Реферат на тему лист мебиуса

Обновлено: 05.07.2024

Вложение	Размер
konkurs_uchenicheskih_proektov_po_matematike.keksel_g.a.docx	29.56 КБ

Предварительный просмотр:

МБОУ Тюменцевская СОШ

Автор: Шакуля Даниил, учащийся 7-б класса.

Руководитель: Кексель Г.А., учитель математики.

с. Тюменцево, 2016г.

изучать геометрические фигуры и их свойства. От учителя узнали, что существует

Цель и задачи проекта.

1) Изучение истории открытия листа Мёбиуса.

2) Изготовление листа Мёбиуса и исследование его свойств.

3) Нахождение объектов в окружающем мире, имеющих функциональные сходства с листом Мёбиуса.

4) Применение листа Мёбиуса в повседневной жизни.

1). История открытия листа.

2). Изготовление листа Мебиуса и изучение его свойств.

Я запасся несколькими листами обычной бумаги, клеем, ножницами и красками. Самое удивительное то, что изготовить лист Мёбиуса своими руками совсем несложно: надо лишь взять полоску бумаги и склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180о. И тогда в ваших руках окажется лист, или лента Мёбиуса. Полоска должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине (10:1).

Моя попытка закрасить только одну сторону листа Мёбиуса была обречена на неудачу, так как у листа Мёбиуса всего одна сторона.

Лента Мебиуса обладает любопытными свойствами.

Если разрезать простое кольцо ножницами вдоль, то получится два кольца вдвое меньшей ширины, чем первоначальное.

А что получится, если разрезать ленту Мёбиуса?

У меня получилось две ленты, одна — более тонкая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента).

- А если разрезать на три части? Я получил два сцепленных кольца. Одно из них вдвое длиннее исходного и перекручено два раза. Второе - лист Мёбиуса, ширина которого втрое меньше, чем у исходного.

Я продолжил перекручивание полоски бумаги перед склеиванием, каждый раз увеличивая число полуоборотов на один.

Опыты по исследованию свойств ленты Мёбиуса

Кольцо перекручено на 2 полуоборота, длина его окружности в 2 раза больше исходного.

Кольца перекручены на 2 полуоборота, окружности колец в 2 раза меньше исходного кольца в 2 раза .

Кольца перекручены на 3 полуоборота и завиты в угол трилистника, окружности колец в 2 раза меньше исходного кольца в 2 раза.

Разрез ленты с дополнительными оборотами дал мне неожиданные фигуры.

Я узнала, что они называются парадромными кольцами.

ИТАК, В РЕЗУЛЬТАТЕ ИССЛЕДОВАНИЯ Я ВЫЯСНИЛА, ЧТО

1.Лист Мёбиуса - односторонняя поверхность

2. Второе свойство листа – непрерывность.

3.Третье свойство – связность.

3)Нахождение объектов в окружающем мире, имеющих функциональное свойство с листом Мебиуса.

Вселенная замкнута в ленту Мебиуса.

Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в науке, технике и изучении свойств Вселенной. Физики-теоретики пришли к выводу, что наша Вселенная, вполне вероятно, замкнута в ленту Мебиуса. Согласно теории относительности - чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Эта теория полностью подтверждает предположение, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта. Это подтверждает неограниченность и конечность Вселенной.

Физики утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах листа Мебиуса, в частности, отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.

Лента Мёбиуса - прародитель символа бесконечности.

Ленту Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности, так как находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса.

Спираль ДНК –фрагмент ленты Мебиуса.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение или аннигиляция, как подтверждают физики.

Ритмы мёбиусного вихря.

4)Применение листа Мёбиуса в повседневной жизни.

Листа Мёбиуса в технике.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.

Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Устройство под названием резистор Мёбиуса — это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности .

Были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты “с двух сторон”, не меняя их местами.

Лист Мёбиуса применяют в детских заводных игрушках, в конструкции стабилизатора штурвала рулевого привода, в щелевом затворе фото- или кинокамеры.

В метро ручка эскалатора, не что иное как лента Мёбиуса. Это позволяет ей равномерно изнашиваться, и продлевает срок службы резины.

Лист Мёбиуса служит вдохновением для скульптур и для графического искусства. Морис Эшер был одним из художников, кто особенно любил лист и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Архитектурная компания DWP Architects, специально для вьетнамского города Хошимин, разработала проект многофункционального жилого комплекса. Вдохновителем этого проекта стала лента Мебиуса.

Имеются и материальные воплощения простого листа Мёбиуса. Построенный в Лондоне Олимпийский велодром имеет контуры, которые можно назвать вариацией на тему листа Мёбиуса.

10)Лист Мёбиуса в повседневной жизни

Лента Мёбиуса понравилась не только математикам, но и фокусникам.

Более 100 лет она используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

Лента Мебиуса вдохновляет создателей ювелирных украшений. Среди их работ можно встретить кольца и кулоны в виде ленты Мёбиуса.

Не остались равнодушными к ней и мебельщики. Одним из примеров их работы в этом направлении является шезлонг, который представляет собой ленту Мёбиуса, склеенную из гнутого Британского дуба.

Поклонниками ленты Мебиуса стали даже обувщики. Так голландец Рэм Колхаас придумал остроумный силуэт туфель Мёбиус, словно состоящих из одной хитро свернутой ленты.

Не захотели остаться в стороне и дизайнеры. Художник и архитектор Рон Арад является создателем дизайна флакона для духов в виде ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста, также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка).

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка.

В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса.

И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета.

В честь учёного назван астероид 28516 (Möbius).

Лист Мёбиуса в литературе.

Чудесные свойства ленты породили множество фантастических рассказов. В одном из них описывался случай в Нью-Йоркском метро, когда потерялся во времени поезд, отправившийся в путь по пути, замкнутом в ленту Мебиуса.

Лист Мебиуса – символ математики,

Что служит высшей мудрости венцом…

Он полон неосознанной романтики:

В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,

Что недоступна даже мудрецам:

Здесь на глазах преобразилась плоскость

В поверхность без начала и конца.

Как о порог, об этот ноль споткнешься.

Но как бы ни был прежний путь тернист,

Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)

Путь в бесконечность – Мёбиуса лист.

В ходе работы над проектом я узнал много интересного о листе Мёбиуса. Лист обладает замечательными свойствами и находит применение в реальной жизни.Он интересен не только математикам, но и физикам, биологам, писателям, художникам, скульпторам, инженерам и просто школьникам. Даже мастерицы - рукодельницы изготавливают шарфики, закрученную в эту чудо-ленту.

Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета. А, я, гуляя по всемирной паутине, наткнулся на лауреатов конкурса Мёбиуса. Мне стало интересно, за что присуждается эта премия? Конкурс Августа Мёбиуса был учрежден в 1997 году для выявления лучших студенческих и аспирантских работ по математике и для оказания финансовой поддержки их авторам при продолжении их работы в России.

Список используемой литературы

Рассказывают, что открыть свой "лист Мёбиуса" помогла служанка сшившая неправильно концы ленты.

Как бы то ни было, но в 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинант Мёбиус, ученик знаменитого К.Ф.Гаусса, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и. не дождавшись, опубликовал её результатов в 1858 году.

У листа Мёбиуса всего одна сторона, и это поразило немецких профессоров, и потому что каждая поверхность имеет две стороны.

Лист Мёбиуса

Рассказывают, что открыть свой "лист Мёбиуса" помогла служанка сшившая неправильно концы ленты.

Как бы то ни было, но в 1858 году Лейпцигский учёный Август Фердинант Мёбиус, ученик "короля математиков" К.Ф.Гаусса и многих других из тех, кому математика обязана своим развитием, послал в Парижскую академию работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и. не дождавшись, опубликовал её результаты.

Чем же интересен этот лист? А тем, что у листа Мёбиуса — всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера) − две стороны.

Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами. Если попробовать разрезать ленту пополам по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя(рис.1) (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую фокусники называют "афганская лента". Если теперь эту ленту разрезать посередине, получатся две намотанные друг на друга (рис.2). Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника (рис.3). Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

Чтобы сделать лист Мёбиуса надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. Находясь на поверхности листа Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно.

Попробуйте покрасить одну сторону листа Мёбиуса — кусок за куском, не переходя через край ленты. И что же? Вы закрасите весь лист Мёбиуса! "Если кто-нибудь попробует раскрасить "только одну" сторону поверхности ленты Мёбиуса, пусть лучше сразу погрузит её всю в ведро с краской",— пишут Рихард Курант и Герберт Роббинс в превосходной книге "Что такое математика".

Неожиданность номер три: граница у листа Мёбиуса одна, а не состоит из двух частей, как у обычного кольца.

Свойство односторонности листа Мёбиуса было использовано в технике: если у ременной передачи ремень сделать в виде листа Мёбиуса, то его поверхность изнашивается вдвое медленнее, чем у обычного кольца. Это даёт ощутимую экономию (рис. 4).

Лист Мёбиуса один из объектов в области математики под названием топология (по-другому "геометрия положения"). Удивительные свойства листа Мёбиуса— он имеет один край, одну сторону,— не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология. Оказывается, свойства такого типа, несмотря на кажущуюся их непривычность, связаны как раз с наиболее абстрактными математическими дисциплинами, именно с алгеброй и теорией функций.

Если на внутреннюю сторону обычного кольца посадить паука, а на наружную— муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь перелезать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи, не так ли? А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук ползает быстрее!

В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях.

Эксперименты для всех. Возьмём ленту, разделим каждую её сторону на три одинаковые полоски и склеим, перекрутив один раз лист. Будем резать по пунктирной линии. Если бы лента была перекручена, то сначала мы бы отрезали одно кольцо, а потом ещё два остальных. Всего три кольца, каждое той длины, что и первоначальное, но второе меньшей ширины. Но у нас лист Мёбиуса. И, не отрывая ножниц от бумаги, разрежем пунктирными линиями сразу и получим два сцеплённых кольца(рис.5). Одно из них вдвое длиннее исходного и перекручено два раза.

Второе — лист Мёбиуса, ширина которого втрое меньше, чем у исходного.

Лист Мёбиуса— не ориентируемая поверхность (поверхность допускающая ориентацию) с краем.

Лист Мёбиуса — это также пространство нетривального расслоения над окружностью с слоем отрезок.

Лист Мёбиуса — двухмерное компактное множество (т.е. поверхность) с границей. Это стандартный пример поверхности, которая не ориентируема. Лист Мёбиуса — это также стандартный пример, используемый, чтобы проиллюстрировать математическое понятие пучок волокон.

Подобные объекты. Близким "странным" геометрическим объектом является бутылка Клейна (рис.6) — (определённая не ориентируемая поверхность). Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.

Искусство и технология. Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных— лист Мёбиуса показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса (рис.7).

Лист Мёбиуса также часто встречается в научной фантастике, например в рассказе "Стена Темноты". Иногда научно- фантастические рассказы предполагают, что наша вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. В рассказе "лист Мёбиуса" автора А.Дж.Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда.

Существовали технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейра выпонялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась. Также в системе записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Устройство под названием "резистор Мёбиуса— это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности.

Задачи. 1)Каждые две из пяти произвольно заданных в плоскости точек A, B, C, D, E соединены прямой. Площади возникающих при этом пяти треугольников EAB,ABC, BCD, CDE, DEAзаданы; требуется выразить через них площадь пятиугольника ABCDE. Вместо площадей этих пяти треугольников можно также считать заданными площади пяти четырёхугольников: BCDE, CDEA, DEAB, EABC, ABCD, — и искать выражение через них площади пятиугольника ABCDE (рис.8).

Площадь пятиугольника ABCDE у которого площади треугольников EAB, ABC, BCD, CDE, DEAравны соответственно a, b, c, d,eесть корень квадратичного уравнения

Не менее интересно и то, что площадь пятиугольника ABCDE, у которого площади четырёхугольников BCDE, CDEA, DEAB, EABC, ABCD равны соответственно есть корень "такого же" квадратного уравнения

Мёбиус рассматривает не только выпуклые многоугольники , но и учитывает что порядок, в котором следуют точки A, B, Cи точки B, C, D, соответствует обходу по сторонам эти треугольников по часовой стрелке, а порядок, в котором следуют точки C, D, E— обходу по сторонам треугольника CDE против часовой стрелки. Более того, Мёбиус рассматривает не только "обычные" многоугольники, но и такие, у которых стороны могут пересекаться не только в вершинах многоугольника (рис.9).И как итог, можно сказать— если каждые две точки какой- либо системы и точек, расположенных в плоскости, соединить прямой линией, и если считать заданными площади (независимые между собой) каких-либо 2n-5 многоугольников , возникающих от пересечения этих прямых, то через них можно выразить площадь каждого из остальных многоугольников".

2)А вот и ещё одна задача,— в пятиугольнике ABCDE заданы площади p, q, r, s, t треугольников ACD, BDE, CEA, DAB, и EBC. Нужно через них выразить площадь пятиугольника ABCDE. А вот и ответ:

Заключение

В начале своей работы я ставила перед собой цель— изучить все особенности листа Мёбиуса.

Написав доклад, я убедилась в том, что Лейпцигский профессор Август Фердинант Мёбиус в 1858 году сделал масштабное открытие, за которым скрывались многие факты.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ БУРЯТИЯ

Тема: "ЛЕНТА МЕБИУСА"

Автор: Мункуев Г., 1 курс МСХП

Преподаватель: Доржиева О.Ф.

1. Что такое лента Мебиуса

2. Открытие Августа Мебиуса

3. Магия ленты Мебиуса

4. Зачем нужна лента Мебиуса. Применение

5. Лента Мебиуса – широкое поле для Вдохновения

6. Научные гипотезы

7. Загадочная бутылка Клейна

Список источников и литературы

1. Что такое Лента Мебиуса?

Лента Мебиуса (или ее еще называют петля Мебиуса, лист Мебиуса и даже кольцо Мебиуса) – одна из наиболее известных в математике поверхностей. Петля Мебиуса - это петля с одной поверхностью и одним краем.

Чтобы понять, о чем идет речь, и как такое может быть, возьмите лист бумаги , вырежьте полоску прямоугольной формы и в момент соединения ее концов перекрутите на 180 градусов один из них, после чего соедините. Разобраться в том, как сделать ленту Мебиуса поможет картинка ниже.

Что же такого примечательного в ленте Мебиуса?

Лента Мебиуса – пример неориентируемой односторонней поверхности с одним краем в обычном трёхмерном Евклидовом пространстве. Большинство предметов являются ориентируемыми, имеющими две стороны, например, лист бумаги.

Как тогда лента Мёбиуса может быть неориентируемой, односторонней поверхностью -скажете вы, ведь бумага, из которой она сделана имеет две стороны. А вы попробуйте взять маркер и заполнить цветом одну из сторон ленты, в конечном итоге вы упретесь в начальную позицию, причем вся лента окажется целиком закрашенной, что подтверждает наличие у нее всего одной стороны. Чтобы поверить в то, что у петли Мебиуса всего один край – проведите пальцем по одному из граней ленты не прерываясь, и Вы точно так же, как и в случае с раскрашиванием, упретесь в точку, с которой начали движение. Удивительно, не правда ли? Изучением ленты Мёбиуса и множества других интересных объектов занимается – топология , раздел математики, который исследует неизменные свойства объекта при его непрерывной деформации – растяжении, сжатии, изгибе, без нарушения целостности.

2. Открытие Августа Мебиуса

Несмотря на кажущееся наличие у листа Мебиуса двух сторон, на самом деле сторона всего одна, и раскрасить в два цвета ленту не получится.

Если ручкой или карандашом начертить по всей длине петли линию, не отрывая руку от листа, то грифель в конечном итоге остановится в точке, с которой Вы начали чертить линию;

Примечательные опыты получаются при разрезании ленты, способные удивить, как взрослого, так и ребенка в особенности.

Для начала склеим ленту Мебиуса, как было рассказано ранее. Затем разрежем ее вдоль по всей длине ровно посередине, как показано ниже:

Теперь проведем другой эксперимент – сделаем еще одну петлю Мебиуса, после чего отмерим 1/3 ширины ленты и отрежем по этой линии. Результат поразит вас еще больше – в руках останутся две отдельные ленты разных размеров, соединенные вместе, как в цепочке: одна маленькая лента, и более длинная вторая.

У меньшей ленты Мёбиуса будет 1/3 от изначальной ширины ленты, длина L и поворот на 180 градусов. У второй более длинной ленты будет также ширина 1/3 от начальной, но длина 2L, а поворот на 360 градусов.

Еще один ф окус: с делайте ленту Мёбиуса, но перед склейкой поверните её не один раз, а три раза. Затем разрежьте её вдоль центральной линии. Получится замкнутая лента, завитая в узел трилистника.

Можно и дальше продолжать эксперимент, разрезая получившиеся ленты на еще более узкие, результат увидите сами.

4. Зачем нужна петля Мебиуса? Применение

Лента Мебиуса – вовсе не абстрактная фигура, нужная лишь для целей математики, она нашла применение и в реальной повседневной жизни. По принципу этой ленты функционирует в аэропорту лента, передвигающая чемоданы из багажного отделения. Такая конструкция позволяет ей служит дольше в связи с равномерным изнашиванием. Открытие Августа Мебиуса повсеместно исполбьзуется в станкостроении. Конструкцию используют для большего времени записи на пленку, а также в принтерах, использующих ленту при распечатке.

Благодаря своей наглядности, петля Мебиуса дает возможность делать современным ученым все новые и новые открытия. С момента обнаружения удивительных свойств петли по всему миру прокатилась волна новых запатентованных изобретений. Например, значительное улучшение свойств магнитных сердечников, изготовленных из ферро-магнитной ленты, намотанных по способу Мебиуса.

Н. Тесла получил патент на многофазную систему переменного тока, использовав намотку катушек генератора по типу петли Мебиуса. Американский ученый Ричард Дэвис сконструировал нереактивный резистор Мебиуса - способный гасить реактивное (емкостное и индуктивное) сопротивление, не вызывая элекстромагнитных помех.

5. Лента Мебиуса – широкое поле для Вдохновения

Сложно оценить важность значения открытия петли Мебиуса, которое вдохновило не только большое множество ученых, но и писателей, художников.

Самой известной работой, посвященной ленте Мебиуса считается картина Moebius Strip II, Red Ants или Красные Муравьи голландского художника-графика Маурица Эшера. На картине представлены муравьи, карабкающиеся по петле Мебиуса с обеих сторон, на самом деле сторона всего одна. Муравьи ползут по бесконечной петле друг за другом по одной и той же поверхности.

Художник черпал свои идеи из статей и трудов по математике, он был глубоко увлечен геометрией. В связи с чем на его литографиях и гравюрах часто присутствуют различные геометрические формы, фракталы, потрясающие оптические иллюзии.

До сих пор интерес к петле Мебиуса находится на очень высоком уровне, даже спортсмены ввели одноименную фигуру высшего лыжного пилотажа.

В форме петли Мебиуса создается огромное множество украшений, обуви, скульптур и многих других предметов и форм.

Лист Мебиуса наложил отпечаток на производство, дизайн, искусство, науку, литературу, архитектуру.

6. Научные гипотезы

Умы многих людей волновала схожесть формы молекулы ДНК и петли Мебиуса. Существовала гипотеза, которую выдвинул советский цитолог Навашин, что форма кольцевой хромосомы по строению аналогична ленте Мебиуса. На эту мысль ученого натолкнул тот факт, что кольцевая хромосома, размножаясь, превращается в более длинное кольцо, чем в самом начале, или в два небольших кольца, но как в цепи продетых одно в другое, что очень напоминает выше описанные опыты с листом Мебиуса.

В 2015 году группа ученых из Европы и США смогла закрутить свет в кольцо Мёбиуса . В научном опыте ученые использовали оптические линзы, и структурированный свет - сфокусированный лазерный луч с преопределенными интенсивностью и поляризацией в каждой точке своего движения. В итоге были получены световые ленты Мебиуса.

Есть еще одна более масштабная теория. Вселенная – это огромная петля Мебиуса . Такой идеи придерживался Эйнштейн. Он предположил, что Вселенная замкнута, и космический корабль, стартовавший из определенной ее точки и летящий все время прямо, возвратится в ту же самую точку в пространстве и времени, с которой и началось его движение, но уже в своем зеркальном отображении.

7. Загадочная бутылка Клейна

На основе ленты Мёбиуса существует ещё одна удивительная фигура – бутылка Клейна. Она представляет с собой бутылку, у которой на дне есть отверстие. Горлышко бутылки удлинено и загнуто, проходя в одну из стенок самой бутылке.

Такую фигуру невозможно воспроизвести в обычном трехмерном пространстве, ведь горлышко не должно касаться стенки бутылки и соединено с отверстием в ее дне. Таким образом, получается поверхность, которая имеет всего одну сторону. Бутылка Клейна и лента Мёбиуса до сих пор привлекает внимание учёных, а также писателей.

В Екатеринбурге в честь 285-летия в 2008 году установлена скульптура "Лента Мёбиуса". Скульптурный ансамбль высотой четыре метра отлит из бронзы. Автор композиции, известный уральский скульптор Степан Адуашвили рассказал, что "Лента Мёбиуса" символизирует связь между прошлым и будущим.

В Москве, на Комсомольском проспекте около кинотеатра “Горизонт” находится памятник “Ленте Мёбиуса”. На основании скульптуры есть девиз: "Разные точки зрения на один предмет".

Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям.

Мир до сих пор остаётся для нас огромной загадкой, и кто знает, какие ещё причуды пространства откроют учёные в ближайшем будущем.

Список источников и литературы:

Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии.— М.: Наука, 1989.

Интересность ленты заключается уже в том, что в отличие от обыкновенного листа бумаги она имеет только одну поверхность, а не две. То есть, если начать закрашивать лист бумаги, не переходя через грань, то закрасится только одна сторона. Если проделать то же самое с лентой Мебиуса, лента закрасится с обеих сторон.

Содержимое разработки

Международная научно-практическая конференция

студентов и учащихся

Секция: математика

Удивительная лента Мёбиуса

Исследовательская работа

Выполнила: ученица 8 класса

МБОУ «СОШ им. Г.Г.Гарифуллина

Башарова Фирюза Маратовна.

Научный руководитель: учитель

математики Файзрахманова Г.З.

1. Мёбиус Август Фердинанд………………………………………………..5

4. Уравнения листа Мебиуса………………………………………………. 11

6. Применение листа Мебиуса

6.1. Лист Мебиуса в науке и технике……………………………………. 13

6.2. Лист Мебиуса живописи и архитектуре……………………………. 13

6.3. Лист Мебиуса в литературе и цирковом искусстве………………….14

6.4. Лист Мебиуса в искусстве……………………………………………..15

Список использованной литературы……………………………………….. 25

Загадки продолжаются, и когда мы начинаем разрезать ленту Мёбиуса. Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства.

Нас так заинтересовал этот лист, что мы стали искать про него разную информацию и проводить с ним разные опыты, о результатах которых я расскажу в своей работе.

Отсюда, объект исследования: лист Мёбиуса как модель односторонней поверхности. Предмет исследования: свойства односторонний поверхности на примере ленты Мёбиуса

-определить и опытно – экспериментальным путём проверить удивительные свойства ленты Мёбиуса.

В соответствии с поставленной целью и выдвинутой гипотезой определились следующие задачи:

- раскрыть понятие топологии;

-изучить вклад А.Ф. Мёбиуса в развитие науки топологии;

- описать лист Мёбиуса и процесс его изготовления;

- показать использование листа Мёбиуса в искусстве;

- разработать методику определения удивительных свойств листа Мёбиуса;

- проверить опытно-экспериментальным путём эти свойства.

Метод исследования: практический эксперимент.

Теоретическая значимость нашей работы в том, что в последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела новая ветвь геометрии - топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в школьном курсе геометрии.

1. Мёбиус Август Фердинанд

Одним из великих геометров XIX столетия был Август Фердинанд Мёбиус(1790-1868) - немецкий математик и астроном - теоретик. Родился 17 ноября 1790 года на территории княжеской школы Шульпфорте, близ Наумбурга (Саксония-Анхальт). Его отец занимал в этой школе должность учителя танцев. Мать Мёбиуса была потомком Мартина Лютера. Отец умер, когда мальчику было всего три года. Начальное образование Мёбиус получил дома и сразу показал интерес к математике. С 1803 по 1809 годы учился в колледже Шульпфорте, затем поступил в Лейпцигский университет. Первые полгода, в соответствии с рекомендациями семьи, он изучал право, но затем принял окончательное решение посвятить жизнь математике и астрономии. В 1813—1814 годах Мёбиус жил в Гёттингене, где посещал университетские лекции Гаусса по астрономии. Затем он уехал в Халле, чтобы прослушать курс лекций математика Иоганна Пфаффа, учителя Гаусса. В результате Мёбиус получил глубокие знания по астрономии и математике. Когда Мёбиус работал над докторской (1815 год), была сделана попытка призвать его в прусскую армию. С трудом, избежав этой угрозы, он успешно получил докторское звание. Математические исследования Мёбиуса принесли ему известность в научном мире. В 1848 году Мёбиус становится директором обсерватории.

2. Открытие Мебиуса

Что же подтолкнуло Мебиуса к этому открытию? Есть три версии:

2. Придумал ленту Мёбиус, когда наблюдал за горничной, неправильно одевшей на шею свой платок.

3. Виноват во всём портной, который неправильно вшил манжет рубашки

Позже эта поверхность была названа лентой Мебиуса. В 1868 году Август Фердинанд Мёбиус умирает. Статья о знаменитой ленте Мёбиуса опубликована посмертно.

Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К. Ф. Гаусса — Иоганн Бенедикт Листинг (1808— 1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус,— в 1862 году.

Что же это за поверхность – лента Мебиуса? Самое удивительное то, что сделать её своими руками совсем несложно: надо лишь взять полоску бумаги и склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180 о . И тогда в ваших руках окажется лист, или лента Мёбиуса. (Приложение №1)

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса имеет удивительные свойства: он имеет один край; одну поверхность. Действительно, начав закрашивать лист с любого места, можно убедиться, что постепенно вся поверхность будет закрашена. “Если на внутреннюю сторону обычного кольца посадить паука, а на наружную – муху и разрешить ползать как угодно, запретив лишь перелезать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи, не так ли? (Приложение№2) А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если конечно, паук ползает быстрее. Так изучение свойств именно этой поверхности во многом положила начало развитию новой ветви геометрии – науки топологии. В Вашингтоне у входа в Музей истории и техники установлен вращающийся монумент этой поверхности – стальной ленты закрученной на полвитка.

Лист Мёбиуса - один из объектов топологии. Интересно, что с точки зрения топологии гайка, макаронина и кружка - одинаковые объекты. Их роднит то, что каждый из них имеет одно и только одно отверстие. Если бы мы из пластилиновой гайки, не разрывая и не склеивая пластилин, захотели вылепить макаронину или кружку, то нам бы это удалось. А вот кастрюлю с двумя ручками уже не вылепить (в ней две дырки-ручки).Среди букв русского алфавита тоже есть топологически одинаковые буквы. (Приложение№3)

Физики пришли к выводу, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности Эйнштейна и его предположением, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта, что подтверждает неограниченность и конечность Вселенной, изогнутой в пространстве большого числа измерений.

3. Свойства листа Мебиуса

Какими же свойствами обладает этот замечательный лист? (Прилож. №4)

1)Возьмем карандаш и начнем закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре мы вернемся в то место, откуда начали. Закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь мы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мёбиуса - односторонняя. Такое вот любопытное свойство!

Что же из этого свойства следует? А следуют удивительные превращения ленты, если разрезать ее вдоль. При разрезании точно посередине, мы получили большое перекрученное кольцо. А вот если разрезать ленту на расстоянии 1/3 ее ширины от края, то получаются два кольца - но! - одно большое и сцепленное с ним маленькое. Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль посередине, то получаются переплетенные два кольца - одинаковых по размеру, но разных по ширине. Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с двумя полуоборотами, то получится два одинаковых кольца, сцепленных между собой. Если разрезать ленту с тремя полуоборотами, последовательно два раза, то получится четыре кольца, сцепленных между собой. Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

3)Еще одно интересное свойство – связность. Если квадрат разрезать бритвой от стороны к стороне, то он распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы располовинить кольцо, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат– односвязен, кольцо и оправа от очков – друсвязны, а всяческие решётки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры – многосвязны. Ну, а лист Мёбиуса? Конечно двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту. Если перекрутить ленту на два оборота, то лист становится односвязным. Три оборота – связность снова равна двум. Связность принято оценивать числом Бетти, названным так в честь известного итальянского математика и физика. Иногда пользуются другой величиной – эйлеровой характеристикой – с той же целью: определить число сквозных, от края и до края, разрезов, которое выдерживает фигура, не распадаясь при этом на части.

4)Ориентированность - это то, чего нет у листа Мёбиуса! Вообразите, что в нём заключён целый плоский мир, где есть только два измерения, а его обитатели – несимметричные рожицы, не имеющие, как и сам лист никакой толщины. Если эти несчастные создания пропутешествуют по всем изгибам листа Мёбиуса и вернутся в начальную точку, то в изумлении обнаружат, что превратились в своё собственное зеркальное отображение. Конечно, всё это случится только, если они живут в листе, а не на нём.

Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Лист Мебиуса. Презентация на заданную тему содержит 35 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!

Лист Мебиуса – символ математики, Что служит высшей мудрости венцом… Он полон неосознанной романтики: В нем бесконечность свернута кольцом. В нем – простота, и вместе с нею – сложность, Что недоступна даже мудрецам: Здесь на глазах преобразилась плоскость В поверхность без начала и конца. Здесь нет пределов, нет ограничений, Стремись вперед и открывай миры, Почувствуй силу новых ощущений, Прими познанья высшего дары…

У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое "поверхность". Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Да! Это односторонняя поверхность. Пример топологии -таинственный и знаменитый лист Мебиуса.

Цель нашей исследовательской работы: исследовать лист Мебиуса как один из объектов топологии. Цель нашей исследовательской работы: исследовать лист Мебиуса как один из объектов топологии. Объект исследования: лента Мебиуса. Для достижения поставленной цели нами решались следующие задачи: Познакомиться с историей появления ленты Мебиуса. Изготовить ленту Мебиуса Исследовать опытным путем свойства ленты Мебиуса. Установить области применения ленты Мебиуса.

Немного истории. Немного истории. 17 ноября 1790 года в Германии родился мальчик Август Фердинанд Мебиус – здоровый и крепкий малыш. Все шло и развивалось своим чередом. Школа, университет. Мальчику повезло: астрономию ему преподавал сам Гаусс, математику – Пфафф. Как-то незаметно для окружающих в 26 лет он стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете.

Научные статьи, лекции, работа. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили. Он любил удивлять их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека за 220 лет растворилось в истории, если бы ни одно ненастное утро… На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. На пороге комнаты появилась любимая жена. Она была разгневана и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту. Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: "Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!” Научные статьи, лекции, работа. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили. Он любил удивлять их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека за 220 лет растворилось в истории, если бы ни одно ненастное утро… На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. На пороге комнаты появилась любимая жена. Она была разгневана и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту. Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: "Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!”

Как бы то ни было, но в 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус, послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал её результаты. Справедливости ради, надо отметить, что почти в это же время предложил в качестве первого примера односторонней поверхности этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского Университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году, но лента все-таки носит имя Мебиуса. Как бы то ни было, но в 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус, послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал её результаты. Справедливости ради, надо отметить, что почти в это же время предложил в качестве первого примера односторонней поверхности этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского Университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году, но лента все-таки носит имя Мебиуса.

Берем бумажную ленту АВСD. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой D, а точка B с точкой С. Перед склейкой перекручиваем ленту один раз (на 180). Берем бумажную ленту АВСD. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой D, а точка B с точкой С. Перед склейкой перекручиваем ленту один раз (на 180).

Задаемся вопросом: сколько сторон у этого куска бумаги? Задаемся вопросом: сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как у любого другого? Нет. У него ОДНА сторона. Не верите? Хотите - проверьте. Убедимся в этом: возьмём кисти и краски, начнём постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места. После окончания лист у нас полностью будет окрашен.

Красим, не отрываемся, на другую сторону не переходим. Красим. Закрасили? А где же вторая, чистая сторона? Нету? Ну то-то. Красим, не отрываемся, на другую сторону не переходим. Красим. Закрасили? А где же вторая, чистая сторона? Нету? Ну то-то.

Или представьте себе, что по ленте Мебиуса путешествует муравей,то, пройдя весь путь, он вернется в исходную точку. При этом он обойдет обе поверхности - наружную и внутреннюю, не пересекая ребра. Это доказывает, что лента Мебиуса является односторонней поверхностью. Или представьте себе, что по ленте Мебиуса путешествует муравей,то, пройдя весь путь, он вернется в исходную точку. При этом он обойдет обе поверхности - наружную и внутреннюю, не пересекая ребра. Это доказывает, что лента Мебиуса является односторонней поверхностью.

Свойства листа Мебиуса Что будет, если разрезать обычный лист бумаги? Конечно же, два обычных листа бумаги. Точнее, две половинки листа. А что случится, если разрезать вдоль посередине это кольцо (это и есть лист Мёбиуса, или лента Мёбиуса) по всей длине? Два кольца половинной ширины? А ничего подобного.

Теперь сделаем новый лист Мёбиуса и посмотрим, что будет, если разрезать его вдоль, но не посередине, а ближе к одному краю? Теперь сделаем новый лист Мёбиуса и посмотрим, что будет, если разрезать его вдоль, но не посередине, а ближе к одному краю?

Если на внутреннюю сторону простого кольца посадить паука, а на внутреннюю сторону муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь переползать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи. А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук бегает быстрее! Если на внутреннюю сторону простого кольца посадить паука, а на внутреннюю сторону муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь переползать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи. А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук бегает быстрее! Вывод: Непрерывность. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переползать через край “ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная.

Человечек - перевертыш. Человечек - перевертыш. Вырежьте бумажного человечка и отправьте его вдоль пунктира, идущего посередине листа Мёбиуса.

Применение листа Мебиуса в окружающей жизни. В технике, например, при шлифовании, широко используются мебиусные ленты. Эта лента отлично работает при обвязке и переноске грузов в портах. Полоса ленточного конвейера выполнялись в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике. А Козьма Прутков подарил читателям афоризм: "Где начало того конца, которым оканчивается начало?".

Лист Мёбиуса изображают на различных эмблемах, значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета. Лист Мёбиуса изображают на различных эмблемах, значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета. Международный символ переработки также представляет собой Лист Мёбиуса.

Очень интересны памятники, посвящённые ленте Мёбиуса. Очень интересны памятники, посвящённые ленте Мёбиуса.

Читайте также: