Реферат на тему отношения по математике

Обновлено: 18.05.2024

Собрала для вас похожие темы рефератов, посмотрите, почитайте:

Введение

Древнейшей математической деятельностью был подсчет. Счет был необходим для учета крупного рогатого скота и торговли. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов и сравнивали различные части тела, в основном пальцы ног и ног. На рисунке, сохранившемся с каменного века, изображена цифра 35 в ряду 35 стержней, нанизанных друг на друга. Первыми значительными достижениями в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложение, вычитание, умножение и деление. Первые достижения в геометрии были связаны с такими простыми понятиями, как прямая линия и окружность. Дальнейшее развитие математики началось около 3000 г. до н.э. благодаря вавилонянам и египтянам. И постепенно математика стала незаменимой наукой для человечества.

Математика как наука

Вот некоторые определения математики от разных авторов.

Математика — это цикл наук, посвященный ценностям и пространственным формам (арифметике, алгебре, геометрии, тригонометрии и т.д.). Чистая математика. Прикладная математика. Высшая математика. (Пояснительный словарь русского языка Д.Н.Ушакова).

Математика — академический предмет, содержащий теоретические основы соответствующей научной дисциплины (толковый русский словарь Т.Ф. Ефремовой).

Период элементарной математики

Были решены задачи, сведенные к решению уравнений третьей степени и особых типов уравнений четвертой, пятой и шестой степени. Использовались только два разных символа: один обозначал единицу, а другой — число 10; все номера записывались этими двумя символами с учетом позиционного принципа. В старых текстах (около 1700 г. до н.э.) нет символа нуля, поэтому числовое значение, присваиваемое символу, зависело от условий задачи, и этот же символ мог обозначать 1, 60, 3600 или даже 1/60, 1/3600. Греция также была сильна в математике. Математическое элементарное геометрическое исчисление

Восточная математика зародилась как прикладная наука с целью облегчения календарных расчетов распределения доходов и сбора налогов. Вначале на переднем плане были арифметические расчеты и измерения. Однако с течением времени алгебра развивалась из арифметики и зачатков теоретической геометрии из измерений. На Востоке была разработана система, основанная на десятичной системе со специальными символами для каждого высшего десятичного знака, система, которую мы знаем благодаря римской математике, которая основана на том же принципе. На Востоке было определено значение π.

Период создания математических переменных. Создание аналитической геометрии, дифференциальных и интегральных вычислений

В XVII веке начинается новый период в истории математики — период математики переменных. Его появление связано, прежде всего, с успехами астрономии и механики.

В 1609-1619 гг. Кеплер открыл законы движения планет и сформулировал их математически. Около 1638 года Галилео создал механику свободного движения тел, установил теорию упругости, применил математические методы для изучения движения с целью нахождения закономерностей между природой движения, его скоростью и ускорением. К 1686 году Ньютон сформулировал закон гравитации.

Развитие математики в России в XVIII-XIX вв.

На Древней Руси получило такое же распространение, как и в греко-византийской системе числовых знаков, основанной на Славянском алфавите. Славянская нумерация в русской математической литературе встречалась до начала 18 века, но уже с конца 16 века эта нумерация все больше заменяется принятой сегодня десятичной системой. Старейший известный нам математический труд относится к 1136 году и принадлежит новгородскому монаху Кирику. Она посвящена арифметическим и хронологическим вычислениям, которые показывают, что в то время на Руси можно было решить сложную задачу пасхального вычисления, которая в математической части сводилась к решению целых чисел неопределенных уравнений первой степени. Трудно сказать, кого следует считать первыми русскими математиками, но если люди свободно владеют современным математическим анализом и пишут работы на эту тему, то эти первенцы русских математиков, очевидно, были С. К. Котельников и С. Я. Румовский.

С. К. Котельников не занимался самостоятельным творчеством, хотя и написал что-то вроде базового курса по математике, но ограничился изданием первого тома. Котельников также написал еще один подробный учебник по геодезии.

В первой половине XIX века не было разработано преемника русской математики, но молодой русский математик уже в первый период своего развития дал выдающиеся представители в различных отраслях этой сложной науки, одна из которых уже в первой половине века вписала его имя в историю человеческой мысли.

Основные этапы образования современной математики

В XIX веке начинается новый период в развитии математики — современный. Огромный объем материала, накопленного в 17-18 веках, обусловил необходимость проведения глубокого логического анализа и объединения его с новыми аспектами. В настоящее время связь между математикой и естественными науками принимает более сложные формы. Новые теории возникают не только из потребностей науки или техники, но и из внутренних потребностей самой математики.

Усилена теория дифференциальных уравнений с частными производными и теория потенциала. Большинство великих аналитиков начала и середины XIX века работают в этом направлении: К. Гаусс, Ж. Фурье, С. Пуассон, О. Коши, П. Дирихле, М. Остроградский. Во второй половине XIX века начинается интенсивное изучение истории математики. В конце XIX и в XX веке во всех областях математики, начиная с древнейшей из них — теории чисел, произошло необычайное развитие. Теория дифференциальных уравнений с частными производными в конце XIX в. приобретает принципиально новую форму.

Важным дополнением к методам теории дифференциальных уравнений в изучении природы и решении технических задач являются методы теории вероятностей. В конце XIX и в XX веке большое внимание уделяется методам численного интегрирования дифференциальных уравнений. Таким образом, методы обоснования и методики математики, разработанные в первой половине XIX века, позволили математикам реконструировать математический анализ, алгебру, исследование числа и частично геометрии в соответствии с требованиями новой методологии. Новая методология математики способствовала преодолению кризиса ее основ и создала для них широкие перспективы дальнейшего развития математики, до конца 19 — начала 20 века носила в основном прагматический характер, если математика использовалась как эффективное средство для решения физических, астрономических и других прикладных задач.

Среди важнейших достижений 20-го века в области математики — основы:

разработка концепции формального языка и формальной системы (вычисления) и генерируемой из нее теории
создание математической логики как последовательной семантически завершенной формальной системы.
создание аксиоматизированных формальных теорий арифметики, теории множеств, алгебраических систем и других важных областей математики
формальная спецификация условий алгоритма и вычисляемой функции.

Заключение

Математическое моделирование, универсальность математических методов приписывает математике большую роль в различных областях человеческой деятельности.

Основой любой профессиональной деятельности являются навыки:

создавать и использовать математические модели для описания, прогнозирования и изучения различных явлений
проводить систематический, качественный и количественный анализ;
Они располагают компьютеризированными методами сбора, хранения и обработки информации;
имеют методы решения задач оптимизации.

Математические методы широко используются в естественных и чистых гуманитарных науках: психология, образование.

Можно сказать, что в ближайшем будущем каждая часть человеческой деятельности будет в еще большей степени использовать математические методы в исследованиях.

Список литературы

Лаптев Б.Л. Н.И. Лобачевский и его геометрия. М.: Разведка, 1974 .
К.А. Рыбников. История математики. М.: Наука, 1995.
Самарский А.А. Математическое моделирование. М.: Наука, 1983.
Остановить Р.Р. Множественность, логика, аксиоматическая теория. М.: Просвещение, 1964.
Строй Ди. Я… Краткое эссе по истории математики. М.: Наука, Физматлит, 1994.
А.Н. Тихонов, Д.П. Костомаров. Истории о прикладной математике. М.: Вита-Пресс, 1995.
А.П. Юшкевич. Математика в своей истории. М.: Наука, 1994.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Отношение — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов (арность) и собственным свойствам (симметричность, транзитивность и пр.). В математике примерами отношений являются равенство (=), коллинеарность, делимость и т. д.

Отношение может также означать результат операции деления, например:

Содержание

Формальное определение

$M_1,M_2,\ldots,M_n$

n-местным (n-арным) отношением, заданным на множествах , называется подмножество прямого произведения этих множеств.

$M=M_1=M_2=\ldots=M_n$

Иногда понятие отношения определяется только для частного случая для отношения R. Тогда факт принадлежности n-ки этому отношению можно записать как:

$\langle x_1, x_2, \dots, x_n\rangle\in R$

Арность

Одноместные отношения соответствуют свойствам или атрибутам.
Двуместные отношения называют бинарными и обычно записывают инфиксной записью: x R y. Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются графы и частично упорядоченные множества.
Трёхместные отношения называют тернарными.

Примеры

Отношения и предикаты

Предикаты, которые формируются из отношений, заданных в соответствии с основным определением (когда множества в прямом произведении различны), используются в многосортном исчислении предикатов. [1]

Операции с отношениями

Система отношений, сформированная на одном и том же прямом произведении множеств, изоморфна алгебре множеств и допускает применение теоретико-множественных операций и проверок включения одного отношения в другое. Элементами множеств в этом случае являются кортежи элементов (n-ки).

Для отношений, у которых это ограничение не выполняется, теоретико-множественные операции не применимы, но возможны такие операции как соединение и композиция, которые используются в алгебре Кодда, алгебре кортежей и реляционной алгебре.

В статье описывается такая методика преподавания математики в начальной казахской школе, котороя преследует своей целью развитие учащихся, формирование у них учебно-познавательного аппарата. Статья предназначена учителям начальных классов, преподавательям вузов, студентам и научным работникам и широкому кругу читателей, интересующихся проблемами методики преподавания математики в начальных классах.

2. Пышкало А.М., Стойлова Л.П., Ирошников Н.П. Теоретические основы начального курса математике. – М.: Просвещение, 1974

5. Питерсон Л.Г. Программа по математике для трехлетней и четырехлетней начальной школы // Начальная школа. – 1996. – № 11.

В настоящее время учащимся І–ІV классов в наглядной и конкретной форме знакомятся с такими важными математическими понятиями, как число и нуль, овладевают операциями над этими числами. Учитель, строя процесс обучения, должен опираться на эти операции и понятия. В процессе вычислительных навыков и в связи с решением задач различных видов, происходит усвоение первоначальных представлений о бинарных отношениях.

Бинарное отношение условно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: P, R, G, N, D, C и др.

Множество первых компонентных пар принадлежащих отношению P, называется областью определения отношения P, а множество вторых компонентных пар – областью значений отношения Р.

В математике существуют отношения между элементами одного и того же множества.

Этот список возможных отношений можно долго продолжать.

Отношение f можно изобразить наглядно.

Например: между элементами двух множеств. Девочки, живущие, в одной комнате общежития составили, график дежурства на неделю, чередуясь, каждый день. Составьте граф график, таблицу дежурства между Камила, Багила, Пакизат, Зарина.

Р = Быть дежурной а P b а Î А; b Î В

Указанное отношение Р можно изобразить:

а) при помощи графа;

б) при помощи графика

в) при помощи таблицы

Например: Между элементами одного и того же множества.

а) изображение при помощи графа.

б) при помощи графика

в) составлением таблицы

Из всего вышеизложенного следует, что отношения между элементами одного и того же множества задаются теми же способами, что отношения между элементами двух различных множеств. Отличия лишь в графах. Также как у других математических понятий у отношений существуют свои основные свойства:

1. Отношение R называется рефлексивным, если для любого x из множестваX истинно х R х (каждый элемент х Î Х находится в отношении R с самим собой).

2. Отношение R называется антирефлексивным, если ни один элемент х. Из множества X не находится в отношении R с самим собой. Отношение R называется симметричным, если для любых элементов х и y из множества X из xRy следует yRx.

3. Отношение R называется асимметричным, если ни для каких элементов х и у из множества X не может случиться что одновременно и xRy, и yRx.

4. Отношение R антисимметрично, если хRу и уRх одновременно выполняются в том и только в том случае, когда х = у.

5. Отношение R называется транзитивным, если для любых элементов х, y, z из множества X из того, что xRy и yRx следует xRz.

Рассмотренные теоретические положения находят свое отражение на страницах учебников математики для I–IV классов общеобразовательной школы.

В традиционном обучении вопросу отношений уделяется мало внимания. Чаще всего некоторые задания, связанные с пониманием отношений выступают в качестве иллюстративного материала.

Так, например, отношения равенства и неравенства вводятся в I классе, однако изучение их простейших свойств передвигается в курс алгебры, тогда как потребность в применении этих свойств возникает во всех классах от I–IV. В традиционном курсе математики практически не рассматриваются двучленные отношения, отношения между элементами двух множеств.

Значительно расширены возможности использования бинарных отношений и их свойств в альтернативных учебных программах обучения младших школьников математике – это в курсе математики, разработанный под руководством В.В. Давыдова [3]; в курсе математики, разработанный Н.Б. Истоминой [4]; в курсе математики Л.Г. Питерсон, Н.Я. Виленкин [5] и др.

Но во всех программах развивающие возможности таких заданий ставятся во главу угла.

Вывод: Используя упражнения, описанные выше, в учебном процессе, педагог побуждает учеников к поиску, чем вызывает развитие мыслительных процессов.

Следовательно, каждое из заданий имеет свои развивающие функции, которые направлены на формирование у младших школьников понятий об отношениях.

Исследовательский проект по математике. Учащиеся 7 класса пытаются найти ответ на вопрос: "Математика - слуга или царица для других наук?" Они проанализировали значение математики для других школьных предметов на примере изученной в 6 классе темы "Отношения и пропорции".

Вложение	Размер
проект отношения и пропорции	2.27 МБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №2

Отношения и пропорции
в математике… и не только

Работу выполнили: Морина Екатерина,

учащиеся 7б класса

Руководитель: Ковалева Е.Н.,

г.Хвалынск, 2017 год

Введение.. ..……………………………………………………………3
Понятие отношения и пропорции…..……………………………….3
Отношения и пропорции в других предметах………………………4

Физика…………………………………………………………..4
Химия……………………………………………………………4
География……………………………………………………….5
Технология………………………………………………………5
Биология…………………………………………………………6
Изобразительное искусство…………………………………….6
Русский язык……………………………………………………..6

Вывод……………………………………………………………………7
Список литературы. …………………………………………………..8

В 19 веке один из величайших математиков всех времён Карл Фридрих Гаусс сказал, что математика - царица всех наук. Он в совершенстве овладел методами разных наук, раскрыл их законы и связи. И, сделав великие открытия в области многих точных наук, понял, что базой для них является именно математика.С этим трудно не согласиться.

Однако многие уверены в том, что математика – слуга других наук. Так её называют за благородное служение практически всем наукам.

Задумавшись над этим вопросом, мы поставили себе цель выяснить, чем же на самом деле является математика.

Для достижения этой цели мы должны были решить следующие задачи:

Провести опрос среди учащихся и учителей нашей школы.
Найти примеры применения законов математики в науках, изучаемых в школе.
Выяснить роль математики при изучении других предметов.

Мы опросили 38 человек, 26 из них назвали математику царицей или королевой наук, 3 – слугой, а 9 человек сказали, что она равноправна с другими науками.

Напомним, что отношением двух величин называется их частное. Отношение двух однородных величин показывает, во сколько раз одна из них больше или меньше другой или какую часть составляет меньшая величина от большей.

Например, длина прямоугольника 15 см, а ширина 10 см. Отношение 15см/10см=1,5 показывает, что длина в 1,5 раз больше ширины (а ширина в 1,5 раз меньше длины).

Отношение 10/15=2/3 показывает, что ширина составляет 2/3 от длины.

Отношение двух разнородных величин дает нам новую величину. Например, за 2 часа турист прошел 8 км. Отношение пройденного пути к затраченному времени показывает среднюю скорость пути (8км/2ч=4км/ч).

Пропорцией называют равенство отношений двух или нескольких пар чисел или величин. Например, размеры модели машины или сооружения отличаются от размеров оригинала одним и тем же множителем, задающим масштаб модели. Поэтому, если выбрать на оригинале 3 точки А, В и Си обозначить через А 1 ,В 1 и С 1 соответствующие точки на модели, то будет выполняться равенство . Такое равенство отношений и называют пропорцией. Она показывает, что отношение расстояний между точками на оригинале такое же, как отношение расстояний между соответствующими точками на модели ( .

Систематически пропорции начали изучать в Древней Греции. Сначала рассматривали лишь пропорции, составленные из натуральных чисел. В IV в. до н. э. древнегреческий математик Евдокс дал определение пропорции, составленной из величин любой природы. Пропорции используют с древности при решении разных задач в математике.

А теперь посмотрим, на каких уроках в школе, кроме математики, мы встречаемся с отношениями и пропорциями.

Начнем с физики, так как наряду с математикой она является точной наукой.При изучении многих физических величин используется понятие отношения:

скорость – это отношение пройденного пути к затраченному времени ;

плотность вещества некоторого тела – это отношение массы тела к его объему ;

давление – это отношение силы, действующей перпендикулярно к поверхности, к площади этой поверхности и т.д.

Остановимся на давлении. Из формулы видно, что оно прямо пропорционально силе и обратно пропорционально площади поверхности. Опираясь на формулу, легко объяснить, например,почему человек, стоя на лыжах, меньше проваливается в рыхлый снег, чем без них: чем больше площадь опоры, тем меньше оказываемое давление.

Химию мы пока не изучаем, поэтому за информацией по данному предмету обратились к учителю химии Ольге Николаевне. От неемы узнали, что химикибольше всех сталкиваются с пропорциями при решении задач на концентрации растворов (процентное содержание вещества в растворе).

Точные весовые пропорции веществ при соединении дают возможность получения нового вещества.

Если взять оранжевой соли 3 мл, то получится 15 мл зелёной. Сколько получится зелёной соли, если оранжевой соли взять 7 мл?

3 мл оранжевой соли - 15 мл зелёной соли

7 мл оранжевой соли - Х мл зелёной соли

Ответ: 35 мл зелёной соли получится из 7 мл оранжевой соли.

В географии также применяют пропорцию – масштаб. Масштабом называют отношение длины отрезка на карте или плане к длине соответствующего отрезка на местности. Масштаб показывает, во сколько раз расстояние на плане меньше, чем указанное расстояние на самом деле.

Задача. Найдите расстояние от Москвы до Северного полюса, если на карте это расстояние – 3,5 см, а М 1:100000000.

1 см - 100000000 см

х = 100000000 * 3,5;

х = 350000000 см – 3 500 км.

Ответ. Расстояние на местности от Москвы до Северного полюса – 3500км.

На уроках технологии мы также используем пропорцию.Прежде, чем сшить какую-либо вещь,надо сделать выкройку. Сначала мы снимаем необходимые мерки и все размеры уменьшаем в одинаковое количество раз, чтобы сделать модель выкройки. На уроке мы использовали масштаб 1/10.Потом делаем выкройку в натуральную величину. Отношение размеров на выкройке к размерам на модели равно одному и тому же числу, то есть и здесь мы имеем дело с пропорцией.

Биология – наука о живой природе. Пропорциональность в природе означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей живых организмов (начиная с вирусов и растений и заканчивая организмом человека)и является непременным условием их правильной формы и красоты.

Нарушение пропорций лица или тела человека не только делает его некрасивым, но и свидетельствует о нарушении его здоровья.

На уроках изобразительного искусства мыиспользовали пропорции при создании портретов.

В русском языке встречаются пословицы и поговорки, устанавливающие прямую и обратную зависимость.

1) Как аукнется, так и откликнется.

2) Чем выше пень, тем выше тень.

3) Чем больше народа (в помещении), тем меньше кислорода.

4) И готово, да бестолково.

В завершение нашего обзора мы хотели бы рассказать шуточную историю о том, как математик вывел дательный падеж с помощью пропорции.

В ходе нашей работы мы выяснили, что математика связана практически со всеми школьными предметами. Математические символы, действия и их свойства являются универсальными и применяются во всех областях человеческого знания. Математические закономерности позволяют точно, просто и ясно объяснить многие процессы и явления. Поэтому математику справедливо назвать царицей всех наук.

С другой стороны, математика является неутомимой труженицей в сфере другихнаук. Она производит расчеты, создает абстрактныемодели, строит логические рассуждения, которые используют другие науки для своего развития и достижения своих целей.С этой точки зрения математику можно назвать слугой других наук.

Поэтому мы согласились с мнением, что математика равноправна с другими науками.

Читайте также: