Рациональные уравнения и неравенства реферат
Обновлено: 07.07.2024
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Пояснительная записка 2
Содержание курса и методические рекомендации 4
Учебно – тематический план 5
Методическое обеспечение 6
Контроль результативности изучения учащимися программы 7
Пояснительная записка
Математика практически единственный учебный предмет, в котором задачи используются и как цель, и как средство обучения, а иногда и как предмет изучения. Ограниченность учителя временными рамками урока и временем изучения темы, нацеленность учителя и учащихся на достижение ближайших целей (успешно написать самостоятельную или контрольную работу, сдать зачет) – все это никак не способствует решению на уроке задач творческого характера, нестандартных задач, задач повышенного уровня сложности, задач, при решении которых необходимы знания разделов математики, выходящих за пределы школьного курса. Предлагаемая программа курса по выбору предполагает решение большого количества сложных задач, многие из которых понадобятся как при подготовке к различного рода экзаменам, в частности ГИА, так и при дальнейшей учебе в общеобразовательной школе. Предлагаются к рассмотрению такие вопросы курса математики, выходящие за рамки школьной программы, как рациональные уравнения и неравенства с параметрами.
Программа рассчитана на использование времени в объеме 18 ч или 17ч и рассчитана на учеников 9 классов общеобразовательных школ.
Цель курса - создание условий для формирования и развития у учащихся навыков анализа и систематизации полученных ранее знаний, подготовка к итоговой аттестации в форме ГИА.
Задачи курса:
обеспечение усвоения учащимися наиболее общих приемов и способов решения задач повышенного уровня сложности;
формирование и развитие у учащихся аналитического и логического мышления при проектировании решения задачи;
развитие умений самостоятельно анализировать и решать задачи по образцу и в незнакомой ситуации;
расширение и углубление курса математики, обеспечивающее повышенный уровень изучения математики;
формирование опыта творческой деятельности учащихся через исследовательскую деятельность при решении нестандартных задач;
формирование навыка работы с научной литературой, различными источниками;
развитие коммуникативных и общеучебных навыков работы в группе, самостоятельной работы, умений вести дискуссию, аргументировать ответы и т.д.
Работая по данной программе, учитель может использовать различные формы и методы проведения занятий. В организации процесса обучения в рамках рассматриваемого курса используются две взаимодополняющие формы: урочная форма и внеурочная форма, в которой учащиеся дома выполняют практические задания для самостоятельного решения. Виды деятельности на занятиях: лекция учителя, беседа, практикум, консультация, работа с компьютером.
Предполагаемые результаты.
Изучение данного курса дает учащимся возможность:
повторить и систематизировать ранее изученный материал школьного курса математики;
освоить основные приемы решения задач;
овладеть навыками построения и анализа предполагаемого решения поставленной задачи;
познакомиться и использовать на практике нестандартные методы решения задач;
повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной активности;
познакомиться с возможностями использования электронных средств обучения, в том числе Интернет-ресурсов, в ходе подготовки к итоговой аттестации в форме ГИА.
Содержание курса и методические рекомендации
Дробно-рациональные уравнения. Подбор корней. Метод неопределённых коэффициентов. Разложение на множители. Замена переменной. Выделение полных квадратов. Уравнения, содержащие абсолютную величину Рациональные алгебраические уравнения с параметрами.
Решение систем рациональных уравнений. Преобразование одного из уравнений системы. Однородные системы.
Рациональные неравенства. Метод интервалов. Неравенства, содержащие абсолютную величину. Рациональные алгебраические неравенства с параметрами.
Решение систем рациональных неравенств. Графическое решение неравенств.
Методические рекомендации. В ходе изучения этой темы учащиеся должны усвоить основные способы решения рациональных уравнений и неравенств высших степеней. Решение каждой задачи, разобранной на занятиях, представляет собой метод решения большого класса задач. Эти методы повторяются и углубляются при решении последующих задач. В каждой лекции разбираются задачи разного уровня сложности. От простых, повторяющих школьную программу задач (таких немного), до сложных задач, решение которых обеспечивает хорошую и отличную оценку на экзаменах.
Содержимое разработки
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Конкурс исследовательских и творческих работ обучающихся
Четырин Зоя Владимировна
1. Основная часть
1.1.Теоретические сведения 5
1.2.Из истории рациональных чисел 5-9
1.3. Методы решения рациональных уравнений 9-10
1.4.Классификация рациональных уравнений 11-12
2.Практическая часть
2.1. Решение рациональных уравнений с использованием
основных методов 13-15
2.2. Решение рацональных уравнений с использованием 1
особых методов и приёмов 15-20
3. Результаты исследования 21
Приложение 2 «Буклет для учащихся филиала МБОУ
Поэтому выбор темы моего исследования не случаен, так как решение уравнений - самый распространенный тип экзаменационных задач. Проблема заключается в том, что на протяжении всех лет обучения мы решаем уравнения, но школьный курс алгебры предусматривает ограниченный набор решений по данной теме.
Компенсировать недостаток знаний удалось за счёт изучения дополнительной научной литературы и знакомства с новыми типами рациональных уравнений, а также приёмами для их решения. Приобретенные полученные навыки позволят применить их при решении конкурсных задач, подготовиться к ОГЭ, что является актуальным при изучении математики и смежных дисциплин.
Поэтому, поставлена цель работы: выявление способов решения уравнений, отличных от изучаемых в школьной программе.
Для достижения поставленной цели, в работе определены основные задачи:
изучить и проанализировать специальную литературу по проблеме исследования;
найти информацию о способах решения рациональных уравнений;
изучить историю развития уравнений;
рассмотреть нестандартные случаи решения рациональных уравнений и применить их на практике;
создать банк заданий по теме исследования;
Создать буклет для одноклассников.
Объект исследования: рациональные уравнения.
Предмет исследования: изучение нестандартных методов решения рациональных уравнений.
Характер исследования обуславливает необходимость применения комплекса следующих общенаучных методов исследования:
поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
практический « Рациональные уравнения;
сравнение, анализ, полученный в ходе исследования.
Гипотеза: если знать нестандартные методы решения рациональных уравнений, то это позволит повысить качество выполнения некоторых олимпиадных и тестовых заданий ОГЭ.
Практическая значимость исследования.
Материал данного исследования имеет практическую значимость и будет полезен любознательным школьникам, а так же выпускникам школы. Она позволит улучшить подготовку и расширить математический кругозор в решении уравнений.
Поэтому темой моего исследования выбраны рациональные уравнения.
1.СОДЕРЖАНИЕ
1.1.Теоретические сведения.
Уравнение f(x) = g(x) называется рациональным, если f(x) и g(x) – рациональные выражения [4, с.223].
Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левые и правые части которого – целые выражения [3, с.72]. Целое рациональное уравнение может быть записано в виде , где – некоторые числа. К простейшим целым рациональным уравнениям относятся линейные и квадратные уравнения.
Дробным рациональным уравнением называется уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями, причем хотя бы одно из них – дробным выражением [3, с.78]. Для решения такого уравнения нужно:
найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
умножить обе части уравнения на этот знаменатель;
решить получившееся целое уравнение;
исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель дробей [3, с.78].
1.2.История возникновения рациональных уравнений.
В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.
Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.
Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.
Многим, разумеется, приходила в голову заманчивая мысль найти и для любой другой степени n2 формулы, которые выражали бы корни уравнения через его коэффициенты с помощью четырех арифметических действий – сложения, вычитания, умножения, деления – и извлечения корней или радикалов, то есть, говоря более кратко, решали бы уравнение в радикалах.
Для математиков того времени существовало не одно уравнение третьей степени
а несколько, из которых главнейшими были три:
А почему же не одно? Потому что в те времена рассматривались лишь уравнения с положительными коэффициентами. Первыми из них было решено уравнение х 3 +рх=q. Это удалось сделать итальянскому математику Сципиону Даль Ферро (1465-1526). Даль Ферро не опубликовал найденного им способа, но некоторые из его учеников знали об этом открытии, и вскоре один из них, Антонио Фиор, решил им воспользоваться.
В это время в итальянском городе Верна жил небогатый учитель математики Никколо Тарталья (1499-1557). Тарталья был очень талантливым человеком и сумел в 1535 году заново открыть прием, изобретенный Сципионом Даль Ферро.
Состоялся поединок между Фиором и Тартальей. По условию, соперники обменялись тридцатью задачами, на решение которых отводилось шестьдесят дней. Но так как Фиор знал по существу только одну задачу и был уверен, что какой-то учитель решить ее не сможет, то все его тридцать задач оказались однотипными. Тарталья был хорошо подготовлен к их решению и справился со всеми тридцатью задачами за два часа. Фиор же не смог решить ни одной из задач, предложенных его противником. Победа прославила Никколо Тарталью на всю Италию, но вопрос о решении уравнений третьей степени еще не был решен до конца, кроме того, надо было привести в систему все, что было известно о решении разных видов кубических уравнений.
Этим занимались не только Жирар, Декарт и другие ученые 17 века, но и величайшие математики 18 века и первой половины 19 века, в том числе Эйлер, Даламбер, Лагранж, Лаплас, Гаусс.
Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений.
1.3.Методы решения рациональных уравнений.
При изучении математической литературы по данной теме множество рациональных уравнений можно разделить по методу решения.
Для решения некоторых рациональных уравнений не требуется знание особых приёмов. Решаются путем простейших упрощений – приведение к общему знаменателю, приведению подобных членов и т.д.
Квадратные уравнения решают по готовым формулам: D = b 2 – 4ас,
,
а так же формулы Виета
Если это дрбно-рациональные, то находим еще ОДЗ [5, c .6].
Группировка
Путем группировки слагаемых, применяя формулы сокращенного умножения привести уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких множителей, справа – ноль. Затем приравниваем к нулю каждый множитель.
3.Подстановка
Ищем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обозначаем новой переменной, тем самым упращая вид уравнения.
При решении уравнений высших степеней рациональные корни уравнения a n x n + a n – 1 x n – 1 + …+ a 1 x + a 0 = 0 ищем в виде p / q , где p — делитель a 0, q — делитель a n , p и q взаимно простые числа [5, c .9]
Трудность решения в какой-то мере
входит в само понятие задачи:
там, где нет трудности, нет и задачи. (Д. Пойа)
1.4.Классификация рациональных уравнений.
Рациональные уравнения делятся на несколько видов.
Уравнения вида ax 4 + bx 2 + c = 0, где а не =0, являющееся квадратным относительно х 2 , называют биквадратными уравнениями [3, 75].
Для его решения используем замену x 2 = t, где t 0. После подстановки новой переменной получаем уравнение at 2 + bt + c = 0, решая которое приходим к уравнению x 2 = t, где t – корни квадратного уравнения [3, с.75].
2. Уравнения вида (х+а) 4 +(х+в) 4 =с сводится к биквадратному, если
сделать подстановку: х= t – (а + b )/2 [5 .с.7].
3. Уравнения вида (х + а)(х + в)(х + с)(х + d )= l сводится к квадратному, если а + в =с + d [ .с.7].
4. Симметрическое уравнение
Уравнения a 0 x n + a 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 называют симметрическим (коэффициенты членов, равностоящие от концов, равны ) решаются с помощью подстановки , если n – четное, если n – нечетное, то уравнение имеет корень х = -1 [ 5.с.8].
5. Однородные уравнения.
Уравнения вида, ау 2а + b у а z а +с z 2а =0, где а, b , c – заданные числа отличные от нуля. Делим оби части уравнения на у 2а не = 0. Получаем а(у/ z ) 2а + b (у/ z ) а + с = 0. Обозначаем (у/ z ) а = t , получаем квадратное уравнение относительно t [5 ,с.8].
6.Возвратное уравнение четвёртого порядка: ах 4 + b х 3 +сх 2 + к b х + к 2 а = 0 (все коэффициенты отличны от нуля). После почленного деления на х 2 получаем:
ах 2 + b х + с + bk /х + а b ( k /х) 2 = 0
а(х 2 +( k /х) 2 ) + b (х + k /х) + с = 0.
Пусть х+ k /х =у, тогда х 2 +( k /х) 2 = у 2 – 2к, а уравнение примет вид:
Читайте также: