Расчет параметров ренты реферат

Обновлено: 05.07.2024

Как было показано выше, постоянная рента описывается на­бором основных параметров – R , n , i и дополнительными па­раметрами р, т. Однако при разработке контрактов и условий финансовых операций могут возникнуть случаи, когда задается одна из двух обобщающих характеристик – S или А, и необхо­димо рассчитать значение недостающего параметра.

Определение размера члена ренты. Исходные условия: задает­ся S или А и набор параметров, кроме R. Например, за обусло­вленное число лет необходимо создать фонд в сумме S путем систематических постоянных взносов. Если рента годовая, по­стнумерандо, с ежегодным начислением процентов, то, обра­тившись к (5.4), получим

Пусть теперь условиями договора задана современная стои­мость ренты. Если рента годовая (т = 1), то из (5.11) следует

Таким образом, если ставится задача накопить за определен­ный срок некоторую сумму S , то прибегают к формуле (5.19), если же речь идет о погашении задолженности в сумме А, то следует воспользоваться (5.20).

Аналогичным образом определяется R и для других ус­ловий ренты.

ПРИМЕР 5.10. Известно, что принц Чарльз при разводе с Диа­ной выплатил последней 17 млн. ф.ст. Как сообщалось, эта сумма была определена в расчете на то, что принцесса проживет еще 50 лет (увы, это не сбылось). Указанную сумму можно рассматривать как современную стоимость постоянной ренты. Определим, раз­мер члена этой ренты при условии, что процентная ставка равна 10%, а выплаты производятся помесячно.

По условиям задачи А = 17 млн. ф.ст., п = 50, р = 12, i = 10%. Для ренты постнумерандо с указанными параметрами можно за­писать

Ежемесячная выплата составит R/12 = 136,7 тыс. ф.ст.

Расчет срока ренты. При разработке условий контракта ино­гда возникает необходимость в определении срока ренты и, со­ответственно, числа членов ренты. Логарифмируя полученные выше выражения, определяющие S или А, и затем разрешая их относительно п, получим искомые величины. Так, для годовой ренты постнумерандо с ежегодным начислением процентов находим

Аналогичным образом определяются сроки и для других видов рент.

При расчете срока ренты необходимо принять во внимание следующие моменты.

1. Расчетные значения срока будут, как правило, дробные. В этих случаях для годовой ренты в качестве п часто удобно при­нять ближайшее целое число лет. У р-срочной ренты результат округляется до ближайшего целого число периодов пр. Напри­мер, пусть для квартальной ренты получено п = 6,28 лет, отку­да пр = 25,12 кварталов. Округляем до 25, в этом случае п = 6,25 лет.

2. Если округление расчетного срока производится до мень­шего целого числа, то наращенная сумма или современная сто­имость ренты с таким сроком оказывается меньше заданных размеров. Возникает необходимость в соответствующей ком­пенсации. Например, если речь идет о погашении задолженно­сти путем выплаты постоянной ренты, то компенсация может быть осуществлена соответствующим платежом в начале или конце срока, или с помощью повышения суммы члена ренты.

Обсудим еще одну проблему, связанную со сроком ренты. Пусть А – текущее значение долга. Если он погашается с по­мощью постоянной ренты, то из (5.11) следует, что долг может быть погашен за конечное число лет только при условии, что R > Ai . Аналогичные неравенства можно найти и для других ви­дов рент. Если условия ренты таковы, что имеет место равенст­во, например, R = Ai, то п = ¥, т.е. рента окажется вечной и долг практически не может быть погашен.

ПРИМЕР 5.11. Какой необходим срок для накопления 100 млн. руб. при условии, что ежемесячно вносится по 1 млн. руб., а на накопле­ния начисляются проценты по ставке 25% годовых?

Имеем R = 12, i= 25%. Находим

Если срок округляется до 5 лет, то необходимо несколько уменьшить размер члена ренты, т.е. найти член ренты для п = 5. В этом случае ежемесячный взнос должен составить 914,79 тыс. руб. (см. (5.19)).

Определение размера процентной ставки. Необходимость в определении величины процентной ставки возникает всякий раз, когда речь идет о выяснении эффективности (доходности) соответствующей финансово-банковской или коммерческой операции. Заметим, что расчет процентной ставки по остальным параметрам ренты не так прост, как это может показаться на первый взгляд. В простейшем случае задача ставится следующим образом: решить уравнения (5.3) или (5.11) относительно i. Нетрудно убедиться в том, что алгебраического реше­нии нет. Для получения искомой величины применяется метод последовательных итераций с использованием различных значений величины процентной ставки, в результате чего выбираются два значения величины процентной ставки i1 0;

i2 – значение величины процентной ставки, при котором f(i2)

Цель и задачи изучения темы — ознакомить студентов с методами расчета характеристик постоянных финансовых рент, научить их рассчитывать приведенную стоимость финансового потока к тому или иному моменту времени, понимать связь результатов приведения к разным моментам. Студенты должны освоить вывод базовых формул постоянных финансовых рент, уметь применять такие формулы, грамотно организовывать и проводить расчеты, связанные с постоянными финансовыми рентами, уметь учитывать в расчетах особенности начисления платежей и процентов в таких рентах.

Оглавление

4.1. Характеристики потоков платежей

4.1.1. Основные понятия

Операции с отдельными денежными суммами лежат в основе более сложных операций — операций с последовательностями таких сумм, распределенных во времени, т. е. с потоками платежей.

Потоком платежей называется последовательность денежных сумм, приуроченных к определенным моментам времени. Отдельные денежные суммы, являющиеся членами последовательности, называются членами потока.

Потоки возникают, например, при реализации инвестиционного проекта, при погашении задолженности в рассрочку, при получении доходов по акциям или другим ценным бумагам, при выплате пенсий и т. д.

Потоки платежей классифицируются на регулярные и нерегулярные. Варианты потоков графически представлены на рис. 4.1-4.3.

В нерегулярном потоке временные интервалы между членами потока могут иметь различную продолжительность. Кроме того, члены такого потока могут иметь различные знаки. Положительные члены обычно соответствуют поступлениям денежных сумм, отрицательные — затратам.

В регулярном потоке промежутки времени между соседними выплатами имеют одинаковую длину и члены потока имеют один знак. Регулярные потоки называются также финансовыми рентами.

Рис. 4.1. Нерегулярный поток платежей

Рис. 4.2. Регулярный поток платежей (случай постоянной финансовой ренты)

Рис. 4.3. Регулярный поток платежей (случай переменной финансовой ренты)

Отметим, что члены финансовой ренты в общем случае могут различаться по своей величине. Если они одинаковы, то говорят о постоянной финансовой ренте. Если различаются, — то о переменной финансовой ренте. Эти различия могут подчиняться какой-нибудь закономерности (например, ренты с постоянным абсолютным или относительным приростом членов) или быть несистематическими.

К основным параметрам, характеризующим ренту, относятся:

  • член ренты — размер отдельного платежа;
  • период ренты — длина интервала времени между соседними платежами;
  • срок ренты — длина промежутка времени от начала первого периода до конца последнего периода;
  • процентная ставка — та величина процентной ставки, на основе которой проводится анализ ренты.

При анализе конкретных рент используются и другие характеристики и параметры, например периодичность начисления процентов (при начислении несколько раз в году), вероятность выплаты (если речь идет о страховых платежах) и др.

Ренты могут иметь заранее оговоренный срок или не иметь такого срока. В последнем случае говорят о вечной ренте.

Ренты различаются по моменту выплат в пределах периода. Если платежи приурочены к концу периодов, то рента называется рентой постнумерандо (а также обыкновенной рентой). Если же платежи приурочены к началу периодов, то рента называется рентой пренумерандо.

4.1.2. Обобщающие характеристики потоков платежей

Два финансовых потока могут быть по-разному распределены во времени, иметь различную продолжительность, различное число членов, различаться величиной членов.

Их сопоставление, анализ, выбор варианта потока проводится на основе обобщающих характеристик, позволяющих свести все разнообразие потоков к небольшому числу базовых показателей.

Под приведенной стоимостью понимается сумма всех членов потока с начисленными процентами, приведенная (дисконтированная) к какому-то заданному моменту времени. Обычно в качестве такого момента времени выбирают момент начала первого периода потока или момент окончания его последнего периода. В первом случае говорят о современной стоимости (современной оценке) потока, во втором — о наращенной стоимости (наращенной сумме) потока.

Иногда современную оценку потока привязывают не к его началу, а к некоторому более раннему моменту времени. Например, если сегодня анализируются потоки по вариантам инвестиционных проектов, реализация которых должна начаться через некоторое время, то современную оценку привязывают обычно не к началу потоков (у разных вариантов может быть разный начальный момент), а к сегодняшнему дню.

4.1.3. Расчет приведенной стоимости потока

Сформулируем определение приведенной стоимости потока в общем случае.

Пусть поток состоит из членов R k , приуроченных к моментам времени t k . Определим стоимость этого потока, приведенную к произвольному моменту времени t.

Рассмотрим произвольный член потока R k . Если соответствующий ему момент времени t k наступает раньше момента приведения t,

t k k на момент t ее следует увеличить, умножив на коэффициент роста, равный . Этот коэффициент показывает, во сколько раз изменится величина R k по сложной процентной ставке i за время (t — t k ), отделяющее момент t k от момента t.

Другими словами, если бы денежную сумму R k положить на депозитный счет с условиями начисления сложных процентов по ставке i, то за время (t — t k ) величина R k выросла бы до величины R k . Показатель степени положительный, так что коэффициент больше 1, величина R k при умножении увеличивается.

Если же момент времени t k наступает позже момента t,

t k > t,

то при пересчете оценки величины R k на момент t ее надо умножить на соответствующий коэффициент дисконтирования. Формула для этого коэффициента та же, что и для прежнего коэффициента роста, т. е. . Однако показатель степени теперь отрицательный, так что коэффициент автоматически окажется менее 1. Величина R k при умножении на такой коэффициент уменьшается.

Таким образом, независимо от того, как взаимно расположены моменты t и t k , при приведении члена потока R k к моменту t его следует умножить на одно и то же выражение, равное .

В одной ситуации это приводит к увеличению R k , в другой — к уменьшению. Во всех ситуациях это приводит к корректному пересчету величины R k , к ее приведению на момент времени t.

Приведенная стоимость всего потока S t , приведенная на момент времени t по сложной процентной ставке i, определяется суммой результатов приведения всех членов потока, т. е. формулой

Формула позволяет определить приведенную стоимость потока для любого момента времени t. В частности, если t — момент начала потока, то эта формула определяет современную стоимость потока. Если же t — момент окончания срока потока, формула определяет наращенную сумму потока.

4.1.4. Связь между результатами приведения к разным моментам времени

Рассмотрим, как изменяется величина приведенной стоимости при приведении к другому моменту.

Пусть t’ — другой момент приведения. Тогда при приведении к моменту t’ получим величину:

Величины S t и S t’ связаны соотношением

Рассмотрим отношение приведенных оценок:

Отсюда получаем, что при приведении к более позднему моменту величина приведенной стоимости окажется больше. Действительно, если

t’> t ,

откуда следует, что

S t’ > S t .

Отношение приведенных оценок S t’ / S t выражается величиной, не зависящей от конкретного потока. Она зависит лишь от разности (t — t’) моментов приведения и от выбранной для приведения процентной ставки i.

Это позволяет сравнивать различные потоки по их приведенной стоимости безотносительно к выбору конкретного момента приведения.

Действительно, пусть и — стоимости двух потоков при их приведении к моменту t, а и — стоимости тех же потоков при их приведении к моменту t’. Тогда отношения этих оценок равны:

Если приведенная стоимость одного потока оказалась в m раз больше приведенной стоимости другого при приведении обоих потоков к какому-то одному моменту времени, то это же соотношение между потоками сохранится и при приведении к любому другому моменту времени.

4.2. Характеристики постоянной финансовой ренты

4.2.1. Расчет характеристик постоянной ренты

Полученная выше формула приведенной стоимости потока пригодна для расчетов с любыми потоками. В некоторых важных частных случаях ее можно заметно упростить. Так, для наиболее распространенного вида потоков — постоянной финансовой ренты — мы получим существенно более простые расчетные формулы. Простые формулы можно получить и для переменных рент с несложной закономерностью изменения членов ренты.

Рассмотрим постоянную ренту, содержащую n членов одинаковой величины R (рис. 4.4). Интервал между членами ренты одинаков. Предположим, что он составляет 1 год (такая рента называется аннуитетом). Пусть это рента постнумерандо.

Таким образом, перед нами последовательность из n одинаковых платежей размера R каждый. Общий срок ренты составляет n лет. Очередной платеж совершается в конце года. Первый платеж происходит в конце первого года, последний — в конце n-го года. Конец общего срока ренты совпадает с моментом последнего платежа.

Рис. 4.4. Постоянная финансовая рента

Определим наращенную конечную стоимость ренты S, т. е. стоимость ренты на конец ее срока (конечную стоимость обозначают иногда также посредством FV — Future Value).

Приведение следует провести на момент окончания срока ренты. Рассмотрим поочередно члены ренты, от последнего к первому.

Последний, n-й член ренты при приведении сохраняется без изменения, поскольку момент приведения совпадает с моментом последнего платежа. В результате преобразования он сохраняет свою величину R.

Предпоследний, (n-1)-й член преобразуется в величину R(1 + i).

Предпредпоследний, (n-2)-й член преобразуется в .

Продолжая рассуждения, получим, что произвольный k-й член преобразуется в .

В частности, первый член преобразуется в .

Суммируя получившуюся n-членную геометрическую прогрессию с первым членом R и знаменателем (1+i), приходим к формуле

Это и есть формула конечной наращенной суммы постоянной n-членной ренты постнумерандо.

Обратимся к формуле начальной, современной стоимости ренты A, соответствующей приведению к начальному моменту срока ренты (такую величину обозначают также посредством PV — Present Value ). Эту формулу можно получить двумя способами.

Один — провести рассуждения, аналогичные данным выше для формулы наращенной суммы, но ориентированные на приведение к другому моменту времени. Другой — провести дисконтирование уже полученной величины наращенной суммы к начальному моменту срока ренты, т. е. воспользоваться равенством

Второй путь позволяет сразу написать итоговую формулу

По этим формулам можно провести расчет при любой положительной величине процентной ставки i. Они не работают только при i = 0, т. е. в случае, когда не учитывается рост вложенной денежной суммы. Однако в этом случае современная и будущая оценки фонда совпадают, и обе равны простой сумме членов ренты:

4.2.2. Вечная рента

В некоторых случаях ренту можно рассматривать как продолжающуюся неограниченно долго, т. е. имеющую неограниченное число членов. Такая ситуация возникает, когда заранее срок ренты не установлен. Например, регулярные выплаты по облигациям с неограниченным сроком действия.

Ренты с неограниченным сроком называются вечными рентами.

Определить наращенную сумму вечной ренты невозможно, т. к. такая сумма должна быть приведена к концу срока ренты. Однако можно определить современную стоимость вечной ренты. Для этого достаточно просуммировать бесконечную убывающую геометрическую прогрессию.

Если в полученной выше формуле для современной стоимости ренты со сроком n устремить n к бесконечности, то получим:

Таким образом, современная стоимость вечной ренты определяется простым правилом: современная стоимость равна отношению величины члена ренты к процентной ставке.

4.2.3. Связь параметров ренты

Полученные формулы позволяют рассчитать параметры ренты R и n через ее итоговые приведенные характеристики S и A. Простые преобразования приводят к формулам для члена ренты R:

Формула для срока ренты n, выраженного через наращенную сумму S, имеет вид

Аналогичная формула для срока ренты n, выраженного через современную стоимость ренты A, имеет вид

В отличие от R и n расчет процентной ставки i не удается провести в виде вычисления по готовой формуле. Величину процентной ставки определяют одним из методов приближенных вычислений (например, методом линейной интерполяции — методом хорд или методом Ньютона — методом касательных).

4.2.4. Ренты пренумерандо и постнумерандо

Рента пренумерандо при приведении к концу срока отличается от ренты постнумерандо сдвигом на один период времени от конца назад. Поэтому все ее члены при приведении следует дополнительно умножить на одну и ту же величину (1 + i). В результате формула наращенной суммы ренты пренумерандо примет вид

Аналогично изменится и формула современной стоимости ренты:

Соответствующие изменения произойдут в формулах, определяющих величину постоянного члена и продолжительность для ренты пренумерандо:

Полученные формулы можно рассматривать как формулы для ренты постнумерандо, но с новой оценкой приведенной стоимости (оценкой S или A), уменьшенной в (1+ i) раз.

Формула для срока ренты n, выраженного через наращенную сумму S, имеет вид

Аналогичная формула для срока ренты n, выраженного через современную стоимость ренты A, имеет вид

Полученные формулы соответствуют формулам для ренты постнумерандо, но с новой величиной члена ренты R, увеличенной в (1+ i) раз.

В дальнейшем мы будем строить формулы для ренты постнумерандо, имея в виду, что они легко преобразуются в формулы для ренты пренумерандо.

4.3. Платежи и проценты

4.3.1. Учет особенностей начисления процентов

Рассмотрим ситуацию, когда проценты на члены ренты начисляются не один, а несколько раз за период поступления платежей.

Пусть на поступающие члены постоянной ежегодной ренты постнумерандо начисляются проценты m раз в году (например, ежеквартально). Рассмотрим два варианта перевода годовой ставки в квартальную.

1. Пусть перевод годовой ставки i в квартальную j происходит по формуле сложной процентной ставки, т. е. по формуле

В общем случае, при разделении года на m равных периодов, эта формула имеет вид

В таком случае ставка i и ставка j корректно согласованы друг с другом, и все расчетные формулы, связанные с рентой, остаются прежними.

2. Пусть перевод годовой ставки i в квартальную j происходит по формуле простой процентной ставки, т. е. по формуле

j = i/4

или, в случае разделения года на m периодов, по формуле

j = i/m.

В этой ситуации множитель роста вклада за год равен величине

При построении приведенной оценки ренты ее члены, как и в первоначальном случае, образуют геометрическую прогрессию, но с другим знаменателем — со знаменателем, равным множителю роста. Таким образом, для наращенной суммы получаем:

Для современной стоимости потока получаем формулу

4.3.2. Учет особенностей поступления платежей

Мы рассмотрели вариант, когда период начисления процентов меньше периода поступления платежей. Рассмотрим теперь противоположный случай, когда период поступления платежей меньше периода начисления процентов.

Пусть проценты начисляются ежегодно, а платежи поступают равными взносами, периодически, p раз в году (например, ежемесячно). Если годовая сумма платежей по-прежнему равна R, то отдельный платеж равен теперь величине R / p. Общее число членов ренты за n лет равно теперь nxp.

На каждый член ренты при определении наращенной суммы начисляются проценты за весь период времени, оставшийся до конца срока ренты.

Последовательность членов такой ренты с начисленными процентами опять является геометрической прогрессией. Первый член прогрессии (считая, как и раньше, от конца поступления платежей) равен R / p. Число членов равно np. Знаменатель прогрессии есть

Наращенная сумма S есть сумма членов этой прогрессии Она определяется формулой

Современная стоимость ренты определяется формулой

4.3.3. Учет особенностей начисления процентов и поступления платежей

Рассмотрим вариант ренты, когда и начисление процентов, и поступление платежей происходят несколько раз в году. Обычно в таких ситуациях оба события происходят с одинаковой периодичностью. Например, рентные платежи поступают ежемесячно, и начисление процентов происходит также ежемесячно.

Расчеты по такой ренте сводятся к расчетам по первоначальной формуле с заменой годового периода новым периодом (например, месячным). При этом число членов ренты кратно числу лет, а процентная ставка изменяется в соответствии с новым периодом.

Выводы

Финансовая рента — это последовательность платежей, возникающих через равные промежутки времени. Если размеры платежей финансовой ренты одинаковы, то рента называется постоянной финансовой рентой.

Различают ренты постнумерандо (платежи поступают в конце промежутков времени) и ренты пренумерандо (платежи поступают в начале промежутков времени).

Конечная стоимость ренты S и начальная стоимость ренты A определяются путем приведения всех платежей к конечному или начальному моменту времени по сложной процентной ставке. Итоговые формулы получаются на основе суммирования геометрической прогрессии. Для ренты постнумерандо формулы имеют вид

Формула начальной стоимости ренты применима и для вечной ренты, содержащей бесконечное множество платежей:

При определении величины годовой выплаты ренты используются полученные выше формулы для расчета наращенной суммы и современной стоимости различных рент. При этом должны быть заданы все параметры ренты кроме годовой выплаты. Для р – срочной ренты с начислением процентов m – раз в году величина годовой выплаты определяется по формулам (3.9) и (3.11).

; , (3.30)

где S и A наращенная сумма и современная стоимость ренты соответственно, и – коэффициенты наращения и приведения ренты соответственно, p – количество выплат в году, m – количество начислений процентов в году, j – номинальная процентная ставка, n – срок ренты в годах.

Пример 3.12. В фонд ежегодно в конце периода поступают средства в течении семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно (раз в году). Наращенная сумма к концу срока составит 100 тыс. руб. Определить коэффициент наращения ренты и годовую выплату.

Решение. Коэффициент наращения ренты при поквартальных выплатах и начислении процентов ежемесячно находится по формуле (3.10).

=

Коэффициент наращения ренты при поквартальных выплатах и начислении процентов раз в году (m=1) определяется формулой



Годовые выплаты при начислении процентов ежемесячно составят


руб.

Годовые выплаты при начислении процентов раз в году


руб.

Для других типов рент величина годовой выплаты определяется аналогично.

В практической деятельности возникают задачи определения срока ренты при прочих известных параметрах. Срок ренты определяется из формул для наращенной суммы и современной стоимости ренты, которые получены нами раньше. Наиболее общим случаем постоянной ренты является рента с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году. Для этой ренты наращенная сумма определяется по формуле


Представим эту формулу в виде


Прологарифмировав правую и левую части этого равенства, получим


Решив это уравнение относительно n, окончательно получим


(3.31)

При расчете по этой формуле срок получается, как правило, дробным. Поэтому количество периодов np округляется до целого числа. Затем уточняется значение разового платежа по формуле


(3.32)

Пример 3.17. В фонд поступают средства, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем выплаты производятся в конце каждого квартала, а проценты начисляются ежемесячно. Величина фонда на конец срока составит 100 тыс. руб., годовая выплата – 10 тыс. руб. Определить срок ренты.

Решение. Срок ренты находится по формуле (3.36).


=


лет.

Количество кварталов в полученном сроке составит np=6,197*4=24,788. Округляем полученное число до 25, то есть количество лет ренты принимается равным 6,25. Подставив это число в формулу (3.37), получим величину ежеквартальной выплаты.


руб.

Аналогично находят формулу для срока ренты с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году по ее современной стоимости. Эта формула имеет вид


(3.33)

Формула для уточнения значения разового платежа


(3.34)

Пример 3.13. Долг в размере 50 тыс. руб. погашается равными частями в конце каждого квартала по 2,5 тыс. руб. На взносы начисляются проценты раз в году по ставке 15% годовых. Определить время погашения долга.

Решение. Срок ренты находится по формуле (3.33), которая для условий примера принимает вид


=


8,886 лет.

Количество кварталов в полученном сроке составит np=8,886*4=35,5. Округляем полученное число до 35, то есть количество лет ренты принимается равным 8,75. Подставив это число в формулу (3.34), уточним величину ежеквартальной выплаты.


руб.

Для других типов ренты срок находится аналогично.

Важной проблемой при анализе потоков платежей является задача расчета процентной ставки ренты. Если известны все параметры ренты кроме процентной ставки, то расчет процентной ставки можно трактовать как определение доходности финансовой операции. Процентная ставка определяется из соотношений для расчета наращенной суммы и современной стоимости по формулам, полученным выше, для различных типов рент. В отличие от определения годовой выплаты ренты или ее срока, выражение для расчета процентной ставки, как правило, нельзя представить в виде формулы. Поэтому процентную ставку ренты рассчитывают цифровыми способами. Рассмотрим один из способов, называемый методом Ньютона-Рафсона.

В общем случае метод Ньютона-Рафсона состоит в последовательном приближении к решению нелинейного уравнения . Геометрический смысл метода поясняется на рис. 3.6.

Предполагается, что функция в исследуемой области является гладкой, непрерывной, монотонно возрастающей или монотонно убывающей. Вблизи решения выбирается произвольная точка . Через точку ( , ) проводится касательная к функции , которая пересекается с осью 0 в точке . Как следует из рис. 3.6, эта точка лежит ближе к решению по сравнению с точкой . Координата точки определяется из геометрии рис. 3.6. Из прямоугольного треугольника следует, что


(3.35)


Рис. 3.6.

Так как tga является производной f'(x1) функции f(x) в точке x1, то решение (3.35) относительно x2 можно записать в виде


Аналогично находится координата точки x3 еще ближе лежащей к решению x0. В общем случае рекуррентное соотношение можно представить в виде


, (3.36)

где t – номер итерации.

Для годовой ренты наращенная сумма определяется формулой (3.4), которую перепишем в виде


(3.37)

При решении этого уравнения его приводят к виду, удобному для дальнейших расчетов. Прежде всего введем замену


(3.38)

и перенесем левую часть вправо. В результате получим



Так как на ноль делить нельзя, то .


Умножив левую и правую части этого уравнения на , найдем


В качестве искомой функции принимаем


(3.39)

Производная этой функции вычисляется по формуле


(3.40)

Пример 3.14. В накопительный фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10 тыс. руб. в течении 7 лет, причем на конец срока величина фонда составит 100 тыс. руб. Определить доходность инвестиций.

Решение. Для решения используются формулы (3.36),(3.39) и (3.40). . Положим =1,15.


Первая итерация. ;


;


.

Вторая итерация. ; ;


Третья итерация. ;


.


Поскольку результаты во второй и в третьей итерациях слабо отличаются друг от друга, то вычисления можно прекратить и принять в соответствии с (3.43) или 11,71235%. Другим методом, подтверждающим окончание вычислений, является проверка. Для этого в правую часть уравнения (3.37) подставляют полученное значение ставки. Если результат совпадает с левой частью или слабо отличается от нее, то вычисления прекращаются. Для рассматриваемого примера

Финансовая рента или аннуитет –это однонаправленный денежный поток с равными временными интервалами.

Финансовая рента характеризуется следующими параметрами:

R – величинагодового платежа;

n – срок ренты, лет;

i или j – годовые сложные процентные ставки, используемые для наращения ренты или дисконтирования платежей;

m – частота начисления процентов в году;

p – число рентных платежей в году;

S – наращенная сумма ренты, т.е. сумма всех платежей с начисленными на них процентами на конец срока ренты;

A – современная величина ренты (приведенная стоимость), т.е. сумма всех платежей, уменьшенная (дисконтированная) на величину процентной ставки на определенный момент времени (как правило, на начало ренты).

Таблица 4.1 – Определение наращенной суммы и современной стоимости

постоянной ренты постнумерандо

Число платежей в году Число начисления процентов в году Наращенная сумма Современная стоимость
p=1 m=1
(4.1)
(4.2)
m>1
(4.3)
(4.4)
m

(4.5)
(4.6)
Продолжение таблицы 4.1
Число платежей в году Число начисления процентов в году Наращенная сумма Современная стоимость
p>1 m=1
(4.7)
(4.8)
m=p
(4.9)
(4.10)
m¹p
(4.11)
(4.12)
m

(4.13)

(4.14)

При разработке контрактов и условий финансовых операций могут возникнуть случаи, когда задается одна из двух обобщающих характеристик – S или A, а необходимо рассчитать значение недостающего параметра.

Таблица 4.2 – Расчет величины годового платежа постоянных рент

Число платежей в году Частота начисления процентов в году Исходные параметры
S A
p=1 m=1
(4.15)
(4.16)
m>1
(4.17)
(4.18)
m

(4.19)
(4.20)
Продолжение таблицы 4.2
Число платежей в году Частота начисления процентов в году Исходные параметры
S A
p>1 m=1
(4.21)
(4.22)
m=p
(4.23)
(4.24)
m¹p
(4.25)
(4.26)
m

(4.27)
(4.28)

В случае согласования остальных параметров финансовой сделки срок ренты можно рассчитать с помощью величины наращенной суммы или современной стоимости ренты.

Таблица 4.3 – Расчет срока постоянных рент постнумерандо

Число платежей в году Число начислений процентов в году Исходные параметры
S A
p=1 m=1
(4.29)
(4.30)
m>1
(4.31)
(4.32)
m

(4.33)
(4.34)
Число платежей в году Число начислений процентов в году Исходные параметры
S A
p>1 m=1
(4.35)
(4.36)
m=p
(4.37)
(4.38)
m¹p
(4.39)
(4.40)
m

(4.41)
(4.42)

При расчете срока ренты нужно принять во внимание следующее:

а) расчетные значения срока будут, как правило, дробные, тогда для годовой ренты в качестве n удобно принять ближайшее целое число лет;

б) в связи с округлением величины n до целого значения необходимо пересчитать величину годового рентного платежа R с тем, чтобы наращенная сумма (или современная стоимость) ренты осталась неизменной.

Величину процентной ставки ренты определяют обычно методом линейной интерполяции следующим образом:


а) при известных величинах наращенной суммы ренты S, годового платежа R и коэффициента наращения ренты


, (4.43)

где и – нижнее и верхнее значения предполагаемой процентной ставки;

и – нижнее и верхнее значения коэффициентов наращения

ренты для ставок и ;


б) при известных величинах современной стоимости ренты A, годового платежа R и коэффициента приведения ренты


, (4.44)

где и – значения коэффициентов приведения ренты для ставок и .

При расчетах рентных платежей в финансовой практике чаще всего используются сложные проценты. Однако существуют рентные платежи, в которых начисление производится по ставкам простых процентов, при этом наращенная сумма и современная стоимость ренты определяются по формулам:


; (4.45)


, (4.46)

где p – число рентных платежей в году.

Таблица 4.4 – Определение наращенной суммы и современной стоимости

Число платежей в году Частота начислений процентов в году Наращенная сумма Современная стоимость
p=1 m=1
(4.47)
(4.48)
m>1
(4.49)
(4.50)
m

(4.51)
(4.52)
Число платежей в году Частота начислений процентов в году Наращенная сумма Современная стоимость
p>1 m=1
(4.53)
(4.54)
m=p
(4.55)
(4.56)
m¹p
(4.57)
(4.58)
m

(4.59)
(4.60)

Пример 4.1 Фирма создает инвестиционный фонд. В течение 5 лет в фонд вносятся платежи в размере 75000 руб. в год под 12% годовых. Найти величину инвестиционного фонда через 5 лет, если: 1) платежи осуществляются один раз в году, проценты начисляются один раз в году; 2) платежи осуществляются один раз в году, проценты начисляются ежеквартально; 3) платежи осуществляются по полугодиям, проценты начисляются один раз в году; 4) платежи осуществляются по полугодиям, проценты начисляются по полугодиям; 5) платежи осуществляются по полугодиям, проценты начисляются ежеквартально.

Решение. По формулам (4.1), (4.3), (4.7), (4.9), (4.11) находим величину наращенной суммы ренты постнумерандо.


1) p=1, m=1,руб.;


2)p=1, m=4,руб.;


3) p=2, m=1,руб.;


4) p=2, m=2,руб.;


5) p=2, m=4,руб.

Пример 4.2 Фирма предусматривает создание в течение 4-х лет фонда развития и имеет возможность вносить ежегодно 34700 руб. под 8% годовых. Какая сумма потребовалась бы фирме изначально для создания фонда, если бы она поместила ее в банк на 4 года под 8% годовых, если: 1) платежи осуществляются один раз в году, проценты начисляются один раз в году; 2) платежи осуществляются один раз в году, проценты начисляются ежеквартально; 3) платежи осуществляются по полугодиям, проценты начисляются один раз в году; 4) платежи осуществляются по полугодиям, проценты начисляются по полугодиям; 5) платежи осуществляются по полугодиям, проценты начисляются ежеквартально.

Решение. Найдем современную величину ренты постнумерандо, используя формулы (4.2), (4.4), (4.8), (4.10), (4.12).


1) p=1, m=1,руб.;

2)p=1, m=4,руб.;


3) p=2, m=1,руб.;


4) p=2, m=2,руб.;


5) p=2, m=4, руб.

Пример 4.3 Какой срок необходим для накопления 400 тыс. руб., если ежеквартально будет вноситься 10 тыс. руб. под 12 % годовых при ежегодном начислении процентов?


Решение. Так как величина наращенной суммы S=400 тыс. руб., число начислений процентов в году m = 1, рентные платежи вносятся ежеквартально (p=4), а R-величина годового взноса составляет =40 000 руб. то по формуле (4.35)


лет.

Вследствие округления срока ренты необходимо пересчитать величину годового взноса по формуле (4.21)


руб.,


.

Читайте также: