Реферат на тему многогранники в природе

Обновлено: 04.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ исследовательский реферат.doc

В мире многогранников

Касумов Рамиз
Научные руководители:

Ханаша Любовь Николаевна,

2. История развития многогранников.

3.Определение многогранника, его элементы.

4. Классификация многогранников.

6. Тела Архимеда.

7. Звездчатые многогранники.

8. Многогранники в искусстве.

9. Многогранники в архитектуре.

10. Музей плодов в Яманаши.

12. Многогранники в природе .

16. Список используемой литературы……………………………………………………..

руководители: Ханаша Любовь Николаевна, учитель математики

Гороховик Татьяна Георгиевна, учитель математики

Цель работы: изучить мир многогранников, выяснить проявление в природе и применение в искусстве и архитектуре.

изучить литературу по выбранной теме;

ознакомиться с различными видами многогранников, их свойствами;

выяснить, где они встречаются в природе и окружающем нас мире;

изготовить модели многогранников для кабинета математики.

Методы исследований: анализ научной литературы, сравнение, моделирование, исторический, фотофиксация.

Основные результаты исследований: изучил историю многогранников, рассмотрел различные виды многогранников, выяснил, где они встречаются в природе и окружающем нас мире, изготовил с одноклассниками модели многогранников для кабинета математики.

Проблема: Существует ли гармония между красотой и многогранностью?

Цель работы: систематизация знаний и получение новой информации о многогранниках.

Изучить литературу о многогранниках.

Показать влияние правильных многогранников на возникновение философских теорий и гипотез.

О знакомиться с различными видами многогранников, их свойствами.

Показать связь геометрии и природы.

Познакомиться с примерами применения многогранников в архитектуре и искусстве.

Систематизировать найденную информацию.

Изготовить модели многогранников для кабинета математики.

Создать презентацию к работе.

Объект исследования: Математика

Предмет исследования: Многогранники

Гипотеза: Без многообразия геометрических форм окружающий нас мир был бы скучен и однообразен.

История развития многогранников

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды. Великая пирамида была построена как гробница Хуфу, известного грекам как Хеопс. Он был одним из фараонов, или царей древнего Египта, а его гробница была завершена в 2580 году до н.э. Позднее в Гизе было построено еще две пирамиды, для сына и внука Хуфу, а также меньшие по размерам пирамиды для их цариц. Пирамида Хуфу, самая дальняя на рисунке, является самой большой.

Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии. Пирамида его сына находится в середине и смотрится выше, потому что стоит на более высоком месте.

Наше знакомство с многогранниками начинается уже в начальных классах (куб, прямоугольный параллелепипед) и продолжается до окончания школы. Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников. [3]

Элементы многогранника

Грань многогранника – это некоторый многоугольник (многоугольником называется ограниченная замкнутая область, граница которой состоит из конечного числа отрезков).

Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины граней – вершинами многогранника. К элементам многогранника, кроме его вершин, ребер и граней, относятся также плоские углы его граней и двугранные углы при его ребрах. Двугранный угол при ребре многогранника определяется его гранями, подходящими к этому ребру. [1]

Классификация многогранников

Выпуклый многогранник - это многогранник, любые две точки которого соединимы в нем отрезком. Выпуклые многогранники обладают многими замечательными свойствами.

Теорема Эйлера: Для любого выпуклого многогранника В-Р+Г=2,

Где В – число его вершин, Р - число его ребер, Г - число его граней.

Теорема Коши: Два замкнутых выпуклых многогранника, одинаково составленные из соответственно равных граней равны.

Выпуклый многогранник считается правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходиться одно и то же число ребер.

Многогранники имеют красивые формы, например, правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. [4]

Тела Платона

Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. “Правильных многогранников так мало, - написал когда-то Л. Кэрролл, - но это весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук”.

Многогранник, все грани которого представляют собой правильные и равные многоугольники, называют правильными. .

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. . Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики - это правильный не выпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов. Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел:

Почему правильные многогранники получили такие имена? Это связано с числом их граней. Тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре, "эдрон" – грань, гексаэдр (куб) имеет 6 граней, "гекса" – шесть, октаэдр - восьмигранник, "окто" – восемь, додекаэдр - двенадцатигранник, "додека" – двенадцать, икосаэдр имеет 20 граней, "икоси" - двадцать.

Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами. [4] Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии". Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх. Икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый. Куб -
землю, как самый "устойчивый. Октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным. Гармоничные отношения древние греки считали основой мироздания, поэтому четыре стихии у них были связаны такой пропорцией: земля/вода = воздух/огонь. Атомы "стихий" настраивались Платоном в совершенных консонансах, как четыре струны лиры. Консонансом называется приятное созвучие. Надо сказать, что своеобразные музыкальные отношения в Платоновых телах являются чисто умозрительными и не имеют под собой никакой геометрической основы. Этими отношениями не связаны ни число вершин Платоновых тел, ни объемы правильных многогранников, ни число ребер или граней. В связи с этими телами уместно будет сказать, что первая система элементов, включавшая четыре элемента - землю, воду, воздух и огонь, - была канонизирована Аристотелем. Эти элементы оставались четырьмя краеугольными камнями мироздания в течение многих веков. Вполне возможно отождествить их, с известными нам, четырьмя состояниями вещества - твердым, жидким, газообразным и плазменным.

Важное место занимали правильные многогранники в системе гармоничного устройства мира И. Кеплера. Все та же вера в гармонию, красоту и математически закономерное устройство мироздания привела И. Кеплера к мысли о том, что поскольку существует пять правильных многогранников, то им соответствуют только шесть планет. По его мнению, сферы планет связаны между собой вписанными в них Платоновыми телами. Поскольку для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором будет находиться Солнце. Проделав огромную вычислительную работу, в 1596 г. И. Кеплер в книге "Тайна мироздания" опубликовал результаты своего открытия. В сферу орбиты Сатурна он вписывает куб, в куб - сферу Юпитера, в сферу Юпитера - тетраэдр, и так далее последовательно вписываются друг в друга сфера Марса - додекаэдр, сфера Земли - икосаэдр, сфера Венеры - октаэдр, сфера Меркурия. Тайна мироздания кажется открытой. Сегодня можно с уверенностью сказать, что расстояния между планетами не связаны ни с какими многогранниками. Впрочем, возможно, что без "Тайны мироздания", "Гармонии мира" И. Кеплера, правильных многогранников не было бы трех знаменитых законов И. Кеплера, которые играют важную роль в описании движения планет.

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников.

Все пять правильных многогранников перечислены в таблице, приведенной ниже. В трех последних столбцах указаны N ₀ – число вершин, N ₁ – число ребер и N ₂ – число граней каждого многогранника.

Основы возникновения названий правильных многогранников. Исследование их роли в гармоничном устройстве мира И. Кеплера. Особенности построения ромбододекаэдра. Закономерность расположения цивилизаций Древнего мира относительно полюсов и экватора планеты.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	23.04.2015
Размер файла	100,4 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

кадет 10-б класса Малакки В.

преподаватель алгебры и геометрии

1. Правильные многогранники

Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести "Правильные многогранники". Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. И тогда урок геометрии становится своеобразным исследованием неожиданных сторон привычного школьного предмета.

Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. "Правильных многогранников вызывающе мало, - написал когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".

Каково же это вызывающе малое количество и почему их именно столько. А сколько? Оказывается, ровно пять - ни больше ни меньше. Подтвердить это можно с помощью развертки выпуклого многогранного угла. В самом деле, для того чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник согласно его определению, в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником. Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360о, иначе никакой многогранной поверхности не получится. Перебирая возможные целые решения неравенств: 60к

Удивительный мир многогранников

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Мое знакомство с многогранниками началось в пятом классе. На уроках мы учились строить изображения многогранников, определять количество вершин, граней и ребер, устанавливать соответствие между многогранником и его разверткой.

Цель исследования: познакомиться с видами многогранников, их применением в окружающем мире.

Объект исследования: многогранники.

Предмет исследования: многогранники и многогранные поверхности в окружающем мире.

- изучить исторический материал по данной теме;

- ознакомится с различными видами многогранников;

- рассмотреть область применения многогранников;

- изготовить модели многогранников.

Методы исследования: сбор информации, обработка данных, исследование, сравнение, анализ.

Виды многогранников

В течение многих веков математики проявляли живейший интерес к многогранникам. Интерес к ним обусловлен не только их красотой и оригинальностью, но и большой практической ценностью. Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне.

Многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. Стороны граней – рёбра многогранника, а концы рёбер – вершины многогранника.

Бывают выпуклыми и невыпуклыми. Выпуклый многогранник расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Невыпуклый многогранник расположен по разные стороны от плоскости одной из его граней.

Составлен из четырёх равносторонних треугольников.

Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников.

Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников.

Составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников.

Составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов.

Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.

Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников - можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Это правильные невыпуклые многогранники, у которых грани пересекаются. Их всего четыре. Иоганн Кеплер (1571 – 1630 гг.) - немецкий математик, астроном, оптик, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, впервые описал малый звездчатый

додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр. А спустя 200 лет Луи Пуансо Пуансо (1777-1859) построил большой икосаэдр и большой додекаэдр.

Многогранники вокруг нас

Многогранники в искусстве

Исторически математика играла важную роль в изобразительном искусстве.

Леонардо да Винчи (1452 — 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах.

Почтовые марки охватывают все значимые события в мире. Не обошли вниманием художники - филателисты и изображения многогранников. Почтовая марка, посвященная Леонарду Эйлеру с изображением икосаэдра, выпущена в 1983 г., в ГДР, к 200- летию ученого.

Н а выпущенной в 1980 году в Венгрии марке, изображен математик и астроном Иоганн Кеплер и его модель Вселенной на базе правильных многогранников.

Многогранники в архитектуре

И стория развития многогранников архитектуре уходит глубоко в историю. Многогранники начали использовать в архитектуре давно, более 7 тыс. лет. Великая пирамида в Гизе - эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из семи чудес древности.

У Китая свои особенности использования многогранников в архитектуре. В основе лежит обязательно многогранник, который и служит основой для здания.

Многогранники не только придают прочность и устойчивость архитектурным сооружениям, но и красоту, изящество. Многие здания настолько красивы и сложны по своей форме, что требуют большого количества времени, сил. Современные архитекторы приобрели навык применения изящества, состоящие из множества сложных элементов, требующих большой работы.

П амятник правильным многогранникам в Германии

Стеклянная пирамида Лувра в Париже

З дание национальной библиотеки

Многогранники в химии и биологии

П равильные многогранники определяют форму кристаллических решеток некоторых химических веществ.Кристаллы многих металлов так же имеют форму куба (алюминий, серебро, свинец и др.)

Интересно, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов. Чтобы установить форму вируса, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр.

В ирус краснухи

Вирус ветряной оспы

Многогранники в природе

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе.

Построенные пчелами соты представляют собой правильные шестиугольные призмы.

С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок. Снежинки - это звездчатые многогранники.

Мир кристаллов - мир не менее красивый и разнообразный. С кристаллами человечество познакомилось в глубокой древности. Связано это, в первую очередь, с их часто реализующейся в природе способностью самоограняться, т. е. самопроизвольно принимать форму изумительных по совершенству полиэдров. Даже современный человек, впервые столкнувшись с природными кристаллами, чаще всего не верит, что эти многогранники не являются делом рук искусного мастера.

Кристалл алмаза Кристалл рубина

Кристалл можно вырастить в домашних условиях.

Растворить соль в теплой воде. (Можно использовать поваренную соль (тогда кристалл будет прозрачный), но более красивый кристалл получается при использовании медного купороса (тогда кристалл будет синим). Можно использовать и другие вещества (сахар и различные соли)).

Когда соль перестанет растворяться в вашем растворе (получится перенасыщенный раствор), перелить его в другую емкость (лучше всего в прозрачную, так как тогда вы сможете легче наблюдать за ростом кристалла).

Постепенно наш кристалл будет расти и, когда он достигнет нужного размера, аккуратно вытащите его и обсушите.

Многогранники в географии

В географии – многогранники занимают важное место в исследовании залежей полезных ископаемых, которые тянутся вдоль икосаэдровододекаэдровой сетки.

Многогранники в жизни человека

С многогранниками мы знакомы с детских лет. О них напоминают окружающие нас предметы: кирпич, комната, книга, аквариум, различные упаковки и др.

В современном мире многие предметы интерьера имеют формы многогранников.

Многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений.

Многогранники и профессии

Плотник — профессия связана с механической обработкой дерева и превращением необработанной древесины в детали, конструкции и стройматериалы.

Слесарь — специалист по ручной (без использования станков) обработке металлов, включая операции по сборке и разборке на производстве или в быту.

Скульптор – это художник, занимающийся созданием скульптур, то есть произведений объемно-пространственной формы, трехмерных и осязаемых.

Модели многогранников

Практическим этапом моей работы стало изготовление моделей многогранников. Процесс изготовления моделей оказался очень увлекательным. Модели выполнены из разверток и в технике оригами.

Создание моделей правильных многогранников с помощью разверток

Чаще всего при создании моделей многогранников из плоских разверток используют такие развертки, в которых грани прилегают друг к другу ребрами, а модель строится путем загибания развертки вдоль ребер. Например, при создании моделей правильных многогранников чаще всего используют следующие развертки.

Создание моделей многогранников методами оригами

Сегодня оригами переживает очередную волну интереса. Появились новые направления оригами и области его применения. Так, математики открыли множество возможностей для решения геометрических и топологических задач. Архитекторы и строители увидели в оригамном конструировании возможности для создания многогранных структур из плоского листа. Из бумаги можно построить удивительные конструкции.

При написании исследовательской работы я изучила дополнительную литературу и расширила свои знания по данному вопросу: узнала, что многогранники имеют красивые формы, они обладают богатой историей, познакомилась с видами многогранников. Решая поставленную проблему, я убедилась, что многогранники – это не просто геометрические тела , они окружают нас в жизни, в природе, в искусстве, архитектуре, науке. Многогранник – это величайшее открытие человечества. Систематизировав полученную информацию, я заметила, что в окружающем мире преобладают правильные многогранники.

Цель моей работы достигнута.

Список литературы и Интернет – ресурсов

Бунимович Е.А.Математика 6. – М.: Просвещение, 2016

Ворошилов А.В. Математика и искусство. - М.: Просвещение, 1992

Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для V – VI классов. – М: Мирос 1992.

Энциклопедия для детей. Я познаю мир. Математика. – М: Издательство АСТ, 1999

Целью нашего исследования являлось изучение правильных многогранников, их видов, свойств.

Вложение	Размер
tvorcheskaya.doc	97 КБ
tvorcheskaya.doc	97 КБ

Предварительный просмотр:

МОУ СОШ №1 г.Ржева Тверской обл

Правильные многогранники вокруг нас

(статья по математике)

Ученицы 11 класса

Лебедева Ирина Николаевна

Правильных многогранников вызывающе мало,

но этот весьма скромный по численности отряд

сумел пробраться в самые глубины различных наук.

Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением,

предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести "Правильные многогранники". Здесь не только открывается

удивительный мир геометрических тел, но и неповторимые свойства, особенности которых вызывают споры у ученых и философов.

На протяжении многих веков людей словно притягивают эти тела. Древние египтяне строили гробницы своим фараонам (которых они считали полубогами) в форме тетраэдра, что еще раз подчеркивает величие и этих фигур.

Но не только руками человека создаются эти загадочные тела. Одни из правильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов (были обнаружены учеными с помощью электрического микроскопа). А биологи говорят о том, что шестиугольные соты пчел, содержащие мед, имеют форму правильного многогранника. Существовала гипотеза, что именно правильная шестиугольная форма сот помогает сохранить полезные свойства этого ценного продукта.

Так что же представляют собой эти столь совершенные тела?

Целью нашего исследования являлось изучение правильных многогранников, их видов, свойств.

В задачи нашего исследования входило:

Дать понятие правильных многогранников ( на основе определения многогранников).
Доказать существование только 5 типов правильных многогранников.
Рассмотреть свойства правильных многогранников.
Познакомиться с интересными историческими фактами, связанными с правильными многогранниками.
Ознакомление с историей изучения многогранников.
Показать, как можно с помощью куба построить другие виды правильных многогранников.
Рассмотреть связь правильных многогранников с природой.

1. Правильные многогранники

Многогранник – это часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединённых таким образом, что каждая сторона любого многогранника является стороной ровно одного многоугольника. Многоугольники называются гранями, их стороны – рёбрами, а вершины – вершинами.

Правильным называется многогранник, у которого все грани это правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны.

Всего существует пять многогранников - ни больше ни меньше. Подтвердить это можно с помощью развертки выпуклого многогранного угла. В самом деле, для того чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник согласно его определению, в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником. Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360 о , иначе никакой многогранной поверхности не получится.

Перебирая возможные целые решения неравенств: 60к

2. Свойства многогранников

Тетраэдр - составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников и в каждой вершине сходится по три ребра и по три грани. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180º. У тетраэдра: 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Октаэдр - составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников и в каждой вершине сходится по четыре ребра и по четыре грани. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240º. У октаэдра: 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

Куб - составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов и в каждой вершине сходится по три ребра и три грани. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270º. У него: 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

Додекаэдр - составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников и в каждой вершине сходится по три ребра и три грани. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324º.У додекаэдра:12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

3. История изучения многогранников.

греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр"

означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник".

"двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида.

Кстати, раз уж заговорили о Евклиде, то давайте познакомимся с ним поближе. С ним, и с другими учеными, изучавшими многогранники.

Евклид (ок. 300 г. до н. э.) — древнегреческий математик.

Платон и Платоновы тела

Платон (Platon) (род. 427 - ум. 347 гг.до н.э.) - греческий философ. Родился в Афинах. Настоящее имя Платона было Аристокл.

Многогранники называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии". Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным.

Гармоничные отношения древние греки считали основой мироздания, поэтому четыре стихии у них были связаны такой пропорцией: земля/вода = воздух/огонь .

Атомы "стихий" настраивались Платоном в совершенных консонансах, как четыре струны лиры. Напомню, что консонансом называется приятное созвучие. Надо сказать, что своеобразные музыкальные отношения в платоновых телах являются чисто умозрительными и не имеют под собой никакой геометрической основы. Этими отношениями не связаны ни число вершин платоновых тел, ни обьемы правильных многогранников, ни число ребер или граней.

В связи с этими телами уместно будет сказать, что первая система элементов, включавшая четыре элемента - землю, воду, воздух и огонь, - была канонизирована Аристотелем. Эти элементы оставались четырьмя краеугольными камнями мироздания в течение многих веков. Вполне возможно отождествить их с известными нам четырьмя состояниями вещества - твердым, жидким, газообразным и плазменным.

Характеристики платоновых тел

Число сторон грани

Число граней, сходящихся в каждой вершине

Архимед обобщил понятие правильного многогранника и открыл новые математические объекты – полуправильные многогранники. Так он назвал многогранники, у которых все грани – правильные многоугольники более как одного рода, а все многогранные углы конгруэнтны. Только в наше время удалось доказать, что тринадцатью открытыми Архимедом полуправильными многогранниками исчерпывается все множество этих геометрических фигур.

Множество архимедовых тел можно разбить на несколько групп.

Первую из них составят пять многогранников, которые получаются из платоновых тел в результате их усечения. Так могут быть получены пять архимедовых тел: усечённый тетраэдр, усечённый гексаэдр (куб), усечённый октаэдр, усечённый додекаэдр и усечённый икосаэдр.

Другую группу составляют всего два тела, именуемых также квазиправильными многогранниками. Эти два тела носят названия: кубооктаэдр и икосододекаэдр.

Иоганн Кеплер (27 декабря 1571 г. – 15 ноября 1630 г.)

Вклад Кеплера в теорию многогранника – это, во-первых, восстановление математического содержания утерянного трактата Архимеда о полуправильных выпуклых однородных многогранниках. Еще более существенным было предложение Кеплера рассматривать невыпуклые многогранники со звездчатыми гранями, подобными пентаграмме и последовавшее за этим открытие двух правильных невыпуклых однородных многогранников – малого звездчатого додекаэдра и большого звездчатого додекаэдра.

Весьма оригинальна космологическая гипотеза Кеплера, в которой он попытался связать некоторые свойства Солнечной системы со свойствами правильных многогранников. Кеплер предположил, что расстояния между шестью известными тогда планетами выражаются через размеры пяти правильных выпуклых многогранников (платоновых тел). Между каждой парой "небесных сфер", по которым, согласно этой гипотезе, вращаются планеты, Кеплер вписал одно из платоновых тел. Вокруг сферы Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, описан октаэдр. Этот октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан икосаэдр. Вокруг икосаэдра описана сфера Земли, а вокруг этой сферы – додекаэдр. Додекаэдр вписан в сферу Марса, вокруг которой описан тетраэдр. Вокруг тетраэдра описана сфера Юпитера, вписанная в куб. Наконец, вокруг куба описана сфера Сатурна. Эта модель выглядела для своего времени довольно правдоподобно. Во-первых, расстояния, вычисленные при помощи этой модели, были достаточно близки к истинным (учитывая доступную тогда точность измерения). Во-вторых, модель Кеплера давала объяснение, почему существует только шесть (именно столько было тогда известно) планет – именно шесть планет гармонировали с пятью платоновыми телами. Однако даже на тот момент эта привлекательная модель имела один существенный недостаток: сам же Кеплер показал, что планеты вращаются вокруг Солнца не по окружностям ("сферам"), а по эллипсам (первый закон Кеплера). Нечего и говорить, что позже, с открытием еще трех планет и более точным измерением расстояний, эта гипотеза была полностью отвергнута.

Существует много данных о сравнении структур и процессов Земли с правильными многогранниками.

Полагают, что четырем геологическим эрам Земли соответствуют четыре силовых каркаса правильных Платоновских тел: Протозоа - тетраэдр (четыре плиты) Палеозою - гексаэдр (шесть плит) Мезозою - октаэдр (восемь плит) Кайнозою - додекаэдр (двенадцать плит).

Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки.

Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

Советские инженеры В. Макаров и В. Морозов потратили десятилетия на исследование данного вопроса. Они пришли к выводу, что развитие Земли шло поэтапно, и в настоящее время процессы, происходящие на поверхности Земли, привели к появлению залежей с икосаэдро-додекаэдровым узором. Еще в 1929 году С.Н. Кислицин в своих работах сопоставлял структуру додекаэдра-икосаэдра с залежами нефти и алмазов.

В. Макаров и В. Морозов утверждают, что в настоящее время процессы жизнедеятельности Земли имеют структуру додекаэдра-икосаэдра. Двадцать районов планеты (вершины додекаэдра) - центры поясов выходящего вещества, основывающих биологическую жизнь (флора, фауна, человек). Центры всех магнитных аномалий и магнитного поля планеты расположены в узлах системы треугольников. К тому же согласно исследованиям авторов, в настоящую эпоху все ближайшие небесные тела свои процессы располагают согласно додекаэдро-икосаэдрной системе, что замечено у Марса, Венеры, Солнца. Аналогичные энергетические каркасы присущи всем элементам Космоса (Галактики, звезды и т. д.). Нечто похожее наблюдается и в микроструктурах. Например, строение аденовирусов имеет форму икосаэдра.

5. Правильные многогранники и природа.

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник. Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление толщи воды.

Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.

Основной целью представленной работы являлось изучение правильных многогранников, их видов и свойств. Для достижения это й цели был проведен сравнительный анализ учебной и научно-популярной литературы, а также ресурсов сети Интернет.

В процессе исследования мы изучили удивительные особенности строения правильных многогранников, их виды и свойства, особенности строения. Познакомились с интересными историческими гипотезами и фактами. Увидели красоту, совершенство и гармонию форм этих тел, которые изучаются учеными на протяжении многих столетий и не перестают удивлять нас. Узнали, что в строении нашей, казалось бы, шарообразной планеты присутствуют правильные многогранники, что еще раз доказывает их значение в окружающем нас мире. И многие современные ученые склоняются к гипотезе, что вещества в природе состоят именно из этих уникальных фигур.

Подводя итоги, можно считать цели исследования достигнутыми. В дальнейшем тему работы можно развивать, например, рассмотреть использование свойств, особенностей симметрии правильных многогранников в архитектуре, технике, искусстве.

Список используемой литературы

1.Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия 10-11 класс – 2008. - №14

2.Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия 11 класс - 2008 - №4

3.Паповский В.М. Углубленное изучение геометрии в 10-11 классах

4. Веленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия – 1996

Читайте также: