Реферат на тему палиндромы

Обновлено: 30.06.2024

Основа изучения палиндромов в жизни, способы их получения. Рассмотрение различных видов палиндромов в математике, примеры решения задач. Отдельные палиндромические словосочетания и фразы. Симметрия записи (расположения цифр). Репдиджит и репьюнит.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	21.01.2020
Размер файла	6,4 M

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.

Подобные документы

Процесс развития теории магических квадратов, их свойства и способы применения в жизни человека. Исторически значимые магические квадраты, способы и особенности их построения. Примеры решения задач с помощью различных модификаций магического квадрата.

реферат [21,1 K], добавлен 19.04.2012

Рассмотрение видов арифметических задач, используемых в работе с дошкольниками. Этапы обучения решению арифметических задач. Изучение структуры, модели записи математического действия. Алгоритм решения задач. Роль данных занятий в общем развитии ребенка.

презентация [379,7 K], добавлен 19.06.2015

Понятие симметрии в математике, ее виды: поступательная, вращательная, осевая, центральная. Примеры симметрии в биологии. Ее проявления в химии в геометрической конфигурации молекул. Симметрия в искусствах. Простейший пример физической симметрии.

презентация [1,6 M], добавлен 14.05.2014

Графы - определение и примеры. Задачи на нахождение всех комбинаций партий в шахматы между игроками, выбора нужной марки для письма, составления двузначного кода из возможных четырех цифр, расположения заданного количества гостей на разноцветных стульях.

презентация [56,9 K], добавлен 27.03.2011

Изучение нестандартных методов решения задач по математике, имеющих широкое распространение. Анализ метода функциональной, тригонометрической подстановки, методов, основанных на применении численных неравенств. Решение симметрических систем уравнений.

курсовая работа [638,6 K], добавлен 14.02.2010

Алгоритм и логика решения задач категории B8 из раздела "математический анализ" Единого государственного экзамена. Определение точек максимума и минимума. Нахождение интервалов возрастания и убывания функции. Геометрический смысл определенного интеграла.

методичка [350,9 K], добавлен 23.04.2013

Основные условия симметричности фигуры. Примеры геометрических фигур, обладающих центральной симметрией. Центральная симметрия плодов растений и некоторых цветов, живых существ. Центральная симметрия в транспорте. Анализ аксиом стереометрии и планиметрии.

Направление конференции: Математика, информатика (исследования в области теоретической математики, математического моделирования, алгоритмов информатики, языков программирования, создания собственных программных продуктов)

Тип работы: исследовательский реферат,

возрастная номинация : 6-8 класс

Есина Виктория Аркадьевна,

МБОУ СОШ №1 7А класс

Иваницкая Светлана Владимировна

МБОУ СОШ №1, учитель математики

С условиями Конкурса ознакомлен(-а) и согласен(-а). Организатор конкурса оставляет за собой право использовать конкурсные работы в некоммерческих целях и без денежного вознаграждения автора (авторского коллектива) при проведении просветительских кампаний, а также полное или частичное использование в методических, информационных, учебных и иных целях в соответствии с действующим законодательством РФ.

Шарыпово, 2018

Тезисы работы

Гипотеза: Если интересная информация о палиндромах, заинтересует школьников, то возможно они будут более углубленно изучать математику, что скажется на их математической грамотности и результативности обучения.

Цель: исследование палиндромов, репьюнитов, репдилжитов, выявление их особенностей и демонстрация возможности их использования на уроках математики и других предметов, расширение кругозора учащихся.

Знакомство с палиндромами.

Палиндро́м (от греч. πάλιν — ≪назад, снова≫ и греч. δρoμος—≪бег≫)

буквосочетание, слово или текст, одинаково читающиеся в обоих направлениях.

Я узнала, как можно получить такое число-перевёртыш:

Возьми любое число 619; Переверни его 916

Сложи два числа 1535; Переверни сумму 5351

Сложи два полученных числа 6886 Результат перевёртыш!

Палиндромы на самом деле очень увлекательны, они помогают развивать интерес к познавательной деятельности. Я узнала, что палиндромы, это не только интересные картинки в изобразительном искусстве и окружающем мире, но и числа в математике, слова и фразы в русском языке. Мой кругозор стал шире, я узнала много интересной и полезной информации.

Я думаю, что моё исследование поможет улучшить память, мышление, воображение.

Список литературы:

Кацюба Е.А.Первый палиндромический словарь.— Москва, 1999.

Е.А.Новый палиндромический словарь.— Москва, 2002.

Федин С.Н. Палиндроматика // Математика для школьников. – 2005. - № 1, с. 54.

Кордемский Б.А. Удивительный мир чисел // книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1995.

Я ничего не понимала в математике, поэтому мне пришлось думать. (Джоан Робинсон)

Не так давно я бороздила просторы Интернета и наткнулась на выражение "числа Шахерезады". Мне стало интересно, что это за числа, и я захотела узнать о них побольше.

Актуальность: Использование математики, в связи с научно-техническим прогрессом, на фоне всеобщей информатизации, имеет большое значение. У нас в классе многим нравится этот предмет. Но некоторые ребята опасаются трудных задач, больших вычислений. Может быть, они не любят математику? Или не понимают, зачем она нужна? Мне захотелось им помочь, раскрыть им глаза, научить любить эту науку, показать важность математики. Данная тема расширяет знания, кругозор, помогает при решении олимпиадных задач и задач для подготовки к экзамену.[5] Числа палиндромы образуют одно из наиболее интересных подмножеств множества натуральных чисел. Они обладают необычной историей, удивительными свойствами.
Мы провели исследование среди 7, 8, 9 классов и выяснили, что многие ребята слышали об этих числах, но подробную информацию знают единицы. Многие из опрошенных учащихся хотели бы узнать об этих числах больше.

Проблема: Многие дети считают математику скучной наукой сухих чисел. В связи с этим падает интерес к предмету, что отражается на результатах обучения.

Разработанность исследуемой проблемы: Из современных палиндромистов наиболее известны В.Гершуни, Д.Авалиани, Б.Гольдштейн, Г.Лукомников (Бонифаций), А.Бубнов.

Для достижения цели нами перед нами были поставлены следующие задачи:

Изучить литературу по теме исследования: найти историю возникновения перевёртышей.

Рассмотреть свойства палиндромов, репдигитов и репьюнитов, установить связь между палиндромами, репьюнитами, репдигитами.

Выбрать предмет и продемонстрировать перевёртыши.

Составить свои перевёртыши (палиндромы), игры.

Предложить одноклассникам придумать свои перевёртыши (палиндромы), решить несколько задач олимпиадного типа по теме.

Методы исследования:

Теоретические: анализ, синтез, обобщение.

Эмпирические: анкетирование, сравнение.

План исследования:

Выбор темы (октябрь 2017)

Изучение литературы по данной теме (ноябрь 2017)

Сбор информации (ноябрь 2017)

Проведение анкетирования (декабрь 2017)

Оформление работы (декабрь 2017 - январь 2018)

Защита работы (февраль 2018)

Знакомство с палиндромами.

Палиндро́м (от греч. πάλιν — ≪назад, снова≫ и греч. δρoμος—≪бег≫)

буквосочетание, слово или текст, одинаково читающиеся в обоих направлениях.[2]

Первые палиндромы появились в Древнем Риме, более 2000 лет тому назад. Ими украшали амфоры, чаши, вазы и другие предметы округлой формы. Такие надписи можно было читать в обе стороны, поворачивая сосуд в руках. Во фразах - палиндромах при чтении справа налево разорвутся слова, образуются новые, но порядок букв позволяет прочитать фразу и слева направо и справа налево.

Например: Мокнет Оксана с котенком.

В истории человечества существуют примеры и несловесных палиндромов.[3]

В изобразительном искусстве

А существуют ли палиндромы в математике?

Математические палиндромы обладают тем же свойством, т.е. число отличается симметрией записи (расположения цифр), причём число знаков может быть как чётным, так и нечётным.

Числа - палиндромы образуют одно из наиболее интересных подмножеств множества натуральных чисел. Числовые палиндромы – это натуральные числа, которые одинаково читаются справа налево и слева направо.

Например: 676; 9559; 1881; 74947; 7622267 и т. д.

Этим способом можно получить палиндром и из трехзначного числа.

Например, для числа 163:

А суть гипотезы в том, что, взяв любое число, после конечного числа действий мы обязательно получим палиндром.
Но есть числа, для которых этот способ "не работает". Известно, что выполняя сложение примерно десять миллионов раз, не удается превратить числа 196 или 879 в палиндромное. И до сих пор не найдено ни на каком шагу из этих чисел получится палиндром, ни строгого доказательства, что палиндром не будет получен никогда.

Можно рассматривать не только сложение, но и другие операции, включая возведение в степень и извлечение корней. Вот несколько примеров того, как при их помощи из одних палиндромов получаются другие:

√ 484+ 3 √ 1331=22+11=33

212 2 - 121 2 =44944-14641=30303

Некоторые свойства чисел-палиндромов.

До сих пор были рассмотрены в основном составные числа. Теперь обратимся к числам простым. В бесконечном множестве простых чисел имеются целые семейства палиндромов. Только среди первых ста миллионов натуральных чисел насчитывается 781 простой палиндром, причём двадцать приходится на первую тысячу, из них четыре числа однозначные – 2; 3; 5; 7 и всего одно двузначное – 11.

С такими числами связано немало интересных закономерностей:

все однозначные числа являются палиндромами.

существует единственный простой палиндром с чётным числом цифр –11.

26 – наименьшее число, не являющееся палиндромом, квадрат

которого палиндром. Например: 26 2 = 676

44562665878976437622437848976653870388884783662598425855963436955852489526638748888307835667984873422673467987856626544. Это число является в настоящее время мировым рекордом. Оно было найдено Джейсоном Дусеттом с помощью компьютера 30 ноября 2005 года.[4]

первой и последней цифрами любого простого палиндрома могут быть только 1; 3; 7 или 9. Это следует из известных признаков делимости на 2 и на 5.

среди простых трёхзначных палиндромов встречаются пары чисел, у которых средняя цифра отличается всего на 1. Например: 181 и 191; 373 и 383; 787 и 797; 919 и 929.

аналогичная картина наблюдается у больших простых чисел, например: 94849 и 94949; 1177711 и 1178711.

пары чисел - ≪перевёртышей≫ 13 —31 и 113 —311 при возведении в квадрат дают также пары ≪перевёртышей≫: 169 —961 и 12769 —96721.Любопытно, что даже суммы их цифр оказались связаны хитрым образом:

(1 + 3) 2 = 1 + 6 + 9,

(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Итак, палиндром- это число, которое одинаково читается слева направо и справа налево:

38683, 2002, 333, 11

Палиндром, составленный из одной и той же цифры, называют репди́гитом или репдиджитом (все репдигиты являются палиндромами и кратны репьюнитам):

Многозначное натуральное число, составленное из одних единиц,называют репьюнитом:

Между этими числами существует тесная связь, которую можно изобразить в виде схемы:

Удивительно то, что эта связь между числами проявляется и при выполнении арифметических операций.

Способ получения цепочки репдиджитов.

Число 111 111 111 делится на 9, так как сумма его цифр равна 9.Примечательно то, что в частном получается число 12345679:

111 111 111 = 9 ・ 12345679.

Отсюда можно получить пирамиду из девяти палиндромов - репдиджитов, умножая равенство сначала на 2, затем на 3, 4, …, 9:

1 ・ 9 ・ 12345679 = 111 111 111

2 ・ 9 ・ 12345679 = 222 222 222

3 ・ 9 ・ 12345679 = 333 333 333

9 ・ 9 ・ 12345679 = 999 999 999.

Возведение числа 11 в степень.

При возведении числа 11 2 , 11 3 , 11 4 , . я заметила закономерность:

Оказывается, можно обойтись без умножения. Крайние цифры всех выписанных степеней – единицы, а чтобы получить остальные цифры каждого следующего числа, начиная с третьего, достаточно сложить две цифры предыдущего, стоящие над ним.

Продолжим поэтому правилу ≪пирамиду≫ степеней:

11 8 = 214358881

11 9 = 2357947691

11 10 = 25934724601

11 11 = 285311670611 и т.д.

Возведение репьюнитов в квадрат.

Множество красивых чисел- палиндромов легко получить, возводяпервые девять репьюнитов в квадрат:

111 2 = 12321 и т.д.

111 111 111 2 = 12345678987654321

Так получается известный многим палиндром из единиц:

[5]

В этих палиндромах цифры в записи упорядочены сначала по возрастанию, а затем по убыванию. Добавление к записи репьюнита единицы увеличивает длину нового палиндрома на две цифры, при этом их общее количество остаётся нечётным. А вот центральная цифра n в числе 12…n…21 показывает, сколько единиц в породившем его репьюните.

Умножение репьюнитов разной длины.

11 ・ 1111 = 12221

11 ・ 11111 = 122221

111 ・ 1111 = 123321

111 ・ 111111 = 12333321

Прослеживается закономерность: цифры в записи упорядочены сначала по возрастанию, а затем по убыванию, причём наибольшей цифрой является длина меньшего репьюнита, а количество повторений этой цифры в середине числа равно разности длин репьюнитов, увеличенной на единицу.

11…115 ・ 11…119 = 1234555554321

11…117 ・ 11…119 = 123456777654321

11…1113 ・ 11…116 = 123456666666654321.

Решение задач

1.Приведите пример числа-палиндрома, который делится на 15.

Решение: Число-палиндром – это число, которое остается неизменным, если его читать наоборот. Возьмем четырехзначное число-палиндром и составим его из цифр a и b, получим: abba. Нужно подобрать цифры a и b так, чтобы число abba делилось на 15, т.е. оно должно быть кратно 15. Чтобы число было кратно 15, цифра a должна быть равна 5. Остается подобрать цифру b так, чтобы число было кратно 15, получим:

- число 5115 – кратно 15;

- число 5225 – не кратно 15;

- число 5335 – не кратно 15;

- число 5445 – кратно 15; и т.д.

Ответ: 5115; 5445.

2.Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их сложения(вычитания, умножения, деления) не менялся в результате прочтения их суммы справа налево, т.е. х₁у₁+х₂у₂ = у₂х₂+у₁х₁

Раскрыв скобки, приведя подобные слагаемые, разделив на 9, получим:х₁+х₂=у₁+у₂,

Вывод: сумма первых цифр у всех таких пар равна сумме их вторых цифр.

Примеры: 76+34=43+67 52+47 =74+25

3. Мири едет с папой в машине. В какой-то момент она посмотрела на счетчик километров и увидела число: 15951. "Папа, папа, смотри: это палиндромное число, учитель нам рассказывал о них!" Поездка оказалась продолжительной, и папа вел машину осторожно, с постоянной скоростью, а Мири поглядывала на счетчик. Через два часа на табло счетчика выскочило опять палиндромное число. С какой скоростью двигалась машина?

Анкетирование одноклассников:

В анкетировании приняло участие 24 человека. Им было предложено ответить на 3 вопроса:

Знаете ли вы что такое палиндромы? – нет-20

Встречались ли вы когда-нибудь с числами-палиндромами? - нет-21

Можете ли вы образовать число-палиндром? Если да, то образуйте одно число-палиндром? - нет-20

Результаты данного опроса изображены в виде секторной диаграммы, на основании которой можно сделать вывод о том, что о палиндромах знают только 5%. Среди опрошенных многие не знают, как образовать палиндром.

Задание для одноклассников: Я узнала, как можно получить такое число-перевёртыш.

Возьми любое число 619

Переверни его 916

Сложи два числа 1535

Переверни сумму 5351

Сложи два полученных числа 6886

Результат перевёртыш!

Оказывается, что все двузначные числа в конце концов дают палиндромы. Наибольшего числа шагов – по 24 – требуют числа 89 и 98.

Палиндромы могут стать предметом увлекательной коллективной игры.

Участники должны написать в установленное время как можно больше чисел-палиндромов, слов-перевёртышей или фраз перевёртышей.

Результаты: Гипотеза подтвердилась.

Изучили литературу по теме исследования: нашли историю возникновения перевёртышей

Рассмотрели свойства палиндромов, репдигитов и репьюнитов, установить связь между палиндромами, репьюнитами, репдигитами

Выбрали предмет и продемонстрировать перевёртыши в математике

Составили свои перевёртыши (палиндромы), игры.

Предложили одноклассникам придумать свои перевёртыши (палиндромы), решили несколько задач олимпиадного типа по теме

Выводы: Мир чисел настолько загадочен и увлекателен, что занимаясь данной работой, я поняла, если бы каждый из нас уделял ему больше внимания, то нашел бы для себя много нового и интересного. Я познакомилась с удивительными натуральными числами: палиндромами. Данная тема интересна одноклассникам, ее изучение можно продолжить в других предметах: ИЗО, окружающий мир, русский язык и другие.

В мире так много тайн и загадок, которые его украшают, и чудо палиндрома — это тоже одно из неповторимых таинств. Математики связывают с ним множество любопытных фактов и закономерностей: палиндромы делятся на пары и семейства, образуют числовые квадраты и целые симметричные фигуры, отличающиеся оригинальным рисунком из повторяющихся цифр. В своей работе я показала, что нас окружают очень интересные вещи, но мы редко задумываемся об их происхождении и предназначении. Пусть эти числа еще не до конца изучены, и не ясно их применение, но может быть в результате таких опытов с числами, и откроется их истинная суть. А пока будем наслаждаться красотой чисел.

Перевёртыши на самом деле очень увлекательны, они помогают развивать интерес к познавательной деятельности. Я узнала, что палиндромы, это не только интересные картинки в изобразительном искусстве и окружающем мире, но и числа в математике, слова и фразы в русском языке. Мой кругозор стал шире, я узнала много интересной и полезной информации.

Я думаю, что моё исследование поможет улучшить память, мышление, воображение.

Думаю, что представленная мной работа будет весьма интересна и полезна ученикам, учителям и всем увлекающимся математикой людям.

Если Вас моя работа заинтересовала, её можно продолжить, найдя новые объекты исследования.

Список литературы:

Кацюба Е.А.Первый палиндромический словарь.— Москва, 1999.

Е.А.Новый палиндромический словарь.— Москва, 2002.

Федин С.Н. Палиндроматика // Математика для школьников. – 2005. - № 1, с. 54.

Кордемский Б.А. Удивительный мир чисел // книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1995.

В работе рассмотрен до конца неизученный аспект поэзии - палиндром. Это очень интересное явление в современной поэзии.

Вложение	Размер
issledovanie_grinyuk.doc	82 КБ

Предварительный просмотр:

Волгоградская обл., Николаевский район, с. Раздольное

Работу выполнила: Гринюк Ксения,

ученица 8 класса.

Руководитель: Дубина Т. М.,

учитель русского языка и литературы.

Глава1. Понятие палиндрома. Основные принципы построения палиндрома

Глава 2. Классификация палиндромов.

Глава 3. Использование техники палиндрома в поэзии.

Актуальность : недостаточная изученность лингвистических особенностей палиндрома.

Объект : палиндром как специфическая форма поэтического творчества.

Материал для исследования: палиндромы, собранные в сети интернет, общее количество – 300.

Предмет исследования: языковые особенности русского палиндрома.

Цель: описание особенностей русского палиндрома

Задачи: сбор нового и привлечение классического материала для изучения данной проблемы, анализ и классификация материала, формулировка общих языковых особенностей русского палиндрома.

Практическая значимость : материалы могут быть использованы на уроках русского языка и литературы, помогут глубже понять развитие современного русского языка, разнообразие лингво-поэтических форм.

Методы исследования: сплошная выборка, классификация, описание.

Первые опыты написания русских палиндромов датируются 17 веком и принадлежат Г.Р. Державину, наиболее известны две палиндромические строки:

Я разуму уму заря ,

Я иду с мечем судия.

Многочисленные в 20 в. эксперименты в области поэтического языка не могли не задеть и палиндромических форм. К ним обращались русские

поэты-экспериментаторы В.Хлебников и В.Брюсов, которые старались

привнести в палиндромы и перевертни эстетическое начало. В 1920-е годы над палиндромами активно работали И.Сельвинский, А.Туфанов, в более поздние годы форму палиндрома использовал С.Кирсанов. В 1970-е годы А.Вознесенский старался найти органичное соединение палиндромической техники с визуальностью.

Из современных палиндромистов наиболее известны В.Гершуни, Д.Авалиани, Б.Гольдштейн, Г.Лукомников (Бонифаций), А.Бубнов. В поэзии последних лет отмечается стремление соединить в палиндромических структурах элементы зауми и сращивания слов, придать текстам многообразное интонирование (С.Сигей, С.Бирюков).

Палиндром - (иногда также палиндромон, от гр. palindromos "бегущий обратно"), текст, или, шире, некоторое словесное построение, которое одинаково (или приблизительно одинаково, с некоторыми допущениями) читается по буквам слева направо и справа налево. В зависимости от числа и вариации места словоразделов, а также меры совпадения прямого и обратного чтения палиндромы классифицируются по степени сложности и точности.

Перевертень – многострочный палиндром.

Прямоход - прямой текст палиндрома, читающийся в соответствии с нормальным направлением чтения в данной письменности (во всех видах кириллической и латинской письменности – слева направо

Ракоход (или реверс) - обратный ход (справа налево).

Ось палиндрома (или палиндромической оси) - воображаемая линия, проходящая по букве или между буквами и разделяющая палиндромный текст так, чтобы буквы одной половины представляли собой реверс другой.

Глава1. Понятие палиндрома. Основные принципы построения палиндрома

ПАЛИНДРОМ (иногда также палиндромон, от гр. palindromos "бегущий обратно"), текст, или, шире, некоторое словесное построение, которое одинаково (или приблизительно одинаково, с некоторыми допущениями) читается по буквам слева направо и справа налево. В зависимости от числа и вариации места словоразделов, а также меры совпадения прямого и обратного чтения палиндромы классифицируются по степени сложности и точности.

Прямой текст палиндрома, читающийся в соответствии с нормальным направлением чтения в данной письменности (во всех видах кириллической и латинской письменности – слева направо), называется прямоходом, обратный – ракоходом или реверсом (справа налево). В русской терминологии палиндром называется перевертнем (термин принадлежит В.Хлебникову), однако при строгой классификации эти языковые образования различаются. Палиндромам также давались названия саморифма (С.Кирсанов), амфирифма (В.Рыбинский). Классический пример палиндрома:

Я – арка края (В.Брюсов).

Кроме собственно палиндромов, свойством прочтения в обе стороны характеризуются так называемые оборотни – словесные построения, которые при обратном прочтении образуют некоторый осмысленный текст, отличный от результата прямого прочтения, например:

! анатом – за разум ! (Д. Авалиани);

обратное прочтение: ! муза размотана !

Палиндром в широком понимании не ограничивается только вербальной формой. Палиндромом можно назвать некоторый объект, имеющий линейную или циклическую форму организации, в которой задана симметрия составляющих от начала к концу и от конца к началу.

Палиндромы могут иметь форму стиха (т.е. разбиваться на строки) или же записываться прозой – линейно, без разбиения на строки. Однострочные палиндромы, соответственно, не принадлежат ни к стиху, ни к прозе.

В этом смысле однострочный палиндром близок к афоризму (ср . Муза ранясь шилом

опыта ты помолишься на разум – Д. Авалиани); иногда палиндромные структуры используется и в заглавиях произведений: название повести В.Нарбиковой Ад как Да аД как дА . Если палиндром записан с делением на строки, то весь стих может иметь или форму монопалиндрома, т.е. читаться обратно не по строкам, а с самого конца текста к самому началу:

Ной и вера – шанс у Сиона

но Исус на шаре – Вийон

или читаться в обе стороны по строкам – в таком случае создается многострочный палиндром – или перевертень в строгом понимании:

Ад гонит иногда.

Бывают также поэмы-полиперевертни, которые сами состоят или из монопалиндромов, или из монопалиндромов и строк-палиндромов. Так, монопалиндром Д. Авалиани об Исусе и Вийоне представляет собой лишь две заключительные строки стихотворного текста; над ним еще два четверостишья, каждое из которых является монопалиндромом.

Слоговая структура палиндрома заставляет авторов использовать

немногосложные словоформы, поэтому в русском палиндроме часто отсутствуют глагольные формы настоящего времени и используются краткие прилагательные. Синтаксические конструкции палиндрома отличает структурная краткость. В палиндромических конструкциях нередко возникают и окказионализмы – новые слова или формы слов, созданные в поисках точности реверса и глубины выражаемого смысла текста. Краткость и точность выражения в палиндромных текстах дополняется стремлением к эстетизации, символизации словесных сочетаний, чему способствует симметричная звуковая организация палиндромного стихотворения. Так, в приведенном ниже стихотворении Б.Гольдштейна обнаруживается такая необычная форма, как краткое относительное прилагательное березов (по типу бирюзов ); форма серебрим может иметь двойственное прочтение (или как краткое страдательное причастие настоящего времени, или как форма глагола 1-го лица множественного числа). Все это придает палиндрому архаическую окраску:

Сел в озере березов лес,

Мир берест серебрим,

обуло грезой озер голубо.

Сел в озере березов лес,

лак резала зеркал.

Глава 2. Классификация палиндромов.

Центральная ось палиндрома делает явным то обстоятельство, что стихотворный палиндромический текст есть одновременно и особое произведение словесно-изобразительного искусства.

Палиндром М.Крепса Я – нем, худ, но | Он – дух меня имеет два пробела в правом полупалиндроме; он сложный, поскольку ось проходит не по букве, а между буквами.

Классификация палиндромов по степени точности связана с тем, что при обратном чтении – по сравнению с прямым – изменяется место словоразделов, теряется значимость знаков препинания и заглавных букв, а также допускаются отклонения в орфографической записи.

(е = ё, смещение точки)

Один, души пишу дни до

Сам дошел и доводи лошадь масс.

Существуют и вариативные палиндромы, обладающие так называемым вариаходом. Это палиндромы, в которых сохраняется семантика прямого чтения, но наблюдается синтаксическая инверсия.

Например, строка И казаки – чубы зыбучи обратно прочитывается как И чубы зыбучи – казаки .

Однако очевидно, что в языке есть слова (например, ИЛ – ЛИ, АД – ДА), которые самой своей структурой как бы предназначены для палиндрома. Их частое использование, конечно, нельзя считать заимствованием:

Ню Матисса да – в ад. ( Ас и там юн ) В.Пальчикова

Данные примеры показывают, что палиндром пишется сразу с двух сторон, а не от начала к концу. В то же время очевидно, что понятие авторства в палиндроме неоднозначно. Суперпалиндром — это состоящий букв отрывок текста, при расположении которого в квадратную таблицу совпадает последовательность букв при прочтении следующими 4 способами:

1) по строкам слева направо и сверху вниз;
2) по столбцам сверху вниз и слева направо;
3) по строкам справа налево и снизу вверх;
4) по строкам снизу вверх и справа налево.
Легко видеть, что для квадратной таблицы из букв одинаковость ее прочтения способами 1)-4) равносильна ее симметрии относительно обеих диагоналей квадрата. Разумеется, любой суперпалиндром является также палиндромом. Таким образом, суперпалиндром — это палиндром, удовлетворяющий весьма жестким дополнительным ограничениям. Суперпалиндромы приводятся в двух записях — "квадратной" и обычной.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

МБОУ Чернцкая средняя общеобразовательная школа

Лежневского района Ивановской области

Загадочный мир палиндромов

Автор работы:

Новичкова Марина ,

ученица 7 класса

Руководитель

Никитина Т.А,

учитель математики

с. Чернцы, 2018 год

Палиндромы в языках и литературе

Палиндромы в математике

Как-то раз в перемену мы с одноклассниками занимались, казалось бы, детской простой забавой: составляли слова – перевертыши. Око, ага, шалаш, казак, потоп, … К нашей забаве присоединились старшие ребята. Да, они знали больше нас. От них мы услышали целые фразы:

Аргентина манит негра.

На в лоб, болван!

У дуба буду.

Oколо Миши молоко.

Мне стало интересно, что же это такое? Вечером, придя домой, я села за компьютер и решила провести небольшую исследовательскую работу. Оказалось, это слово используется в разных науках и имеет множество значений. Я обратила внимание на то, что палиндромы есть как в русском языке, так и в математике. Удивилась: такие разные предметы, а слово одно используют. Но слово-то одно, а вот значения у него, наверняка, разные.

Но больше всего меня вдохновил палиндром, содержанием которого является утверждение о самом палиндроме :

ОН ДИВЕН, ПАЛИНДРОМ, И НИ МОРД, НИ ЛАП НЕ ВИДНО / К.Решетников/

Гипотеза : Нас окружают иногда очень интересные вещи , но мы редко задумываемся об их происхождении и предназначении. Мир сложно прекрасен и загадочно прост. Составление палиндромов не просто забава. Если существуют математические палиндромы, то существуют определенные правила и законы их составления..

Предмет исследования : отдельно взятые слова и фразы, числа, формулы

Цель исследования :

исследование математических палиндромов как одного из множества видов палиндромов

1. Выяснить, что такое палиндром, рассмотреть исторические сведения
2. Рассмотреть виды палиндромов в русском языке и литературе.
3. Р ассмотреть числа – палиндромы и, по возможности, вывести формулы – палиндромы для составления суммы и разности двухзначных чисел.
4. Выяснить , где ещё могут встретиться палиндромы

Методы , используемые в работе.

Работа с информационными источниками
Исследование числовых палиндромов
Систематизация материала и создание презентации.

Этапы исследования :
Знакомство с понятием палиндром

Исследования природы числовых палиндромов
Создание копилки фраз и слов палиндромов

2. Основная часть

2.1 Историческая справка

Первые палиндромы появились в Древней Греции, более двух тысяч лет тому назад. Ими украшали амфоры, чаши, вазы и другие предметы округлой формы. Такие палиндромные надписи можно было читать в обе стороны, поворачивая сосуд в руках.

А самый известный из древних палиндромов придумали римляне, которые упаковали его в словесный магический квадрат :

Появление этого палиндрома датируется 79 годом нашей эры, а переводится он так: Сеятель Арепо держит колёса в деле .

Этот палиндром одинаково читается не только по горизонтали, но и по вертикали. Необыкновенные свойства квадратного палиндрома так поразили людей того времени, что они считали его магическим и наносили на стены жилищ и монастырей, писали на амулетах. Из-за удивительных свойств этот палиндром считался оберегом от болезней и злых духов.

Много тысячелетий спустя он послужил образцом для самой популярной современной головоломки со словами - кроссворда.

Особенно популярны стали палиндромы в средние века, из коих и дошли до нас такие палиндромные фразы:

Otto tenet mappam, madidam mappam tenet Otto.
Отто держит карту, мокрый Отто держит карт у.

Палиндромы в языках и литературе

Литературный палиндром достиг своего расцвета лишь в XX в. В 1990-х годах, в России началось детальное литературоведческое и лингвистическое изучение палиндромии — прежде всего Александром Бубновым и Германом Лукомниковым. Теоретики и практики палиндрома выделили многочисленные пограничные с палиндромом формы: например, оборотень — текст, читающийся слева направо иначе, чем справа налево. Среди более редких разновидностей палиндромических текстов следует назвать также слоговые, словесные и фразовые палиндромы, двуязычные палиндромы (в одну сторону текст читается на одном языке, в обратную — на другом)

Как указывает Т. Бонч-Осмоловская, существует даже словесная игра по составлению фраз из слов-буквенных палиндромов:

Казак и дед тащат наган.

Алла и Анна комок ребер тащат манекенам.

Ара доход латал удоду и макакам.

Мирим воров и волов.

Мим летел нежен.

Учу Юлю уму.

Если фраза прочитывается в обратном порядке не по буквам, а по слогам, говорят о ее слоговом палиндроме .

Сыро от росы,

Да, вовсю вода.

Ты мости мосты

Да беги,- беда.

Льем, зараз зальем

Льем, на мышь нальем

В традиционном палиндроме текст читается одинаково по двум направлениям. Но существуют суперпалиндромы, в которых одно и то же прочтение достигается четырьмя разными способами! Как правило, они записываются в виде квадратов.

Некоторые русскоязычные магические палиндромные квадраты:

Палиндромы в математике

Числовые палиндромы – это натуральные числа, которые одинаково читаются справа налево и слева направо. Математики связывают с ними множество любопытных фактов и закономерностей: так, палиндромы делятся на пары и семейства, образуют числовые квадраты и целые симметричные фигуры, отличающиеся оригинальным рисунком из повторяющихся цифр.

Числовой палиндром отличается симметрией записи (расположения цифр), причём число знаков может быть как чётным, так и нечётным

Найти числа – палиндромы в математике не составило труда. Например, 1991, 666, 999, 2002, 2112 и т.д. Каждый может составить такие числа, чтоб они читались справа налево также как слева направо.

Я попыталась составить запись числа для этих чисел – палиндромов .

- в двузначных числах – палиндромах число единиц совпадает с числом десятков.

– в трехзначных числах – палиндромах число сотен всегда совпадает с числом единиц.

- в четырехзначных числах – палиндромах число единиц тысяч совпадает с числом единиц, а число сотен с числом десятков и т.д.

Палиндромы встречаются в некоторых множествах чисел, удостоенных собственных названий: среди чисел Фибоначчи — 8, 55; фигурных чисел — 676, 1001 (квадратное и пятиугольное соответственно); чисел Смита (Число Смита — составное число, сумма цифр которого равна сумме цифр его простых делителей)— 45454, 983389. Указанным свойством обладает также всякий репдиджит ( Репдиджит — натуральное число, в записи которого все цифры одинаковые ), например 2222222 и, в частности, репьюнит.

Репьюнит — натуральное число, записанное с помощью одних только единиц . Квадрат любого числа, состоящего из единиц до 10 знаков, является палиндромом.

11² = 121 1111 2 = 123421 111111 2 = 12345654321

111² = 12321 11111 2 = 123454321 111111111² = 12345678987654321

Из любого числа можно получить палиндром

Возьмём любое натуральное число и сложим его с обращённым числом, то есть записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. Проделаем то же действие с получившейся суммой и будем повторять его до тех пор, пока не образуется палиндром. Иногда достаточно сделать всего один шаг (например, 312 + 213 = 525), но, как правило, требуется не менее двух. Скажем, число 96 порождает палиндром 4884 только на четвёртом шаге. В самом деле:

1353 + 3531 = 4884.

Можно рассматривать не только сложение, но и другие операции, включая возведение в степень и извлечение корней.

Формулы – палиндромы

Палиндромные формулы вызвали у меня больший интерес. Под формулами – палиндромами, я понимаю, выражение (состоящее из суммы или разности чисел) результат которого не меняется в результате прочтения выражения справа налево.

Если сложить числа – палиндромы, то сумма не меняется.

Например: 22 + 66 = 66 + 22.

В общем виде это можно записать так:

(10х + х) + (10у + у) = (10у + у) + (10х + х)

10х + х + 10у + у = 10у + у + 10х + х

11х + 11у = 11у + 11х

От перестановки слагаемых сумма не изменяется (переместительное свойство сложения).

Точно также доказывается для 3-х, 4-х и n - значных чисел.

Задача 1. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их сложения не менялся в результате прочтения суммы справа налево, то есть

Например, 42 + 35 = 53 + 24.

Пусть N ₁ = - двузначное число, где х ₁ – первая цифра, у ₁ – вторая цифра

N ₂ = - двузначное число, где х ₂ - первая цифра, у ₂ – вторая цифра.

N ₃ = - двузначное число, где у ₂ - первая цифра, х ₂ - вторая цифра.

N ₄ = - двузначное число, где у ₁ - первая цифра, х ₁ - вторая цифра.

Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых:

Сумма первых цифр у всех таких пар чисел равна сумме их вторых цифр.

Теперь можно составлять такие суммы:

25 + 63 = 36 + 52 и т.д.

Задача 2. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их вычитания не менялся в результате прочтения разности справа налево.

Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых:

У таких чисел равны суммы цифр.

Теперь можно составлять такие разности:

52 –16 = 61 – 25 и т.д.

Палиндромы среди простых чисел

Простое число – это число, которое имеет всего два делителя. Существуют таблицы простых чисел. Заглянем в такую таблицу. Из них четыре числа однозначные — 2, 3, 5, 7 и всего одно двузначное — 11.

Оказывается, только среди первых ста миллионов натуральных чисел насчитывается 781 простой палиндром, причём двадцать приходятся на первую тысячу. С такими числами связано немало интересных фактов и красивых закономерностей.

Во-первых , существует единственный простой палиндром с чётным числом цифр — 11 . Другими словами, произвольный палиндром с чётным числом цифр, бóльшим двух, число составное, что нетрудно доказать на основе признака делимости на 11.

13 и 31, 17 и 71,

37 и 73, 79 и 97.

Кроме того, среди простых трёхзначных палиндромов встречаются пары чисел, у которых средняя цифра отличается всего на 1:

181 и 191, 373 и 383,

787 и 797, 919 и 929.

Аналогичная картина наблюдается и у больших простых чисел, например:

1177711 и 1178711.

Примечательные пары

Своими свойствами они напоминают магический и латинский квадраты. Например, у среднего квадрата сумма чисел, стоящих в каждой строке и в каждом столбце, равна 444, на диагоналях — 262 и 626. Сложив числа из всех клеток, получим 888. И что характерно, каждая сумма — палиндром. Даже просто выписывая без пробела несколько чисел из одной таблицы, получим новые палиндромы: 3113, 131313131 и т. д.

Между прочим, нашему поколению выпала большая удача, не каждому человеку выпадает прожить хотя бы один палиндромный год, а уж тем более два - 1991-й и 2002-й. Ведь предыдущий был в 1881-м, а следующий — в 2112-м
А уж миг полного числового равноденствия - палиндромный миг - 20.02 2002 20.02 приходит и того реже…

Задача № 3 :

Если дату 10 февраля 2001 года записать в виде 10.02.2001, а затем убрать точки, то получится палиндром (т.е. число, читающееся слева направо и справа налево одинаково). Найдите ближайшую к 10.02.2001 дату, обладающую тем же свойством. Рассмотрите два случая:
1) требуемая дата еще не наступила,
2) требуемая дата уже прошла.
Ответ обосновать.

Решение.
Заметим, что при условии, что дата записывается как палиндром, день и месяц однозначно находятся по заданному году.

пункт (1): в 2001 году других палиндромов быть не может, а в следующем (2002) году это должен быть 20 день второго месяца.

Пункт (2): Чтобы дата была как можно ближе к 2001 году, необходимо брать самый большой возможный год, меньший 2001. Вторая цифра года должна быть первой цифрой месяца, то есть 0 или 1, т.к. месяцев не больше 12. В 2000 году палиндрома быть не может (нулевого дня не бывает), следовательно, первые две цифры года - 11 (соответственно, месяц - ноябрь). Третью цифру года нужно взять максимально возможную, т.е. девять, тогда четвертой (так как в ноябре не больше 31 дня) может быть два. Получится дата-палиндром 29.11.1192.

Ответ. 1) 20 февраля 2002 2) 29 ноября 1192 года.

Необычные факты о палиндромах

3. Существуют палиндромы не только в русском, но и других языках

русский язык

А в Енисее — синева.

А лис, он умён — крыса сыр к нему носила. (И. Бабицкий)

Аргентина манит негра.

английский язык

Race fast, safe car (Гони быстро, безопасная машина)

Do geese see God? ( Видят ли гуси бога ?)

арабский язык: حوت فمه مفتوح (Кит с открытым ртом)

болгарский язык: Кирил е лирик (Кирилл — лирик)

испанский язык: Anita lava la tina (Анита моет корыто)

итальянский язык: Autore, ero tua (Автор, я твоя)

латинский язык: Sum summus mus (Я — сильнейшая мышь)

немецкий язык: Reit nie tot ein Tier (Никогда не гони животное до смерти)

польский язык: Kobyła ma mały bok (У кобылы маленький бок)

португальский язык: Socorram-me, subi no ônibus em Marrocos (Помогите мне, я попал в автобус в Марокко)

татарский язык: Ata qadaq ata (Отец кидает гвоздь)

турецкий язык: Anastas kazak satsana (Анастас, продай свитер)

украинский язык: Кому дикі ріки думок? (Кому дикие реки мыслей?)

чешский язык: Fešná paní volá: Má málo vína pan šéf? (Шикарная пани спрашивает: У пана шефа мало вина?)

финский язык: saippuakauppias (продавец мыла) — самое длинное употребительное слово-палиндром в мире

4. Другие дисциплины:

Палиндром в широком понимании не ограничивается только словесной формой. Палиндромом можно назвать некоторый объект, имеющий линейную или циклическую форму организации, в которой задана симметрия составляющих от начала к концу и от конца к началу.

Палиндромы в ДНК

1. палиндром, 2. кольцо, 3. стебель

НООССООН - формула щавелевой кислоты.

Просто факты

Российский герб Двуликий Янус

Палиндромное дело в Пенькове

Сказочная зверушка Тяни - Толкай

Случаются палиндромные имена :

ADA, ANNA, BOB, EVE, HANNAH, OTTO, АННА, АЛЛА, НАТАН, ТИТ

А вот палиндромные имена-фамилии:

Лон Нол (1913–1985) - бывший премьер-министр Камбоджи.

Нисио Исин (Nisio Isin, NisiOisin, настоящее имя Nishio Ishin) – японский писатель и автор манга-книг.

Некоторые литературные деятели умудряются писать палиндромные стихи и рассказы . В этой связи хорошо известны два рассказа на английском языке - Dr Awkward & Olson in Oslo ( Доктор Оквард и Олсон в Осло ), который Л.Левин (Lawrence Levin) написал в 1986 году, состоит из 31 954 слов, и Veritas (1980), принадлежащий перу Дэвида Стивенса (David Stephens), - 58795 слов. На французском языке написан рассказ Grand Palindrome (1969), в котором 5556 букв

Свинский палиндром

Липовый палиндром

4. Заключение

Моя работа имеет прикладное значение потому, что я не только изучила данную тему и показала, как можно научиться составлять палиндромы, но и каждый желающий может попробовать сам составить палиндром, проявив интерес к моей теме.

Цели своей работы я достигла. Рассмотрела числа – палиндромы и записала их в общем виде. Привела примеры и доказала формулы – палиндромы для сложения и вычитания двухзначных чисел. Думаю, что предлагаемая работа будет весьма полезна ученикам, учителям и всем увлекающимся математикой людям, так как написана в доступной форме.

Читайте также: