Реферат на тему числовые неравенства
Обновлено: 03.07.2024
Ключевые слова: определение неравенства, строгие и нестрогие неравенства, свойства неравенств, примеры решения задач на неравенства. Раздел ОГЭ по математике: 3.2.1 Числовые неравенства и их свойства.
Этому определению можно дать геометрическую иллюстрацию: из двух чисел a и b большим является то, которому на координатной прямой соответствует точка, расположенная правее, и меньшим то, которому соответствует точка, расположенная левее.
Свойство (4) читается так: обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив знак неравенства без изменения; обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, поменяв знак неравенства на противоположный. В частности, если поменять знаки обеих частей неравенства на противоположные (т. е. умножить обе части неравенства на –1), то надо заменить на противоположный и знак неравенства. Например, поменяв знаки обеих частей неравенства –10 –2. Полезно также уметь работать с двойными неравенствами: при изменении знаков всех трёх частей двойного неравенства оба знака неравенства заменяются на противоположные. Так, заменив знаки в двойном неравенстве а ≥ b –с, или в более привычной записи –с ,
Примеры решения задач на неравенства
Пример 1. На координатной прямой отмечены числа a и
b. Выберите из следующих утверждений верное.
Пример 2. Известно, что х > 10, y > 20. Какие из следующих неравенств верны при любых значениях х и у, удовлетворяющих этому условию: I. ху > 200; II. ху > 100; III. ху > 400 ?
1) I и II 2) I и III 3) II и III 4) I, II и III
Все члены двух данных неравенств – положительные числа. Перемножим почленно эти неравенства, получим ху > 200. Итак, неравенство I является верным. Неравенство II следует из неравенства I на основании свойства транзитивности: ху > 200, 200 > 100, значит, ху > 100. Неравенство III при некоторых значениях х и у, удовлетворяющих заданному условию, выполняется, a при некоторых нет, например, оно не выполняется при х = 11 и y = 21.
Пример 3. Оценим разность а – b, если известны границы a и b: 10 –b > –5, или –5
Пример 4. Докажем, что если a и b – положительные числа, то а 2 > b 2 в том и только в том случае, когда а > b.
Оба множителя в правой части равенства положительны: а – b > 0, так как a > b; a + b > 0, так как a и b – положительные числа. Значит, а 2 – b 2 > 0, отсюда следует, что а 2 > b 2 . Теперь докажем обратное утверждение: если а > 0, b > 0 и а 2 > b 2 , то а > b:
Из того что а 2 > b 2 , следует, что а 2 – b 2 > 0, значит, произведение в правой части положительно. Так как a + b > 0, то второй множитель а – b также положителен, т. е. а – b > 0. Следовательно, а > b.
Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!
Основное понятие неравенства Основные свойства числовых неравенств. Неравенства содержащие переменную. Графическое решение неравенств второй степени Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными. Решение рациональных неравенств методом интервалов Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
1. Основное понятие неравенства Неравенство [inequality] — соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого. Над этими выражениями можно по определенным правилам производить следующие действия: сложение, вычитание, умножение и деление (причем при умножении или делении Н. на отрицательное число смысл его меняется на противоположный). Одно из основных понятий линейного программирования — линейные неравенства вида
a1x1+ a2x2 +. + anxn * b,
где a1. an, b — постоянные и знак * — один из знаков неравенства, напр. ≥, b , bb b>c a>c; Если a>b a+c>b+c; Если a+b>c a> c-b; Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство; Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же число и изменить знак на противоположный, то получится верное неравенство; Множество всех х, при которых имеют смысл выражения f(x) и g(x), называется областью определения неравенства f(x) >g(x); Два неравенства, содержащие одну и ту же переменную, называются равносильными, если они имеют общее множество решений (множество решений этих неравенств совпадают); Если к обеим частям неравенства прибавить(или вычесть) любую функцию J(x). область определения которой содержит область определения неравенств, то получится новое неравенств, равносильное данному; Если обе части неравенства f(x) >g(x) умножить (или разделить) на любую функцию J(x), определенную для всех значений переменной х из области определения данного неравенства, сохраняющую постоянный знак и отличную от нуля, то при J(x)>0 получится неравенство, равносильное данном, а при J(x)g(x). Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с одной переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства с одной переменной. Решить неравенство с переменной - значит найти все его решения или доказать, что их нет.
Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают.3. Графическое решение неравенств второй степени
Графиком квадратичной функции y = ах2 +bх + с является парабола с ветвями, направленными вверх, если а > 0, и вниз, если а 0 и выпуклостью вверх, если а 0 y = ах2 +bх + с a0, Парабола имеет вершину на оси 0х (т. е. уравнение ах2 + х + с = 0 имеет один корень, так называемый двукратный корень) То есть, если d=0, то при a>0 решением неравенства служит вся числовая прямая, а при a0 D=0 y = ах2 +bх + с a0 можно графически изобразить на координатной плоскости. Обычно линия, заданная уравнением
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов, освоивших программу основного общего образования, является средством получения независимой оценки знаний учащихся и может считаться элементом общероссийской системы оценки качества образования.
Экзаменационная работа состоит из двух частей. Первая часть направлена на проверку усвоения учащимися основных алгоритмов и правил, понимание смысла важнейших понятий и их свойств, содержания применяемых приемов, а также умение применять знания в простейших практических ситуациях. Учащиеся должны продемонстрировать определенную систему знаний, умение пользоваться разными математическими языками, распознавать стандартные задачи в разнообразных формулировках.
Вторая часть направлена на проверку уверенного владения учащимися формально-оперативным алгебраическим аппаратом, способностей к интеграции знаний из различных тем курса, владение широким набором приемов и способов рассуждения. Учащиеся должны продемонстрировать умение математически грамотно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения.
Цель занятий:
- развитие математических способностей; логически мыслить, умения
анализировать, обобщать, делать выводы через усвоение различных методов
решения неравенств, систем неравенств;
- преодоление психологического барьера, связанного с новой формой проведения итоговой аттестации по математике, и обретение уверенности в своих силах.
Задачи занятий:
- систематизировать основные методы решения неравенств, систем неравенств;
- научиться применять основные методы решения неравенств и их систем в новых нестандартных ситуациях;
- приобрести навыки работы с тестами, совершенствовать навыки самостоятельной работы, работы в группах;
- совершенствовать навыки самоконтроля.
Умение решать неравенства различных видов позволяет обеспечить базовую подготовку школьника для успешного прохождения итоговой аттестации по математике за курс основной школы. Кроме того, это может помочь ученику оценить как свой потенциал с точки зрения перспективы дальнейшего образования, так и повысить уровень своей общей математической культуры.
Учащийся должен знать:
- виды неравенств и систем неравенств,
- основные методы решения неравенств и их систем.
Учащийся должен уметь:
- различать виды неравенств,
- выбирать рациональный способ решения для предложенного вида неравенств;
- выбирать и верно записывать ответ.
Для проведения занятий по повторению данной темы необходимо:
повторить, обобщить и систематизировать знания учащихся по решению линейных и квадратных неравенств; провести входную диагностику учащихся для определения уровня готовности учащихся к усвоению курса.
При решении неравенств вы должны свободно владеть понятием числового неравенства, знать, что такое решение неравенства, что значит решить неравенство, помнить свойства неравенств. То же относится и к системам числовых неравенств. Все эти сведения вы можете найти в любом пособии для поступающих в вузы.
Напомним свойства числовых неравенств.
1. Если а > b , то b а.
2. Если а > b и b > c, то а > c. Точно так же, если а 3. Если а > b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c). Если же а 4. Если а > b и c > d, то а + c > b + d; точно так же, если а 9 почленно вычесть неравенство 3 > 2, то получим верное неравенство 8 > 7. Если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 7 > 2, то полученное неравенство будет неверным.
5. Если а > b и c b – d; если а d, то а – c 6. Если а > b и m – положительное число, то m а > m b и , т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число ( знак неравенства остаётся тем же ).
Если же а > b и n – отрицательное число, то n а 7. Если а > b и c > d , где а, b, c, d > 0, то а c > b d и если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а 2 > b 2 , и если а 2 2 , т.е. на множестве положительных чисел обе части неравенства можно возводить в квадрат.
8. Если а > b, где а, b > 0, то и если а Решение:
.
Ответ: х Решение:
.
Ответ: (– 2; 0].
Пример 3. Найти наименьшее целое решение системы неравенств
Решение:
Ответ:
2. Квадратные неравенства
Пример 4. Решить неравенство х 2 > 4.
Решение:
х 2 > 4 (х – 2)∙(х + 2) > 0.
Решаем методом интервалов.
Ответ:
3. Неравенства высших степеней
Пример 5. Решить неравенство (х + 3)∙(х 2 – 2х + 1) > 0.
Решение:
Ответ: .
Пример 6. Найти середину отрезка, который является решением неравенства 4х 2 – 24х + 24 2 , где .
Решение:
Область определения неравенства: .
С учётом области определения 4х 2 – 24х + 24 2 будет равносильно неравенству
Решение неравенства: .
Середина отрезка: .
Ответ: .
4. Рациональные неравенства
Пример 7. Найти все целые решения, удовлетворяющие неравенству .
Решение:
Решение неравенства: .
Целые числа, принадлежащие полученным полуинтервалам: – 6; – 5; – 4; 1.
Ответ: – 6; – 5; – 4; 1.
5. Иррациональные неравенства
Помните! Начинать решение иррациональных неравенств нужно с нахождения области определения.
Пример 8. Решить неравенство .
Решение:
Область определения: .
Так как арифметический корень не может быть отрицательным числом, то .
Ответ: .
Пример 9. Найти все целые решения неравенства .
Область определения .
– быть отрицательным не может, следовательно, чтобы произведение было неотрицательным достаточно потребовать выполнения неравенства , при этом учитывая область определения. Т.е. исходное неравенство равносильно системе .
Пример 10. Решить неравенство .
Область определения:
Преобразуем неравенство: . С учётом области определения видим, что обе части неравенства - положительные числа. Возведём обе части в квадрат и получим неравенство, равносильное исходному.
т.е. , и этот числовой отрезок включён в область определения.
Ответ: .
Пример 11. Решить неравенство .
Объединим решения систем 1) и 2): .
Ответ: .
6. Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств
Пример 12. Решите неравенство .
.
Ответ: .
Пример 13. Решите неравенство .
.
Ответ: .
Пример 14. Решите неравенство .
Ответ: .
Пример 15. Решите неравенство .
Ответ: .
Задания для самостоятельного решения
Базовый уровень
Целые неравенства и системы неравенств
3) Решите неравенство .
5) Решите неравенство х + 2 6) Решите неравенство
.
8) Решить систему неравенств
9) Найдите целочисленные решения системы неравенств .
10) Решить систему неравенств .
11) Решить систему неравенств
12) Найти наименьшее целое решение неравенства
13) Решите неравенство .
14) Решите неравенство .
15) Решите неравенство .
16) Решите неравенство .
17) Найдите решение неравенства , принадлежащие промежутку .
18) Решить систему неравенств
19) Найти все целые решения системы
Рациональные неравенства и системы неравенств
20) Решите неравенство .
21) Решите неравенство .
22) Определите число целых решений неравенства .
23) Определите число целых решений неравенства .
24) Решите неравенство .
25) Решите неравенство 2 x 26) Решите неравенство .
27) Решите неравенство .
28) Решите неравенство .
29) Найдите сумму целых решений неравенства на отрезке [– 7, 7].
30) Решите неравенство .
31) Решите неравенство .
Иррациональные неравенства
32) Решите неравенство .
33) Решите неравенство
34) Решите неравенство .
Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств
35) Решите неравенство .
36) Решите неравенство .
37) Решите неравенство .
38) Решите неравенство .
39) Решите неравенство .
41) Найдите все целые решения неравенства .
42) Решите неравенство .
43) Решите неравенство .
44) Решите неравенство 7 x+1 -7 x 45) Решите неравенство log3(2x 2 +x-1)>log32 .
47) Решите неравенство .
48) Решите неравенство .
49) Решите неравенство .
51) Решите неравенство logx9 52) Решите неравенство .
Повышенный уровень
55) Найдите наибольшее целое решение неравенства .
56) Решить систему неравенств
57) Решить систему неравенств .
58) Решите неравенство .
60) Решите неравенство .
Ответы
1) х ≤ 8; 2) х –2; 6) х 17; 34) х ≥ 2; 35); 36) х 0; 38) х ≤ 3; 39) х > – 3,5; 40) х > – 0,5; 41) 0, 1, 2, 3, 4, 5; 42) х 0; 51) ; 52) ; 53) х | Пожаловаться | На основе Google Сайтов
Читайте также: