Реферат на тему момент инерции

Обновлено: 06.07.2024

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ.

Цель работы: изучить метод крутильных колебаний (трифилярный подвес) и применить его для определения момента инерции тела и проверки теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Приборы и принадлежности: установка, секундомер, штангенциркуль, линейка, образцы для измерений.

ТЕОРИЯ МЕТОДА И ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ.

Установка для определения момента инерции тела, которая применяется в данной работе, называется трифилярным подвесом. Состоит она из диска (платформы) (рис.1), горизонтально подвешенной на трех симметрично расположенных нитях 2. Вверху нити прикреплены к основанию 3, имеющему три симметрично расположенных выступа. Основание с помощью болта 5 и упругой пластины 6 соединено с кронштейном 4.

Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, проходящей через ее середину. При этом центр тяжести платформы перемещается вдоль оси вращения.

Пусть масса платформы m 0 , вращаясь в некотором направлении, поднялась на высоту h от положения равновесия. Изменение ее потенциальной энергии при этом составит

E 1 = m 0 gh (1)

где g – ускорение силы тяжести.

Возвратившись в положение равновесия, платформа будет иметь угловую скорость w 0 и кинетическая энергия ее будет

E 2 = I (2)

где I – момент инерции платформы относительно оси вращения.

Пренебрегая работой сил трения, закон сохранения механической энергии запишется

I = m 0 gh (3)

При малой амплитуде колебания платформы будут гармоническими, т.е. зависимость углового смещения b от времени t имеют вид

b = a sin (4)

где a - амплитуда;

Т – период колебаний.

В свою очередь угловая скорость w = или w = . Максимальное изменение угловой скорости w 0 , соответствующее моменту времени, когда платформа проходит через положение равновесия

w = (5)

mgh = I ( ) ² (6)

Найдем h . Пусть l – длина нитей подвеса (рис.2), R – расстояние от центра платформы до точек крепления нитей на ней, r – радиус окружности, на которой лежат точки крепления нитей к основанию.

Из рис.2 видим, что

h = OO 1 = BC - BC 1 =

При малых углах смещения

; ( BC + BC 1 )=2 l

учитывая это, будем иметь

тогда из (6) и (7) находим

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.

Упражнение 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА.

1. Убедиться в том, что платформа расположена горизонтально.

2. Определить R,r,l (масса платформы m 0 =(1.025±0.0005)кг.), R и r удобно определить из известной геометрической формулы, измерив предварительно с помощью линейки расстояние между точками подвеса двух нитей вверху и внизу.

3. Путем несильного нажатия на край основания 3 (рис.1) сообщить платформе вращательный импульс и при помощи секундомера измерить время 50-70 полных ее колебаний. Опыт повторить 3-5 раз.

4. Найти период Т 0 из этих этих колебаний по формуле (8) определить I 0 – момент инерции платформы. Результаты занести в таблицу 1.

5. Платформу нагрузить исследуемым телом, предварительно определив его массу m . Определить период колебаний T 1 системы тело-платформа (масса системы – m+m 0 ) и момент инерции системы I 1 . Величина момента инерции тела найдется как разница I=I 1 -I 0 . Опыт повторить 3-5 раз. Результаты измерений занести в таблицу 2.

6. Найти ошибку определения I .

7. Сравнить полученное значение I и I 0 с теоретическим, вычисленным по формуле момента инерции для данного тела.

Упражнение 2: ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ГЮЙГЕНСА- ШТЕЙНЕРА (ШТЕЙНЕРА-ЖУРАВСКОГО).

1. Взять два одинаковых тела и в соответствии с упражнением 1 определить их момент инерции 2I 2 . Для этого, положив тела одно на другое в центре платформы так, чтобы центры масс тел лежали на одной вертикали с центром масс платформы. Момент инерции одного тела относительно проходящей через центр масс оси будет равен I 2 . Опыт повторить 3-5 раз. Результаты занести в таблицу 3.

2. Расположить тела на некотором расстоянии друг от друга симметрично относительно центра платформы.

3. Определить расстояние a от центра масс из тел до оси вращения и его момент инерции I 3 . Из опыта найти момент инерции системы из двух тел 2I 3 . Опыт повторить 3-5 раз. Результаты измерений занести в таблицу 4.

4. Найти I 3 по теореме Штейнера

где m – масса тела, при этом для I 2 , m, a берут значения,

полученные опытным путем.

5. Сравнить значения I 3 , полученные по формуле (9) и экспериментально.

Минск
2016
СОДЕРЖАНИЕ
стр.
Введение. 2
1. Осевой момент инерции. 3
2. Центробежный момент инерции. 8
3. Геометрический момент инерции. 9
4. Центральный момент инерции. 10
5.Тензор инерции и эллипсоид инерции. 11Приложение. 13
Литература . 14
Введение
Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности впоступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).
Единица измерения СИ: кг·м².
Обозначение: I или J.
Различают несколько моментов инерции — в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.
1. Осевой момент инерции

1.1. Теорема Гюйгенса-Штейнера
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы иразмеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

Если — момент инерции тела относительнооси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии от неё, равен
,
где — полная масса тела.
Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

1.2. Осевые моменты инерции некоторых тел
Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения
Тело Описание Положениеоси a Момент инерции Ja Материальная точка массы m На расстоянии r от точки, неподвижная
Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m Ось цилиндра
Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m Ось цилиндра
Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r2 и внутренним радиусом r1 Ось цилиндра
Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m Ось перпендикулярна к цилиндру ипроходит через его середину
Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиуса r и массы m Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его середину
Прямой тонкий стержень длины l и массы m Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его середину.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.

В общем случае несимметричного тела вектор M не совпадает по направлению с осью вращения тела и поворачивается вокруг этой ocи вместе с телом, описывая конус. Из соображений симметрии ясно что для однородного тела, симметричного относительно оси вращения, момент импульса относительно точки, лежащей на оси вращения, совпадает с направлением оси вращения. В этом случае имеет место соотношение… Читать ещё >

механика. молекулярная физика и термодинамика. колебания и волны

Момент инерции твердого тела ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться относительно некоторой оси (рис.). Момент импульса i-й точки тела относительно этой оси определяется формулой:

Выражая линейную скорость точки через угловую скорость тела и используя свойства векторного произведения, получим.

Спроектируем момент импульса на ось вращения: — эта проекция определяет момент относительно этой оси. Получим.

где zi, — координата i—точки вдоль оси Z, a Ri, — расстояние точки от оси вращения. Суммируя по всем частицам тела, получим момент импульса всего тела относительно оси вращения:

является моментом инерции тела относительно оси вращения. Момент импульса тела относительно данной оси вращения принимает, таким образом, вид:

Полученная формула аналогична формуле Pz = mVz для поступательного движения. Роль массы играет момент инерции, роль линейной скорости — угловая скорость. Подставив выражение (1.89) в уравнение для момента импульса (2.74), получим.

где вz. — проекция на ось вращения углового ускорения. Это уравнение эквивалентно по форме второму закону Ньютона.

Из выражения (1.90) следует, что при равенстве нулю момент внешних сил произведение Jщ остается постоянным Jщ = const и изменение момента инерции влечет за собой соответствующее изменение угловой скорости вращения тела. Этим объясняется известное явление, состоящее в том, что человек, стоящий на вертящейся скамье, разводя руки в стороны либо прижимая их к туловищу, изменяет частоту вращения.

Из полученных выше выражений ясно, что момент инерции является такой же характеристикой свойства инерции макроскопического тела в отношении вращательного движения, как инертная масса материальной точки в отношении поступательного движения. Из выражения (1.88) следует, что момент инерции вычисляется путем суммирования по всем частицам тела. В случае непрерывного распределения массы тела по его объему естественно перейти от суммирования к интегрированию, вводя плотность тела. Если тело однородно, то плотность определяется отношением массы к объему тела:

Для тела с неравномерно распределенной массой плотность тела в некоторой точке определяется производной.

Момент инерции представим в виде:

Рис. Вычисление момента инерции однородного диска

Здесь величины с и r являются функциями точки, например, ее декартовых координат.

Формула (1.95) позволяет вычислять моменты инерции тел любой формы. Вычислим в качестве примера момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рис.).

Поскольку диск однороден, плотность можно вынести из-под знака интеграла. Элемент объема диска dV = 2рr· b·dr, где b— толщина диска. Таким образом,.

где R — радиус диска. Введя массу диска, равную произведению плотности на объем диска р· R2 b, получим:

Нахождение момента инерции диска в рассмотренном примере облегчалось тем, что тело было однородным и симметричным, а момент инерции вычислялся относительно оси симметрии тела. В общем случае вращения тела произвольной формы вокруг произвольной оси, вычисление момента инерции может быть произведено с помощью теоремы Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

Например, момент инерции диска относительно оси О' в соответствии с теоремой Штейнера:

Кинетическая энергия твердого тела при вращении

Рассмотрим вращение тела вокруг неподвижной оси, которую назовем осью Z (рис.). Линейная скорость точки с массой mi, равна vi = щR, где R, —расстояние точки до оси Z. Для кинетической энергии i-й материальной точки тела получаем выражение:

Полная кинетическая энергия тела.

Поскольку входящая сюда сумма представляет собой момент инерции относительно оси Z, получаем:

Вычислим работу, совершаемую внешней силой при вращении твердого тела. Элемент работы .

Последнее выражение есть момент внешней силы N, таким образом,.

Полная работа может быть вычислена с помощью следующих формул:

Приведем в заключение формулу, описывающую кинетическую энергию тела, совершающего плоское движение — поступательное, со скоростью Vc и вращение с частотой щ):

Кинетическая энергия при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью центра инерции тела и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр инерции.

Читайте также: