Построение графиков функций содержащих модуль реферат
Обновлено: 30.06.2024
Работа посвящена изучению теоретического материала по теме: "Графики функций, содержащих переменную под знаком модуля" и выявлению способов построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.
| Вложение | Размер |
|---|---|
| Графики функций, содержащих переменную под знаком модуля | 684.97 КБ |
| Презентация Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля | 2.9 МБ |
| Графики функций, содержащие переменную по знаком модуля. (В Excel, графики к гиперссылке в презентации) ) | 80.43 КБ |
Предварительный просмотр:
Городская научная конференция молодых исследователей
Графики функций, содержащих переменную под знаком модуля
Автор: Железнякова Валерия Александровна
МБОУ СОШ № 45 г.Сургут
10 а класс
Руководитель: Гордеева Светлана Николаевна
МБОУ СОШ № 45 г.Сургут
учитель математики
Понятие модуля является одной из важнейших характеристик числа в области действительных чисел, широко применяется в различных разделах школьного курса математики, физики, но рассмотрение задач, связанных с понятием модуля ( а тем более исследование и построение графиков функций, содержащих знак модуля) появляется лишь эпизодически, в рамках изучения той или иной темы. Тем не менее, задачи, связанные с построением графиков функций, содержащих знак модуля, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в ВУЗы, ЕГЭ.
Материал данной работы можно рекомендовать к использованию на уроках математики или на занятиях школьного математического кружка в качестве дополнительного материала
§1. Построение графиков функций, содержащих модуль 6
1.1. Построение графика функции у=f( ∣ x ∣ ) 6
1.2. Построение графика функции у= ∣ f(x) ∣ 7
1.3. Построение графика функции у= ∣ f( ∣ x ∣ ) ∣ 8
1.4. Построение графиков функций вида ∣ у ∣ =f(x) 9
1.5. Построение графиков функции вида ∣ у ∣ = ∣ f(x) ∣ 10
1.6. Построение графиков функции вида у= ∣ f(x) ∣ + ∣ f 1 (x) ∣ + ∣ f 2 (x) ∣ + . + ∣ fn(x) ∣ 10
§ 2. Задачи на нахождение наименьшего значения функции. 12
Заключение 18
Литература 19
Приложение1. Графики 20
Приложение 2. Подборка задач по теме "Построение графиков функций, содержащих 26 переменную под знаком модуля"
Все течет, все изменяется в окружающем нас мире, как заметили еще древние. Вращается вокруг своей оси земной шар, и день сменяет ночь, Земля вершит свой вечный бег. Кажется, причем здесь математика, а тем более функции и графики, но, как образно заметил великий Г. Галилей (1564-1642), книга природы написана на математическом языке и ее буквы - математические знаки и геометрические фигуры. А именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе.
Графический способ представления зависимостей очень удобен для восприятия особенностей и свойств функции. Как говорится, лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Поэтому при исследовании функции всегда желательно представить, хотя бы ориентировочно, ее график.
Глядя на график, непосвященный увидит лишь некоторую кривую, более сведущий свяжет ее с функцией и опишет некоторые характерные черты последней (например, возрастание или убывание), наконец, искушенный в математике даст, насколько это возможно, полную характеристику функции по данному графику, перечислит все ее основные особенности, а быть может, и укажет формулу, задающую функцию с таким или сходным по форме графиком.
Цель моей исследовательской работы:
1. Провести исследование и анализ имеющихся способов построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля .
2. Выбрать из найденных способов решения наиболее оптимальные.
3. Провести обобщение и систематизацию имеющего материала:
а) научиться строить графики функций, содержащих переменную под знаком модуля;
б) составить подборку задач по теме "Графики функций, содержащих переменную под знаком модуля".
Задача исследования : 1) используя различные методы исследования (теоретический, практический, исследовательский), углубить знания по теории модуля и научиться решать задачи, выходящие за страницы школьных учебников, тем самым расширить познавательный интерес к изучению алгебры;
2) на примере задач посмотреть, можно ли знания по теме "Графики функций, содержащие модуль", использовать для решения задач из реальной жизни.
Объект исследования : Плоскость и поведение на ней различных функциональных зависимостей.
Предмет исследования: Механизм построения графиков кусочно-линейных и кусочно-квадратичных функций определённых на множестве действительных чисел.
§1. Построение графиков функций, содержащих модуль
Для построения всех типов графиков необходимо понимать определение модуля и знать виды простейших графиков, изучаемых в школе.
Целесообразно рассматривать построение графиков в следующей последовательности:
у=f( ∣ x ∣ ); у= ∣ f(x) ∣ ; у= ∣ f( ∣ x ∣ ) ∣ ; у= ∣ f(x) ∣ + ∣ g(x) ∣ + . ; ∣ у ∣ =f(x); ∣ у ∣ = ∣ f(x) ∣ .
Построение графиков следует осуществлять двумя способами:
1) на основании определения модуля;
2) на основании правил (алгоритмов) геометрического преобразования графиков функций.
1.1. Построение графика функции у=f( ∣ x ∣ )
Следовательно, график функции у=f( ∣ x ∣ ) состоит из двух графиков: у= - в правой полуплоскости, у= - в левой полуплоскости.
Исходя из этого, можно сформулировать правило(алгоритм).
График функции у=f( ∣ x ∣ ) получается из графика функции у= следующим преобразованием: х≥0 график сохраняется, а при х
а) Построить график функции у=2 ∣ х ∣ -2.
1) Строим график функции у=2х-2 для х>0.
2) Достраиваем его левую часть для х
б) Построить график функции у=х 2 -2|х|-3.
По свойству модуля, х 2 =|х| 2 , значит у=х 2 -2|х|-3 можно представить в виде у=|х| 2 -2|х|-3. Тогда для того чтобы построить график у=х 2 -2|х|-3 нужно построить график функции у=х 2 -2х-3.
Для этого найдём х 0 =-b/2a=-(-2)/2=1, y 0 =y(1)=1-2-3=-4,
ось параболы х=1, её вершина имеет координаты (1;-4),
при у=0 х=3 или х=-1,
Теперь оставим без изменений часть графика, расположенную в правой полуплоскости, и отобразим её симметрично относительно оси У(другую часть графика отбросим).
1.2. Построение графика функции у= ∣ f(x) ∣
Отсюда вытекает алгоритм построения графиков функции у= ∣ f(x) ∣ .
а) Строим график функции .
б) Часть графика у= лежащая над осью Ох, сохраняется, часть его, лежащая под осью Ох, отображается симметрично относительно оси Ох.
Пример: а) Построить график функции у= ∣ х-2 ∣ .
а) Строим график функции у=х-2.
б) График нижней полуплоскости отображаем
вверх симметрично относительно оси Ох.
б) Построить график функции у= ∣ х 2 -2х-3 ∣ .
1) Строим график функции у=х 2 -2х-3.
2) График нижней полуплоскости отображаем
вверх симметрично относительно оси Ох
1.3. Построение графика функции у= ∣ f( ∣ x ∣ ) ∣
Правило (алгоритм) построения:
Чтобы построить график функции у= ∣ f( ∣ x ∣ ) ∣ , надо сначала построить график функции у= f(x) при х>0, затем при х ∣ x ∣ ) ∣ x ∣ ) относительно оси Ох.
Пример: а) Построить график функции y = |1 – |x||
2. 1) Строим график функции у=1-х.
2) График функции у=1- ∣ х ∣ , получаем из графика функции у=1-х отображением симметрично (при х≥0) относительно оси Оу.
3) График функции y = |1 – |x||, получаем из графика функции у=1- ∣ х ∣ отображением симметрично оси Ох нижней части графика.
б ) Рассмотрим функцию вида y = |2 – |1 – |x|||.
Рассуждая как и в примере а), получим график функции y = |2 – |1 – |x|||.
Внимание Скидка 50% на курсы! Спешите подать
заявку
Профессиональной переподготовки 30 курсов от 6900 руб.
Курсы для всех от 3000 руб. от 1500 руб.
Повышение квалификации 36 курсов от 1500 руб.
Лицензия №037267 от 17.03.2016 г.
выдана департаментом образования г. Москвы
Реферат "Построение графиков, содержащих знаки абсолютной величины" 9 класс
Филиал муниципального бюджетного образовательного учреждения Сосновской средней школы №1 в с. Ольхи Сосновского района Тамбовской области
Подготовил Галахов Виталий Сергеевич ученик 9 класс
Руководитель Глумова Любовь Семеновна
Построение графика функции y = | f ( x )|
Построение графика y = f (| x |)
Построение графика y = | f (| x |)|
Построение графика функции | y | = f ( x ) при f ( x ) ≥ 0
Построение графиков функций | y | = | f ( x )|
Целью этого курса является развитие мотивации учащихся к изучению точных наук, привитие интереса к математике, раскрытие красоты и важности математики в жизни человека. Исходя из этого, основными задачами этого курса можно считать выявление математических наклонностей и способностей учащихся; понимание значимости математики как части общечеловеческой культуры для профессиональной деятельности, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности.
Построение графиков некоторых функций
1.Построение графика функции y = | f ( x )|
F ( x ) для тех x , где f ( x ) ≥ 0
По определению модуля│ f ( x )│ =
- f ( x ) для тех x , где f ( x )
Чтобы построить график функции y = │ f ( x )│ , надо сначала построить график функции y = f ( x ), а затем участки этого графика, лежащие выше оси абсцисс, оставить без изменения, а участки, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразить относительно этой оси
Пр.1 y = | x 2 -6 x +5 |
2. Построение графика y = f (| x |)
Заметим, что т.к. f (| - x |) = f (| x |), то функция y = f (| x |) четная и для построения ее графика следует удалить точки графика функции f ( x ), находящиеся слева от оси OY , а все точки, лежащие на оси OY и справа от нее, отобразить симметрично относительно оси OY .
3. Построение графика y = | f (| x |)|
Последовательность действий учащимися:
Строим график функции y = f ( x ) для x ≥ 0
Отображаем построенную часть графика относительно оси ординат
Участки полученного графика, лежащие ниже оси абсцисс, отражаем относительно этой оси
Строим так, рассматриваем его при x x ≥ 0, а затем отображаем относительно оси абсцисс, т.к. y должен быть ≥ 0.
4. Построение графика функции | y | = f ( x ) при f ( x ) ≥ 0
, тогда y = + f ( x ) , где f ( x ) ≥ 0
Рассмотрим последовательность построения графика:
Установить для каких X выполняется условие f ( x ) ≥ 0
На найденных промежутках значений x построить график функции
Осуществить зеркальное отражение графика относительно оси абсцисс
Пр.5 | y | = х 2 +6х +5
Выясняем, где х 2 +6х +5 ≥ 0 , нашли эти промежутки на них строим
Затем зеркально отражаем относительно оси абсцисс y =х 2 + 6х +5 ; х 2 +6х +5= 0 D =4 2 , два корня
Х 1 = -1, Х 2 =-5 Х в =-3, Y в =-4
5.Построение графиков функций | y | = | f ( x )|
y = + f ( x ), очевидно этот график будет симметричен относительно оси абсцисс, т.к. левая часть под модулем.
Строим график y = │ f ( x )│
Осуществляем его зеркальное отражение относительно оси абсцисс
Пр.6 | y | =│ x │, y = + | x |
Строим график y = │ x │
Отображаем относительно оси абсцисс
6. Построение графиков функции вида y = | x – x 1 | + | x - x 2 | + | x – x 3 | + ….+ | x – x n |
Пр.7 Построить график функции y = | x – 1 | + | x +2 |
В данном случае используем для этого условие: x – 1= 0 , x =1
x +2=0, x = -2Рассмотрим знаки подмодульных выражений функции на трех промежутках
а) x € ( ; -2 ] , (-2; 1] , (1 ; )
x € (- ; -2 ] y = | x – 1 | + | x +2 | , y = - x + 1 - x - 2, y = -2 x -1
(-2; 1] y = | x – 1 | + | x +2 |, y = - x + 1 + x +2, y = 3
(1; ) y = | x – 1 | + | x +2 |, y = x - 1 + x +2, y = 2 x +1
Строим графики, полученных функций на рассматриваемых промежутках
Пр.8 Построить график функции Y = | х 2 - 3 | x | +2 |, сначала строим график функции Y = х 2 - 3 | x | +2 , а затем отобразим ту часть, где симметрична относительно оси ох.
х 2 – 3 x +2=0 , D =1, два корня. Х 1 = 1 , Х 2 = - 1 , Ув = - 0,25
Геометрическая интерпретация удобна и доступна для понимания подавляющего большинства учащихся, т.к. с ее использованием алгебраическая задача перестает быть абстрактной и отвлеченной, а найденные решения в процессе их поиска становятся частью опыта учащихся. Геометрический образ откладывается в сознании учащихся и легко может быть актуализирован в аналогичной или даже незнакомой ситуации. Таким образом, формируется геометрическое мышление, т.е. развивается умение оперировать различными геометрическими объектами, интерпретировать алгебраические задачи геометрически.
Таким образом,учащиеся на базовом уровне сначала повторяют графики элементарных функций, а затем рассматривают влияние модуля на расположение графиков на координатной плоскости. Обращается внимание на необходимость этих графиков, их симметричность, красоту.
1. Алгебра: Учебное пособие для учащихся 8 кл. с углубленным изучением математики / Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, Г.С. Сурвилло и др.; Прд. Ред. Н.Я.Виленкитна. – 5-е изд. М.: Просвещение, 2001.
2. Алгебра: Учебное пособие для учащихся 9 кл. с углубленным изучением математики / Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, Г.С. Сурвилло и др.; Прд. Ред. Н.Я.Виленкитна. – 5-е изд. М.: Просвещение, 2001.
3. Дорофеев Г.В. Математика: для поступающих в вузы: Пособие. – 5-е изд., стереотип. М.: Дрофа, 2002.
4. Гельдфан И.М. Функции и графики (основные приемы) М.: Наука, 1971.
5. Мордкович А.Г. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001.
6. Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е., Мишустина Т.Н. Алгебра 8 класс: Задачник для общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001.
7. Мордкович А.Г. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001.
8. Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е., Мишустина Т.Н. Алгебра 9 класс: Задачник для общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001.
Помогаем учителям и учащимся в обучении, создании и грамотном оформлении исследовательской работы и проекта.
Темы исследований
Оформление работы
Наш баннер
Сайт Обучонок содержит исследовательские работы и проекты учащихся, темы творческих проектов по предметам и правила их оформления, обучающие программы для детей.
Код баннера:
Исследовательские работы и проекты
Исследовательская работа "Графики и модули"
В процессе работы над индивидуальным исследовательским проектом по математике на тему "Графики и модули" автором была поставлена цель, исследовать методы построения графиков, содержащих переменную под знаком модуля, составить список заданий, для самостоятельного выполнения при подготовке к экзаменам.
Подробнее о работе:
В ученической исследовательской работе по математике "Графики и модули" автором были рассмотрены существующие методы построения графиков функций, содержащих модули, выяснено, какие из методов наиболее рациональные, установлено, какой из методов менее затратный по времени. В проекте среди основных методов построения графиков с помощью определения модуля были рассмотрены метод симметрии, метод интервалов и метод вершин.
Учебная исследовательская работа по математике на тему "Графики и модули" будет интересна учащимся 9 класса, рассматривает теоретическую базу построения графиков с помощью определения модуля. В работе представлено решение основных примеров, которые могут встретиться в экзаменационном задании. Автор проекта анализирует, какой из предложенных методов построения графиков, наиболее легкий и быстрый.
В исследовательском проекте выдвинута гипотеза о том, что существует метод построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля, менее затратный по времени и простой для понимания. В приложении к работе предложены задания для самостоятельного выполнения по теме.
Оглавление
Введение
1. Методы построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.
1.1. Построение графика с помощью определения модуля.
1.2. Построение графика с помощью метода симметрии.
1.3. Построение графика с помощью метода интервалов.
1.4. Построение графика с помощью метода вершин.
Заключение
Литература
Приложение
Введение
Но исследование и построение графиков функций, содержащих знак модуля, появляется лишь эпизодически, в рамках изучения той или иной темы. Тем не менее, задачи, связанные с построением графиков функций, содержащих знак модуля, часто встречаются на математических олимпиадах, заданиях второй части ОГЭ.
Графический способ представления зависимостей очень удобен для восприятия особенностей и свойств функции, поэтому при исследовании функции всегда желательно представить ее график. Посмотрев на график функции, можно описать её некоторые характерные свойства, перечислить все ее основные особенности, а быть может, и указать формулу, задающую данную функцию.
- есть ли другие методы построения графиков функций, содержащих модули?
- какие из методов наиболее рациональные?
- какой из методов менее затратный по времени?
Цель работы: исследовать методы построения графиков, содержащих переменную под знаком модуля.
- Изучить методы построения строить графики, содержащие переменную под знаком модуля.
- Найти общие подходы к построению графиков с модулями.
- Разработать продукт заданий для подготовки к ОГЭ по математике.
Объект исследования: функции, содержащие переменную под знаком модуля.
Предмет исследования: механизм построения графиков.
Гипотеза: Я предполагаю, что существует метод построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля, менее затратный по времени и простой для понимания.
Понятие модуля является одной из важнейших характеристик числа в области действительных чисел, широко применяется в различных разделах школьного курса математики, физики, но рассмотрение задач, связанных с понятием модуля (а тем более исследование и построение графиков функций, содержащих знак модуля) появляется лишь эпизодически, в рамках изучения той или иной темы. Тем не менее, задачи, связанные с построением графиков функций, содержащих знак модуля, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в ВУЗы, ЕГЭ.
Провести исследование и анализ имеющихся способов построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.
Выбрать из найденных способов решения наиболее оптимальные.
Провести обобщение и систематизацию имеющего материала.
Научиться строить графики функций, содержащих переменную под знаком модуля.
Используя различные методы исследования (теоретический, практический, исследовательский), углубить знания по теории модуля и научиться решать задачи, выходящие за страницы школьных учебников, тем самым расширить познавательный интерес к изучению алгебры.
Отработать алгоритм построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.
Раскрыть сущность методов построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.
§1. Построение графиков функций, содержащих модуль
Построение графика функции
Построение графика функции
Построение графика функции
1.4. Построение графиков функций вида
§2. Решение задач КИМ ГИА по теме "Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля"
§1. Построение графиков функций, содержащих модуль
1.1. Построение графика функции
Для построения графика функции y=f(|x|) нужно построить график функции y=f(x), стереть ту часть графика, которая расположена левее оси ординат, и нарисовать на ее месте отраженную симметрично относительно оси ту часть графика, которая лежит правее оси:
Пример 1. Построить график функции y = x 2 – 8|x| + 12.
Определим четность функции. Значение для y(-x) совпадает со значением для y(x), поэтому данная функция четная. Тогда ее график симметричен относительно оси Oy. Строим график функции y = x 2 – 8x + 12 для x ≥ 0 и симметрично отображаем график относительно Oy для отрицательных x (рис. 1).
1.2. Построение графика функции
Для построения графика функции нужно построить график функции и отразить симметрично относительно оси абсцисс ту часть графика, которая лежит ниже оси:
Пример 2. Построить график функции y = |x 2 – 8x + 12|.
График функции получают следующим образом: строят график функции y = x 2 – 8x + 12, оставляют часть графика, которая лежит над осью Ox, без изменений, а часть графика, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отображают относительно оси Ox (рис. 2).
Построение графика функции
Для построения графика функции есть два подхода.
Первый подход заключается в том, что сначала строится график у которого стирается та часть, которая расположена левее оси ординат, и рисуется на ее месте отраженная правая часть:
Второй состоит в том, что строится график функции и отражается симметрично относительно оси абсцисс та часть графика, которая лежит ниже оси
Для построения графика функции y = |x 2 – 8|x| + 12| проводят комбинацию преобразований:
y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.
Ответ: рисунок 3.
Рассмотренные преобразования справедливы для всех видов функций. Составим таблицу:
Преобразование
1) Для x ≥ 0, y = f(x)
1) Для f(x) ≥ 0, |f(x)| = f(x)
Симметричное отображение части графика из нижней полуплоскости в верхнюю относительно Ox
1.4. Рассмотрим функцию y = |x + 1| – |x – 2| и построим её график.
Раскрывая знак модуля, необходимо рассмотреть всевозможную комбинацию знаков подмодульных выражений.
Возможны четыре случая:
1) у = x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ – 1 и x ≥ 2;
2) у = – x – 1 + x – 2 = – 3, при x
3) у = x + 1 + x – 2 = 2x – 1, при x ≥ – 1 и x
4) у = – x – 1 – x + 2 = – 2x + 1, при x
Тогда исходная функция будет иметь вид:
y = 2x – 1, при –1 ≤ x
Получили кусочно-заданную функцию, график которой изображен на рисунке 6.
§2. Решение задач КИМ ГИА по теме "Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля"
Постройте график функции у=∣х+1∣–∣х–1∣ и найдите все значения , при которых прямая у = kх имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.
Раскрывая модули, получаем, что
График изображён на рисунке.
Решение более сложных, выходящих за рамки школьной программы задач требует дополнительных знаний и умений. В данной работе затронут серьёзный математический вопрос - построение графиков функций, содержащих знак модуля.
В ходе работы мы рассмотрели теоретический материал по абсолютной величине и решили практические задачи. Многообразие видов таких функций, различия в построениях их графиков, приобретение новых знаний, сделало нашу работу интересной и увлекательной.
В результате работы над темой я сумела изучить поведения линейных, квадратичных, дробно-рациональных функций. Научилась преобразованию графиков, содержащих знак модуля. Также в ходе выполнения работы я экспериментировала с построением графиков функций, придуманных самостоятельно. Для этих экспериментов я использовала возможности программы Microsoft office Excel. Также возможности программы Microsoft office Excel я использовала для самопроверки правильности построения графиков.
Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. И. Л. Никольская - М. Просвещение, 1991
-75%
Активизация основных видов деятельности учащихся на уроках математики в условиях реализации ФГОС в основной школе
Читайте также: