Реферат на тему непрерывность функции

Обновлено: 05.07.2024

непрерывность функции. точки разрыва и их характер

Введение. Непрерывность функции. Точки разрыва и их характер ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Всякий раз, оценивая неизбежные с течением времени изменения в окружающем нас мире, мы пытаемся проанализировать происходящие процессы, чтобы выделить их наиболее существенные черты. Один из первых на этом пути встает вопрос: как происходят характерные для этого явления изменения — непрерывно или дискретно, т. е. скачкообразно. Равномерно ли понижается курс валюты или обваливается, происходит постепенная эволюция или революционный скачок? Чтобы унифицировать качественные и количественные оценки происходящего, следует абстрагироваться от конкретного содержания и изучить проблему в терминах функциональной зависимости. Это позволяет сделать теория пределов.

Определение непрерывности функции

Непрерывность функции интуитивно связано с тем, что ее графиком является сплошная, нигде не прерывающаяся кривая. Мы вычерчиваем график такой функции, не отрывая ручки от бумаги. Если функция задана таблично, то о её непрерывности, строго говоря, судить нельзя, потому что при заданном шаге таблицы поведение функции в промежутках не определено.

Сформулируем понятие непрерывности на языке приращений. Пусть некоторое явление описывается функцией и точка a принадлежит области определения функции. Разность называется приращением аргумента в точке a, разность-приращением функции в точке a.

Функция непрерывна в точке a, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции :

Исследовать на непрерывность функцию в точке.

Чем меньше приращение Dx, тем меньше Dy. покажем это аналитически. Приращение аргумента равно, тогда приращение функции в этой точке будет равно.

Отсюда видно, что если, то и:

Дадим еще одно определение непрерывности функции.

Определение 10.2. Функция называется непрерывной в точке а, если:

3) предел функции при х®а равен значению функции в этой точке:

Если хотя бы одно из этих условий нарушается, то говорят, что функция претерпевает разрыв.

Это определение является рабочим для установления непрерывности в точке. Следуя его алгоритму и отмечая совпадения и несовпадения требований определения и конкретного примера, можно сделать вывод о непрерывности функции в точке.

В определении 2 четко проступает идея близости, когда мы вводили понятие предела. При неограниченном приближении аргументаx к предельному значению a, непрерывная в точке a функция f (x) сколь угодно близко приближается к предельному значению f (a).

Таким образом, функция $f$ непрерывна в точке $a$, если выполнены следующие условия:

функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $a$, то есть существует число $\delta_0>0$ такое, что $U_>(a)\subset D(f)$;
существует $\displaystyle \lim_f(x)=A$;
$A=f(a)$.

Определение непрерывности функции $f(x)$ в точке $a$, выраженное условием \eqref, можно сформулировать с помощью неравенств (на языке $\varepsilon-\delta$), с помощью окрестностей и в терминах последовательностей соответственно в виде

$\forall \varepsilon>0\ \exists\delta>0:\quad\forall x:|x-a| 0\ \exists\delta>0:\quad\forall x\in U_(a)\rightarrow f(x)\in U_(f(a)),$
$\displaystyle\forall\\>:\ \lim_x_=a\rightarrow\lim_f(x_)=f(a).$

Следует обратить внимание на то, что в определении непрерывности функции, в отличие от определения предела, рассматривается полная, а не проколотая окрестность точки $a$, и пределом функции является значение этой функции в точке $a$.

Назовем разность $x-a$ приращением аргумента и обозначим $\Delta x$, а разность $f(x)-f(a)$ — приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента $\Delta x$, и обозначим $\Delta y$. Таким образом,
$$
\Delta x=x-a,\;\Delta y=f(x)-f(a)=f(a+\Delta x)-f(a).\nonumber
$$

При этих обозначениях равенство \eqref примет вид
$$
\lim_\Delta y=0.\nonumber
$$

Таким образом, непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Показать, что функция $f(x)$ непрерывна в точке $a$, если:

$f(x)=x^3, a=1$;
$f(x)=\displaystyle \frac>, a\neq 0$;
$f(x)=\sqrt, a>0$;
$f(x)=\displaystyle \left\x\sin\frac1x,&x\neq0,\\0,&x=0,\end\right.a=0$

$\triangle$Если $x\rightarrow 1$, то по свойствам пределов (\S 10, (11)) получаем $x^3\rightarrow 1$, то есть для функции $f(x)=x^3$ в точке $x=1$ выполняется условие \eqref. Поэтому функция $x^3$ непрерывна в точке $x=1$.
Если $x\rightarrow a$, где $a\neq 0$, то, используя свойства пределов (\S 10), получаем $\displaystyle \frac\rightarrow\frac,\;\displaystyle \frac>\rightarrow\frac>$, то есть Функция $\displaystyle \frac>$ непрерывна в точке $x=a,\;(a\neq 0)$.
Так как $\displaystyle |\sqrt-\sqrt|=\frac<|x-a|><\sqrt+\sqrt>$, то отсюда получаем $0\leq|\sqrt-\sqrt|\; 0$.
Функция $f$ определена на $\mathbb$, и при любом $x\in\mathbb$ выполняется неравенство $0\leq|f(x)-f(0)|=|f(x)|\leq|x|$, так как $\left|\sin<\frac>\right|\leq1$ при $x\neq 0$. Следовательно, $\displaystyle \lim_f(x)=f(0)=0$, то есть функция $f$ непрерывна в точке $x=0.\quad\blacktriangle$

По аналогии с понятием предела слева (справа) вводится понятие непрерывности слева (справа). Если функция $f$ определена на полуинтервале $(a-\delta,a]$ и $\displaystyle \lim_f(x)=f(a)$, то есть$f(a-0)=f(a)$, то эту функцию называют непрерывной слева в точке $a$.

Аналогично, если функция $f$ определена на полуинтервале $[a,a+\delta)$ и $f(a+0)=f(a)$, то эту функцию называют непрерывной справа в точке $a$.

Например, функция $f(x)=[x]$ непрерывна справа в точке $x=1$ и не является непрерывной слева в этой точке, так как $f(1-0)=0,\;f(1+0)=f(1)=1$.

Очевидно, функция непрерывна в данной точке тогда и только тогда, когда она непрерывна как справа, так и слева в этой точке.

Точки разрыва.

Будем предполагать, что функция $f$ определена в некоторой проколотой окрестности точки $a$.

Точку $a$ назовем точкой разрыва функции $f$, если эта функция либо не определена в точке $a$, либо определена, но не является непрерывной в точке $a$.

Следовательно, $a$ — точка разрыва функции $f$, если не выполняется по крайней мере одно из следующих условий:

$a\in D(f)$;
существует конечный $\displaystyle \lim_f(x)=A$;
$A=f(a)$.

Если $a$ — точка разрыва функции $f$, причем в этой точке существуют конечные пределы слева и справа, то есть $\displaystyle \lim_f(x)=f(a-0)$ и $\displaystyle \lim_f(x)=f(a+0)$, то точку $a$ называют точкой разрыва первого рода.

Если $x=a$ — точка разрыва первого рода функции $f(x)$, то разность $f(a+0)-f(a-0)$ называют скачком функции в точке $a$. В случае когда $f(a+0)=f(a-0)$, точку $a$ называют точкой устранимого разрыва. Полагая $f(a)=f(a+0)=f(a-0)=A$, получим функцию
$$
f(x)=\left\f(x),\;если\;x\neq a,\\A,\;если\;x=a,\end\right.\nonumber
$$
непрерывную в точке $a$ и совпадающую с $f(x)$ при $x\neq a$. В этом случае говорят, что функция доопределена до непрерывности в точке $a$.

Пусть $x=a$ — точка разрыва функции $f$, не являющаяся точкой разрыва первого рода. Тогда ее называют точкой разрыва второго рода функции $f$. В такой точке хотя бы один из односторонних пределов либо не существует, либо бесконечен.

Например, для функции $f(x)=\displaystyle x\sin>$ точка $x=0$ — точка разрыва первого рода. Доопределив эту функцию по непрерывности, получим функцию
$$
\overline(x)=\left\
x\sin>,\;если\;x\neq 0,\\
0,\;если\;x=0,
\end\right.\nonumber
$$
непрерывную в точке $x=0$, так как
$$
\lim_x\sin\frac=0.\nonumber
$$

Для функций $\displaystyle \sin>$ и $\displaystyle \frac$ точка $x=0$ — точка разрыва второго рода.

Если функция $f$ определена на отрезке $[a,b]$ и монотонна, то она может иметь внутри этого отрезка точки разрыва только первого рода.

$\circ$ Пусть $x_0$ — произвольная точка интервала $(a,b)$. Функция $f$ имеет в точке $x_$ конечные пределы слева и справа. Если, например, $f$ — возрастающая функция, то
$$
f(x_-0)\leq f(x_)\leq f(x_+0),\nonumber
$$
где $f(x_-0)$ и $f(x_+0)$ — соответственно пределы функции $f$ слева и справа в точке $x_$.

В том случае, когда $f(x_-0)\neq f(x_+0)$ , точка $x_$ является точкой разрыва первого рода функции $f$; если же $f(x_-0)=f(x_+0)$, то точка $x_$ есть точка непрерывности функции $f$. Аналогичное утверждение справедливо и для убывающей функции.$\bullet$

Свойства функций, непрерывных в точке.

Локальные свойства непрерывной функции.

Если функция $f$ непрерывна в точке $a$, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки, то есть
$$
\exists\delta>0\quad\exists C>0:\;\forall x\in U_(a)\rightarrow|f(x)|\leq C\nonumber
$$

Если функция $f$ непрерывна в точке $a$, причем $f(a)\neq 0$, то в некоторой окрестности точки $a$ знак функции совпадает со знаком числа $f(a)$, то есть
$$
\exists\delta>0:\quad\forall x\in U_(a)\rightarrow \operatorname\ f(x)=\operatorname\ f(a).\nonumber
$$

$\circ$ Эти утверждения следуют из свойств пределов. $\bullet$

Непрерывность суммы, произведения и частного.

Если функции $f$ и $g$ непрерывны в точке $a$, то функции $f+g$, $fg$ и $f/g$ (при условии $g(a)\neq 0$) непрерывны в точке $a$.

$\circ$ Это утверждение следует из определения непрерывности и свойств пределов. $\bullet$

Непрерывность сложной функции.

Напомним, что такое сложная функция.

Пусть функции $y=\varphi(x)$ и $z=f(y)$ определены на множествах $X$ и $Y$ соответственно, причем множество значений функции $\varphi$ содержится в области определения функции $f$. Тогда функция, которая принимает при каждом $x\in X$ значение $F(x)=f(\varphi(x))$, называется сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций $\varphi$ и $f$.

Если функция $z=f(y)$ непрерывна в точке $y_0$, а функция $y=\varphi(x)$ непрерывна в точке $x_0$, причем $y_0=\varphi(x_0)$, то в некоторой окрестности точки $x_0$ определена сложная функция $f(\varphi(x_0))$, и эта функция непрерывна в точке $x_0$.

$\circ$ Пусть задано произвольное число $\varepsilon>0$. В силу непрерывности функции $f$ в точке $y_0$ существует число $\rho=\rho(\varepsilon)>0$ такое, что $U_\rho(y_0)\subset D(f)$ и
$$
\forall y\in U_\rho(y_0)\rightarrow f(y)\in U_(z_),\label
$$
где $z_=f(y_)$.

В силу непрерывности функции $\varphi$ в точке $x_$ для найденного в \eqref числа $\rho>0$ можно указать число $\delta=\delta_=\delta(\varepsilon)>0$ такое, что
$$
\forall x\in U_\delta(x_0)\rightarrow \phi (x)\in U_\rho (y_0).\label
$$

Из условий \eqref и \eqref следует, что на множестве $U_\delta(x_0)$ определена сложная функция $f(\varphi(x))$, причем
$$
\forall x\in U_\delta(x_0)\rightarrow f(y)=f(\varphi(x))\in U_(z_),\nonumber
$$
где $z_0=f(\varphi(x_0))=f(y_)$, то есть
$$
\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0:\quad \forall х\in U_\delta(x_0)\rightarrow f(\varphi(х))\in U_\varepsilon(\varphi(x_0)).\nonumber
$$

Это означает, в силу определения непрерывности, что функция $f(\varphi(x))$ непрерывна в точке $x_0$. $\bullet$

Соответствие между окрестностями точек $x_0,\ y_0,\ z_0$ представлено на рис. 11.1. По заданному числу $\varepsilon>0$ сначала находим $\rho>0$, а затем для чисел $\rho>0$ находим $\delta>0$.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Функцию $f(x)$ называют непрерывной на отрезке $[a,b]$, если она непрерывна в каждой точке интервала $(a,b)$ и, кроме того, непрерывна справа в точке $a$ и непрерывна слева в точке $b$.

Ограниченность непрерывной на отрезке функции.

(Теорема Вейерштрасса)

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, то она ограничена, то есть
$$
\exists C>0:\forall x\in[a,\ b]\rightarrow|f(x)|\leq C.\label
$$

$\circ$ Предположим противное, тогда
$$
\forall C>0\;\exists x_\in [a,b]:\;|f(x_)|>C.\label
$$

Полагая в этом выражении $C=1,2\ldots,n,\ldots,$ получим, что
$$
\forall n\in\mathbb\quad\exists x_\in[a,b]:\;|f(x_)|>n.\label
$$

Последовательность $x_n$ ограничена, так как $a\leq x_\leq b$ для всех $n\in\mathbb$. По теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то есть существуют подпоследовательность $x_$ и точка $\xi$ такие, что
$$
\lim_x_>=\xi,\label
$$
где в силу условия \eqref для любого $k\in\mathbb$ выполняется неравенство
$$
a\leq x_>\leq b.\label
$$

Из условий \eqref и \eqref следует, что $\xi\in [а,b]$ а из условия \eqref в силу непрерывности функции $f$ в точке $\xi$ получаем
$$
\displaystyle \lim_f(x_>)=f(\xi).\label
$$

С другой стороны. утверждение \eqref выполняется при всех $n\in\mathbb$ и, в частности, при $n=n_k\;(k=1,2,\ldots)$, то есть
$$
|f(x_>)|>n_,\nonumber
$$
откуда следует, что $\displaystyle \lim_f(x_>)=\infty$, так как $n_\rightarrow +\infty$ при $k\rightarrow\infty$. Это противоречит равенству \eqref, согласно которому последовательность \>\) имеет конечный предел. По этому условие \eqref не может выполняться, то есть справедливо утверждение \eqref. $\bullet$

Теорема Вейерштрасса неверна для промежутков, не являющихся отрезками. Например, функция $f(x)=\displaystyle \frac$ непрерывна на интервале $(0,1)$, но не ограничена на этом интервале. Функция $f(x)=x^$ непрерывна на $\mathbb$, но не ограничена на $\mathbb$.

Достижимость точных граней.

(Теорема Вейерштрасса)

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, то она достигает своей точной верхней и нижней грани, то есть
$$
\exists\xi\in[a,b]:\quad f(\xi)=\sup_ f(x),\label
$$

$\circ$ Так как непрерывная на отрезке функция $f(x)$ ограничена (теорема 3), то есть множество значений, принимаемых функцией $f$ на отрезке $[a,b]$, ограничено, то существуют $\displaystyle \sup_f(x)$ и $\displaystyle \inf_f(x)$.

Докажем утверждение \eqref. Обозначим $M=\displaystyle \sup_f(x)$. В силу определения точной верхней грани выполняются условия
$$
\forall х\in [a,b]\rightarrow f(x)\leq M,\label
$$
$$
\forall\varepsilon>0\;\exists x(\varepsilon)\in[a,b]:\quad f(x(\varepsilon))>M-\varepsilon.\label
$$

Полагая $\varepsilon=\displaystyle \frac, \displaystyle \frac,\ldots,\frac,\ldots$, получим в силу условия \eqref последовательность$\$, где $x_n=\displaystyle x\left(\frac1n\right)$, такую, что для всех $n\in\mathbb$ выполняются условия
$$
x_n\in [a,b],\label
$$
$$
f(x_)>M-\displaystyle \frac.\label
$$

Из соотношений \eqref, \eqref и \eqref следует, что
$$
\forall n\in\mathbb\rightarrow M-\frac\; Замечание 4

Теорема 4 неверна для интервалов: функция, непрерывная на интервале, может не достигать своих точных граней. Например, функция $f(x)=x^$ не достигает на интервале (0,1) своей точной нижней грани, равной нулю, и точной верхней грани, равной единице.

Промежуточные значения.

(теорема Коши о нулях непрерывной функции)

Если функция $f$ непрерывна на отрезке [a,b] и принимает в его концах значения разных знаков, то есть \(f(a)f(b)\; Доказательство

$\circ$ Разделим отрезок $[a,b]$ пополам. Пусть $d$ — середина этого отрезка. Если $f(d)=0$, то теорема доказана, а если $f(d)\neq 0$, то в концах одного из отрезков $[a,d],\ [d,b]$ функция $f$ принимает значения разных знаков. Обозначим этот отрезок $\Delta_=[a_,b_]$. Пусть $d_$ — середина отрезка $\Delta_1$. Возможны два случая:

$f(d_)=0$, тогда теорема доказана;
$f(d_)\neq 0$, тогда в концах одного из отрезков $[a_,d_],\;[d_,b_]$ функция $f$ принимает значения разных знаков; такой отрезок обозначим $\Delta_=[a_,b_]$.

Продолжая эти рассуждения, получим:

1. либо через конечное число шагов найдется точка $c\in [a,b]$ такая, что $f(c)=0$; тогда теорема доказана;
2. либо существует последовательность отрезков $\$ такая, что $f(a_)f(b_)\; 0$, либо $f(с)\; 0$. По свойству сохранения непрерывной функцией знака (п.3 а))
  $$
  \exists\delta>0:\quad х\in U_\delta(c)\rightarrow f(x)>0.\label
  $$
С другой стороны, из неравенства \eqref следует, что $b_-a_\rightarrow 0$ при $n\rightarrow\infty$, и поэтому
$$
\exists n_0\in\mathbb:\quad b_>-a_>\; Замечание 5

Теорема 5 утверждает, что график функции $y=f(x)$, непрерывной на отрезке $[a,b]$ и принимающей в его концах значения разных знаков, пересекает ось $Ox$ (рис. 11.2) хотя бы в одной точке отрезка $[a,b]$.

(теорема Коши о промежуточных значениях)

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и $f(a)\neq (b)$, то для каждого значения $C$, заключенного между $f(a)$ и $f(b)$, найдется точка $\xi\in [a,b]$ такая, что $f(\xi)=C$.

$\circ$ Обозначим $f(a)=A,\ f(b)=B$. По условию $А\neq В$. Пусть, например, $A 0$ и по теореме 5 найдется точка $\xi\in [a,b]$ такая, что $\varpi(\xi)=0$, то есть $f(\xi)=C$. Утверждение \eqref доказано. $\bullet$

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b],\ m=\displaystyle \inf_ f(x),\ M=\displaystyle \sup_ f(x)$, то множество значений, принимаемых функцией $f$ на отрезке $[a,b]$, есть отрезок $[m,M]$.

$\circ$ Для всех $x\in[a,b]$ выполняется неравенство $m\leq f(x)\leq M$, причем согласно теореме 4 функция $f$ принимает на отрезке $[a,b]$ значения, равные $m$ и $М$. Все значения из отрезка $[m,M]$ функция принимает по теореме 6. Отрезок $[m,M]$ вырождается в точку, если $f(x)=const$ на отрезке $[a,b]$. $\bullet$

Существование и непрерывность функции, обратной для непрерывной и строго монотонной функции.

Ранее мы уже рассматривали понятие обратной функции. Докажем теорему о существовании и непрерывности обратной функции.

Если функция $y=f(x)$ непрерывна и строго возрастает на отрезке $[a,b]$, то на отрезке $[f(a),(b)]$ определена функция $x=g(y)$, обратная к f, непрерывная и строго возрастающая.

$\circ$ Существование обратной функции. Обозначим $A=f(a),\;B=f(b)$. Так как f — возрастающая функция, то для всех $х\in [a,b]$ выполняется неравенство $A\leq f(x)\leq B$, где $A= \displaystyle \inf_ f(x),\;B=\sup_f(x)$, и в силу непрерывности f (следствие из теоремы 6) множество значений функции $E(f)=[A,B]$.

Согласно определению обратной функции (\S\ 9,п. 9) нужно доказать, что для каждого $у_0\in [A,В]$ уравнение
$$
f(x)=y_\label
$$
имеет единственный корень $x=x_$, причем $x_0\in [a,b]$.

Существование хотя бы одного корня уравнения \eqref следует из теоремы 6. Докажем, что уравнение \eqref имеет на отрезке $[a,b]$ единственный корень.

Предположим, что наряду с корнем $x=x_$ уравнение \eqref имеет еще один корень $x=\widetilde_$, где $\widetilde_\neq x_0$; тогда $f(\widetilde)=y_,\;\widetilde x_0\in[a,b]$.

Пусть, например, $\widetilde_0>x_0$. Тогда в силу строгого возрастания функции $f$ на отрезке $[a,b]$ выполняется неравенство $f(\widetilde_0)>f(x_)$. С другой стороны, $f(\widetilde_0)=f(x_0)=y_$. Отсюда следует, что неравенство $\widetilde_0>x_$ не может выполняться. Следовательно, $\widetilde_0=x_0$. Существование обратной функции доказано, то есть на отрезке $[A,В]$ определена функция $x=f^(y)=g(y)$, обратная к $f$, причем $(g)=[a,b]$ и
$$
g(f(x))=x,\quad x\in[a,b],\quad f(g(y))=y,\quad u\in [A,B].\label
$$

Монотонность обратной функции. Докажем, что $g(y)$ — строго возрастающая на отрезке [A,В] функция, то есть
$$
\forall\;y_,\;y_\in [A,B]:\quad y_\; Замечание 6

Если функция $f$ непрерывна и строго убывает на отрезке $[a,b]$, то обратная к ней функция $g$ непрерывна и строго убывает на отрезке $[f(b),f(a)]$.

Аналогично формулируется и доказывается теорема о функции $g$, обратной к функции $f$, для случаев, когда функция $f$ задана на интервале (конечном либо бесконечном) и полуинтервале.
Если функция $f$ определена, строго возрастает и непрерывна на интервале $(a,b)$, то обратная функция $g$ определена, строго возрастает и непрерывна на интервале $(A,B)$, где
$$
A=\lim_f(x),\quad B=\lim_f(x).\nonumber
$$

Читайте также: