Распространение волн в упругой среде реферат
Обновлено: 02.07.2024
Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью V. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной.
Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Упругие поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.
На рис. 93.1 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1,2 и т. д. обозначены частицы, отстоящие друг от друга на расстояние, равное т. е. на расстояние, проходимое волной за четверть периода колебаний, совершаемых частицами. В момент времени, принятый за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла частицы 1, вследствие чего частица начала смещаться из положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигает крайнего верхнего положения; одновременно начинает смещаться из положения равновесия частица 2.
По прошествии еще четверти периода первая частица будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая частица достигнет крайнего верхнего положения, а третья частица начнет смещаться вверх из Положения равновесия. В момент времени, равный Т, первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент. Волна к моменту времени Т, пройдя путь достигнет частицы 5,
На рис. 93.2 показано движение частиц при распространении 6 среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведения частиц в поперечной волие, могут быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и влево.
Из рисунка видно, что при распространении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц (места сгущения частиц обведены на рисунке пунктиром), перемещающиеся в направлении распространения волны со скоростью V.
На рис. 93.1 и 93.2 показаны колебания частиц, положения равновесия которых лежат на оси х. В действительности колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х, а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными. Волновой фронт все время перемещается.
Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне — множество концентрических сфер.
Рассмотрим случай, когда плоская волна распространяется вдоль оси х. Тогда все точки среды, положения равновесия которых имеют одинаковую координату х (но различные значения координат у и z), колеблются в одинаковой фазе.
На рис. 93.3 изображена кривая, которая дает смещение из положения равновесия точек с различными х в некоторый момент времени. Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны. На рисунке показан график функции для некоторого фиксированного момента времени t. С течением времени график перемещается вдоль оси х. Такой график можно строить как для продольной, так и для поперечной волны. В обоих случаях он выглядит одинаково.
Расстояние к, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны. Очевидно, что
где v — скорость волны, Т — период колебаний.
Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной (см. рис. 93.3).
Заменив в соотношении (93.1) Т через — частота колебаний), получим
Основными видами волн являются упругие (например, звуковые и сейсмические волны), волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны (в том числе световые и радиоволны). Характерная особенность волн состоит в том, что при их распространении происходит перенос энергии без переноса вещества. Рассмотрим вначале распространение волн в упругой среде.
Распространение волн в упругой среде
Колеблющееся тело, помещённое в упругую среду, будет увлекать за собой, и приводить в колебательное движение прилегающие к нему частицы среды. Последние, в свою очередь, будут воздействовать на соседние частицы. Ясно, что увлекаемые частицы будут отставать по фазе от тех частиц, которые их увлекают, так как передача колебаний от точки к точке всегда осуществляется с конечной скоростью.
Итак, колеблющееся тело, помещённое в упругую среду, является источником колебаний, распространяющихся от него во все стороны.
Процесс распространения колебаний в среде называется волной. Или упругой волной называется процесс распространения возмущения в упругой среде.
Волны бывают поперечными (колебания происходят в плоскости перпендикулярной направлению распространения волны). К ним относятся электромагнитные волны. Волны бывают продольными, когда направление колебаний совпадает с направлением распространения волны. Например, распространение звука в воздухе. Сжатие и разряжение частиц среды происходят в направлении распространения волны.
Волны могут иметь различную форму, могут быть регулярными и нерегулярными. Особое значение в теории волн имеет гармоническая волна, т.е. бесконечная волна, в которой изменение состояния среды происходит по закону синуса или косинуса.
Рассмотрим упругие гармонические волны. Для описания волнового процесса используется ряд параметров. Запишем определения некоторых из них. Возмущение, происшедшее в некоторой точке среды в некоторый момент времени, распространяется в упругой среде с определенной скоростью. Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства.
Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к некоторому моменту времени , называется фронтом волны или волновым фронтом.
Фронт волны отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью.
Волновых поверхностей может быть множество, волновой фронт в каждый момент времени один.
Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этом случае называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне – множество концентрических сфер.
Пусть плоская гармоническая волна распространяется со скоростью вдоль оси . Графически такая волна изображается в виде функции (дзета) для фиксированного момента времени и представляет собой зависимость смещения точек с различными значениями от положения равновесия. – это расстояние от источника колебаний , на котором находится, например, частица . Рисунок дает мгновенную картину распределения возмущений вдоль направления распространения волны. Расстояние , на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны.
где – скорость распространения волны.
Групповая скорость
Строго монохроматическая волна представляет собой бесконечную во времени и пространстве последовательность "горбов" и "впадин".
Фазовая скорость этой волны или (2)
С помощью такой волны нельзя передать сигнал, т.к. в любой точке волны все "горбы" одинаковы. Сигнал должен отличаться. Быть знаком (меткой) на волне. Но тогда волна уже не будет гармонической, и не будет описываться уравнением (1). Сигнал (импульс) можно представить согласно теореме Фурье в виде суперпозиции гармонических волн с частотами, заключёнными в некотором интервале Dw. Суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте,
называется волновым пакетом или группой волн.
Выражение для группы волн может быть записано следующим образом.
Значок w подчеркивает, что эти величины зависят от частоты.
Этот волновой пакет может быть суммой волн с мало отличающимися частотами. Там, где фазы волн совпадают, наблюдается усиление амплитуды, а там, где фазы противоположны, наблюдается гашение амплитуды (результат интерференции). Такая картина представлена на рисунке. Чтобы суперпозицию волн можно было считать группой волн необходимо выполнение следующего условия Dw 2 ωt.
Тогда среднее значение вектора Умова будет равно.
Интенсивность волны – среднее по времени значение плотности потока энергии, переносимой волной.
Звук
Звук – есть колебание упругой среды, воспринимаемые ухом человека.
Учение о звуке называется акустикой.
Физиологическое восприятие звука: громкий, тихий, высокий, низкий, приятный, противный – является отражением его физических характеристик. Гармоническое колебание определённой частоты воспринимается как музыкальный тон.
Частота звука соответствует высоте тона.
Ухо воспринимает диапазон частот от 16 Гц до 20000 Гц. При частотах меньше 16 Гц – инфразвук, а при частотах больше 20 кГц – ультразвук.
Несколько одновременных звуковых колебаний есть созвучие. Приятное - консонанс, неприятное – диссонанс. Большое число одновременно звучащих колебаний с разными частотами – шум.
Как мы уже знаем, под интенсивностью звука понимают среднее по времени значение плотности потока энергии, которую несёт с собой звуковая волна. Для того чтобы вызвать звуковое ощущение, волна должна обладать некоторой минимальной интенсивностью, которая называется порогом слышимости (кривая 1 на рисунке). Порог слышимости несколько различен для разных людей и сильно зависит от частоты звука. Наиболее чувствительно человеческое ухо к частотам от 1 кГц до 4 кГц. В этой области порог слышимости составляет в среднем 10 -12 Вт/м 2 . При других частотах порог слышимости лежит выше.
При интенсивностях порядка 1 ÷ 10 Вт/м 2 волна перестаёт восприниматься как звук, вызывая в ухе лишь ощущение боли и давления. Значение интенсивности, при котором это происходит, называется порогом болевого ощущения (кривая 2 на рисунке). Порог болевого ощущения, так же как и порог слышимости, зависит от частоты.
Таким образом, лежит почти 13 порядков. Поэтому ухо человека не чувствительно к малым изменениям силы звука. Для ощущения изменения громкости интенсивность звуковой волны должна изменяться не менее чем на 10 ÷ 20%. Поэтому в качестве характеристики интенсивности выбирают не саму силу звука, а следующую величину, которая называется уровнем силы звука (или уровнем громкости) и измеряется в белах. В честь американского электротехника А.Г. Белла (1847 – 1922), одного из изобретателей телефона.
I0 = 10 -12 Вт/м 2 – нулевой уровень (порог слышимости).
Т.е. 1 Б = 10·I0.
Пользуются и в 10 раз более мелкой единицей – децибел (дБ).
С помощью этой формулы может быть выражено в децибелах уменьшение интенсивности (затухания) волны на некотором пути. Например, затухание в 20 дБ означает, что интенсивность волны уменьшается в 100 раз.
Весь диапазон интенсивностей, при которых волна вызывает в человеческом ухе звуковое ощущение (от 10 -12 до 10 Вт/м 2 ), соответствует значениям громкости от 0 до 130 дБ.
| Звук | Уровень громкости, дБ |
| Тиканье часов | |
| Шепот на расстоянии 1 м | |
| Тихий разговор | |
| Речь средней громкости | |
| Громкая речь | |
| Крик | |
| Шум реактивного самолета на расстоянии 5 м | |
| Шум реактивного самолета на расстоянии 3 м |
Энергия, которую несут с собой звуковые волны, крайне мала. Например, чтобы нагреть стакан с водой от комнатной температуры до кипения звуковой волной с уровнем громкости 70 дБ (в этом случае в секунду водой будет поглощаться примерно 2·10 -7 Вт) потребуется время порядка десяти тысяч лет.
Ультразвуковые волны могут быть получены в виде направленных пучков, подобно пучкам света. Направленные ультразвуковые пучки нашли широкое применение в гидролокации. Идея была выдвинута французским физиком П. Ланжевеном (1872 – 1946) во время первой мировой войны (в 1916 году). Кстати, метод ультразвуковой локации позволяет летучей мыши хорошо ориентироваться при полёте в темноте.
Волновое уравнение
В области волновых процессов существуют уравнения, называемые волновыми, которые описывают все возможные волны, независимо от их конкретного вида. По смыслу волновое уравнение подобно основному уравнению динамики, которое описывает все возможные движения материальной точки. Уравнение любой конкретной волны является решением волнового уравнения. Получим его. Для этого продифференцируем дважды по t и по всем координатам уравнение плоской волны .
Сложим уравнения (2).
Заменим x в (3) из уравнения (*). Получим.
Учтём, что и получим.
Это и есть волновое уравнение. В этом уравнении – фазовая скорость, – оператор набла или оператор Лапласа.
Всякая функция, удовлетворяющая уравнению (4), описывает некоторую волну, причём корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при второй производной смещения от времени, даёт фазовую скорость волны.
Легко убедиться, что волновому уравнению удовлетворяют уравнения плоской и сферической волн, а также любое уравнение вида
Для плоской волны, распространяющейся в направлении , волновое уравнение имеет вид:
Это одномерное волновое уравнение второго порядка в частных производных, справедливое для однородных изотропных сред с пренебрежимо малым затуханием.
Электромагнитные волны
Рассматривая уравнения Максвелла, мы записали важный вывод о том, что переменное электрическое поле порождает магнитное, которое тоже оказывается переменным. В свою очередь переменное магнитное поле порождает переменное электрическое поле и т.д. Электромагнитное поле способно существовать самостоятельно – без электрических зарядов и токов. Изменение состояния этого поля имеет волновой характер. Поля такого рода называют электромагнитными волнами. Существование электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла.
Рассмотрим однородную нейтральную ( ) непроводящую ( ) среду, например, для простоты, вакуум. Для этой среды можно записать:
Если рассматривается любая иная однородная нейтральная непроводящая среда, то в записанные выше уравнения нужно добавить и .
Запишем дифференциальные уравнения Максвелла в общем виде.
Для рассматриваемой среды эти уравнения имеют вид:
Запишем эти уравнения следующим образом:
Любые волновые процессы должны описываться волновым уравнением, которое связывает вторые производные по времени и координатам. Из записанных выше уравнений путем несложных преобразований можно получить следующую пару уравнений:
Эти соотношения представляют собой идентичные волновые уравнения для полей и .
Вспомним, что в волновом уравнении ( ) множитель перед второй производной в правой части – это величина, обратная квадрату фазовой скорости волны. Следовательно, . Оказалось, что в вакууме эта скорость для электромагнитной волны равна скорости света.
Тогда волновые уравнения для полей и можно записать как
Эти уравнения указывают на то, что электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых в вакууме равна скорости света.
Математический анализ уравнений Максвелла позволяет сделать вывод о структуре электромагнитной волны, распространяющейся в однородной нейтральной непроводящей среде при отсутствии токов и свободных зарядов. В частности, можно сделать вывод о векторной структуре волны. Электромагнитная волна является строго поперечной волной в том смысле, что характеризующие ее векторы и перпендикулярны к вектору скорости волны , т.е. к направлению ее распространения. Векторы , и , в том порядке, в котором они записаны, образуют правовинтовую ортогональную тройку векторов. В природе существуют только правовинтовые электромагнитные волны, и не существует левовинтовых волн. В этом состоит одно из проявлений законов взаимного создания переменных магнитных и электрических полей.
Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы и всегда колеблются в одинаковых фазах, а мгновенные значения и в любой точке пространства связаны соотношением .
Рассмотрим для простоты вид и свойства одномерного волнового уравнения электромагнитной волны в однородной нейтральной непроводящей среде. Пусть электромагнитная волна будет строго монохроматической (волны и имеют одну и ту же частоту) и распространяется в направлении . Векторы и перпендикулярны направлению распространения волны, следовательно, их проекции на ось равны нулю. Волновые уравнения такой волны будут иметь вид:
Этим уравнениям удовлетворяют плоские линейно поляризованные монохроматические волны
Мгновенная картина электромагнитной волны в некоторый момент времени изображена на рисунке.
Индексы и означают, что векторы и направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей и . и соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны; - частота волны;
– волновое число; - начальные фазы колебаний в точках с координатой (колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят в одной фазе, так что в обоих уравнениях одинаково).
Оптический эффект Доплера
В акустике изменение частоты, обуславливающее эффект Доплера, определяется скоростями движения приёмника и источника относительно среды, являющейся носителем звуковых волн. Скорость звука определяется свойствами среды, а не скоростью источника.
Для световых волн также существует эффект Доплера, но здесь нет среды носителя электромагнитных волн. Доплеровское изменение частоты световых волн определяется только относительной скоростью источника и приёмника. Существует два оптических эффекта Доплера: продольный и поперечный. Рассмотрим продольный эффект Доплера.
Источник находится в системе K, а приёмник – в системе K'. Приёмник K' движется относительно источника K со скоростью v в направлении x.
Запишем уравнение плоской световой (электромагнитной) волны в системе K.
w – частота колебаний источника (предполагается, что свет распространяется в вакууме, т.е. с фазовой скоростью, равной c).
Согласно принципу относительности законы природы имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчёта. Следовательно, в системе K' волна будет описываться следующим уравнением.
w' – частота воспринимаемая приёмником.
Легко поставить штрихи, а необходимо найти связь между уравнениями.
От (1) к (2) можно перейти, воспользовавшись преобразованиями Лоренца.
Уравнение (3) описывает в системе K' ту же волну, что и уравнение (2). Поэтому можно записать.
Итак, если источник и приёмник удаляются друг от друга, то получается.
Если источник и приёмник движутся навстречу друг другу, то числитель и знаменатель меняются местами.
При удалении приёмника от источника v > 0, следовательно, n' n.
При v
Если колеблющаяся частица находится в среде, все молекулы которой связаны, то вслед за этой частицей начинают колебаться молекулы среды. Это имеет место во всех упругих средах – твердых телах, жидкостях и газах, за исключением разряженных газов.
Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной.
Примерами волновых процессов могут служить волны на поверхности волны, звуковые, сейсмические волны, электромагнитные волны и т.д.
1. частицы среды не переносятся волной, а лишь совершают колебания около положения равновесия,
2. при распространении волны происходит перенос энергии без переноса вещества.
В дальнейшем мы будем рассматривать только стационарные волны, пренебрегая их затуханием, т.е. предполагая, что в течение длительного времени энергия волны уменьшается незначительно.
Если колебание частиц происходит в направлении распространения волны (ось x), то волна называется продольной.
Если колебания частиц происходят в направлении, перпендикулярном к направлению распространения волны, то волна называется поперечной.
Является ли волна продольной или поперечной, зависит от упругих свойств среды. Поперечные волны связаны с деформацией сдвига упругой среды, продольные – с деформацией растяжения или сжатия.
Если при сдвиге одного слоя среды относительно другого в среде возникают упругие силы, то в этой среде могут распространяться поперечные волны. Если эти силы недостаточны, то в среде могут распространяться только продольные волны. Так, в твердых телах могут распространяться и продольные и поперечные волны, в жидкостях и газах – только продольные.
В общем случае ориентация колебаний относительно направления распространения волны может быть различной и беспорядочно меняться с течением времени. Если ориентация колебаний относительно направления распространения волны не меняется с течением времени, то говорят, что волна определенным образом поляризована.
Колебания в среде распространяются с некоторой скоростью . Приведем без вывода выражения для скорости распространения продольной волны:
и поперечной волны:
где E – модуль Юнга, G– модуль сдвига, r - плотность среды.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Упругая волна
Если тело находится в упругой среде, то колебательное движение деформирует эту среду. Из-за взаимодействия соседних частиц среды деформация передается от одних участков к другим. Это и есть волна . Например, волна на озере, если бросить камень: камень вызывает деформацию, которая распространяется в упругой среде - воде.
Волны могут быть поперечными и продольными. Представим распространение волн с помощью модели, в которой частицы среды представлена в виде совокупности шариков и пружинок.
В продольных волнах шарики испытывают смещение вдоль цепочки, а пружинки растягиваются или сжимаются. В жидкостях или газах деформация такого рода сопровождается уплотнением или разрежением. Такие волны могут распространятся в любых средах - твердых, жидких и газообразных.
Если один или несколько шариков сместятся в направлении, перпендикулярном цепочке, то возникает деформация сдвига. В результате вдоль цепочки побежит поперечная волна. Поперечные волны могут существовать только в твердых телах.
Характеристики волны
Длина волны - это расстояние между двумя ближайшими горбами или впадинами поперечной волны, или расстояние между двумя ближайшими сгущениями или разрежениями продольной волны.
Скорость волны - это скорость распространения колебаний.
Скорость распространения волны и длина волны зависят от среды, в которой они распространяются. Наибольшая скорость распространения волн в твердых телах, наименьшая - в газах.
Волны, наблюдаемые в природе, нередко переносят огромную энергию и являются причиной разрушений. Например, морские волны, а особенно цунами, обладают большой мощностью. Сейсмические волны распространяются в земной коре при землетрясениях или мощных взрывах.
При землетрясениях происходят сдвиги земной коры, достигающие 10-15м. Предотвратить землетрясение невозможно, но их можно предсказать при помощи специального прибора - сейсмографа . Основная часть прибора - маятник, начинающий колебаться при появлении сейсмических волн.
Читайте также: