Реферат целые неотрицательные числа
Обновлено: 05.07.2024
1) общее свойство класса конечных равномощных множеств.
(Например, множества ООО, . и ∆∆∆ различны по своей природе, но содержат одинаковое число элементов => они равномощны, их общее свойство – число элементов 3)
2) число элементов в множестве А, получаемое при счете, т.е.
? Количественный подход – теоретико-множественный подход.
Число 0 в этой теории рассматривается как кол-во элементов в пустом множестве (O).
В количественной теории натуральное число отвечает на вопрос: сколько предметов содержит данное множество?
Отрезок натурального ряда (Nа) – множество натуральных чисел не превосходящих натурального числа а. Nа =
Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку Nа.
Пример: Множество вершин квадрата равномощно отрезку N4, А ~ N4.
Теоретико-множественный подход к построению множества Nₒ
Присоединим к O произвольный элемент, получим мн-во А͓ , которое содержит O - OсА͓ . Назовём численность элементов в мн. А͓ - 1, т.е. m (А͓)=1. Присоединим к мн. А͓ производный элемент, не содержащийся в нём, получим новое мн-во А͓͓ ͓ - А͓ с А͓͓ ͓. Назовём численность элементов в А͓ ͓- 2, т.е. m (А͓͓ ͓)=2. Продолжая процесс последовательного присоединения новых элементов к предыдущим мн-ам, получим бесконечную последовательность неравночисленных между собой мн-в, находящихся в отношении включения. Численности этих мн-в составят расширенный ряд чиел: 0,1,2,3,… , который называется множеством целых неотрицательных чисел.
А1. В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Называют его единицей и обозначают символом 1.
А2. Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а', непосредственно следующий за а.
А3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.
А4. Всякое подмножество М множества N, обладающее свойствами: 1) 1 М; 2) из того, что а содержится в М, => а' содержится в М, совпадает с множеством N.
В аксиоматической (порядковой) теории натуральное число отвечает на вопрос: какой по счёту назван данный предмет?
Аксиоматический подход к построению множества Nₒ
Присоединим к мн-вуN ещё один элемент, назовём его нуль – 0.
Аксиомы, которые раскрывают как производить действия с 0:
А1.а N: а+0=0+а=а
А2.: а N: а*0=0*а=0
А3.: а N: а-0=а
А4.а N: 0:а=0
А5. 0+0=0; 0-0=0; 0*0=0; а-а=0.
Полученное мн-во называется мн-ом целых неотрицательных чисел.
Теорема: деление на 0 невозможно.
Д-во: 1) Пусть даны числа а и b, а≠0 и b=0, принадлежащие Nₒ. Предположим, что частное а:b – существует => существует такое число с из мн-ваN, что а=b*с => а=0*с=0 (т.к. b=0 по условию) => получили противоречие, т.к. по условию а≠0 => частного а:0 – не существует.
2) пусть даны числа а и b из Nₒ: а=0, b =0. Предположим, что частное а:b существует => существует такое число с из Nₒ, что а=b*с => 0=0*с, но частным чисел а=0 и b=0 может быть любое целое неотрицательное число, т.е. значение частного 0:0 – неопределенно => деление в этом случае так же считается невозможным.
Дан отрезок х, его длину обозначим Х. Выберем из множества отрезков некоторый отрезок е, назовем его единичным отрезком, а длину обозначим буквой Е.
Если отрезок х состоит из отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то числоа называют численным значением длины Х данного отрезка при единице длинны Е. Пишут: Х=а*е или а=mЕ(Х).
Натуральное число как результат измерения длинны отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется.
Понятие числа является одним из основных в математике. Число служит орудием, при помощи которого математика и другие науки изучают объективные закономерности реального мира.
Современное состояние понятия "число" сложилось в результате длительного исторического пути развития, в процессе решения постоянно усложняющихся практических и теоретических задач.
Было время, когда люди не умели считать. Число воспринималось ими как одно из свойств предметов, подлежащих перечислению. Решение практических задач, связанных со счетом, было сопряжено с огромными трудностями.
Шагом в развитии понятия числа явился счет с помощью определенных предметов, и в частности с помощью пальцев рук и ног. Возможно на этом этапе и определилась особая роль чисел "пять", "десять", "двадцать", появились названия некоторых чисел.
Числовой ряд возник не сразу. История его формирования длительная, запас чисел, которые употребляли, ведя счет, увеличивался постоянно.
И, конечно, не сразу люди поняли, что числовой ряд можно бесконечно продолжать. Идея бесконечности натурального ряда чисел появилась, вероятно, когда общество достигло достаточного уровня цивилизации. С ее развитием встречаемся в работе древнегреческого математика Архимеда, жившего в 3 в. до н.э. В своем сочинении "Исчисление песчинок" он показал, что ряд чисел может быть продолжен бесконечно. Архимед изобрел способ, который позволял образовывать и словесно обозначать сколь угодно большие числа. В связи с этим он утверждал, что можно пересчитать не только песчинки на берегу моря, но и подсчитать их число в шаре достаточно большого радиуса.
В результате длительного процесса развития понятия числа человек научился записывать числа и выполнять действия над ними. С рождением математики были изучены свойства этих чисел и операций над ними.
Во второй половине 19 в. понятие о числе получило логическое обоснование. Была разработана аксиоматическая теория натурального числа. Большое влияние на исследование природы натурального числа оказало создание в конце 19 в. теории множеств.
Для школьной математики число является тем понятием, с которого начинается обучение. И уже в начальных классах учащиеся знакомятся с различными ролями натурального числа. Отвечая на вопрос: "Сколько машин изображено на рисунке?", они имеюм дело с числом как количественной характеристикой множества предметов. Производя счет предметов, оперируют порядковым натуральным числом. В задачах, связанных с измерением величин, число выступает в новой роли - как значение величины при выбранной единице величины, как мера величины. Много внимания уделяется в НКМ и еще одной роли числа - число как компонента вычислений. Таким образом, натуральное число многолико и все его стороны должны быть поняты учащимися начальных классов. Поэтому важнейшей задачей учителя является овладение теми теориями натурального числа, в которых отражаются различные роли натурального числа в практической деятельности.
Одним из способов строгого логического обоснования натурального числа и операций над числами является аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Начав изучение чисел именно с этого подхода, рассмотрим затем теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля, отношений между числами, операций над ними. Рассмотрим натуральное число как результат измерения величин; способы записи ЦНЧ, правила действий над многозначными числами в десятичной и других системах счисления; рассмотрим некоторые вопросы делимости ЦНЧ.
Лекция 1. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
Аксиоматический метод в математике.
Основные понятия и отношения аксиоматической теории натурального ряда. Определение натурального числа.
Сложение натуральных чисел.
Умножение натуральных чисел.
Свойства множества натуральных чисел
Вычитание и деление натуральных чисел.
Аксиоматический метод в математике
При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила:
1. Некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения.
2. Формулируются аксиомы, которые в данной теории принимаются без доказательства, в них раскрываются свойства основных понятий.
3. Каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, даётся определение, в нём разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятию.
4. Каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано. Такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.
Система аксиом должна быть :
а) непротиворечивой:мы должны быть уверены,что, делая всевозможные выводы из данной системы аксиом, никогда не придем к противоречию;
б) независимой: никакая аксиома не должна быть следствием других аксиом этой системы.
в) полной, если в ее рамках всегда можно доказать или данное утверждение, или его отрицание.
Первым опытом аксиоматического построения теории можно считать изложение геометрии Евклидом в его "Началах"(3 в. до н.э.). Значительный вклад в развитие аксиоматического метода построения геометрии и алгебры внесли Н.И. Лобачевский и Э.Галуа. В конце 19 в. итальянским математиком Пеано была разработана система аксиом для арифметики.
Основные понятия и отношения аксиоматической теории натурального числа. Определение натурального числа.
Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а'.
Аксиомы Пеано:
Аксиома 1. В множестве Nсуществует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей и обозначать символом 1.
Аксиома 2. Для каждого элемента аиз Nсуществует единственный элемент а', непосредственно следующий за а.
Аксиома 3. Для каждого элемента аиз N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.
Аксиома 4. Всякое подмножество Ммножества Nсовпадает с N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что асодержится в М, следует, что и а'содержится в М.
Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел: 1,2,3,4. Натуральный ряд начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); начиная от числа 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4).
Определение 2. Если натуральное число bнепосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим (или предшествующим) числу b .
Сложение натуральных чисел
Предварим определение сложения следующими рассуждениями. Если к любому натуральному числу а прибавить 1, то получим число а', непосредственно следующее за а, т.е. а + 1 = а' и, следовательно, мы получим правило прибавления 1 к любому натуральному числу. Но как прибавлять к числу а натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 2 + 3 = 5, то сумма 2 + 4 = 6, которое непосредственно следует за числом 5. Происходит так потому, что в сумме 2 + 4 второе слагаемое есть число, непосредственно следующее за числом 3. Таким образом, 2 + 4 =2+3' =(2+3)'. В общем виде имеем, .
Эти факты положены в основу определения сложения натуральных чисел в аксиоматической теории.
Определение 3. Сложениемнатуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:
Число а + bназывается суммой чисел а и b , а сами числа аиb- слагаемыми.
Теорема 6
( а, b N) а + b ≠ b.
Вычитание
При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.
Определение 6. Вычитанием натуральных чисел а и bназывается операция, удовлетворяющая условию: а — b = с тогда и только тогда, когда b + с = а.
Число а - bназывается разностью чисел а и b, число а – уменьшаемым, ачисло b - вычитаемым.
Теорема 13. Разность натуральных чисел а - b существует тогда и только тогда, когда b
Подходы к построению урока математики. Количественная характеристика натуральных чисел. Изучение десятичной системы счисления. Формирование представлений о смысле сложения и вычитания целых неотрицательных чисел. Изучение действий умножения и деления.
| Рубрика | Педагогика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 04.05.2009 |
| Размер файла | 27,1 K |
Соглашение об использовании материалов сайта
Просим использовать работы, опубликованные на сайте, исключительно в личных целях. Публикация материалов на других сайтах запрещена.
Данная работа (и все другие) доступна для скачивания совершенно бесплатно. Мысленно можете поблагодарить ее автора и коллектив сайта.
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Подобные документы
Сложение и вычитание с позиций аксиоматической теории и теоретико-множественного подхода к построению множества целых неотрицательных чисел. Диагностика сформированности вычислительных навыков письменного сложения и вычитания у младших школьников.
дипломная работа [2,2 M], добавлен 22.04.2015
Возникновение понятия системы счисления. Запись чисел в позиционной системе счисления. Перевод чисел из десятичной системы в любую другую позиционную систему. Количество цифр (знаков), используемых для представления чисел. Выполнение действий над числами.
реферат [1,1 M], добавлен 27.02.2014
Понятия счисления натуральных чисел и правила их образования и чтения. Методики изучения чисел в концентре. Особенности изучения нумерации чисел в концентре тысячи. Использование практических заданий, связанных с повседневной жизнью обучающихся.
реферат [136,1 K], добавлен 28.09.2011
Многозначные числа в обучении математике младших школьников. Методика изучения нумерации чисел. Сравнительный анализ учебников начальных классов альтернативных систем обучения. Особенности изучения нумерации многозначных чисел младшими школьниками.
дипломная работа [210,0 K], добавлен 16.06.2010
Методика активизации познавательной деятельности посредством дидактической игры. Значение и сущность игровых технологий. Анализ передового педагогического опыта. Теоретические основы введения целых неотрицательных числе. История возникновения чисел.
дипломная работа [95,0 K], добавлен 24.06.2011
Этапы развития числа. Изучение арифметики натуральных чисел. Введение дробных чисел. Схема введения отрицательных чисел. Определения свойств действий над целыми числами. Введение иррационального числа. Методическая схема введения действительного числа.
реферат [36,5 K], добавлен 07.03.2010
Определение сущности числа, история его происхождения. Основные функции количественных натуральных чисел, их теоретико-множественный смысл. Использование упражнений, игр и сказок в различных программах по математике для изучения чисел в начальных классах.
Целые числа — это множество натуральных чисел, отрицательных и нуль.
Другими словами определение можно сформулировать так: целые числа — такие, у которых нет дробной части. Любое натуральное число считается целым, но не любое целое является натуральным.
-98; 24; 0; 3; 4512 — это все целые числа.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
654,5; 0,58; -636,3; \(\frac13\) — не могут считаться целыми, так как после запятой у них имеются еще знаки или же они являются дробью.
- сложение;
- вычитание;
- умножение.
А также можно провести специфическую операцию — деление с остатком.
Использование целых чисел при описании изменения величин
Для наглядности можно привести пример, который покажет, как вычислить изменение величин:
Если же на полку не поставят новые книги и не заберут старые, то число 0 окажется индикатором неизменности количества предметов.
Кроме того, понятие о целых числах используется не только в алгебре, но и в таких областях, как география, история, медицина, физика.
Положительные и отрицательные целые числа
Свойство нуля состоит в том, что он не принадлежит ни к положительным, ни к отрицательным. Оно их разделяет.
Для любого положительного целого числа существует единственное противоположное отрицательное. Справедливо и обратное правило. 0 противоположен самому себе.
Неположительные и неотрицательные целые числа
Неположительные целые числа — это отрицательные целые числа и нуль. К примеру, в эту группу входят -54; -146; 0.
Неотрицательные целые числа — это положительные целые числа и нуль. К ним можно отнести числа типа 54; 146; 0.
По другому, неположительными целыми числами считают те, которые меньше или равны нулю. И наоборот, неотрицательные те, которые больше или равны нулю.
Данные термины ввели для удобства изъяснения. Для того, чтобы не говорить, что число n — меньше или равно нулю, можно сократить фразу и сказать: число n — целое неположительное.
Читайте также: