Реферат на тему интеграл заключение

Обновлено: 05.07.2024

Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Поэтому, я и решила исследовать интеграл и его применение.

История интегрального исчисления

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласил ись с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики—интегральное исчисление (calculusintegralis ), которое ввел И. Бернулли.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что вс е первообразные функции отличаются на произвольну ю постоянну ю. b

называют определенным интегралом (обоз начение ввел К. Фурье (1768—1830), но пределы интегрирования указывал уже Эй лер).

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольн иков стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа p (3.10/71

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод — метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертикал ьных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равну ю бесконечно малой величине f(х)dx . В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

Содержание работы

1. Историческая часть. 3
2. Интегралы. 5
2.1. Теоретическая часть. 5
2.2. Практическая часть. 13
2.3. Применение темы в других дисциплинах. 21
3. Заключение. 24
Библиографический список. 26

Файлы: 1 файл

ГОТОВЫЙ РЕФЕРАТ.docx

Краевое государственное бюджетное учреждение СПО

"Хабаровский торгово-экономический техникум"

Реферат по теме: Интегралы

Составила: Черепнина В. Н.

Студентка группы Т-2

1. Историческая часть. . . . 3

2. Интегралы. . . . 5

2.1. Теоретическая часть. . . 5

2.2. Практическая часть. . . 13

2.3. Применение темы в других дисциплинах. . 21

3. Заключение. . . . 24

Библиографический список. . . 26

1. Историческая часть

ИНТЕГРАЛ (от лат. Integer - целый) - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

Интеграл в древности. Интегрирование прослеживается ещё в древнем Египте, примерно в 1800 г. до н. э., Московский математический папирус демонстрирует знание формулы объёма усечённой пирамиды. Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпывания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. Аналогичные методы были разработаны независимо в Китае в 3-м веке н. э. Лю Хуэйем, который использовал их для нахождения площади круга. Этот метод был впоследствии использован Дзю Чонгши для нахождения объёма шара.

Следующий значительный прогресс в исчислении интегралов появится лишь в XVI веке. В работах Кавальери с его методом неделимых, а также в работах Ферма, были заложены основы современного интегрального исчисления. Дальнейшие шаги были сделаны в начале XVII века Барроу и Торричелли, которые представили первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием.

2. Интегралы

2.1. Теоретическая часть

п. 1. Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция F(х), производная которой равна данной функции

где F'(x) = f(x). Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx - подынтегральным выражением.

п.2. Свойства неопределенного интеграла

1° Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

2° Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

3° Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то

4° Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности.

п.3. Таблица основных интегралов

п.4.Существуют следующие виды нахождения интегралов:

Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

Интегрирование путем подведения под знак дифференциала

Необходимо иметь в виду простейшие преобразования дифференциала

Интегрирование путем введения новой переменной (метод подстановки) основано на формуле

где х = φ(t) - дифференцируемая функция переменной t.

Если u =φ(x) и v = y(х) - дифференцируемые функции, то

Эта формула применяется в случае, когда подынтегральная функция представляет произведение алгебраической и трансцендентной функции.

В качестве u обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, в качестве dv - оставшаяся часть подынтегрального выражения, содержащая dx, из которой можно определить v путем интегрирования.

п.5. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен

1°. Интеграл вида

путем дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата по формуле

сводится к одному из двух интегралов

сводится к интегралам вида (8.1) или (8.2) и интегралу

сводится к одному из интегралов:

4°. Интеграл вида

сводится к одному из двух интегралов

5°. Интеграл вида

сводится к разобранным выше интегралам.

6°. Интегралы вида

с помощью обратной подстановки

приводятся к интегралам вида 5°.

п.6. Интегрирование тригонометрических функций

1°. Интегралы вида

находятся с помощью тригонометрических формул

2°. Интегралы вида

где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени

Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)

3°. Если m = -m, n = -l - целые отрицательные числа одинаковой четности, то

В частности, к этому случаю сводятся интегралы

4°. Интегралы вида

где R - рациональная функция от sinx и cosx, приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью подстановки

п.7. Вычисление интеграла путем перебрасывания интеграла через знак равенства.

Обычно имеет место быть при решении интегралов вида sin(x)·exp(x) или cos(x)·exp(x).

Суть метода заключаеться в следующем: с помощью различных преобразований приходят к такой ситуации, когда слева от знака равенства стоит исходный интеграл, а справой какое-то выражение и тот же самый интеграл. Например:

Тогда все интегралы собирают в одной части, а в другой части равенства остается выражение, которое после нормировки ( приведение коэффициента при интеграле к 1) становится ответом.

2.2. Практическая часть

Здесь мы рассмотрим как находятся интегралы разными способами.

Интегрирование путем подведени я под знак дифференциала

Этот пример можно решить и по-другому см. п.5.

Чтобы избавиться от корня, положим

Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен

Здесь подынтегральная функция является рациональной функцией от sinx и cosx. Применяем подстановку

Подынтегральная функция не меняется от замены sinx на (-sinx), cosx на (-cosx), то есть R(-sinx,cosx) = R(sinx,cosx) . Применим подстановку tgx = t:

Вычисление интеграла путем пер ебрасывания интеграла через знак равенства.

Применим способ интегрирования по частям

Вынесли константу из-под знака интеграла.

Применим способ интегрирования по частям

Вот мы и пришли к ситуации, когда слева и справа от знака равенства стоит один и тот же интеграл.

Вычисляем интеграл и получаем

2.3. Применение темы в других дисциплинах

Различные методы изучения приложений интеграла в физике.

Авторы различных учебников по–разному выводят формулы при изучении приложений интеграла. Рассмотрим несколько различных методов получения (вывода) формул.

I. Составление интегральных сумм. Масса стержня переменной плотности. Будем считать, что отрезок [a; b] оси Ох имеет массу с переменной линейной плотностью ρ(х)0, где ρ(х) – непрерывная на отрезке [a; b] функция. Общая масса этого отрезка, где a=x₀

Понятие первообразной функции. Теорема о первообразных.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f’(x) или дифференциала df=f’(x)dx функции f(x). В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f(x) требуется найти такую функцию F(x), что F’(х)=f(x) или dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx.

Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д..

Определение. Функция F(x), , называется первообразной для функции f(x) на множестве Х, если она дифференцируема для любого и F’(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx.

Теорема. Любая непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x).

Теорема. Если F₁(x) и F₂(x) – две различные первообразные одной и той же функции f(x) на множестве х , то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т. е. F₂(x)=F₁x)+C, где С – постоянная.

Неопределенный интеграл, его свойства.

Определение. Совокупность F(x)+C всех первообразных функции f(x) на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается:

В формуле (1) f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, а С – постоянной интегрирования.

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.

1. Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

3. Постоянный множитель а (а≠0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

5. Если F(x) – первообразная функции f(x), то:

6 (инвариантность формул интегрирования). Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:

где u – дифференцируемая функция.

Таблица неопределенных интегралов.

Приведем основные правила интегрирования функций.

Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим, что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может обозначать как независимую переменную (u=x), так и функцию от независимой переменной (u=u(x)).)

Интегралы 1 – 17 называют табличными.

Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей.

Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Интегрирование подстановкой (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл , который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле переменную х заменяют переменной t по формуле x=φ(t), откуда dx=φ’(t)dt.

Теорема. Пусть функция x=φ(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула:

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференциала произведения двух функций. Пусть u(x) и v(x) – две дифференцируемые функции переменной х. Тогда:

Интегрируя обе части равенства (3), получаем:

Соотношение (4) называется формулой интегрирования по частям. С помощью этой формулы отыскание интеграла . Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы (4) более прост для вычисления, нежели исходный.

В формуле (4) отсутствует произвольная постоянная С, так как в правой части этой формулы стоит неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную.

Приведем некоторые часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям.

I. Интегралы вида , , (P_n(x) – многочлен степени n, k – некоторое число). Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить u=P_n(x) и применить формулу (4) n раз.

II. Интегралы вида , , , , (Pn(x) – многочлен степени n относительно х). Их можно найти по частым, принимая за u функцию, являющуюся множителем при P_n(x).

III. Интегралы вида , (a, b – числа). Они вычисляются двукратным интегрированием по частям.

Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 22351
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 8

История появления и развития персональных компьютеров является одним из наиболее впечатляющих явлений нашего века. С момента появления первых образцов персональных компьютеров прошло меньше 25 лет, но сейчас без них уже немыслимо огромное количество областей человеческой деятельности - экономика, управление, наука, инженерное дело, издательское дело, образование, культура и т.д. Интерес к персональным компьютерам постоянно растет, а круг их пользователей непрерывно расширяется. В число пользователей ПЭВМ вовлекаются как новички в компьютерном деле, так и специалисты по другим классам ЭВМ.

Язык Паскаль - это один из наиболее распространённых языков программирования 80-90х годов , поддерживающий самые современные методологии проектирования программ (нисходящее, модульное проектирование, структурное программирование) имеют свою достаточно богатую историю развития.

Новую жизнь языку дала фирма Борланд, разработавшая на его базе семейство Паскаль – систем, называемых Турбо Паскалем. Интегрированная среда, обеспечивающая многооконную разработку программной системы, обширный набор встроенный в неё средств компиляции и отладки , доступный для работы через легко осваиваемое меню, - всё это обеспечивает высокую производительность труда программиста, недостижимую при работе со старыми средами.

Язык Турбо Паскаль хорошо подходит для обучения программированию.

Заданием на курсовую работу является создание программы на языке программирования Турбо Паскаль, которая должна осуществлять решение следующей задачи :

Вычислить приближённое значение интеграла функции f(x) на интервале с точностью до 0.01 методами Симпсона и трапеции с целью сравнения.

Определить метод, который решает поставленную задачу за минимальное число повторений.

Построить график функции f(x) на заданном интервале. Решить поставленную задачу с использованием функций и процедур алгоритмического языка Турбо Паскаль.

Читайте также: