Реферат история математической логики

Обновлено: 05.07.2024

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Факультет физико-математических и компьютерных наук

Контрольная работа на тему:

Студентка 2 курса

Понамарева Виктория Сергеевна

Ершова Александра Алексеевна

§1. История возникновения математической логики

§2. Применение математической логики

§3. Математическая логика в технике

§4. Математическая логика в криптографии

§5. Математическая логика в программировании

Список используемой литературы

математическое обозначение криптография логика программирование

Логические знания чрезвычайно важны для повышения эффективности мыслительной деятельности человека и предотвращения логических ошибок. Согласно основному принципу логики, правильность рассуждения (вывода) определяется только его логической формой (структурой) и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений.

Например, рассуждения «Все люди смертны. Сократ - человек.

Эти системы принято делить на классическую логику, включающую классические логику высказываний и логику предикатов, и неклассическую логику, в которую входят модальная логика, многозначная логика, деонтическая логика, логика времени, паранепротиворечивая логика, парафальсифицирующая логика и др. Все эти частные системы, пользующиеся одними и теми же методами исследования при описании отдельных логических процессов, соединяясь вместе, и образуют логику как единую науку. Для любой логики характерно отвлечение от конкретного содержания высказываний или умозаключений и оперирование только их формальным содержанием, использование единого языка символов и формул.

§1. История возникновения математической логики

Математическая логика тесно связана с логикой и обязана ей своим возникновением. Основы логики, науки о законах и формах человеческого мышления (отсюда одно из ее названий - формальная логика), были заложены величайшим древнегреческим философом Аристотелем (384-322 гг.

Сфера применения математической логики очень широка. С каждым годом растет глубокое проникновение идей и методов математической логики в информатику, вычислительную математику, лингвистику, философию. Средства математической логики стали эффективным рабочим инструментом для специалистов многих отраслей науки и техники.

Вложение	Размер
matematika_nauchnaya_rabota_2018_1.docx	702.3 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя школа №1 г. Павлово.

Научно-исследовательская работа на тему

ученик 11 А класса Трухин Николай (17 лет)

Введение……………………………………………………………………..3-4
Основная часть…………………………………………………………….5-19
Заключение……………………………………………………………….20-26
Список литературы…………………………………………………………..27

Умение правильно рассуждать необходимо в любой области человеческой деятельности. Это умение получило основательное развитие изначально только в трёх традициях: в китайской , индийской и греческой . Хотя точные даты не слишком достоверны (особенно в случае Индии), скорее всего, логика возникла во всех трёх культурах в IV веке до н. э.

Логика в Китае появилась в период появления большого количества школ, конкуренции и дискуссий между ними. Современник Конфуция Мо-цзы (V—IV вв. до н. э) был известен как основатель древнекитайской философской школы, представители которой занимались поиском источников достоверного рассуждения и условий его правильности. В области аргументации они предпочитали разработку рассуждения по аналогии разработке дедукции

Логика была развита в VI в. до н.э. в работах великого древнегреческого философа Аристотеля, его учеников и последователей.

Аристотель (384—322 гг. до н. э.), в своих трактатах обстоятельно исследовал терминологию логики, подробно разобрал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления, в том числе законы противоречия. .

Математическая логика тесно связана с логикой и обязана ей своим возникновением. В справочной литературе математическая логика определяется как раздел математики , изучающий математические обозначения , формальные системы , доказуемость математических суждений , природу математического доказательства в целом, вычислимость и прочие аспекты оснований математики.

Мощным импульсом для развития и расширения области применения математической логики стало появление электронно-вычислительных машин. Оказалось, что в рамках математической логики уже есть готовый аппарат для проектирования вычислительной техники. Методы и понятия математической логики является основой, ядром интеллектуальных информационных систем. Работая над данной темой, я убедился в ее актуальности.

Цель работы: изучение возможностей математической логики в различных областях и деятельности человека.

Познакомиться с историей возникновения математической логики.
Изучить элементы, процессы и теоремы математической логики.
Решение задач на математическую логику.
Проследить сферы применения математической логики.

Гипотеза: активно ли применяется математическая логика в настоящее время?

Методы: теоретическое изучение темы, анализ, сопоставление, синтез, решение задач, выполнение практической работы, применение логических формул в информатике и бухгалтерском деле.

II. Основная часть.

Математическая логика есть логика по предмету, математика по методу. Она изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем, которые лежат в основе работы любого компьютера. Суждения в математической логике называют высказываниями или логическими выражениями. Подобно тому, как для описания действий над переменными был разработан раздел математики алгебра, так и для обработки логических выражений в математической логике была создана алгебра высказываний, или алгебра логики.

С алгеброй высказываний я познакомился в 8 классе при решении задач на истинность и ложность. Вот примеры таких задач:

Однажды в Артеке за круглым столом оказался пятеро ребят из Москвы, Санкт-Петербурга, Новгорода, Перми и Томска: Юра, Толя, Леша, Коля и Витя. Известно, что:

ГОСТ

Математическая логика — это подраздел математики, который занимается изучением формальных систем.

История возникновения

Термин логика обозначает науку, которая изучает правила и законы мышления, методы формирования доказательств и опровержения разных положений.

Основоположником логики считается древнегреческий философ Аристотель, который жил в четвёртом веке до нашей эры. Изначально он заметил, что при доказательстве каких-либо положений на основании других утверждений, за основу берут не их конкретное содержание, а только взаимные отношения их форм. Другой учёный времён Древней Греции, Евклид, выполнил систематизацию большого числа утверждений геометрии с точки зрения логики. Он ввёл в обиход понятие метода аксиом и заложил начало пониманию геометрии как науки, основанной на аксиомах, а понимание всей математической науки как набор математических теорий.

Логические постулаты Аристотеля подвергались доработкам в течение длительного временного периода. Существенный качественный скачок в прогрессе логической науки настал с приходом в логику математических методик. Начал их применять известный немецкий учёный Г. Лейбниц, живший в семнадцатом и восемнадцатом веках нашей эры. Он хотел сформировать универсальную языковую форму, которая позволила бы сделать формализацию разнообразных выкладок и все разногласия, и споры свести к математическим формулам.

Появление науки, названной математической логикой, связано с трудами английского учёного Джона Буля. Он создал алгебру логики, которая впоследствии получила название Булева алгебра. Она явилась итогом использования в логике методов алгебры. Заметным шагом в развитии математической логики явилось появление неевклидовой геометрии, прописанной в работах русского учёного Н.И. Лобачевского. В конце девятнадцатого века были выявлены парадоксы в теории множеств, которые выдвинули в число проблем математической логики проблему обоснования самой математики. Немецкий учёный Г. Фреге увидел разрешение этой проблемы в приведении математики к логике. Он использовал инструментарий математической логики, чтобы обосновать арифметику. Уже в двадцатом веке на основе математической логики была создана теория алгоритмов.

Готовые работы на аналогичную тему

Логика высказываний

Под высказыванием понимается некоторое утверждение или предложение, про которое возможно говорить, что оно является ложным или истинным.

Приедём некоторые примеры:

А = “Значение √2 будет иррациональным”.

Б = “Неправильно, что значение √2 будет иррациональным”.

В = “Величина √2+1 будет иррациональной”.

Г = “Если величина √2 будет иррациональной, то значение √2 +1 тоже будет иррациональным”.

Д = “Значение х считается иррациональным”.

Е = “Сколько времени?”

Ж = “Иванов! Вызываю вас к доске для решения задачи!”

Из приведённых выше примеров, А, Б, В и Г считаются высказываниями, остальные не являются таковыми. Предложения Е и Ж не повествовательные, а истинность или ложность предложения Д, которое является повествовательным, находится в прямой зависимости от полученного переменной х значения. Высказывания А, В и Г являются истинными, а высказывание Б является ложным. Точнее, значение истинности А, В и Г равно величине истина, соответственно о же само для Б это ложь. Истинные высказывания принято обозначать единицей (1), а ложные нулём (0). Высказывания А и В называются простыми, а высказывания Б и Г называются составными, так как они получены из простых высказываний А и В. Из этого примера можно видеть, что в языковых формах есть методы выстраивания высказываний из набора других высказываний. Эти методы называются операциями. В обычных разговорных языках можно выделить большое количество подобных операций.

В математической логике можно выделить следующие основные операции. Предположим Х и Y определённые выказывания, тогда:

В приведённом выше примере высказывание Б будет отрицанием высказывания А.

Основные пять вышеперечисленных операций имеют следующие символьные обозначения:

& обозначает конъюнкцию.
∨ обозначает дизъюнкцию.
¬ обозначает отрицание.
→ обозначает импликацию.
↔ обозначает эквиваленцию.

Эти знак &, ∨, ¬, →, ↔ принято называть связками. Связь определения истинности вновь образованных высказываний от величин истинности их начальных составляющих моет быть определена таблицей истинности связок.

Логические формулы высказываний

Выше высказывания определялись как некие предложения разговорного языка в повествовательной форме, то есть как объекты лингвистики. Для представления таких объектов методами математики применяется термин логические формулы высказываний. Атомарными логическими формулами высказываний являются заданные символы латинского алфавита с индексацией или без неё. Такими символами могут быть следующие знаки: U, V, W, X, Y, Z.

Логическими формулами высказываний являются:

Атомарные выражения.
Символика обозначения истинности 1 и ложности 0.
Формулы типа (F)&(G), (F)∨(G), ¬(F), (F)→(G), (F)↔(G).

кавалером правительственных наград. Умер в Москве в 1987 году.

Видный представитель российской школы математического

конструктивизма. Р одился 10 апреля 1941 года на острове

математический факультет МГУ им.М.В.Ломоносова, где работал с

1966 года. С 1983 года жил в Венгрии , з аведовал кафедрой

(г.Дебрецен). В 1988 году Венгерской Академией наук ему была

присвоена степень доктора наук. Умер 18 декабря 1998 года в

г.Дебрецен. А. Г. Драгалин - ав тор фундаментальных трудов по

теоретико-модельным и теоретико-доказательственным основаниям

интуиционистской логики, конструктивным методам нестандартного анализа.

"исчисления умозаключений", или математической логики

Логика - наука очень старая. Она возникла тогда, когда развитие

специальных наук и вообще человеческого мышления сделало актуальным

вопрос о том, как надо рассуждать, чтобы получить правильные выводы.

Несомненен интерес к логике сред и математиков и ф илософов эпохи

расцвета греческой культуры в VI-IV вв. до н.э. Но первое дошедшее до нас

большое сочинение, посвященное специально логике ("Аналитики"

Аристотеля, 384-322 гг. до н.э.), принадлежит уж е позднег реческой эпохе.

Независимо возникла буддистская логика, но дальнейшее развитие логики в

Европе имеет своим исходным пунктом изучение Аристотеля.

Математическая логика с внешней стороны отличается от "об ычной"

тем, что она широко пользуется языком математических и логических

знаков, исходя из того, что в принципе они могут совсем заменить слова

обычного языка и принятые в обычных живых языках способы объединения

слов в предложения. Довольно рано возникла идея о том, что, записав все

исходные допущения на языке специальных знаков, похожих на

математические, мо жно заменять рассуждение вычислением. Точно же

сформулированные правила таких логических вычислений мож но перевести

на язык вычислительной машины, которая тогда будет способна

автоматически выдавать интересующие нас следствия из введенных в нее

исходных допущений. Своего рода "логическую машину" сконструировал

еще в средние века Райм унд Луллий (1235-1315), дав ей, впрочем, лишь

совершенно фантастические применения. Более определенный и близкий к

реально осуществленному впоследствии замысел универсального

логического исчисления развивал Лейбниц (1646-1716). Лейбниц надеялся

даже, что в будущем философы вместо того, чтобы бесплодно спорить, будут

Начало созданию того аппарата математической логики, который

теперь мы называем логикой высказываний, положил Джордж Буль (1815-

1864). Логико-математические яз ыки и теория их смысла были затем

изложение больших разделов м атематики на языке математической логики

фундаментальной трехтомной монографии Рассела и Уайтхеда, изданной в

В двадцатых годах XX века с программ ой обоснования математики на

базе математической логики выступил знаменитый математик Гильберт

(1862-1943). С этого времени и начинается современный этап развития

математической логики, характеризующийся применением точных

математических методов пр и изуч ении формальных аксиоматических

Заметим, что роль логич еского исчисления как средства открытия новых

истин даже в области математики долго оставалась более чем скромной. Зато

символический язык математической логики оказался на границе

девятнадцатого и двадцатого веков очень важным подспорьем в изучении

логических основ мате матики, поскольку он позволял избегать всякой

неточности мысли, которая легко проскальзывает при использовании слов

обычного языка, смысл которых дается не точным определением, а

Подъем широкого интереса к математической логике не тол ько среди

математиков, но и среди техников произошел тогда, когда обнаружилось, что

в рамках математической логики уже создан аппарат для расчета действия

самых различных вычислительных и управляющих дискретных устройств. В

математической логике предметом исследования часто оказываются

математические теории, такие как математический анализ, алгебра,

элементарная геометрия, арифметика и др. В логике математические теории

изучаются в целом - и это одна из особенностей матем атической логики по

Прежде всего, изучаемую математическую теорию уточняют и описывают на

базе строгого логико-математического языка. Этот этап называется

формализацией теории и составляет важную, хотя и предварительную, часть

исследования теории. После формализации полученную формальную

аксиоматическую теорию уже можно подвергнуть точному математическому

изучению, можно ставить точные проблемы, получать математические

Вопросы построения оптимальных по сложности и по времени работы

вычислительных устройств занимают важное место в теоретической

кибернетике - науке, тесно связанной с математической логикой.

Логика предикатов - раздел математической логики, изучающий

логические законы, общие для любой области объектов исследования

(содержащей хоть один объект) с заданными на этих объектах предикатами

(т. е. свойствами и отношениями). В результате формализаци и принимает

вид различных исчислений. Простейшими логическими исчислениями

являются исчисления высказываний. Высказыванием называют любое

утверждение, относительно которого можно судить, истинно оно или ложно.

В более сложных исчислениях предикатов описываются логические законы,

связывающие объекты исследования с отношениями между этими

языком его характеризуют обычно как символический язык,

потому что з десь используется о собая символика, прежде

всего для обозначения логических св язей и операций.

Специальные символы упот ребляются также в качестве

знаков для обозначения предметов, свойств и отно шений.

Употребление символики способствует сокращению записи

высказываний и облегчает, особенно в сложных ситуациях,

Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет

Субъект – это то, о чем что-то утверждается в высказывании;

x2,…,xn, которое при подстановке вместо переменных их значений

становится высказыванием, называется предикатом. Дадим несколько

Одноместным предикатом Р(x) называется произвольная функция

переменного x, определенная на множестве M и приним ающая значение из

Множество М, на которо м определен предикат Р(x), наз ывается

значения “истина” (1), называется множеством (областью) истинности

предиката Р(x), т.е. множество истинности предиката Р (х)- это множество

«Для всякого предмета из некоторого множества 5 верно, что

множества S существует предмет этого множества такой, что

подобных высказываний в ЯЛП мы должны иметь в числе его исходных

символов общие имена предметов; аналогами последних в ЯЛП будут

предметные переменные х, у, z, а также они же с числовыми индексами x1

В логике предикатов будем пользоваться следующей символикой :

1. Предметные переменные х, у, z, а также х с числовыми

(верхние индексы указывают на местность предикатора,

нижние индексы используются для расширения множества

предикатных символов той или иной местности вводится в

зависимости от предназначения языка. Однако, поскольку

речь идет о языке л о г и к и п р е д и к а т о в , должен быть

(число функциональных символов той или иной местности

импликация, конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, квантор

общности и квантор существования. Где квантор (от лат.

quantum — сколько) логическая операция, дающая количественную

характеристику области предметов, к которой относится выражение,

получаемое в результате её применения. (Зачастую вводят лишь

некоторые из этих символов. Из кванторов достаточны

только V или 3, из остальных, называемых логическими

константы, как, впрочем, и другие знаки, могут вводиться по

дескриптивными терминами язык а, при этом три первых

II. Термы. Вы ражения этого типа яв ляются а налогами имен

О п р е д е л е н и е : а) любая предметная переменная и

III. Формулы. В числе этих выражений имеются аналоги

повествовательных предложений естественного языка, а

представляющие собой особую семантическую категорию,

которая не выделяется — по крайней мере явным образом —

О п р е д е л е н и е : а) если tv t2, . tn термы и Fj n-местный

Договоримся в дальнейшем опускать, когда это удобно,

внешние скобки в отдельно взятых формулах; например,

Использованные в определениях терма и формулы символы

tv t2, . tn и f1> , F * , А, В, х (и в дальнейшем возможно xv х2 и

переменными , возможными значениями которых являются

(объектного) языка. Формулы А и В, встречающиеся в пунктах

б) и в), называются п о д ф о р м у л а м и указанных здесь

формул. Введенны е понятия исходного символа, терма и

рекурсивными). Последнее озна чает, что имеется точный

относится ли не который символ к числу исходных символов

языка, а для каждой последовательности исходных символов

можем определить, представляет ли она терм или ф ормулу.

построении формулы операции. Выделив ее, мы выделяем

последних снова выделяем главную операцию и т ак далее,

пока не дойдем до какой-либо атомарной формулы. Если в

какой-либо части его, не являющейся атомарной формулой,

нельзя выделить знак главной операции, то эта часть не

является ф ормулой, а следовательно, тако вой не является

формул среди последовательностей символов является

Семантику языка при анализе естественного языка, составляет совокупность

предметных значений и смысловых содержаний его выражений. Но в данном

случае, поскольку речь идет не об анализе уже имеющегося языка, а ] о

построении — в данном случае лог ического формализованного языка —то

семантикой называют совокупность правил ] приписывания значений

выражениям этого языка. Точнее говоря, здесь даже не ставится задача

построения какого-то определенного языка. Создается лишь некоторая схема

языка определенного типа, в данном случае так называемой классической

логики предикатов первого поряд ка. Этот тип языка отличается от языков

других типов, даже языков с тем же синтаксисом (например, языка

интуиционистской логики предикатов, определенной системы релевантной

логики) своей семантикой. Приписывание значений отдельным выражениям

языка, составляющим дескриптивным терминам, употребляемым при

построении ф ормул, осуществляется лишь в составе тех или иных формул и

при этом различно от случая к случаю в зависимости от характера решаемых

логических задач, ( например, при переводе каких то высказываний с

естественного языка на данный формализованный, при анализе логических

отношений между формулами данного языка, при аксиоматизации некоторых

теорий, а именно при форм улировке их аксиом в языке данного типа).

Совокупность всех правил приписывания значений выражениям языка

I. Правила определения (задания) возможных значений предметных

переменных и правила приписывания предметных значений дескриптивным

постоянным в составе рассматриваемых в том или ином случае формул—

интерпретация выражений языка. II. Правила приписывания значений

свободным переменным в составе тех или иных рассматриваемых формулу.

III. Правила приписывания истинностных значений интерпретированным

формулам, не содержащим свободных переменных. ]] I. Интерпретация

состоит, во-первых, в выборе некоторого непустого м ножества D индивидов,

Читайте также: