Распределение максвелла больцмана реферат

Обновлено: 07.07.2024

Название работы: Распределения Максвелла и Больцмана. Явления переноса

Предметная область: Физика

Описание: Распределения Максвелла и Больцмана. Явления переноса План лекции: Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Характерные скорости молекул. Распределение Больцмана. Средняя длина свободного пробега молекул. Явления.

Дата добавления: 2012-10-29

Размер файла: 377.5 KB

Работу скачали: 71 чел.

Распределения Максвелла и Больцмана. Явления переноса

Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Характерные скорости молекул.
Распределение Больцмана.
Средняя длина свободного пробега молекул.
Явления переноса:

б).внутреннее трение (вязкость);

Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Характерные скорости молекул.

Молекулы газа движутся хаотически и в результате столкновений скорости их меняются по величине и направлению  в газе имеются молекулы как с очень большими, так и с очень малыми скоростями. Можно поставить вопрос о числе молекул, скорости которых лежат в интервале от и для газа в состоянии термодинамического равновесия в отсутствии внешних силовых полей. В этом случае устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям , которое подчиняется статистическому закону , теоретически выведенному Максвеллом.

Чем больше общее число молекул N, тем большее число молекул  N будет обладать скоростями в интервале от и ;чем больше интервал скоростей , тем у большего числа молекул значение скоростей будет лежать в указанном интервале.

Введем коэффициент пропорциональности f(  .

где f(  называется функцией распределения, которая зависит от скорости молекул и характеризует распределение молекул по скоростям.

Если вид функции известен, можно найти число молекул , скорости которых лежат в интервале от до .

С помощью методов теории вероятности и законов статистики Максвелл в 1860г. теоретически получил формулу, определяющую число молекул , обладающих скоростями в интервале от до .

- распределение Максвелла показывает, какая доля общего числа молекул данного газа обладает скоростями в интервале от до .

Из уравнений  и  следует вид функции 

функция распределения молекул идеального газа по скоростям.

Из (3) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы m 0 ) и температуры.

Наиболее часто закон распределения молекул по скоростям записывают в виде:

График функции асимметричен (рис. 1). Положение максимума характеризует наиболее часто встречающуюся скорость, которая называется наиболее вероятной. Скорости, превышающие  в , встречаются чаще, чем меньшие скорости.

- доля общего числа молекул, обладающих скоростями в этом интервале.

С повышением температуры максимум распределения сдвигается в сторону больших скоростей, а кривая становится более пологой, однако площадь под кривой не изменяется, т.к. S общ. = 1 .

Наиболее вероятной называют скорость, близкой к которой оказываются скорости большинства молекул данного газа.

Для её определения исследуем на максимум.

Ранее было показано, что

В МКТ используют также понятие средней арифметической скорости поступательного движения молекул идеального газа.

- равна отношению суммы модулей скоростей всех молекул к

Из сравнения видно (рис.2), что наименьшей является  в .

Два фактора - тепловое движение молекул и наличие поле тяготения Земли приводят газ в состояние, при котором его концентрация и давление убывают с высотой.

Если бы не было теплового движения молекул атмосферного воздуха, то все они сосредоточились бы у поверхности Земли. Если бы не было тяготения, то частицы атмосферы рассеялись бы по всей Вселенной. Найдем закон изменения давления с высотой.

Давление столба газа определяется формулой.

Поскольку с увеличением высоты давление уменьшается,

где  плотность газа на высоте h .

Найдем p из уравнения Менделеева- Клапейрона

Проведем расчет для изотермической атмосферы, считая, что Т= const (не зависит от высоты).

- барометрическая формула, определяет давление газа на любой высоте.

Получим выражение для концентрации молекул на любой высоте.

где - потенциальная энергия молекулы на высоте h .

распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле.

Следовательно, распределение молекул по высоте есть их распределение по энергиям. Больцман доказал, что это распределение справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Из распределения Больцмана следует, что молекулы располагаются с большей концентрацией там, где их потенциальная энергия меньше.

Распределение Больцмана - распределение частиц в потенциальном силовом поле.

Вследствие хаотического теплового движения молекулы газа непрерывно сталкиваются друг с другом, проходят сложный зигзагообразный путь. Между 2-мя столкновениями молекулы движутся равномерно прямолинейно.

Минимальное расстояние, на которое сближаются центры 2-х молекул при соударении, называется эффективным диаметром молекулы d (рис. 4).

Величина называется эффективным сечением молекулы.

Найдем среднее число столкновений молекулы однородного газа в единицу времени. Столкновение произойдёт, если центры молекул сблизятся на расстояние, меньшее или равное d . Предполагаем, что молекула движется со скоростью , а остальные молекулы покоятся. Тогда число столкновений определяется числом молекул, центры которых находятся в объёме, представляющем собой цилиндр с основанием и высотой, равной пути, пройденном молекулой за 1с, т.е. .

В действительности все молекулы движутся, и возможность столкновения 2-х молекул определяет их относительная скорость. Можно показать, что если для скоростей молекул принято распределение Максвелла, .

Для большинства газов при нормальных условиях

Средняя длина свободного пробега - это среднее расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными соударениями. Оно равно отношению пройденного за время  t пути к числу соударений за это время:

Для большинства газов при нормальных условиях .

обратно пропорциональна концентрации молекул.

При T = const , обратно пропорциональна давлению.

В термодинамических неравновесных системах возникают особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит пространственный перенос массы, количества движения, энергии. К явлениям переноса относятся диффузия, внутреннее трение, теплопроводность. В основе всех 3-х процессов лежит один механизм - хаотическое движение и перемешивание молекул, поэтому их закономерности должны быть похожи, а количественные характеристики тесно связаны друг с другом.

Нарушение равновесия приводит к возникновению пространственной неоднородности какой-либо физической величины (плотности, температуры, скорости упорядоченного движения слоёв).

Движение молекул выравнивает эти неоднородности. Каждая молекула обладает массой , импульсом , энергией .

Явление переноса в газах и жидкостях состоят в том, что в этих веществах возникает упорядоченный, направленный перенос массы (диффузия), импульса (внутреннее трение), внутренней энергии (теплопроводность). При этом в газах нарушается полная хаотичность движения молекул и максвелловское распределение молекул по скоростям.

а). Диффузией называется самопроизвольное взаимное проникновение и перемещение молекул двух соприкасающихся газов, жидкостей или твердых тел.

Рассмотрим это явление вначале с макроскопической точки зрения, а затем с позиции МКТ.

1)  S  оси ОХ (рис.6). Пусть в 2-х точках, отстоящих друг от друга на  х , плотность отличается на  .

Согласно закону Фика, установленному экспериментально, масса газа  , переносимая за время  t через площадку  S, прямо пропорциональна величине этой площадки, времени  t и градиенту плотности

где - плотность газа, - градиент плотности, т.е. изменение плотности на единице длины в направлении наиболее быстрого её возрастания, D - коэффициент диффузии.

Градиент (от лат gradiens - шагающий) - мера измерения какой-либо физической величины при перемещении на единицу длины в направлении наиболее быстрого её возрастания. Если отношение непостоянно, его следует заменить производную . Знак “-” показывает, что перенос массы осуществляется в направлении убывания плотности.

Согласно кинетической теории газов .

Коэффициент D - численно равен массе вещества, переносимого в единицу времени через единицу поверхности при градиенте плотности, равном единице. Величина D зависит от вида газа и условий, при которых он находится.

2) Рассмотрим явление диффузии с точки зрения МКТ.

Для простоты рассмотрим два одинаковых взаимно проникающих газа, т.е. массы молекул одинаковы. При одинаковых условиях у таких молекул одинаковы и . Плоскость, которой принадлежит площадка  S , делит систему газов на две области: I и II (рис.7).

Ввиду хаотичности движения молекул считаем, что 1/3 их движется вдоль ОХ, а к площадке  S - 1/6 от общего числа молекул. За время  t через  S из I в II перейдут N 1 молекул:

а в обратном направлении

Уточним, к каким точкам областей I и II следует отнести концентрации молекул n 1 и n 1 . Через  S проходят молекулы только из того места, где они испытали последнее столкновение, т.е. с расстояния, равного .

Определим разность между числом молекул N 1 и N 2 , проходящих через  S за  t в обоих направлениях:

- масса газа, перешедшая через  S за  t

(4) и (5) совпадают, если положить .

При нормальных условиях .

Т.к. то (т.к. не зависит от р ) - в разреженных газах диффузия идет быстрее.

б). Внутреннее трение в газах (вязкость).

Вязкостью газов (жидкостей) называется их свойство оказывать сопротивление перемещению одних слоев относительно других. Явление вязкости связано с возникновением сил трения между слоями газа, перемещающимися параллельно друг другу с различными скоростями. Со стороны более быстрого слоя на медленный действует ускоряющая сила , а со стороны медленного задерживающая (рис. 8). Силы трения направлены по касательной к поверхности слоев и определяются эмпирической формулой 

где  - динамическая вязкость, - градиент скорости,  S - площадь слоя.

Формула (6) определяет модуль двух противоположно направленных сил и , с которыми слои действуют друг на друга, поэтому отношение тоже берем по модулю.

Коэффициент  численно равен силе внутреннего трения, действующей на единицу площади поверхности раздела параллельно движущимся слоям при градиенте скорости равном 1.

У газов с ростом температуры динамическая вязкость  растёт.

МКТ объясняет вязкость переносом импульса молекул от одного слоя другому.

Выделим в газе два слоя, движущиеся с и (рис. 9). Каждая молекула одновременно участвует в двух движениях 

Скорость одинакова для всех молекул данного слоя и различна для разных слоёв. Вследствие теплового движения молекулы переходят из слоя в слой. За время  t через площадку  S в обоих направлениях перейдёт одинаковое количество молекул:

Попав в другой слой при соударении, молекула отдаёт или приобретает избыток импульса, в результате импульс быстро движущегося слоя убывает, а медленного - возрастает.

Молекулы, перешедшие из 1-го слоя во 2-й за  t перенесут через  S импульс , из 2-го в 1-й - :

В результате через площадку  S за  t перенесен импульс

Каждая молекула, пересекая  S, переносит импульс, полученный в момент её последнего соударения с другой молекулой, происшедшего на расстоянии от  S , т.е. наименьшее расстояние, на котором возможно возникновение градиента скорости между слоями, .

Знак  минус  указывает, что импульс передается в направлении убывания скорости.

Из сравнения (6) и (7) следует, что

Большое значение имеет знание вязкости газов и жидкостей в военной технике - гидравлические амортизаторы, насосы, трубопроводы, движение летательных аппаратов в атмосфере.

в) Теплопроводность газов.

Явление теплопроводности возникает, если различные слои газа имеют разную температуру, т.е. обладают разной внутренней энергией. С макроскопической точки зрения явление теплопроводности состоит в переносе количества теплоты от более нагретого тела к менее нагретому.

Согласно эмпирическому закону Фурье

Количество теплоты , переносимое за время  t через площадь  S , пропорционально градиенту температуры , площади  S и времени  t .

Знак  минус  указывает на то, что тепло переносится в сторону убывания температуры.

Коэффициент теплопроводности  - физическая величина, численно равная количеству теплоты, переносимой за единицу времени через единицу площади при градиенте температуры, равном единице.

С точки зрения МКТ перенос количества теплоты означает перенос через площадку  S некоторого количества кинетической энергии беспорядочного движения молекул.

Статистический закон Максвелла, функция распределения молекул по скоростям. Изменение кривой распределения молекул по скоростям с повышением температуры. Распределение Больцмана, среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул.

Рубрика	Физика и энергетика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	10.09.2015
Размер файла	128,3 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Закон Максвелла о распределении молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения

Молекулы газа совершают хаотическое движение. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы изменяется как по модулю, так и по направлению. Однако из-за хаотического движения молекул все направления движения молекул являются равновероятными, т.е. в любом направлении в среднем движется одинаковое число молекул. Дж. Максвелл теоретически вывел статистический закон, согласно которому в газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям.

Закон Максвелла описывается некоторой функцией f() , называемой функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные d, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(), имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция f() определяет относительное число молекул , скорости которых лежат в интервале от до +d , т.е.

Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию f() - закон распределения молекул идеального газа по скоростям:

Число молекул, скорости которых заключены в пределах от до +d ,

Рисунок 5 - График функции распределения молекул по скоростям

Относительное число молекул , скорости которых лежат в интервале от до +d , находится как площадь заштрихованной полосы на рис.5.

Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью:

где -- масса одной молекулы, -- молярная масса.

При повышении температуры максимум функции распределения сместится вправо (значение наиболее вероятной скорости становится больше) (см.рис.6). Однако площадь, ограниченная кривой остается неизменной, поэтому при повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться.

Средняя скорость молекулы (средняя арифметическая скорость) определяется по формуле:

Рисунок 6 - Изменение кривой распределения молекул по скоростям с повышением температуры

Исходя из распределения молекул по скоростям можно найти распределение молекул по значениям кинетической энергии. Т.к. кинетическая энергия:

то, выразив отсюда скорость , и подставив ее в (10) , получим:

Выражение (14) - функция распределения молекул по энергиям теплового движения.

Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа:

Барометрическая формула. Распределение Больцмана

Барометрическая формула (16) позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, найти высоту.

где р -- давление газа; -- масса частицы; М -- молярная масса; -- координата (высота) точки по отношению к уровню, принятому за нулевой; р₀ -- давление на этом уровне; -- ускорение свободного падения; -- молярная газовая постоянная.

Из (16) следует, что давление с высотой убывает тем быстрее, чем тяжелее газ.

Подставив выражение (3) в (16), получим распределение Больцмана:

где - потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т.е.

где n -- концентрация частиц; -- их потенциальная энергия; n₀ -- концентрация частиц в точках поля, где =0; -- постоянная Больцмана; T -- термодинамическая температура.

Из распределения Больцмана следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул. Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана (18) справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул

максвелл температура больцман молекул

Молекулы газа, совершая хаотическое движение, непрерывно сталкиваются друг с другом.

Длина свободного пути - это путь, который проходят молекулы между двумя последовательными столкновениями. В общем случае длина пути между последовательными столкновениями различна, но так как движущихся молекул огромное количество, можно говорить о средней длине свободного пробега молекул:

где - средняя длина свободного пробега молекул, - средняя арифметическая скорость молекул, - среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа за 1с.

Эффективный диаметр молекулы - минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул (см.рис.7). Он зависит от скорости сталкивающихся молекул, т.е. от температуры газа.

Рисунок 7 - Эффективный диаметр молекулы

Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени:

где -- эффективный диаметр молекулы; -- концентрация молекул; -- средняя арифметическая скорость молекул.

Средняя длина свободного пробега молекул газа:

Подобные документы

Скорости газовых молекул. Обзор опыта Штерна. Вероятность события. Понятие о распределении молекул газа по скоростям. Закон распределения Максвелла-Больцмана. Исследование зависимости функции распределения Максвелла от массы молекул и температуры газа.

презентация [1,2 M], добавлен 27.10.2013

Скорости газовых молекул. Понятие о распределении молекул газа по скоростям. Функция распределения Максвелла. Расчет среднеквадратичной скорости. Математическое определение вероятности. Распределение молекул идеального газа. Абсолютное значение скорости.

презентация [1,1 M], добавлен 13.02.2016

Равновесное состояние идеального газа. Краткая характеристика главных особенностей распределения Максвелла. Барометрическая формула, распределение Больцмана. Микро- и нанозагрязнения. Понятие о термодинамическом равновесии. Внутренняя энергия системы.

презентация [106,8 K], добавлен 29.09.2013

Критерий применимости классического приближения. Каноническое распределение и статистические интегралы. Распределения Максвелла и Максвелла – Больцмана для идеального классического газа. Статистический интеграл.

лекция [109,3 K], добавлен 26.07.2007

Распределение Максвелла, по вектору. Функция распределения вероятностей. Вычисление средних значений. Наиболее вероятная скорость. Заданный интервал скоростей. Барометрическая формула. Плотность вероятности скоростей молекул для благородных газов.

Введение…………………………………………………………………………..…. 3
1. Статистическая модель идеального газа. Закон Максвелла…………….……….5
2. Барометрическая формула. Распределение Больцмана …………………..……..8
3. Заключение……………………………………………………….………………..12
Список использованной литературы……………………………………………. 13

1. Молекулы газа подчиняются законам классической механики.
2. Молекулы газа обладают индивидуальностью, позволяющей отличать
их друг от друга. Поэтому, когда две молекулы, находящиеся в разных
состояниях меняют местами, это приводит к новому распределению их по
состояниям (новому микросостоянию).
3. Предполагается, что все способы распределения равновероятны.
1. Статистическая модель идеального газа. Закон

Изложим качественно некоторые представления статистической физики на
примере идеального газа. Хотя большинство предположений могут и не
использоваться при анализе термодинамики идеального газа, но во-первых, эти
предположения актуальны при рассмотрении более сложных случаев, а во-
вторых, использовав общего статистического описания позволяет всецело
определить идеальный газ, включая его энтропию, и все необходимые
распределения (по скоростям или флюктуации средних величин).
Существуют два основных метода для описания распределений в
статистической физике. Одно, это распределение Гиббса (или большое
каноническое распределение) и второе, это распределение Максвелла-Больцмана
(или микроканоническое распределение). Несмотря на то, что распределение
Гиббса в некотором смысле более общее, наглядно представлять легче второй
тип, то есть микроканоническое распределение. Поэтому начнем со второго.
Прежде чем перейти к описанию распределений, отметим общую черту
(точнее, основной принцип) для обоих типов. Этот принцип состоит в том, что
вероятность системы (или объекта) находиться в состоянии i (что это за объекты
и состояния - зависит от типа распределения) пропорциональна E i - энергии
этого состояния газа [3].
Можно сказать, что ситуация подобна случайному размещению книг на
стеллажах сложной формы. Каждое место, куда книга может быть поставлена,
это состояние i, а высота полки, на которой мы ищем книгу - это ее энергия.
Тогда для каждой книги можно сопоставить "температуру", характеризующую
то, как часто эту книгу брали и ставили на место. А вероятность найти книгу на
высоких полках (при умеренных "температурах") существенно меньше, чем на
самых высоких. При этом форма стелажа и количество мест на каждой полке
может быть очень разным - именно это характеризует конкретную систему.
Вернемся к микроканоническому распределению и опишем "стелажи". В
начале, не будем вспоминать о квантовых эффектах, так сказать, чисто
классическое описание. В основе лежит представление о фазовом пространстве
или его еще называют m- пространством для одной частицы. Если рассматривать
частицу из идеального газа, ее фазовое пространство 6-мерное, и состоит из 3-х
координатных и 3-х импульсных осей. Частица, в общем случае, может занимать
любое положение в этом пространстве, ограниченное по координатным осям
размерами системы. Поскольку мы не предполагаем никаких внешних сил (сил
тяжести, магнитных полей и т.п.), то энергия частицы не зависит от положения в
пространстве, и вероятности всех доступных положений в пространственных
координатах одинаковы. Тем самым мы способны нарисовать оси импульсов из
фазового пространства, и оперировать с ними в дальнейшем. Энергия частицы
определяется квадратом импульса и массой, то есть в пространстве импульсов
все сферические "стеллажи" имеют одинаковые энергии (находятся на
одинаковой "высоте"). Однако объемы этих стеллажей не одинаковы - они
пропорциональны объемам шаровых слоев со средним радиусом p. Все
положения внутри этого слоя равновероятны, так что если мы интересуемся
распределение по импульсам (тоже, что по энергиям), то получим, что
вероятность w(p) равна [2]

В этой формуле начальная константа имеет смысл нормировки плотности
вероятности. Эту формулу легко переписать в виде распределения скоростей
частиц, то есть хорошо известное распределение Максвелла для скоростей частиц в идеальном
газе. Легко понять, что можно использовать это полученное распределение для
вывода макроскопического давления, в механическом смысле. Единственное,
что для этого нужно, это убедиться, что средняя энергия частиц остается равной
3kT/2.

2. Барометрическая формула. Распределение Больцмана
Под идеальным газом будем понимать газ, между частицами которого
взаимодействие настолько мало, что им можно пренебречь. Это предположение
может быть обеспечено малостью взаимодействия частиц при любых
расстояниях между ними, либо при достаточной разрежённости газа. Отсутствие
взаимодействия между молекулами позволяет свести задачу об определении
уровней энергии всего газа в целом к определению уровней энергии отдельной
молекулы [4].
Рассмотрим систему, состоящую из одинаковых частиц и находящуюся в
термодинамическом равновесии. Вследствие теплового движения и
межмолекулярных взаимодействий энергия каждой из частиц (при неизменной
общей энергии системы) с течением времени меняется, отдельные же акты
изменения энергии молекул — случайные события . Для описания свойств
системы предполагается, что энергия каждой из частиц через случайные
взаимодействия может изменяться. Для описания распределения частиц по
энергиям рассмотрим ось координат, на которой будем откладывать значения
энергии частиц, и разобьем ее на интервалы (рис. 1). Точки этой оси
соответствуют различным возможным значениям энергии молекул . В пределах
каждого интервала энергия меняется. Мысленно зафиксируем для данного
момента времени распределение всех частиц по энергиям. Фиксированное
состояние системы будет характеризоваться определенным расположением
точек на оси энергий. Пусть эти точки чем-либо выделяются, например
свечением. Тогда совокупностью темных точек, а их будет большинство, на оси
энергии определятся только возможные, но не реализовавшиеся энергетические
состояния молекул. Вслед за фиксированным моментом времени энергия
молекул из-за случайных взаимодействий будет меняться: число изображающих
точек останется то же, но их положения на оси изменятся.

Рис. 1. Разбиение энергии частиц на интервалы

В таком мысленном эксперименте изображающие точки скачками и очень
часто будут менять свое место на оси энергии. Фиксируя их через определенные
промежутки времени, наблюдатель пришел бы к следующему заключению: при
термодинамическом равновесии число изображающих точек на каждом из
выделенных участков энергии остается с достаточной точностью одинаковым.
Числа же заполнений энергетических интервалов зависят от их положения на
выбранной оси. Пусть все выделенные энергетические интервалы
пронумерованы. Тогда на интервал с энергией придется среднее число частиц.
Число частиц системы и их общая (внутренняя) энергия определяются
суммированием по всем энергетическим интервалам.
Естественно предположить, что при данной температуре вероятность есть
функция энергии молекул (зависит от положения интервала на оси энергии). В
общем случае указанная вероятность зависит также от температуры. Отыскание
зависимости является одной из основных задач статистической физики .
Функция называется функцией распределения частиц по энергиям.
Согласно распределению Больцмана среднее число частиц с полной энергией
равно [2]

где — кратность состояния частицы с энергией — число возможных
состояний частицы с энергией . Постоянная находится из условия, что сумма
по всем возможным значениям равна заданному полному числу частиц в
системе (условие нормировки).
Для любой системы, находящейся в равновесии и подчиняющейся законам
классической статистики, число молекул, обладающих энергией
пропорционально экспоненциальному множителю
Величина называется статистической суммой. Таким образом, вероятность
распределения частиц по их полной энергии определяется произведением
величин каждое из которых согласно закону умножения вероятностей следует
трактовать как вероятность распределения по одной из слагаемых энергии
Вывод можно сформулировать так: при термодинамическом равновесии
распределения частиц по слагаемым энергии являются статистически
независимыми и выражаются формулами Больцмана.
На основе сделанного вывода можно расчленить сложную картину
движения и взаимодействия молекул и рассматривать ее по частям, выделяя
отдельные составляющие энергии. Так, при наличии гравитационного поля
можно рассматривать распределение частиц в этом поле независимо от их
распределения по кинетической энергии . Точно так же можно независимо
исследовать вращательное движение сложных молекул и колебательное
движение их атомов.
Формула Больцмана является основой так называемой классической
статистической физики , в которой считается, что энергия частиц может
принимать непрерывный ряд значений. Оказывается, что
поступательное движение молекул газов и жидкостей , за исключением молекул
жидкого гелия, достаточно точно описывается классической статистикой вплоть
до температур, близких к 1 К. Некоторые свойства твердых тел при достаточно
высоких температурах также поддаются анализу с помощью формул Больцмана.
Классические распределения являются частными случаями более общих
квантовых статистических закономерностей. Применимость формул Больцмана
в такой же мере ограничена квантовыми явлениями, как и применимость
классической механики к явлениям микромира [1].
В основе больцмановской статистики лежит предположение о том, что
изменение энергии молекулы является случайным событием и что попадание
молекулы в тот или иной энергетический интервал не зависит от заполнения
интервала другими частицами. Соответственно формулы Больцмана можно
применять только к решению таких задач, для которых выполняется указанное
условие.

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории
молекулам задавали различные скорости. В результате многократных
соударений скорость каждой молекулы изменяется по модулю и направлению.
Однако из-за хаотического движения молекул все направления движения
являются равновероятными, т. е. в любом направлении в среднем движется
одинаковое число молекул.
По молекулярно-кинетической теории, как бы ни изменялись скорости
молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул массой то в
газе, находящемся в состоянии равновесия при Т = const, остается постоянной.
Это объясняется тем, что в газе, находящемся в состоянии равновесия,
устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем
распределение молекул по скоростям, которое подчиняется вполне
определенному статистическому закону. Этот закон теоретически выведен Дж.
Максвеллом.

Список использованной литературы

1. Статистическая физика/ Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Ч. 1. – М. Наука, 1976. –
584 с., с. 420-423.
2. Р. Кубо. Статистическая механика. М.: Мир, 1967. - 452 с., с. 315-318.
3. Исихара А., Статистическая физика, пер. с англ., М., 1973; - 471 с., с. 275-382.
4. Румер Ю. Б., Рывкин М. Ш., Термодинамика. Статистическая физика и
кинетика, 2 изд., М., 1977; - 553 с., с. 155-165.

В настоящее время не вызывают сомнений утверждения, лежащие в основе молекулярно-кинетической теории:

1. Все тела состоят из относительно устойчивых частиц (молекул и атомов);

2. Молекулы находятся в постоянном хаотическом движении;

3. Молекулы взаимодействуют друг с другом.

Эти утверждения носят настолько общий характер, что невозможно указать небольшой набор каких-либо конкретных экспериментов, полностью их доказывающих.

В пользу первого положения прежде всего свидетельствуют сами факты существования таких разделов естествознания, как химия и молекулярная физика, в которых на оснолве гипотезы о молекулярном строении вещества делается множество конкретных выводов, прекрасно согласующихся с экспериментом. В физике имеется множество косвенных методов, позволяющих определять форму, размеры и расположение молекул, данные этих методов согласуются друг с другом. Созданный сравнительно недавно туннельный микроскоп позволяет визуализовать отдельные атомы и молекулы, расположенные на гладкой поверхности проводящего кристалла.

Предположение о хаотическом движении молекул впервые было высказано ботаником Броуном, наблюдавшим незначительные перемещения частичек пыльцы цветка, помещенных в жидкость. Методами своей науки Броун убедился в ошибочности своего исходного предположения, что частицы пыльцы являются живыми существами, обладающими способностью самостоятельного движения, и отнес причину их случайных блужданий к передаче импульса в результате случайных ударов со стороны хаотически перемещающихся молекул. Движением молекул объясняется явления диффузии (постепенного перемешивания различающихся веществ вблизи границы их соприкосновения), теплопередачи (постепенное выравнивание температур при соприкосновении горячих и холодных тел), распространения звука и др. В опыте Штерна была осуществлена непосредственная демонсрация движения молекул горячих паров металла и получена информация о скоростях этого движения.

Наличием взаимодействия молекул объясняется факт возможности существования вещества в различных агрегатных состояниях. Природа сил, возникающих между молекулами - электрическая. На больших расстояниях полярные молекулы притягиваются друг к другу как электрические диполи, на малых - притяжения сменяется отталкиванием близкорасположенных ядер (рис. 7_1). Как видно, существует два значения межмолекулярных расстояний, при которых любая пара молекул будет находиться в равновесии: Ro и бесконечность. В природе реализуются оба типа равновесных состояний. Первое относится к конденсированным состояниям вещества (т.е. жидкостям и твердым телам; различие между ними состоит в наличии кристаллической решетки у последних), второе - к газообразным состояниям. Очевидно, что при изменении объемов, занимаемых конденсированным веществом, неизбежно возникновение больших внутренних сил, обусловленных взаимодействиями между молекулами. Возрастание давления газов при изменении объема связано не с наличием сил взаимодействия между его молекулами, а с увеличением частоты ударов молекул о стенки сосуда.

Основные подходы к описанию макроскопических порций вещества. Поскольку вещество состоит из частиц - молекул, возникает очевидное желание получить описание его свойств в результате решения динамической задачи о движении всех частиц. Как уже отмечалось, адекватное описание движения микроскопических частиц возможно лишь на языке вантовой механики. Однако в случаях, когда частицы оказываются почти свободными, описывающие их уравнения квантовой механики переходят в законы движения ньютона. Т.о. возникает принципиальная возможность получить правильное описание поведения вещества в газообразной форме, используя подходы классической физики. Реально подобная динамическая задача не может быть решена из-за фантастически большого числа частиц, образующих макроскопические порции вещества (например, в 1кг молекулярного водорода число молекул составляет , т.е. настолько огромно, что одна только проблема записи результатов расчета всех координат оказывается заведомо невыполнимой).

Более плодотворным оказался феноменологический подход к созданию теории вещества, состоящий в введении новых термодинамических характеристик, удобных для описания макроскопических ансамблей (массы, давления, температуры, объема и энтропии), и экспериментального исследования связей между ними. Основным результатом такого подхода была формулировка уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клайперона):

(1)

и уравнений теплового баланса, долгое время вполне удовлетворявших практическим потребностям теплофизики.

Несмотря на успехи, описанный подход не мог считаться удовлетворительным, поскольку не соответствовал принципу экономии мышления и содержал новые величины и понятия, никак не связанные с уже имевшимися в фундаментальных теориях. В результате был разработан статистический подход, являющийся своеобразным компромиссом между двумя рассмотренными. В его рамках ставится задача вычисления не набора динамических переменных всех частиц системы, а их средних значений. Эти средние сказываются тесно связанными с термодинамическими характеристиками вещества. Т.о. статистический подход позволяет установить более глубокий физический смысл феноменологически введенных термодинамических величин и объяснить природу связывающих их закономерностей.

Распределение Максвелла.

Первым удачным опытом реализации статистического подхода в теории вещества было решение задачи о распределении по скоростям молекул идеального газа (газа, расстояния между молекулами которого значительно превышают размеры молекул, и в котором притяжение молекул играет существенно меньшую роль, чем межмолекулярное отталкивание). Исходными предпосылками, позволившими решить задачу, были:

1.) Газ находится в состоянии термодинамического равновесия (т.е. его макроскопические параметры и средние значения микроскопических параметров не изменяются во времени).

2.) Все столкновения молекул происходят по законам упругого удара (т.е. при каждом столкновении выполняются законы сохранения импульса и механической энергии).

3.) Пространство, заполненное газом, является однородным и изотропным (это требование, например, предполагает отсутствие силы тяжести и каких-либо других внешних силовых полей).

4.) Молекулы обладают тремя степенями свободы (т.е. не способны вращаться и совершать колебаний).

5.) Движение молекул происходит независимо вдоль каждой из координатных осей.

Перечисленные допущения позволили чисто математически (без каких-либо дополнительных физических требований) рассчитать функцию распределения молекул по скоростям f(v), с помощью которой вероятность обнаружения молекулы, составляющие вектора скорости которой лежат в интервалах

(1) ,

вычисляется по формуле:

(2) .

Найденное Максвеллом распределение имело вид:

(3) .

Соответствующие графики при различных абсолютных температурах приведены на рис. 7_1, из которых видно, что при любых температурах наибольшая вероятность соответствует скоростям молекул, лежащим в области нуля. Увеличение температуры вызывает лишь относительное увеличение доли быстрых молекул. При T->0 распределение локализуется в раионе точки v=0, что означает исчезновение теплового движения молекул.

Из полученного Максвеллом распределения (3) непосредственно следуют выражения, связывающие термодинамические величины (температуру и давление) с механическими (кинетическая энергия и концентрация частиц):

(4) ,

(5) .

Из уравнений молекулярно-кинетической теории (4) и (5), в свою очередь, следует уравнение состояния идеального газа (1) и объясняются все имперически - найденные газовые законы (например, увеличение давления при нагревании происходит из-за того, что появившаяся группа более быстрых молекул чаще ударяет о стенки сосуда и передает им при каждом ударе больший импульс).

Разработанный Максвеллом подход позволил не только объяснить уже известные законы поведения газа, но и обобщить их на случаи, не описываемые уравнением состояния (1) (поведение газа в силовом поле и при концентрациях, когда приближение идеального газа становится неприменимым).

Распределение Больцмана является естественным обобщением (3) на случай газа, находящегося под действием внешних сил. При их отсутствии (и, следовательно, равной нулю потенциальной энергии) экспоненциальный множитель содержал отношение кинетической и средней тепловой энергий. Учет наличия сил, очевидно, может быть осуществлен заменой (3) на

(6) .

Так, поскольку вблизи поверхности Земли потенциальная энергия молекулы с массо m равна U=mgh, из (6) следует, что вероятность найти молекулу на определенной высоте (а вместе с ней и плотность и давление газа) уменьшается по экспоненциальному закону:

(7)

тем быстрее, чем больше масса молекул газа (рис. 7_2). На этом свойстве основаны многочисленные методы разделения смесей веществ с различными молекулярными весами (отстаивание и центрифугирование).

Нестабильность атмосфер планет. Предсказываемый формулой (7) экспоненциально-быстрый спад до 0 концентрации газа на больших высотах (сравнимых с радиусом планеты) оказывается ошибочным из-за того, что в указанной области приближеной выражение для потенциальной энергии U=mgh становится неприменимым. Подстановка точного выражения

(8)

в (7) показывает, что даже при бесконечно-большом удалении от планеты концентрация газа не должна падать до нуля. Физически это означает, что газ из атмосфер планет должен перетекать в открытый космос до тех пор, пока там не установится конечное давление. Учитывая колоссальное различие объемов пустого космического пространства и атмосфер планет, из сказанного легко понять, что равновесные атмосферы у шарообразных космических тел невозможны. Скорость потери планетой ее атмосферы сильно зависит от ее температуры и массы: в космос улетают лишь те молекулы, чья скорость превосходит вторую космическую. Как видно из распределения Максвелла, вероятность обнаружить быструю молекулу весьма быстро спадает с увеличением скорости. Поэтому более массивные планеты (Земля, Венера) теряют свою атмосферу значительно медленнее, чем легкие (Марс, Луна).

Молекулярно-кинетическая теория и “первое начало термодинамики”.

Молекулярно-кинетическая теория позволила дать простое объяснение так называемому первому началу термодинамики. Этот весьма общий закон первоначально был сформулирован в результате обобщения опыта многочисленных неудачных попыток создания вечного двигателя первого рода - весьма привлекательного с экономической точки зрения технического устройства, способного производить механическую работу, большую чем подведенная к нему тепловая (или другая) энергия. Одной из формулировок первого начала является утверждение о невозможности подобного устройства, другой - закон сохранения энергии, записываемый в виде:

(9) ,

где второе слагаемое описывает “невосполнимую потерю” части подведенной к устройству энергии.

Согласно общему закону сохранения, энергия не исчезает, а переходит в другие формы. С точки зрения молекулярно-кинетической теории введенная в (9) дополнительная величина u (т.н. внутренней энергия) имеет простой механический смысл и представляет собой сумму кинетических энергий теплового движения всех молекул и потенциальных энергий их взаимодействия. Т.о. часть подводимой к двигателю (или любой другой термодинамической системе) энергии тратится на ее нагревание.

Применение статистического подхода в других областях естествознания. Впоследствии объединенное распределении Максвелла-Больцмана было получено из весьма общих соображений, справедливых не только для идеальных газов, но и для других равновесных статистических ансамблей, в которых вероятность нахождения объекта в рассматриваемом состоянии не зависит от числа уже имеющихся объектов в этом состоянии. Так распределения типа (6) часто встречаются в физике плазмы, физике растворов, в химии, имеется опыт их успешного применения в таких мало похожих на идеальный газ системах, как, например, не связанные с атомами электроны в проводящих кристаллах и даже электронные оболочки атомов с большими порядковыми номерами. Представляется весьма вероятным, что сходные подходы могут быть плодотворными и в других областях, где сложность рассматриваемых систем не позволяет производить точные расчеты поведения каждого отдельного элемента - биологии, экономике, социологии (например, автору известны не претендующие на большую серьезность попытки физиков вывести аналогичные максвелловским функции распределения людей по деньгам, городов по населению и т.п.).

Распределение Максвелла и Больцмана ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

ростью, находящейся в названном интервале. Чтобы выявить зависимость p_v от разных v, нужно исключить ее зависимость от ширины Av интервала, т. е. для всех v рассматривать один и тот же единичный интервал скоростей:

Функция f (v) называется плотностью вероятности. Точно так же, например, обычную плотность р определяют массой в единичном объеме: р = Am/AV_y несмотря на то что масса Ат есть сумма масс отдельных частиц. При переходе Av — 3 ? dv функция f (v) принимает вид, показанный на рис. 4.3:

Как следует из формулы (4.10), площадь заштрихованного на рис. 4.3 участка равна.

Она равна доле молекул, скорости которых лежат в интервале от v до v + dv. Соответственно, площадь под всей кривой определяет долю молекул со скоростями от 0 до °°, поэтому она равна единице.

Зависимость плотности вероятности любой случайной величины от ее значения называется ее функцией распределения. Кривая, представленная на рис. 4.3, является функцией распределения скорости молекул. Для молекул идеального газа ее теоретически получил Дж. Максвелл, который впервые ввел статистику в описание физических явлений. Она имеет вид.

Именно это распределение Максвелла и показано на рис. 4.3. Его максимум приходится на скорость v = v_m.

ВОПРОС. Каков физический смысл скорости в_11В?

ОТВЕТ. Поскольку доля молекул, имеющих такую скорость, максимальна, это наивероятнейшая скорость.

Ее значение можно найти как и всякий экстремум, взяв производную по v функции (4.12) и приравняв ее нулю. В результате получим.

Например, для молекул водорода при 0 °C н_|Ш — 1500 м/с. Для многих расчетов важна также средняя скорость п_ср (или п):

где предполагается, что скорость v_i имеют Ап₁ молекул. Учитывая смысл функции распределения, получим где использовано соотношение (4.12). Поскольку распределение Максвелла несимметрично (правая ветвь более полога), г>_ср > v_HB. Таким же образом можно найти среднее значение любой другой характеристики ансамбля молекул, подставляя ее в подынтегральное выражение (4.15) вместо v_f например значение v 2 . Корень из такого интеграла называют средней квадратичной скоростью v_KB. Она определяет среднее значение энергии молекул:

Главную роль в установлении всех этих скоростей играют столкновения молекул. Среднюю частоту столкновений можно определить исходя из средней скорости молекул и их диаметра d:

Это определяет и средний путь между двумя последовательными столкновениями, который называется средней длиной свободного пробега:

Как следует из формулы (4.2), при Т = const п~р, и потому Х_с? ~ 1 /р. Например, в воздухе при нормальных условиях (р₀ = 760 мм рт. ст. = 101,325 кПа, Т₀ = 273 К) Х_с? ~ 10~ 7 м.

Максвелловское распределение устанавливается при тепловом равновесии в системах невзаимодействующих или упруго взаимодействующих частиц, движение которых подчинено законам классической механики: газы, некоторые жидкости, броуновские частицы и т. д. Несмотря на то что молекулы при столкновениях постоянно меняют свою скорость, максвелловское распределение стационарно (не изменяется во времени), поскольку в нем поддерживается динамическое равновесие. Если в результате столкновений какая-то часть молекул перешла из элементарного интервала скоростей а в интервал Ъ (см. рис. 4.3), то за это же время ровно такая же часть переходит в обратном направлении.

Как это принято в физике, после рассмотрения идеализированной модели в нее вносят поправки. Молекулы атмосферы, например, находятся в поле тяготения Земли. Влияет ли это на ее характеристики? Да, еще Б. Паскаль в XVII в. установил, что с ростом высоты атмосферное давление падает.

Мысленно вычленим цилиндр с вертикальной осью h. При площади его горизонтального сечения 1 м 2 силы, действующие на нижнее 1 и верхнее 2 основания, равны давлениям р_] и р₂. В равновесном состоянии р_х = р₂ + nmgdh, где второй член правой части — сила тяжести газа, заключенного в цилиндре; п — концентрация молекул; т — масса одной молекулы. Отсюда dp = = р₂~ Р = -nmgdh = kTdn, где последнее следует из формулы (4.2) с учетом равенства Т = const. Таким образом, dn/n = -mgdh/(kT). При конечном перепаде высоты от 0 до h

где п₀ — концентрация молекул на высоте h = 0. Отсюда ("https://referat.bookap.info", 13).

Как видим, концентрация п молекул по мере повышения их потенциальной энергии экспоненциально уменьшается. При этом на всех высотах сохраняется максвелловское распределение молекул по энергиям.

Последнее выражение в формуле (4.20) имеет более общий вид. Оно относится уже не только к силе тяжести и распространяет полученный результат на разные виды частиц в разных потенциальных нолях, например на заряженные частицы в электростатическом поле.

Формула (4.20) называется распределением Больцмана. Им пользуются при анализе аэродинамики летательных аппаратов; термического воздействия на их обшивки; расхода топлива при запуске ракет; работы двигателей внутреннего сгорания в горных условиях и т. д. Для частного случая Е_п = mgh с учетом формулы (4.2) формуле (4.20) можно придать вид.

В этом варианте ее называют барометрической формулой, поскольку она характеризует зависимость давления атмосферы от высоты. Приборы, основанные на соотношении (4.21), называют альтиметрами и применяют, например, в авиации (в действительности формула сложнее, так как с ростом высоты в диапазоне 0—10 км температура воздуха линейно убывает примерно до -50°С).

Заканчивая рассмотрение МКТ, заметим, что реальные газы и пары при давлениях в сотни атмосфер или температурах, близких к температуре конденсации, не соответствуют ее исходным положениям. Объем, занимаемый молекулами, становится соизмерим с объемом межмолекулярного пространства. Его объем становится равным V — Nb, где b — объем одной молекулы. Кроме того, сказывается и взаимное притяжение молекул.

Если молекулу, ударяющую о стенку, притягивают другие молекулы газа, то сила притяжения направлена от стенки и потому уменьшает давление р. Модуль результирующей силы F (рис. 4.4) пропорционален числу молекул в полусфере радиуса R, в пределах которой сказывается их взаимное притяжение, и, следовательно, их концентрации: F ~ п. Поэтому поправка к формуле (4.2), связанная с одной молекулой: Др_; ~ п, а связанная с давлением со стороны всех молекул: Др = nAp_i ~ п 2 = ап 2 , где а — коэффициент пропорциональности. С учетом названных факторов уравнение состояния принимает вид.

Эта формула называется уравнением Ван-дер-Ваальса — по имени нидерландского ученого Й. Д. Ван дер Ваальса (1837—1923, Нобелевская премия 1910 г.) получившего его эмпирическим путем.

Читайте также: