Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах реферат

Обновлено: 05.07.2024

3.2 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, решение прикладных задач (задач на оптимум).

3.3 Определение периода функции

3.4 Нахождение приближенных значений функции

3.5 Нахождение величины угла между прямыми и кривыми.

3.6 Разложение на множители и упрощение выражений.

3.7 Вычисление суммы

3.8 Сравнение чисел и доказательство неравенств

3.9 Решение неравенств

3.10 Доказательство тождеств

3.11. Решение уравнений

3.12 Решение систем уравнений

3.13 Отбор кратных корней уравнения

3.14 Вычисление пределов функции с помощью правила Лопиталя

3.15 Решение физических задач, связанных с нахождением скорости, ускорения и т.д.

3.16 Решение экономических задач

3.17 Разложение функций в ряд с помощью формулы Тейлора

3.18 Задача о линеаризации функции

Из всех теоретических успехов знания вряд

ли какой-нибудь считается столь высоким три-

умфом человеческого духа, как изобретение ис-

числения бесконечно малых во второй половине

Тема исследовательской работы выбрана не случайно, поскольку применение производной позволяет более эффективно решать многие задачи повышенной сложности. Применение производной для решения задач требует от учащихся нетрадиционного мышления. Следует отметить, что знание нестандартных методов и приемов решения задач способствует развитию нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно применять также и в других сферах человеческой деятельность (вычислительная техника, экономика, физика, химия и т.д.) Это доказывает актуальность данной работы.

Физические производные величины:

υ(t) = х/(t) – скорость

a (t)=υ/ (t) - ускорение

J (t) = q/(t) - сила тока

C(t) = Q/(t) - теплоемкость

d(l)=m/(l) - линейная плотность

K (t) = l/(t) - коэффициент линейного расширения

ω (t)= φ/(t) - угловая скорость

а (t)= ω/(t) - угловое ускорение

N(t) = A/(t) - мощность

Дифференциальное исчисление широко применяется для экономического анализа как математический аппарат. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.

Производная в экономических формулах:

П (t) = υ / (t) - производительность труда,

где υ (t) - объем продукции

J(x) = y / (x) - предельные издержки производства,

где y– издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукции x.

В работе рассмотрены прикладные задачи, способы решения которых можно использовать для решения нестандартных задач по алгебре и началам анализа, при подготовке к государственной итоговой аттестации, внешнему независимому оцениванию. Достаточно большое число задач раскрывают потенциальные возможности анализа бесконечно малых величин.

1. Производная и ее применение для решения прикладных задач

1.1 Исторические сведения

Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности. Они встречались у Евклида. Ряд таких задач был решен Архимедом, разработавшим способ проведения касательной, примененный им к спирали, но применимый для других кривых. Основное понятие дифференциального исчисления – понятие производной – возникло в XVII в. В связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики. Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем на основе двух задач: 1) о разыскании касательной к произвольной линии2) о разыскании скорости при произвольном законе движенияЕще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

1.2 Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

Понятие производной

Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a; b), и пусть х0 - произвольная точка этого промежутка

Дадим аргументу x приращение ∆x, тогда функция y = f(x) получит приращение ∆y = f(x + ∆x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ∆y / ∆x при ∆x → 0, называется производной от функции f(x).

Геометрический смысл производной состоит в том, что она равна угловому коэффициенту касательной. Рассмотрим график функции (рис.). Видно,

что , т.е. это отношение равно угловому

коэффициенту секущей mm. Если , то секущая,

поворачиваясь вокруг точки М, в пределе переходит в

касательную , так как касательная является предельным

положением секущей, когда точки пересечения сливаются.

, где - координаты точки касания, а - текущие координаты точки касательной прямой.

Физический смысл производной заключается в скорости изменения функции.

Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t0) = s'(t0) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t0. Вторая производная a(t0) = s''(t0) выражает мгновенное ускорение в момент времени t0.Вообще производная функции y = f(x) в точке x0 выражает скорость изменения функции в точке x0, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x).

13 Дифференциал

Пусть дана функция и - внутренняя точка её области определения. Придадим аргументу приращение и рассмотрим приращение функции

Если это приращение можно представить в виде где величина не зависит от приращения, а - бесконечно малая при величина, имеющая больший порядок малости, чем , то произведение называется дифференциалом функции в точке и обозначается .

Перечень прикладных задач:

-составление уравнения касательной к графику функции;

-нахождение угла между пересекающимися прямыми, между графиками функций;

-исследование и построение графиков функций;

-решение задач на оптимум;

-преобразование алгебраических выражений;

-разложение многочлена на множители;

-приближенные вычисления и оценка погрешностей;

-доказательство неравенств и тождеств;

-решение систем уравнений;

-решение задач с параметрами;

-отбор кратных корней уравнения;

-определение периода функции;

-нахождение пределов функции с помощью правила Лопиталя;

-разложение функций в ряд с помощью формулы Тейлора;

-приближенное решение уравнений методом проб, хорд и касательных;

-линеаризация алгебраических функций и многое другое.

3. Примеры решения прикладных задач

Исследование функций и построение их графиков

Исследовать и построить график функции

Функция существует для всех .

Функция не является ни четной, ни нечетной,

В точке х=0 функция имеет разрыв в точке х=0.

Находим производную: и приравниваем ее к нулю:

. Точка будет критической.

Проверим достаточные условия экстремума в точке . Так как знаменатель производной всегда положителен, то достаточно проследить за знаком числителя. Получаем: при и при . Следовательно, в точке функция имеет минимум, ее значение в точке .

Точек пересечения с осью ОY нет, так как данная функция не определена при х=0. Чтобы найти точки пересечения кривой с осью ОХ, нужно решить уравнение .

Получим, что при функция убывает; х= y=0; функция убывает; при функция убывает; при х= функция имеет минимум y=3; при функция возрастает.

График данной функции представлен на рисунке.

3.2 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, решение прикладных задач (задач на оптимум)

Из бревна, имеющего радиус R, сделать балку наибольшей прочности.

Составляем функцию, выражающую необходимое условие.

В данной задаче высота балки (представляющей собой прямоугольник, вписанный в окружность радиуса R и ширины х), равна . Поэтому прочность такой балки равна . При этом х изменяется от 0 до 2R.

Функция обращается в нуль при х=0 и х=2R и положительна между этими значениями. Значит она имеет максимум, лежащий между 0 и 2R. Но производная этой функции обращается в нуль на отрезке лишь при . Это и есть оптимальное значение ширины b балки. Высота h балки такой ширины равна и отношение равно . Именно такое отношение высоты вытесываемой балки к ее ширине предписывается правилами производства строительных работ.

Требуется построить открытый цилиндрический резервуар вместимостью . Материал имеет толщину d. Какими должны быть размеры резервуара (радиус основания и высота), чтобы расход материала был наименьшим?

Радиус основания внутреннего цилиндра обозначим через х, высоту внутреннего цилиндра через h. Объем дна и стенки резервуара

С другой стороны, по условию , откуда

Подставляя в (*), находим

Полученную функцию нужно исследовать на экстремум при х>0:

Единственный положительный корень производной – это точка Она и дает решение задачи. При этом

3.3 Определение периода функции

Является ли периодической функция ?

Воспользуемся следующим утверждением: если дифференцируемая в каждой точке числовой прямой функция имеет период Т, то ее производная также имеет период Т.

Предположим, что данная функция является периодической с периодом Т. Применяя формулу

Поскольку по предположению функция имеет период Т, то функция , а следовательно, и функция также имеют период Т.

Значит, и функция

Также имеет период Т. Отсюда следует, что существует число , , такое, что Т=. Аналогично показывается, что существует число , такое, что Т=.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.

Метод занятия: объяснительно-иллюстративный с элементами диалога, проблемности, творчества.

Современные педагогические технологии и методы обучения: проблемное обучение, уровневая дифференциация, технология обучения на основе решения задач, технология учебного исследования.

Преподаватель : Кононенко И. Г.

I этап. Организационный момент (3 мин.).

II этап. Опрос обучающихся по заданному на дом материалу (10мин.).

Какие математические задачи особенно важны? Наверно, не вы и не я сразу не сможем ответить на этот вопрос. Очень много задач ставит жизнь перед математикой, есть среди задач простые, а есть и очень трудные. Есть задачи, оставляющие решающего человека спокойным, а есть и такие, от которых дух захватывает. Однако, некоторые группы задач все же можно признать особенно важными для самой математики и ее приложений. К ним относятся задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин, или как их называют задачи на нахождение экстремумов. Экстремум – крайнее, оптимум - наилучшее. Мы представим презентацию, в которой попытались отразить основные этапы “Истории развития теории экстремальных значений величин”.

С давних времен перед человеком возникают практические проблемы выбора оптимального значения некоторой величины при определенных условиях.
Как правило, в задачах подобного рода достижение некоторого результата может быть осуществлено не единственным способом и приходится отыскивать наилучший способ достижения результата.
Однако в одной и той же задаче в разных ситуациях наилучшими могут быть совершенно разные решения. Здесь все зависит от выбранного или заданного критерия. Например, каков должен быть наилучший вид дома? Ответы будут разными в зависимости от того, для каких целей он предназначен. Жилой частный или многоквартирный, административное здание. Для разных целей различны будут и главные критерии. Критерии могут быть следующими:
Количество членов семьи.
Местность, в которой он строится.
Национальные традиции.
Многое другое.
Задачи такого характера, получившие название задачи на экстремумы или задачи на оптимизацию, возникают в самых различных областях человеческой деятельности. И их роль в жизни людей действительно очень важна. Решением таких задач занимались крупнейшие математики прошлых эпох - Евклид, Архимед, Аполлоний, Герон, Тарталья, Торричелли, Ньютон и многие другие. Ведь, несмотря на все разнообразие, их объединяет одна особенность – поиск наиболее выгодного, в определенном отношениях, наиболее экономного, наименее трудоемкого, наиболее производительного. Этот поиск кратко можно назвать поиском лучшего.
Экстремальными задачами человек интересуется с античных времен. В Древней Греции уже давно (во всяком случае до VI века до н.э.) знали об экстремальных свойствах круга и шара: среди плоских фигур с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет круг (среди пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности (решение изопериметрической экстремальной задачи); шар имеет максимальный объем (решение изопифанной экстремальной задачи). История сохранила легенду о следующей самой древней экстремальной задаче, известной как задача Дидоны. Финикийская царевна Дидона (IX век до н.э.) решила организовать поселение на берегу понравившегося ей залива в Северной Африке. Она уговорила вождя местного племени отдать ей клочок земли, который можно охватить воловьей шкурой. Воины Дидоны разрезали шкуру на тонкие полоски, и Дидона охватила ремнем, составленным из этих полосок, участок земли на берегу залива. Так возник город Карфаген. Задача Дидоны состоит в указании формы границы участка, имеющей заданную длину, при которой площадь участка максимальна. Если знать экстремальное свойство круга, то решение получается немедленно: граница участка представляет часть окружности, имеющей заданную длину. Экстремальными задачами занимались многие античные ученые (Евклид, Архимед, Аристотель и др.). Известна следующая задача Евклида (IV век до н.э.): в заданный треугольник ABC вписать параллелограмм ADEF наибольшей площади. Нетрудно доказать, что решением этой задачи является параллелограмм, вершины D, E, F которого делят соответствующие стороны треугольника пополам.
После гибели античной цивилизации научная жизнь в Европе стала возрождаться только в XV веке. Задачи на экстремумы оказались среди тех, которыми интересовались лучшие умы того времени. Если в античные времена задачи на экстремумы исследовались только геометрическими методами и каждая задача для своего решения требовала специфического приема, то в XVII веке появились общие методы изучения задач на экстремумы, которые привели к созданию дифференциального и интегрального исчислений. Первые элементы математического анализа были созданы И. Кеплером (1615 год), который так описывает появление своего открытия: "Мне как хорошему хозяину следовало запастись вином. Я купил его несколько бочонков. Через некоторое время пришел продавец - измерить вместимость бочонков, чтоб назначить цену на вино. Для этого он опускал в каждый бочонок железный прут и, не прибегая ни к какому вычислению, немедленно объявлял, сколько в бочке вина". После размышлений Кеплер открыл секрет такого простого способа измерения объема бочек. Оказалось, что бочары за долгую историю научились изготавливать бочки такой формы, при которой они имели наибольший объем при заданной длине мокрой части прута. А поскольку в окрестности максимума значения функции изменяются мало (в этом суть открытия И. Кеплера), то торговец вина почти не ошибался при объявлении объема бочки по одному измерению.
Открытое И. Кеплером основное свойство экстремумов было затем оформлено в виде теоремы сначала П. Ферма (для многочленов), потом И. Ньютоном и Г. В. Лейбницем для произвольных функций и носит теперь название теоремы Ферма, согласно которой в точке экстремума x0 непрерывной функции f (x) производная функции равна нулю:
С тех пор исследование функций с помощью анализа бесконечно малых величин стало одним из мощнейших математических методов и привело к созданию современного математического анализа.

К объяснению темы приступаю с демонстрации исходного квадрата и тех коробочек, которые изготовили учащиеся, с указанием их объёмов. Бумажный квадрат был у всех одинакового размера, а объёмы коробочек получились разные. Выясняем, в каком случае коробочка имеет наибольший объём. Пусть МN = x см (см. рисунок).

Тогда АМ = ((12-x)/2) см, объём коробочки: V = x 2 *(12-x)/2 = (1/2x 2 (12 – x)) см, где 0 x 12. Находим наибольшее значение функции V(x) = 1/2x 2 (12-x) на отрезке [0;12]. Эта задача была решена в начале урока. Таким образом, в этой части урока всё внимание сосредотачивается на составление математической модели задачи. Важно выяснить, так чья же коробочка имеет наибольший объём?

П.Л.Чебышев говорил, что “особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды”. С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Технологи – стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции. Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей. Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т.д.

Задачи подобного рода носят общее название – задачи на оптимизацию (от латинского словаoptimum – “наилучший”). В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с двумя величинами, одна из которых зависит от другой, причём надо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает своё наименьшее или наибольшее (наилучшее в данных условиях) значение.

составление математической модели;
работа с моделью;
ответ на вопрос задачи.

IV этап. Закрепление нового материала (50мин.).

Учитель: Решите самостоятельно следующую задачу 2. Периметр прямоугольника равен 40см. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей?

Выбираем независимую переменную х и выражаем через неё стороны прямоугольника. х см – длина прямоугольника, (20-х) см – ширина прямоугольника. Тогда 0 2 ;
находим производную S ' (x) = 20-2x;
решаем уравнение 20-2х=0. х=10.

S (10) = 10 (20-10) =10·10 =100 см 2 .

Задача 3.Бак, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещатьлитров жидкости. При какой стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшей?

Решение. Первый этап. Составление математической модели.

1) Оптимизируемая величина— площадь поверхности бака, поскольку в задаче требуется выяснить, когда эта площадь будет наименьшей. Обозначимбуквой

2) Площадь поверхности зависит от измерений прямоугольного параллелепипеда. Объявим независимой переменной (Н. П.) сторону квадрата, служащего основанием бака; обозначим ее буквой Ясно, что Других ограничений нет, значит,

Таковы реальные границы изменения независимой

переменной:

3) Если— высота бака, то, откуда находим

На рис. 152 изображен прямоугольный параллелепипед, указаны его измерения. Поверхность бака состоит из квадрата со стороной и четырех прямоугольников со сторонамии. Значит,

Математическая модель зада чи составлена.

Второй этап. Работа с составленной моделью.

На этом этапе для функциинадо

найти. Для этого нужна производная функции:

На промежуткекритических точек нет, а стационар-

ная точка только одна:при

Заметим, что привыполняется неравенство

а при выполняется неравенство Значит,

— единственная стационарная точка, причем точка минимума функции на заданном промежутке, а потому, согласно теореме из п. 1, в этой точке функция достигает своего наименьшего значения.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

В задаче спрашивается, какой должна быть сторона основания, чтобы бак имел наименьшую поверхность. Мы выяснили, что сторона квадрата, служащего основанием такого бака, равна

Ответ:

Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки, если радиус сечения бревна равен 30 см.

Задача 4. В рассказе Л.Н. Толстого “Много ли человеку земли надо” говорится о крестьянине Пахоме, мечтавшем о собственной земле. Когда он, наконец, собрал желаемую сумму и предстал перед барином, тот ответил ему: “Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за тысячу рублей. Но если к заходу солнца не вернешься на место, с которого вышел, пропали твои деньги. Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник”. Выясните, сумел ли достичь Пахом желаемого результата.( Для этого придется узнать, какое расстояние пробежал крестьянин и какую площадь имеет полученный участок.)

Фигура, которая получилась у Пахома, изображена на рисунке. Что это за фигура?(Прямоугольная трапеция)

Вопрос: Как вы думаете, наибольшую ли площадь получил Пахом. (с учетом того, что участки обычно имеют форму четырехугольника)?

В результате заполнения схемы на доске появляется название раздела математики – линейное программирование.

V этап. Итог урока (7 мин.).

Подводя итог урока, учитель и учащиеся выясняют: на каком этапе учащиеся испытывают наибольшие затруднения и на что они должны обратить внимание при решении домашнего задания.

VI этап. Домашнее задание (5 мин.).

Учитель: Однажды в разговоре П. Л. Чебышев заметил: “В старину математические задачи задавали боги, например, удвоение куба, по поводу изменения Делосского жертвенника. Далее наступил второй период, когда задачи задавали полубоги: Ньютон, Эйлер, Лагранж. Теперь третий период, когда задачи задает практика”. Поэтому домашнее задание следующее: вторую задачу (б) своего варианта (при желании можно сделать задачу более сложного варианта). Творческое задание: составить вместе с родителями и оформить решение в тетради задачи оптимизации, с которой вам или вашим родителям пришлось столкнуться на практике.

1 вариант . 1. Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение. (Ответ:12,12).

2. Известно, что одно из двух чисел на 36 больше другого. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение. (Ответ: -18; 18).

3.Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь? (Ответ: 14; 14).

2 вариант. 1. Разность двух чисел равна 10. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение. (Ответ: -5; 5).

2. Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей. (Ответ: 2; 1).

3. Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200м. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? (Ответ: 50; 50).

3 вариант. 1. Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200м. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? (Ответ: 50; 50).

2. Площадь прямоугольника составляет 16 см 2 . Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим? (Ответ: 4; 4).

В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления.

Цели урока:

Подобные задачи позволяют погрузить студентов в повседневную реальность, способствуют реализации основных целей и задач дисциплины: развитие критического мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования. Формируют понимание значимости математики для научно-технического прогресса и отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики.

Образовательная: отработать навыки конструирования математических моделей по соответствующим реальным ситуациям, рассмотреть методику решения задач прикладного характера, применять ранние полученные знания, выделять этапы в решении прикладных задач.

Развивающая: развивать логическое мышление и математическое моделирование, раскрыть практическое значение задачи; формировать навыки чтения математического текса и составлять схематическое изображение.

Воспитательная: сформировать представление о роли производной в современном производстве и понятие о научной организации труда.

применять математические знания необходимые в повседневной жизни, будущей профессии, в нестандартных ситуациях, при решении задач прикладного характера;
находить производную, находить критические точки функции, находить наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке;
решать прикладные задачи, использовать приобретенные знания и умения для исследования, моделирования практических ситуации на основе изученных формул и свойств.

Формулы дифференцирования
Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значения функций
Дидактические задания, рабочий лист
Мультимедийное оборудование
Ватманы, маркеры

2. Повторение. Решение прикладных задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывности на отрезке функций.
Что нужно сделать, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек? (Чтобы найти на отрезке наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее. Изложенный выше метод поиска наибольших и наименьших значений функции применяют при решении разнообразных прикладных задач).
Какие действия нужно совершить, чтобы решить задачу прикладного характера? Перевести задачу на язык функций. Для этого выбрать удобный параметр (х), через который интересующую нас величину выражаем как функцию f(x); средствами анализа ищем наибольшее и наименьшее значение этой функции на некотором промежутке; выясняем, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.

формализация;
решение полученной математической задачи;
интерпретация найденного решения.

3. Решение заданий, направленных на окончательное решение учебной задачи.

Методика работы с задачей. Скажите, часто ли такие задачи приходиться решать в жизни? Каким способом, можно решить предложенную задачу? (Идет анализ текста задачи и ее перевод в язык функций)

Следующим этапом работы является составление мысленной модели задачи в виде схематического рисунка к задаче, и вводятся условные обозначения: Р – буровая вышка; В – населенный пункт, l – шоссе, РМВ – маршрут следования курьера.

Установите, какие величины будут постоянными, а какие – переменными?

Постоянные величины – РА, АВ, v_п, v_ш
Переменные величины – АМ, МВ, РМ
Исследуемая величина – время, за которое курьеру надо доехать до нужного пункта.

Чему равны постоянные величины: РА = 9 км, АВ = 15 км.v_п = 8 км/ч, v_ш = 10 км/ч

На этапе математического моделирования выбираем параметр (х), через который выражаем интересующую нас величину как t(x):

1. Пусть x – расстояние АМ, 0 2 = 16 . (x 2 + 81),
9x 2 = 16 . 81,
9x 2 = 1296,
x 2 = 1296 : 9,
x 2 = 144,
x₁ = 12,
x₂ = – 12

точку x₂проверять не будем, т.к. она не принадлежит промежутку [0;15].

функция t(x) достигает наименьшего значения в точке x = 12

Критическое осмысление полученного результата, удержание цели занятия и условия задачи позволяет поддерживать высокий уровень активности на протяжении всего занятия. Важным этапом, является интерпретации полученного решения и поиск практического применения.
В какую точку шоссе необходимо ехать, чтобы в кратчайшие время достичь пункта назначения? (Курьеру надо ехать в точку, удаленную на 3 км от населенного пункта и на 12 км от шоссе, чтобы в кратчайшее время достичь населенного пункта.)
Какое практическое значение имеет полученный результат?
Возможно, ли применить полученный опыт использования производной в повседневной жизни, в профессиональной деятельности? (Производная выступает как инструмент изучения интенсивности изменения некоторых экономических объектов (процессов); базовые законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем).

Самостоятельная работа: решите задачу по вариантам

Вариант 2. Человек, гуляющей в лесу, находится в 5 км от прямолинейной дороги и в 13 км от дома, стоящего у дороги. Скорость его передвижения в лесу 3км/ч, а по дороге – 5 км/ч. Найдите наименьшее время, за которое он сможет прийти домой.

ДЕЯТЕЛЬНОСТНАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Профессии: 15.01.20 Слесарь по контрольно-измерительным приборам и автоматике, 09.01.03 Мастер по обработке цифровой информации, 23.01.03 Автомеханик, 09.01.01 Наладчик аппаратного и программного обеспечения

Учебные группы: КИП-11, М-11, А-11, Н-11

Учебная дисциплина: ООПу.04 Математика

Тема учебного занятия: Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах.

Вид урока: лекция-беседа

Средства обучения:

технические: мультимедийный проектор, персональный компьютер;

информационно-коммуникационные: электронная презентация.

методическая: использование объяснительно-иллюстративного метода обучения с целью формирования математического мышления студентов;

образовательная: создание условий для овладения знаниями о примерах использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах;

развивающая: развитие умений планировать, анализировать, выдвигать гипотезы по решению заданий, применять полученные знания для выполнения упражнений;

воспитательная: воспитание интереса к изучению математики, математической культуры студентов.

Прогнозируемые результаты:

1) предметные:

сформированность знаний о вычислениях пределов последовательностей;

владение умением решать задачи на пределы последовательностей;

2) метапредметные:

регулятивные:

умение ставить перед собой цель, видеть ожидаемый результат работы;

умение рационально распределять рабочее время;

умение объективно оценивать свои возможности, анализировать свои результаты, корректировать свои действия;

владение навыками познавательной рефлексии;

познавательные:

умение осуществлять поиск и отбор необходимой информации;

умение сопоставлять и анализировать, выделять в тексте базовые и вспомогательные концепты, опорные понятия, тезисы, структурировать их взаимосвязь;

умение структурировать полученную информацию;

умение анализировать и обобщать информацию;

коммуникативные:

умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности;

умение выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью.

Образовательные технологии: традиционное обучение.

Формы организации обучения: фронтальная, индивидуальная.

Методы обучения и контроля:

вербальные: беседа;

практические: метод сравнения, метод анализа и структурирования.

методы контроля и самоконтроля: устный контроль, самоконтроль.

Нормативный документ

Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (утв. приказом Министерства образования и науки Российской Федерации (Минобрнауки России) от 17 мая 2012 г. № 413 г.). – М.: Министерство образования и науки РФ, – 2012.

Образовательные ресурсы:

Основная литература

Дополнительная литература

Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. Учебник. − М.: Просвещение, 2014. – 464 с.

Атанасян Л.С. Геометрия. 10 − 11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. – М.: Просвещение, 2013. – 255 с.

Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов / Н.В. Богомолов. – М.: Высш. шк., 2013. – 495 с.

Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 430 с.

Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 11 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 464 с.

Интернет-ресурсы:

Научно-методические ресурсы:

Инновационные педагогические технологии: учебное пособие/ Михелькевич В.Н., Нестеренко В.М., Кравцова П.Г. – Самар. гос. тех. ун-т Самара, 2001. – 89 с.

Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 1: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2005. – 288 с.

Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 3: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2007. – 288 с.

Махмутов М.И. Проблемное обучение: Основные вопросы теории. – М.: Педагогика, 1975. – 368 с.

Основные термины и понятия: примеры использования производной, прикладные задачи.

ПЛАН УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Содержание учебного материала:

1) Сформированность знаний о примерах использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах.

2) Закрепление теоретического материала по теме с помощью решения упражнений.

Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности (2 мин)

Преподаватель приветствует студентов, создает деловую обстановку, настраивает на продуктивную мыслительную деятельность.

Этап актуализации опорных знаний. Целеполагание (15 мин)

Преподаватель задает вопросы студентам:

Какие вы знаете методы исследования функции?

Как находить наибольшее и наименьшее значений непрерывной функции на промежутке?

Как применять производную на нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке.

Студенты отвечают на эти вопросы, вспоминая знания, полученные на предыдущем занятии.

Формулирование темы и целей учебного занятия.

Формулирование преподавателем определений о примерах использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах.

Найти наибольшее, наименьшее значения функции на отрезке . Это и проверка усвоения темы прошлого урока, и возможность просмотреть домашнее задание (собрать коробочки), и главное, переходное задание к задачам на оптимизацию. Работу обязательно проверяю по решению одного из учащихся на обратной стороне доски.

Тогда см, объём коробочки: см, где . Находим наибольшее значение функции на отрезке . Эта задача была решена в начале урока. Таким образом, в этой части урока всё внимание сосредотачивается на составление математической модели задачи. Важно выяснить, так чья же коробочка имеет наибольший объём?

Включение нового знания в систему имеющихся знаний (20 мин)

Периметр прямоугольника равен 40 см. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей?

Выбираем независимую переменную х и выражаем через неё стороны прямоугольника. х см – длина прямоугольника, см – ширина прямоугольника. Тогда ;

записываем функцию ;
находим производную ;
решаем уравнение .
Значит, длина и ширина равны 10 см. Какая это получается фигура? (Квадрат).
.
Ответ: 10 см.

Бак, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать литров жидкости. При какой стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшей?

Решение. Первый этап. Составление математической модели.

1) Оптимизируемая величина — площадь поверхности бака, поскольку в задаче требуется выяснить, когда эта площадь будет наименьшей. Обозначим буквой

3) Если — высота бака, то , откуда находим
На рис. изображен прямоугольный параллелепипед, указаны его измерения. Поверхность бака состоит из квадрата со стороной и четырех прямоугольников со сторонами и . Значит,
Итак, , где

Математическая модель задачи составлена.
Работа с составленной моделью.

На этом этапе для функции , где надо найти . Для этого нужна производная функции:

На промежутке критических точек нет, а стационарная точка только одна: при

Заметим, что при выполняется неравенство , а при выполняется неравенство . Значит, — единственная стационарная точка, причем точка минимума функции на заданном промежутке, а потому, согласно теореме, в этой точке функция достигает своего наименьшего значения.

Читайте также: