозначим этот предел через . Тогда

Примеры: при , при .

Ниже приведены примеры нескольких наиболее часто встречающихся эквивалентностей при .

Упр. 1. В каждом из рассмотренных примеров укажите также предел отношения двух функций при .

Теорема о замене на эквивалентную под знаком предела. Если при , то:

Пример 3.

Пример 4.

Определение предела на языке последовательностей.

Определение предела, которое было дано в начале главы принято называть определением на языке эпсилон-дельта или на языке Коши.

Иногда удобно использовать и другое, эквивалентное определение, которое называют определением на языке последовательностей или на языке Гейне (в честь немецкого математика XIX века).

Число является пределом функции при , если для любой последовательности , стремящейся к , такой, что , верно, что при .

Прежде чем продемонстрировать на примере, как используется эквивалентность двух определений предела, приведем без доказательства еще одно важное соотношение:

Подставив в указанное соотношение последовательность , получим уже доказанное ранее соотношение .

Пример 5.

Непрерывность функции.

Функция называется непрерывной в точке , если предел в этой точке существует (в случае, если — точка сгущения множества ) и равен значению функции в этой точке.

Если — изолированная точка множества , то мы будем считать функцию непрерывной в этой точке (это вопрос чисто формальной договоренности).

Если пределы слева и справа существуют, то у непрерывной функции они должны быть равны между собой.

Функция называется непрерывной в точке , если

Эквивалентное определение можно дать и на языке последовательностей.

Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности , стремящейся к , верно, что при .

Понятие непрерывности достаточно естественно.

В частности, тем, что выполняются простые условия, обеспечивающие работу с непрерывными функциями.

Теорема об арифметических операциях замене с непрерывными функциями. Если и — функции, непрерывные в точке , то в этой же точке непрерывны функции , а также , при дополнительном предположении, что .

Теорема о непрерывности суперпозиции. Если функция непрерывна в точке , а непрерывна в точке , то в точке непрерывна функция .

Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Для множества функций, непрерывных на промежутке принято следующее обозначение: . Таким образом, запись означает, что функция определена и непрерывна на отрезке .

Теорема о непрерывности обратной функции. Если и у существует обратная функция , то непрерывна на (или , если ).

Пример 6.

Дробно-рациональная функция непрерывна в каждой точке вещественной прямой, в которой .

Пример 7.

Функции и непрерывны на своих областях определения, то есть на промежутках .

Пример 8.

Функции , и непрерывны на всей вещественной прямой.

Также без доказательства сформулируем еще две важные теоремы об ограниченности непрерывных функций на замкнутом промежутке.

1-я теорема Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна на промежутке , то она ограничена на этом промежутке.

2-я теорема Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна на промежутке , то в некоторых точках этого промежутка она принимает свои наибольшее и наименьшее значения.

Пример 9.

а) Функция определена и непрерывна на , однако не является ограниченной на этом промежутке;

b) Функция при , при , определена на , однако не является ограниченной на этом промежутке;

c) Функция определена и непрерывна на , является ограниченной на этом промежутке, но не принимает ни в какой точке наибольшее или наименьшее значения.

Следующая теорема иногда называется теоремой о промежуточном значении. Она была доказана Больцано в 1817 году и позже Коши в 1821 году.

Теорема Больцано (Больцано — Коши). Пусть дана непрерывная функция на отрезке (). причем . Без ограничения общности предположим, что . Тогда для любого существует такое, что .

Следующее важное следствие иногда называют 1-й теоремой Больцано — Коши: Если функция принимает в концах отрезка значения разных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю.

Пример 10.

Многочлены имеют по 4 корня, расположенных в интервалах .

Действительно, в обоих случаях числа и положительны, а и отрицательны.

Точки разрыва. Говорят, что в точке функция имеет устранимый разрыв, если существует предел функции в этой точке, однако само значение функции в этой точке либо не определено, либо не совпадает с этим пределом. Говорят, что в точке функция имеет разрыв 1 рода, или скачок, если пределы функции в этой точке слева и справа существуют и различны. Во всех остальных случаях говорят, что функция имеет разрыв 2 рода.

На этой странице найдёте другие готовые курсовые работы во высшей математике:

Можете посмотреть другие готовые курсовые работы по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Постоянное число а называется пределом последовательности n>, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения x_n_, у которых n>N, удовлетворяют неравенству

êx_n - a ê N, лежат внутри интервала (a-e, a+e), т.е. попадают в какую угодно малую e-окрестность точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x_n = f(n) целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x®a, если для всякой последовательности n> значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности n)> имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей”.

Определение 2. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x®a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число e, можно найти такое d >0 (зависящее от e), что для всех x, лежащих в d-окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству 0 a = ( f(x)) a , где a = const, (6.7)

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;

b f(x) =b A , где b = const, f(x)=A; (6.8)

log_c f(x) = log_c f(x), где c = const. (6.9)

Теорема 3. = 1, = 1, a = const, a >0,

= 1, (6.10)

(1 + a) 1/ a = e, (6.11)

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

= log_c e, (6.12)

(a a - 1)/a = ln a, (6.13)

((1 + a) m - 1)/a = m, (6.14)

= 1.

Eсли x® a и при этом x > a, то пишут x® a+0. Если, в частности, a=0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x®a и при этом x и называются соответственно пределом справа и пределом слева функции f(x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при x®a необходимо и достаточно, чтобы =.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если

. (6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x_o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R, кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x_o)= f(0) не определено, поэтому в точке x_o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x_o, если

и непрерывной слева в точке x_o, если

Непрерывность функции в точке x_o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x_o, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x_o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если существует и не равен f(x_o), то говорят, что функция f(x) в точке x_o имеет разрыв первого рода, или скачок.

2. Если равен ¥ или не существует, то говорят, что в точке x_o функция имеет разрыв второго рода.

Например, функция y = ctg x при x® +0 имеет предел, равный +¥, значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка [a,b], называется непрерывной в [a,b]. Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что

= e.

Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x_n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы e>0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство ½ x_n -1 ½ 0. Так как ½ x_n -1 ½=½(n+1)/n - 1½= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n 1/e и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/e, N = E(1/e). Мы тем самым доказали, что x_n = 1.

Пример 3.2. Найти предел последовательности, заданной общим членом x_n = .

Решение. Применим теорему о пределе суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n ®¥ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему о пределе частного. Поэтому сначала преобразуем x_n, разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n. Затем, применяя теорему о пределе частного и о пределе суммы, найдем:

x_n = .

Пример 3.3. x_n = . Найти x_n.

Решение. =.

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3.4. Найти ().

Решение. Применять теорему о пределе разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ¥ - ¥. Преобразуем формулу общего члена:

= .

Пример 3.5. Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность < x_n >, сходящуюся к 0, т.е. x_n =0. Покажем, что величина f(x_n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x_n = 1/n. Очевидно, что 1/n =0, тогда = 2 n = +¥. Выберем теперь в качестве x_n последовательность с общим членом x_n = -1/n, также стремящуюся к нулю. = 2 - n = 1/2 n = 0. Поэтому 2 1/x не существует.

Пример 3.6. Доказать, что sin x не существует.

Решение. Пусть x₁, x₂. x_n. - последовательность, для которой x_n = ¥. Как ведет себя последовательность n)> = n > при различных x_n ®¥ ?

Если x_n= pn, то sin x_n= sin pn = 0 при всех n и sin x_n =0. Если же x_n=2pn+p/2, то sin x_n= sin(2pn+p/2) = sin p/2 = 1 для всех n и следовательно sin x_n =1. Таким образом, sin x не существует.

Пример 3.7. Найти .

Решение. Имеем: = 5. Обозначим t = 5x. При x®0 имеем: t®0. Применяя формулу (3.10), получим 5.

Пример 3.8. Вычислить .

Решение. Обозначим y=p-x. Тогда при x®p, y®0.Имеем:

sin 3x = sin 3(p-y) = sin (3p-3y) = sin 3y.

sin 4x = sin 4(p-y) = sin (4p-4y)= - sin 4y.

=- .

Пример 3.9. Найти .

Решение. Обозначим arcsin x=t. Тогда x=sin t и при x®0 t®0. =.

Пример 3.10. Найти 1) ; 2) ; 3) .

1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим предел знаменателя: .

Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределе частного, получаем: =.

2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x ¹ 2 равенство:

Так как (x+1) ¹ 0, то, по теореме о пределе частного, найдем

= = .

3. Числитель и знаменатель при x®¥ являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на x 2 и к полученной функции применим теорему о пределе частного:

Пример 3.11. Найти .

Решение. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю:, x-9®0, т.е. имеем неопределенность вида .

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражения , получим

Пример 3.12. Найти .

Решение. =.

Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 149274
Количество таблиц: 13
Количество изображений: 5

Основная характеристика предельного значения функции. Главный анализ строения базы окрестностей бесконечно удаленной точки. Проведение исследования понятия предела числовой последовательности. Особенность разложения числителя и знаменателя на множители.

Рубрика	Математика
Вид	доклад
Язык	русский
Дата добавления	07.10.2016
Размер файла	127,0 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Понятие предела и понятие функции - фундаментальные понятия математического анализа. Начало изучению понятия предела положено в элементарной математике, где с помощью предельных переходов определяются длина окружности, объём цилиндра, конуса и т.д. Оно также было использовано при определении суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Операция предельного перехода является одной из основных операций анализа.

Предемл фумнкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, -- такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т. н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки -- частный случай такой базы множеств.

Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений существует окрестность этого значения такая, что в любой сколь угодно малой окрестности точки, в которой функция принимает заданное значение, существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами указанной окрестности.

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция оказывается непрерывной(в данной точке).

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а, кроме, может быть, самой точки а.

Число В называется пределом функции в точке а (или при ), если для любой последовательности значений аргумента , последовательность соответствующих значений функции, сходится к числу В

Число А называется пределом функции в точке x=х0 (или при), если для любой сходящейся к х0последовательности (1) значении аргумента x, отличных от х0, соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу А. Обозначается .

Функция может иметь в точке х0 только один предел. Это следует из того, что последовательность имеет только один предел.

1). Функция =с=const имеет предел в каждой точке х0 числовой прямой, т.е.

gif" name="object9" align=absmiddle width=63 height=29>

2). Функция =x имеет в любой точке х0 числовой прямой предел, равныйх0, т.е.

Определение 2. Число А называется пределом функции в точке х=х0, если для любого числа существует число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . предельный функция числовой множитель

Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением ''на языке последовательностей'', или определением по Гейне (1821-1881 - немецкий математик). Второе определение называют определение на языке '', или определением по Коши (1789-1857 - французский математик).

Можно доказать, что оба определения предела функции в точке х0эквивалентны, а это значит, что можно использовать любое из них в зависимости от того какое более удобно при решении той или иной задачи.

Кроме рассмотренного понятия предела функции при существует также понятие предела функции при .

Определение. Число А называется пределом функции при , если для любого Е>0 можно указать такое положительное число N, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству , будет выполнятся неравенство .

Основные свойства пределов функций:

1. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют:

2. Предел произведения функций равен произведению их пределов, если последние существуют:

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: , если предел существует.

3. Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя отличен от нуля:

Пример. Вычислить пределы:1. , 2. , 3.

Решение.1. ;

2. Поскольку предел знаменателя равен 0, то воспользоваться теоремой о пределе частного невозможно. Поэтому первоначально сократим дробь, разложив числитель и знаменатель на множители:

Заключение

В развитии теории пределов принимали участие И.Ньютон, Г.Лейбниц, Ж.Даламбер, Л.Эйлер. Современная теория предела основана на строгом определении предела, данном О.Коши, и была существенно продвинута работами математиков 19 века К.Вейерштрасса и Б.Больцано.

Подобные документы

История развития теории пределов. Сущность и виды числовой последовательности, методика вычисления и определение свойств ее предела. Доказательство теоремы Штольца. Практическое применение предела последовательности в экономике, геометрии и физике.

курсовая работа [407,2 K], добавлен 16.12.2013

Общее понятие числовой последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно большая и малая функция. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Признаки существования пределов. Основные теоремы о пределах: краткая характеристика.

презентация [137,0 K], добавлен 25.01.2013

Вычисление математических последовательностей и определение числа, которое называется пределом последовательности. Методы расчетов предела функции. Произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции. Определение предела последовательности.

контрольная работа [114,0 K], добавлен 17.12.2010

Предел числовой последовательности. Сравнение бесконечно малых величин. Второй замечательный предел. Теорема Коши о сходимости числовой последовательности. Использование бинома Ньютона. Замена сомножителей на эквивалентные им более простые величины.

контрольная работа [152,1 K], добавлен 11.08.2009

Члены последовательности и их изображение на числовой оси. Виды последовательностей (ограниченная, возрастающая, убывающая, сходящаяся, расходящаяся), их практические примеры. Определение и геометрический смысл предела числовой последовательности.

Читайте также: