Реферат на тему пентагон

Обновлено: 05.07.2024

Определение понятия правильного многоугольника - выпуклого многоугольника, все стороны и углы которого равны между собой. Ознакомление с особенностями пентаграммы. Характеристика Платоновых тел: тетраэдра, икосаэдра, октаэдр, гексаэдра и додекаэдра.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	12.09.2014
Размер файла	1,0 M

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

правильные многоугольники

Выполнила: ученица 9 А класса

Курск 2014

1. Понятие правильного многоугольника

Правильным многоугольником называют выпуклый многоугольник, все стороны которого равны между собой и все углы также равны между собой.

2. История

Построение правильного многоугольника с n сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века. Такое построение идентично разделению окружности на n равных частей, так как соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.

Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма Числа Ферма -- числа вида F_n=2^(2) n +1 , где n -- натуральное число или 0. Последовательность чисел Ферма начинается так: 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, … , то его можно построить при помощи циркуля и линейки. Если брать в общем, из этого следует, что правильный многоугольник возможно построить, если число его сторон равно 2 k 0 p₁ k 1 p₂ k 2 …p_s ks , где k₀ -- целое неотрицательное число, k₁, k₂ и k_s принимают значения 0 или 1, а p_j -- простые числа Ферма.

Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в1836 году.

Точку в деле построения правильных многоугольников поставило нахождение построений 17-, 257- и 65537-угольника. Первое было найдено Йоханнесом Эрхингером в 1825 году, второе -- Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее -- Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году. С тех пор проблема считается полностью решённой.

3. Построение

Построение правильного треугольника

Способ 1. Начертим окружность с центром в точке O, проведем диаметр ED. Обозначим на нем точку K так, что OK=KD. Теперь проведем через точку K хорду MN, перпендикулярную OD. Соединим точки E, M и N. Полученный треугольник EMN - равносторонний.

Способ 2. Начертим окружность с центром O и радиусом OA. Начертим вторую окружность с таким же радиусом, проходящую через точку O. Соединим центры этих окружностей и одну из точек пересечения (в данном случае с точкой B). Полученный треугольник - равносторонний.

Способ 3. Построим окружность с центром O. Далее построим некоторую точку, принадлежащую окружности. Из данной точки на окружность раствором циркуля, равным R, откладываем последовательно отрезки (их 6). Полученные точки соединяем через 1.

Способ 4. Строим окружность произвольного радиуса, с центром в точке А. Проводим прямую, через точку А. Отмечаем точки пересечения прямой и окружности С и В. Строим вторую окружность, с радиусом, равным радиусу, первой окружности и центром в точке С. Отмечаем точки пересечения окружностей F и D. Соединяем точки В,D,F. Треугольник BDF - равносторонний.

Построение правильного четырехугольника (квадрата)

Способ 1 (рис. 1). Проводим в окружности 2 перпендикулярных диаметра (Шаг 1). Точки пересечения этих диаметров с окружностью являются вершинами квадрата (Шаг 2).

Способ 2 (рис. 2). Как и в первом способе, проводим в окружности 2 перпендикулярных диаметра. Из точек пересечения диаметров с окружностью строим дуги с радиусом R, равным радиусу окружности (Шаг 1). Точки пересечения дуг EG и FH соединяем соответственно линиями

(Шаг 2). Точки пересечения этих линий с окружностью и являются вершинами квадрата.

Способ 3. Постройте отрезок AB, равный будущей стороне квадрата a. Постройте 2 окружности, с центрами в точках A и B и радиусом AB. Проведите прямую GH через точки пересечения окружностей. Постройте окружность, проходящую через концы отрезка и имеющую d=AB, и вторую, также проходящую через точки A и B, но с центром в точке F пересечения первой окружности с прямой GH. Соедините точки A, B, D, C. Четырехугольник ABDC - квадрат.

Построение правильного пятиугольника

Способ 1. Строим окружность произвольного радиуса R и проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и СD. Делим пополам радиус АО точкой Е. Из Е радиусом ЕС проводим дугу CF, пересекая ею диаметр АВ в точке F. Из С радиусом CF проводим дугу FG, пересекая ею данную окружность в точке G; CG (равная CF) есть одна сторона искомой фигуры. Проводим тем же радиусом дугу из точки G как из центра, получаем ещё одну вершину Н искомой фигуры и т. д. Аналогично находим вершины K и L. CGHKL - правильный пятиугольник.

Способ 2.Чтобы построить правильный пятиугольник возьмем окружность произвольного радиуса с центром в точке О. Проведем 2 взаимно перпендикулярных диаметра. Отметим середину радиуса и проведем окружность, проходящую через точку O, с центром в полученной точке.

Проведем отрезок из центра маленькой окружности к точке пересечения большой окружности и ее радиуса. Построим окружность с центром в этой же точке так, чтобы она соприкасалась с маленькой окружностью.

Из точек пересечения большой и полученной окружностей проведем окружности как показано на рисунке. Для получения пятиугольника нужно соединить точки через одну.

Способ 3. Приближенное построение правильного пятиугольника. А.Дюрером оно проводилось при условии неизменности раствора циркуля, что повышает точность построения. Способ построения описан Дюрером так: «"Однако пятиугольник, построенный неизменным раствором циркуля, делай так. Проведи две окружности так, чтобы каждая из них проходила через центр другой. Два центра соедини прямой линией. Это и будет стороной пятиугольника. Точки пересечения окружностей обозначь сверху С, снизу D и проведи прямую линию CD. После этого возьми циркуль с неизменным раствором и, установив одну его ножку в точку D, другой проведи через оба центра А и В дугу до пересечения её с обеими окружностями. Точки пересечения обозначь через E и F, а точку пересечения с прямой CD обозначь буквой G. Теперь проведи прямую линию через Е и G до пересечения с линией окружности. Эту точку обозначь Н. Затем проведи другую линию через F и G до пересечения с линией окружности и поставь здесь J. Соединив J,A и H,B прямыми, получим три стороны пятиугольника. Дав возможность двум сторонам такой длины достигнуть совпадения в точке K из точек J и H, получим некоторый пятиугольник".

Способ 4. Пусть AB - заданная сторона пятиугольника - равна a. Восстановим из B перпендикуляр к AB и отложим на нем отрезок BC=a/2. Точку C соединим с точкой A. На прямой AC отложим отрезок DC=BC=a/2; затем на продолжении AB отложим AE=AD. Тогда BE равняется диагонали пятиугольника. Для построения вершин описываем из центров A и B дуги радиусами AB и BE, и в их пересечении находим вершины F, G, H.

Построение правильного шестиугольника

Построим окружность с центром в точке О. Проведем диаметр окружности. Проведем окружность того же радиуса с центром в точке пересечения диаметра с окружностью.

Проведем прямые через центр начальной окружности и точки пересечения полученной дуги с этой окружностью и соединим точки пересечения всех прямых с исходной окружностью.

Получаем правильный шестиугольник.

Способ 2. Построим окружность с центром O. Далее построим некоторую точку, принадлежащую окружности. Из данной точки на окружность раствором циркуля, равным R, откладываем последовательно отрезки (их 6). Полученные точки соединяем.

Построение правильного семиугольника

Чтобы начать построение, начертите произвольную окружность и обозначьте ее центр буквой О. Затем проведите радиус этой окружности в любом направлении. Точку пересечения радиуса с окружностью обозначьте буквой А. После этого переставьте циркуль в точку А и проведите окружность или дугу того же радиуса, что и у исходной окружности (ОА). Данная дуга пересечет исходную окружность в двух точках. Обозначьте их буквами В и С. Соедините две полученные точки. При этом отрезок ВС пересечет радиус ОА. Точку их пересечения обозначьте буквой D. Образовавшиеся при этом отрезки ВD и DC будут равны между собой и каждый из них будет приблизительно равен стороне правильного семиугольника, который можно вписать в исходную окружность. Отмерьте циркулем расстояние ВD (или DC) и, начиная с любой точки на окружности, отложите это расстояние шесть раз. Затем соедините все семь точек. Так вы получите семиугольник, который с небольшой погрешностью можно назвать правильным. Все его стороны и углы будут приблизительно равны.

4. Интересные факты

Пентаграмма и "золотое сечение"

Не только лишь благодаря совершенной форме и богатству математических свойств пентаграмма была выбрана пифагорейцами в качестве символа здоровья и тайного опознавательного знака. Этот символ означает торжество Воли над материей, Духа над 4 элементами материи, формирующие Душу. Человеком пентаграммы считался тот, кто сумел победить свою животную природу и таким образом добивался полной индивидуальной эволюции.

Многие основатели государств были в той или иной степени посвящены в эти мистерии, может, поэтому и сегодня пятиконечная звезда является символом едва ли не половины стран мира.

Устройство для графического построения правильных многоугольников

Известно, что простого специального приспособления для графического построения правильных многоугольников с четным или нечетным количеством сторон не имеется. Но если построение правильных многоугольников с четным количеством сторон с применением простых инструментов - циркуля и линейки без делений - не вызывает особых затруднений, то построение правильных многоугольников с нечетным количеством сторон (например, 7 или 9 и более сторон) без специальных сложных устройств весьма затруднено и практически невозможно.

Предложено просторе устройство для графического построения правильных многоугольников как с четным, так и нечетным количеством сторон.

Устройство представляет собой тонкую прозрачную или непрозрачную полимерную пластинку в виде полукруга с центром в точке Р. Основание полукруга представляет собой ровную линейку без делений. По внешней стороне полукруга с левой стороны нанесены риски с одним и тем же интервалом. Каждая риска обозначена цифрами от 1 до 35 (или кратными последней цифре, например 5, 10, 15 и т.д.). Расстояние между рисками выбрано по величине произвольно. Количество рисок на устройстве определяет максимальное количество сторон для построения правильного многоугольника. С уменьшением расстояния между рисками возможно расположить по контуру полукруга большее количество рисок, что позволит строить правильные многоугольники с большим количеством сторон.

На правой стороне полукруга от точки В риской А отделена дуга величиной 60 градусов.

Графическое построение правильных многоугольников при помощи данного устройства производится следующим образом. Например, необходимо построить правильный 9-угольник. Для этого делают следующие шаги:

1. Проводят на листе бумаги горизонтальную линию.

2. Прикладывают полукруг сверху на проведенную линию и обводят по контуру полностью полукруг. После этого точками обозначают на листе бумаги риски с буквами Р, О, В, А, а также точки напротив рисок с цифрами 6 и 9.

3. Проводят линию между точками 6 и В.

4. Проводят два луча: один из точки Р через точку А, а второй - из точки 9 параллельно линии ОВ. Эти два луча пересекутся в точке, которую необходимо обозначить, например, буквой К.

5. Циркулем проводят полуокружность из точки М на линии ОВ так, чтобы эта полуокружность проходила через точки 9 и К. В этом случае точка М является точкой пересечения диаметра ОВ с перпендикуляром к середине отрезка, соединяющего точки 9 и К.

6. Проведенная циркулем полуокружность пересечет линию ОВ в точке Е, а ее продолжение за точку В - в точке Д, и, кроме того, она пересечет луч из точки В через точку 6 в точке С.

7. Циркулем откладывают на дуге КД дугу НД, равную дуге СЕ.

8. Проводят луч из точки Р через точку Н, который пересечет дугу АВ в точке Т. Величина дуги ВТ составит точно 1/9 часть окружности с центром в точке Р и радиусом РВ.

9. Откладывая на данной окружности девять размеров дуги ВТ и соединив соседние засечки отрезками, получают правильный девятиугольник, вписанный в окружность с центром в точке Р.

Точность графических построений зависит только от точности применяемых инструментов и тщательности выполняемых графических работ. пентаграмма многоугольник тетраэдр икосаэдр

Пчелы - удивительные творения природы. Свои геометрические способности они проявляют при построении своих сот. Если возьмем равносторонний треугольник, квадрат и правильный шестиугольник одинаковой площади (показываю модели), то периметр шестиугольника будет наименьшим. (Р3 = 45,9 см., Р4 = 40 см., Р6 = 37,8 см.).

Строя шестиугольные ячейки пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек.

Причем пчелиные соты представляют собой не плоский, а пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, что не остается просветов.

Платоновы тела

Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников.

Существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Доказательство этого факта известно уже более двух тысяч лет; этим доказательством и изучением пяти правильных тел завершаются "Начала" Евклида.

Существование только пяти правильных многогранников относили к строению материи и Вселенной. Пифагорейцы, а затем Платон полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Согласно их мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел (огонь - тетраэдр, вода - икосаэдр, воздух - октаэдр, земля - гексаэдр, вселенная - додекаэдр).

Используемая литература

1. Алексей Астахов, Иван Райлян. Лики Божественной гармонии. Исследование наук о Гармонии от времен древнего Египта до наших дней.

2. Материал из Википедии. Правильный многогранник. Правильный многоугольник. Правильный шестиугольник.

7. Презентация на тему: Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой

Пентаго́н (от греч. πεντάγωνον — пятиугольник) — название здания Министерства обороны США, имеющего форму пентагона и по этой причине часто называемого пентагоном. Находится в штате Виргиния недалеко от Вашингтона. Также Пентагоном называют само Министерство обороны США и соответственно, здание Министерства обороны называют зданием Пентагона.

Крупнейшее офисное здание в мире. Строительство Пентагона, в котором разместилось Министерство обороны США, было закончено в январе 1943 года. Длина каждой из пяти сторон здания равна 281 м, периметр — около 1405 м, суммарная длина коридоров — 28 км, а общая площадь пяти этажей — 604 000 м². Здание имеет пять надземных и два подземных этажа, высота надземной части — 23,5 метра[1]. В здании насчитывается 7754 окон. В здании работают около 26 000 человек.

Строительными работами по возведению здания руководил полковник строительных войск армии США Лесли Гровс, c 17 сентября 1942 г. генерал, технический руководитель Манхеттенского проекта.

1. Интересные факты

· В вестибюле здания расположено множество магазинов, офисов банков и других организаций, ориентированных на обслуживание работников министерства. Рядом друг с другом расположены цветочный, кондитерский и ювелирный магазины. Согласно фольклору, их расположение соответствует потребностям военных, постоянно задерживающихся на работе. Их жены недовольны систематическим отсутствием супругов дома, поэтому женщин приходится задабривать: цветами, конфетами, а в особо тяжелых случаях — ювелирными украшениями.

· 11 сентября 2001 года объект был подвергнут террористической атаке, в результате чего пострадало левое наружное крыло Пентагона, в котором располагается командование Военно-морских сил. В восстановленном крыле создан мемориал в память погибших сотрудников Министерства обороны и пассажиров самолета. По официальной версии правительства, группа арабских террористов-смертников захватила гражданский самолёт и направила его в здание Пентагона (Рейс 77 American Airlines).

· В компьютерной игре Civilization IV здание Пентагона фигурирует как одно из чудес.

· В компьютерной игре Call of Duty: Black Ops Пентагон фигурирует как место встречи Мейсона и президента Кеннеди

· В компьютерной игре Metal Gear Solid: Peace Walker Пентагон фигурировал спорное решение об ответном ударе по ядерным ракетам СССР в 1974 году (это событие основано на ложной тревоге НОРАД 9 ноября 1979 года)

· В компьютерной игре Fallout 3 в развалинах Пентагона расположена штаб-квартира Братства стали

1. Интересные факты

· В компьютерной игре Civilization IV здание Пентагона фигурирует как одно из чудес.

· В компьютерной игре Call of Duty: Black Ops Пентагон фигурирует как место встречи Мейсона и президента Кеннеди

· В компьютерной игре Fallout 3 в развалинах Пентагона расположена штаб-квартира Братства стали

Пентагон – это сооружение пятиугольной формы. Является штаб-квартирой Министерства обороны Соединённых Штатов Америки. Это самое крупное административное здание мира. Кроме того, это самый защищённый военный объект Штатов. Где находится Пентагон в Америке? Расположено здание недалеко от столицы США, города Вашингтона (штат Виргиния).

Причины строительства

В 30-х годах двадцатого столетия в Соединённых Штатах назревал вопрос о том, чтобы соединить все семнадцать военных ведомств, раскинутых по всей стране, под одной крышей. Долгое время вопрос откладывался, пока втянутая во Вторую мировую войну Америка не поняла, что эта задача должна быть осуществлена в кратчайшие сроки. Военные министры обратились к президенту Ф. Рузвельту с просьбой о выделении места и денег на строительство здания. Были даны указания закончить строительство Пентагона как можно скорее. Однако при возведении сооружения необходимо было максимально сократить затраты, сведя их к возможному минимуму.

Строительство Пентагона

Строительство офисного здания было начато 11 сентября 1941 г. Руководил проектом генерал Брехон Сомервелл и полковник Лесли Гровс. Уже 15 января 1943 г. здание было сдано в эксплуатацию. Оно функционирует и в наше время. Пентагон был воздвигнут всего за 16 месяцев. Во время строительства использовался только бетон, песок и металлоконструкции. Пентагон – это инновационное здание для своего столетия. К тому же, стоит заметить, бюджетное. По некоторым данным, на строительство самого крупного офисного отделения было потрачено около 80 млн долларов.

Особенности здания

Пентагон – штаб-квартира Министерства обороны США – представляет собой семиэтажное здание. Лишь пять ярусов наружные, два – подземные. Все они имеют форму концентрического прямоугольника, соединены сообщающимися коридорами, которых всего 11. Общая их длина достигает почти 30 км. Считается, что благодаря такому архитектурному решению из любой точки здания в другую можно попасть, потратив лишь 7 минут. Высота штаб-квартиры – 23,5 метра. В настоящее время здесь работает очень много человек – около 26 тыс., среди них есть и гражданские сотрудники, и военные кадры.

Фасады

Пентагон – это здание, у которого с каждой стороны имеется фасад. В северной части расположилась торговая галерея. Этот фасад используется для собраний или официальных мероприятий. Южный представляет собой парковку. На третьем установлена вертолётная площадка. Остальные фасады имеют выход к станции метро и торговым рядам. Так называемый коммерческий фасад имеет множество магазинов, кафе и банков, рассчитанных для обслуживания работников Пентагона.

Катастрофа

Во время вооружённых беспокойств на территории США здание Пентагона также пострадало. Это произошло 11 сентября 2001 г. Один из захваченных авиалайнеров врезался в фасад. В результате возник пожар, погибли работники. Восстановление этого крыла длилось больше года. На месте авиакатастрофы установлен мемориал погибшим американцам.

Читайте также: