Площади и объемы геометрических тел реферат

Обновлено: 05.07.2024

Геометрическое понятие и характеристика тел вращения, способы их получения в разных плоскостях, методика расчета площади и объема фигур: конус, цилиндр, шар, многогранники. Принципы определения объема тела с известной площадью поперечного сечения.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	16.03.2016
Размер файла	363,8 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Объемы и поверхности тел вращения

Учащийся Переверзев Ярослав Школа № 1416

конус цилиндр многогранник шар

1. ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

2.1 ОБЪЕМЫ МНОГГРАННИКОВ

2.2 ОБЪЕМЫ ТЕЛ С ИЗВЕСТНЫМИ ПЛОЩАДЯМИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ

3. ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ

3.1 ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

1. ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Пусть даны две параллельные плоскости и ₁ и на плоскости фигура К, ограниченная замкнутой линией l (рис.1.1,а). Цилиндром называется тело, образованное заключенными между двумя параллельными плоскостями отрезками всех параллельных прямых, пересекающих фигуру К в одной из плоскостей.

Поясним это. Проведем через произвольную точку XK прямую до пересечения с плоскостью ₁ в точке Х₁. Когда точка Х при движении описывает фигуру К, тогда отрезки XX₁ параллельных прямых образуют цилиндр. При этом точка Х₁ описывает фигуру К₁₁, равную К. Отрезки с одним концом на линии l, ограничивающей фигуру К, называются образующими цилиндра, линия l - направляющей цилиндра, фигуры К и К₁ в плоскостях и ₁ -- основаниями цилиндра.

Круговым называется цилиндр, основанием которого является круг, при этом направляющей l является окружность (рис.1.1,б).

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны к плоскостям оснований. В дальнейшем будем рассматривать только прямой круговой цилиндр, и называть его просто цилиндром (рис.1.2). Радиусом цилиндра является радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований.

Прямой круговой цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника ABCD вокруг оси, содержащей его сторону ВС (рис.1.3). Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым.

Задача 1.1. Через образующую цилиндра проведена плоскость под углом к плоскости осевого сечения, содержащего ту же образующую. Диагональ d прямоугольника, полученного в сечении, образует с плоскостью основания угол . Найти образующую и площадь основания цилиндра.

Решение. АА₁В₁В -- осевое сечение (рис.1.4). Образующая АА₁ перпендикулярна к плоскости основания, поэтому АА₁ А₁С₁ и АА₁ А₁В₁. Следовательно, С₁А₁В₁ -- линейный угол двугранного угла АА₁ и С₁А₁В₁=. Из прямоугольного треугольника АА₁С находим АС= A₁Ccos = dcos. Треугольник А₁С₁В₁ - прямоугольный, А₁С₁В₁=90 o .

Круговым конусом называется тело, образованное всеми отрезками, соединяющими данную точку -- вершину конуса -- с точками круга -- основания конуса.

Пусть -- плоскость, К -- круг в плоскости с центром О и точка S (рис.1.5). Соединим каждую точку Х круга К с точкой S отрезком XS. Все отрезки XS образуют круговой конус.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая его вершину с центром основания, перпендикулярна к плоскости основания. Будем рассматривать только прямой круговой конус, и называть его просто конусом. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Все образующие конуса равны.

Прямой круговой конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника AOS вокруг оси, содержащей его катет SO (рис.1.6) .

Высотой конуса называется перпендикуляр, проведенный из его вершины на плоскость основания. Ось конуса -- прямая, содержащая его высоту. Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым. Часть конуса, заключенная между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию, называется усеченным конусом. На рис.1.7 изображен усеченный конус, OO₁ - высота, АВ - образующая.

Задача 1.2. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через его вершину. Найти площадь сечения, если радиус конуса равен 3 см, двугранный угол между плоскостями сечения и основания 60, а угол между образующей и высотой 45°.

Решение. Сечение конуса -- ASB (рис. 1.8). Проведем SKAB, тогда, согласно теореме о трех перпендикулярах, OKAB. Угол SKO -- линейный угол двугранного угла AB,

Окончательно имеем S _ASB = .

1.3 ШАР

Понятие шара и свойства его сечений

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от некоторой фиксированной точки. Данные точка и расстояние называются соответственно центром и радиусом шара. Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Значит, сфера состоит из всех тех точек шара, которые удалены от центра шара на расстояние, равное радиусу. На рис.1.9 О -- центр сферы (шара), отрезок ОМ (М -- произвольная точка сферы) -- радиус сферы (шара): ОМ=R. Отрезок AB, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы (шара). Значит, AB=2R.

Шар можно получить при вращении полукруга вокруг оси, содержащей его диаметр. При этом полуокружность описывает шаровую поверхность или сферу.

Теорема 1.1. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, проведенного из центра шара на секущую плоскость.

Доказательство. Пусть О -- центр шара, -- секущая плоскость. Проведем на плоскость из центра шара перпендикуляр ОА. Точка А - основание этого перпендикуляра (рис. 1.10). Возьмем произвольную точку - X шара, принадлежащую плоскости , и соединим ее с точками О и А. Тогда по теореме Пифагора

Согласно определению шара, OX R, поэтому АХ. Следовательно, любая точка сечения шара плоскостью находится от точки А на расстоянии, не большем, чем . Это значит, что точка Х принадлежит кругу с центром А и радиусом .

Кроме того, любая точка Х этого круга принадлежит шару. Таким образом, сечение шара плоскостью есть круг.

Круг в сечении шара плоскостью будет тем больше, чем ближе плоскость к центру шара, т.е. чем меньше расстояние ОА (рис.1.10). Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называется большим кругом, а сечение сферы - большой окружностью. Очевидно, что радиус большого круга равен радиусу шара.

Теорема 1.2. Любая плоскость, проходящая через центр шара, является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Доказательство. Пусть -- плоскость, проходящая через центр О шара (рис.1.11). Возьмем произвольную точку Х шара. Построим точку Х, симметричную точке Х относительно плоскости : XX₁ и ХА = Х₁А. Тогда ОХА -- ОХ₁А по (----). Из равенства треугольников следует, что ОХ = ОХ₁. Так как ОХR, то ОХ₁R. Значит, точка Х₁, симметричная точке X, принадлежит шару.

Построим точку Y, симметричную точке Х относительно центра шара. Тогда ОY = ОХ R. Это значит, что точка Y принадлежит шару. Итак, центр О шаpa является центром его симметрии.

Части шара и шаровой поверхности

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой - либо плоскостью (рис.1.16).

Круг радиусом О₁С в сечении шара называется основанием, отрезок О₁А радиуса шара, перпендикулярного к плоскости сечения, -- высотой шарового сегмента.

Сегментной поверхностью (сферическим сегментом) называется часть шаровой поверхности, отсекаемая от нее плоскостью. На рис. 1.16 О₁С-- радиус окружности основания сегментной поверхности, О₁А -- высота сегментной поверхности.

Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между параллельными плоскостями, пересекающими шар (рис.1.17). Круги радиусов О₁С и О₂А в сечении шара называются основаниями шарового слоя, отрезок 0₁0₂ -- высотой.

Шаровым поясом называется часть шаровой поверхности, заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями. На рис.1.17 отрезки О₁С и О₂А - радиусы окружностей оснований шарового пояса, O₁O₂ - высота.

Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом:

если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, основанием которого является основание сегмента, а вершина находится в центре шара (рис.1.18);

если же сегмент больше полушара, то указанный конус "удаляется" (рис.1.19). За высоту шарового сектора принимают высоту части его сферической поверхности.

Задача 1.5. Радиус кругового сектора - r, а дуга -- (0 2 (/2).

2. ОБЪЕМЫ ТЕЛ

2.1 ОБЪЕМЫ МНОГГРАННИКОВ

Объем цилиндра (прямого)

Теорема 11.4. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

где S - площадь основания цилиндра; Н -- высота.

Доказательство. Доказательство проведем для прямого кругового цилиндра (рис.11.9). Построим две прямые призмы Ф₁ и Ф₂ высотой Н, равной высоте цилиндра, и основаниями соответственно Р₁ и Р₂, где Р₁ и Р₂ - два n-угольника, один из которых P₁ вписан в основание цилиндра, другой P₂ - описан. Призма Ф₁ содержится в цилиндре, Ф₁ содержит цилиндр, поэтому

где ₁, ₂ -- сколь угодно малые величины, стремящиеся к нулю при увеличении числа сторон n так, чтобы длины сторон n -угольника стремились к нулю.

Имеем: (S_осн-₁)H г Н, где R-- радиус основания; Н -- высота.

Задача 11.5. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отстоящее от оси на расстоянии d и отсекающее от окружности основания дугу величиной . Площадь сечения равна S. Найти объем цилиндра (рис.2.10).

Решение. Пусть АВСО - сечение, площадь которого S, ОК АВ, ОК = d, АОВ = , следовательно, КОА = /2. Из ОАК OA= , АВ = 2АК = 2d tg (/2).

2.2 ОБЪЕМЫ ТЕЛ С ИЗВЕСТНЫМИ ПЛОЩАДЯМИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ

Формула объема тела с известными площадями поперечных сечений. Объем тела вращения

Используя формулу вычисления объема прямого цилиндра, получим формулу объема произвольного тела, для которого известны площади сечений, перпендикулярных некоторой прямой l.

Пусть даны ограниченное тело Ф и ось x (рис.2.11). Зная абсциссу x, можно вычислить площадь S = S (x) -- сечения тела Ф плоскостью, перпендикулярной к оси x и проходящей через точку с абсциссой x, т.е. площадь сечения является функцией от x. Пусть x=a и x=b -- абсциссы крайних сечений тела.

Теорема 2.5. Если для данной фигуры известны площади S = S(x) всех ее поперечных сечений плоскостями, перпендикулярными к некоторому данному направлению, принятому за ось x, а x b, то объем тела Ф вычисляем по формуле

Доказательство. При вычислении объема V разобьем фигуру Ф на n элементарных фигур плоскостями, перпендикулярными к оси x, от x =а до х=b.

где Н - высота сегмента; R -- радиус шара.

Доказательство. Пусть дан шар радиусом R с центром в точке О (рис. 2.18). Ось х проведем через точку О, начало координат выберем в центре шара О. Плоскость ху пересекает шар по окружности радиусом R и с центром в точке О, ее уравнение

Шар мы получим, если будем вращать вокруг оси х криволинейную трапецию, ограниченную осью х и верхней полуокружностью, уравнение которой

Вычислим объем шара:

Вычислим объем шарового сегмента высотой Н = DC, OD = R -- Н, R -- Н х R. Воспользовавшись формулой для вычисления объема тела вращения, получим (рис. 2.18)

Замечание. Объем шарового сектора можно представить в виде суммы (разности) объемов шарового сегмента и конуса.

Задача 2.8. Вычислить объем шарового слоя, радиусы окружностей, в основании которого R₂ и R₁ (R₁> R₂, центр шара вне слоя), R - радиус шара.

Решение. Дано KB = R₂, DС = R₁, OD = R. Из рис. 2.19 видно, Выбрав за ось x прямую OA, по формуле (2.1) вычислим объем шарового слоя.

Уравнение полуокружности AKD имеет вид

Тогда объем шарового слоя

3. ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ

3.1 ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

Площадь поверхности кругового цилиндра

Различают площадь боковой S_бок цилиндра и площадь S поверхности цилиндра.

Площадью поверхности цилиндра называют сумму площадей боковой поверхности и площадей оснований цилиндра.

Теорема 3.5. Площадь боковой поверхности кругового цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра:

где К -- радиус основания, Н -- высота цилиндра.

Доказательство. Вычислим искомую площадь, используя определение

Тело F_h, о котором говорится в определении, заключено между цилиндрическими поверхностями, радиусы которых R+h, R-h (h>0), и двумя плоскостями, перпендикулярными к оси цилиндра и отстоящими на расстоянии Н + 2h (рис. 3.6) . Поэтому

С другой стороны, тело F_h, полностью содержит в себе тело, заключенное между цилиндрическими поверхностями, радиусы которых R + h и R -- h , и двумя плоскостями оснований, расстояние между которыми Н, поэтому

Найдем, какую площадь займут обрезки и материалы на швы: S_обр =33,9*10%=3,9*0,1 = 3,39 м 2 .

S = S_бок + S_обр = 33,9 м 2 + 3,39 м 2 37,3 м 2 .

Площадь листа железа равна 0,7*1,4 = 0,98 м 2 . Всего потребуется 37,3:0,98 38 листов железа.

Площадь поверхности шара и его частей

Теорема 3.7. Площадь поверхности сферы равна

где R радиус сферы.

Доказательство. Найдем площадь сферы, пользуясь определением площади поверхности

Тело F_h является слоем между двумя концентрическими сферами, радиусы которых R +h и R - h, h>0 (рис. 3.9).

Объем его равен разности объемов шаров этих радиусов:

Теорема 3.8. Площадь поверхности сферического сегмента равна S = 2RH, где R - радиус сферы, Н -- высота сегмента. Аналогично теореме 3.7

где V_h- объем тела F_h (рис.3.10) . Тело F_h заключено между поверхностями двух сегментов, высоты которых Н + 2h и Н, шаровых поверхностей радиусами соответственно R + h и R -- h. Объем тела меньше разности объемов этих сегментов:

С другой стороны, тело F_h содержит в себе тело, заключенное между сегментами шаровых поверхностей, высоты которых H + h и H - h и радиусы R + h и R -- h соответственно, поэтому его объем будет больше разности объемов этих сегментов:

Разделив неравенства на 2h, получим

При h0 левая и правая части неравенства будут стремиться к 2RH,поэтому площадь сегмента

Теорема 3.9. Площадь поверхности шарового пояса S == 2RH, где R -- радиус шара, Н -- высота пояса.

Доказательство. Площадь шарового пояса высотой Н = ВС можно найти как разность площадей поверхностей двух сегментов с высотами СА и ВА (рис.3.11):

Доказательство проведено для случая, когда шаровой слой расположен по одну сторону от центра шара. Для других положений пояса доказательства проводятся аналогично.

Задача 3.8. Диаметр Марса составляет половину земного. Диаметр Юпитера в 11 раз больше земного. Как относятся площади поверхностей Марса, Юпитера и Земли?

Решение. Пусть R_м -- радиус Марса, R_з - радиус Земли, R_ю -- радиус Юпитера.

Выразим площади поверхностей через радиус Марса:

т.е. площади поверхностей сфер относятся как квадраты радиусов.

ЛИТЕРАТУРА

Геометрия для подготовительных отделений вузов: Справ. Пособие/ А.И. Герасимович, Г.Т. Пушкина - Варварчук, З.П. Шарикова, В.К. Цыганова. - Мн.: Выш. шк.

Абрамович М.И., Стародубцев М.Т. - Математика, геометрия и тригонометрические функции. - М.:Высш. шк., 1976.

Сборник задач по математике/ Под ред. М.И. Сканави. - М.: Высш. шк., 1980.

Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 6-10 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1982.

Подобные документы

Образование винтовой поверхности (геликоида) винтовым перемещением линии (образующей). Прямые и наклонные, закрытые и открытые геликоиды. Построение разверток поверхности, их свойства и сферы применения. Схемы развертки тел вращения: конус и цилиндр.

презентация [338,1 K], добавлен 16.01.2012

Геометрическое тело, ограниченное замкнутой боковой поверхностью и двумя пересекающими ее поверхностями (основаниями). Элементы цилиндра, история термина; цилиндрическая архитектура. Определение площади боковой, полной поверхности и объема цилиндра.

презентация [678,0 K], добавлен 09.12.2015

Неопределенный интеграл. Объем тела вращения. Эмпирическая формула. Сходимость ряда. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Исследование на условную сходимость по признаку Лейбница.

контрольная работа [25,8 K], добавлен 27.05.2004

Методика и основные этапы нахождения параметров: площади криволинейной трапеции и сектора, длины дуги кривой, объема тел, площади поверхности тел вращения, работы переменной силы. Порядок и механизм вычисления интегралов с помощью пакета MathCAD.

контрольная работа [752,3 K], добавлен 21.11.2010

Определение цилиндра (кругового прямого и наклонного), прямого и усечённого конуса, шара и сферы. Основные формулы по расчету геометрических размеров фигур вращения: радиуса, площади боковой и полной поверхности. Объем шара по Архимеду. Уравнение сферы.

Использование определенных интегралов при выводе формул стереометрии.

Вложение	Размер
obemy_i_ploshchadi_geometr._tel.docx	55.27 КБ

Предварительный просмотр:

Министерство образования и науки РФ

Фрязинский государственный техникум электроники, управления и права

Объёмы и площади поверхностей геометрических тел

г. Фрязино 2011 год

Автор Морозова Н.Е.

Фрязинский государственный техникум электроники, управления и права, 2011 год.

Количество страниц 12.

Рецензент: Погудина Л.Г.

на методическую разработку преподавателя Морозовой Н.Е.

Тема: Нахождение объёмов и площадей поверхностей геометрических фигур

Положительным моментом является быстрота её распространения среди студентов. Аналогичным образом надо оформлять и последующие методические разработки.

Преподаватель ФГТЭУП____________/Погудина Л.Г.

Объём цилиндра…………………………………………………………4
Объём конуса…………………………………………………………….5
Объём шара………………………………………………………………6

ПЛОЩАДИ БОКОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ……..7

2.1 Площадь боковой поверхности цилиндра…………………..…………7

2.2 Площадь боковой поверхности конуса…………………………….…..8

2.3 Площадь боковой поверхности шара……………………………….….9

3. ОБЪЁМЫ МНОГОГРАННИКОВ………………………………………10

Для нахождения объёмов и площадей поверхностей геометрических тел существует математический аппарат, который называется определённый интеграл . При этом используются различные формулы:

S поверхности тела вращения = 2П
V геом. тела =

Чтобы ими пользоваться и делать выводы стандартных формул для

Свойства определённых интегралов:

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла;
Интеграл от суммы - разности равен сумме -разности интегралов;
Промежутки интегрирования можно разбивать на части;
Определённый интеграл от дифференциала равен разности верхнего и нижнего пределов интегрирования:

Уравнения линий, образующих при вращении тела вращения.
Помнить, под знаком интеграла только одна переменная х, всё остальное – величины постоянные и их можно как постоянный множитель выносить за знак интеграла.

1.1 Объём цилиндра

При вращении прямой y=R получается цилиндр, если рассматривать отрезок от (0;0) до (h;0).
Используем формулу:

V т.в. = и имеем V цил. = П =

Как постоянный множитель выносим за знак интеграла R 2

Определённый интеграл от дифференциала равен разности верхнего и нижнего пределов интегрирования

V цил =ПR 2 (h-0) = ПR 2 h

V цил = ПR 2 h = S осн h

1.2 Объём конуса

Конус получается при вращении прямой y = в пределах от 0 до h.
Используем формулу V т.в. = и получим: V кон = П =

Как постоянный множитель выносим за знак интеграла V кон = =

Шар получается при вращении кривой y 2 = R 2 – x 2 , в пределах от -R до R.
Используем формулу V т.в. = и получим:

или, если промежутки интегрирования в 2 раза уменьшить и для компенсации интеграл в 2 раза увеличить, то получим:

Интеграл от разности R 2 - x 2 , плюс табличный интеграл

+ C дает: V шара = 2П (R 2 x -

2.1 Площадь боковой поверхности цилиндра

Цилиндр получается при вращении прямой y = R, в пределах от 0 до h.
Предварительные вычисления: y=R; y' = 0;
Используем формулу:

2.2 Площадь боковой поверхности конуса

Конус получается при вращении прямой y = в пределах от 0 до h.
Предварительные вычисления:

S бок. конуса =2П =

S бок. конуса =2П

Приводим к общему знаменателю под корнем и выносим из – под корня, заменяем

S бок.кон. =2П =2П (h 2 -h 0 ) = ПR l

2.3 Площадь поверхности шара

Шар получается при вращении с кривой y 2 = в пределах от -R до R.
Предварительные вычисления ; ;

Используем формулу: S т.в. =2П
Получаем: S пов.шара =2П
Приводим к общему знаменателю и перемножаем корни:

И это R выносим как постоянный множитель за знак интеграла

S пов.шара =2ПR ПR(R-(-R))= 2ПR(2R)

S нов.шара =4ПR 2

3. ОБЪЁМ МНОГОГРАННИКОВ

Располагаем призму относительно системы координат так, чтобы ось 0х была её высотой, а ось 0у лежала в плоскости верхнего основания призмы.
Используем формулу: V геом.тела = :

= S основание призмы , так как сечением перпендикулярным к высоте и будет основание.

Получаем: V геом.тела =
Как постоянный множитель выносим за знак интервала и .

В роли сечения к высоте пирамиды выступает сечение, площадь которого меняется в зависимости от его расстояния х от вершины. (С увеличением х растёт площадь сечения и наоборот). В школьной геометрии есть утверждение, что площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины: S сеч =
Используем формулу: V геом.тела =
Получаем: V пирамиды =
Выносим как постоянный множитель: и берём интеграл:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Развертка и площадь поверхности цилиндра

В данной работе, я сделала опрор на устный опрос по определению цилиндра и его составляющих, а так же ввела определение развертки и площади поверхности цилиндра.Предлагаю так же ряд простых задач по д.

конспект урока по теме: "Объемы и площади поверхностей многогранников и тел вращения"

Вашему вниманию представлен урок с презентацией по теме: "Объемы и площади поверхностей многогранников и тел вращения" в виде научно-исследовательской лаборатории «Об.

Важной проблемой в связи с требованиями компетентностного подхода становится повышение активности обучающихся в учебно-познавательной деятельности. В педагогике существует целый ряд форм и методов для.

20.03.2020г. гр.961 тема: "Параллелепипед и его свойства. Площадь поверхности и объем призмы"

Цель: ввести понятие параллелепипеда и его видов; рассмотреть площадь поверхности и объем призмы.

21.03.2020г. гр.911 "Площадь поверхности и объем пирамиды"

Цель: ознакомление обучающихся с формулами для вычисления площадей полной поверхности и боковой поверхности пирамиды, объема.

26.03.2020г. гр.961 Пирамида. Площадь поверхности и объем пирамиды

Цель: познакомить обучающихся с геометрической фигурой - пирамида, изучение элементов пирамиды (основание, вершина, боковые ребра, высота, тетраэдр), площадь поверхности и объем.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Призма: - прямая и наклонная; - прямоугольный параллелепипед. Пирамида: - пирамида; - площадь пирамиды - усеченная пирамида - площадь усечённой пирамиды Цилиндр Конус : - конус; - усеченный конус. Сфера, шар, части шара: - шар; - шаровой сегмент; - шаровой пояс; - шаровой сектор Объёмы геометрических тел: Объём призмы Объём пирамиды Объём усечённой пирамиды Объём цилиндра Объём конуса Объём усечённого конуса Объём шара Объём шарового сегмента Объём шарового слоя Объём шарового сектора

Содержание Прямая Наклонная

I Боковые грани равны между собой II Двугранные углы при них равны между собой III Любая точка оси призмы равноудалена от всех вершин любого из оснований призмы IV Любая точка оси равноудалена от всех граней призмы Содержание

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметру сечения, перпендикулярного боковым рёбрам призмы на длину бокового ребра Содержание

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей боковой поверхности и площадям оснований Содержание

Вершина параллелепипеда Верхнее основание Нижнее основание Боковое Ребро Ребро нижнего основания Ребро верхнего основания Диагональ параллелепипеда А1 В1 С1 D1 Содержание А В D С

S A B C D O K Вершина Основание Высота Апофема Ребро пирамиды Ребро основания Боковая грань Содержание

Содержание Прямая Наклонные

I Боковые ребра, грани и апофемы соответственно равны. II Двугранные углы при основании равны. III Двугранные углы при боковых ребрах равны. IV Каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания. V Каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней. Содержание

Площадь пирамиды Где a – апофема P – периметр основания

Содержание С1 В1 А1 D1 А В D С О О1 Нижнее основание Высота Ребро пирамиды Ребро основания Боковая грань Верхние основание

Площадь усечённой пирамиды Где, P – периметр нижнего основания P1 – периметр верхнего основания, А - апофема

I Боковые рёбра, боковые грани и апофемы соответственно равны. II Двугранные углы при основании равны. III Двугранные углы при боковых рёбрах равны. IV Каждая точка оси равноудалена от всех вершин основания. V Каждая точка оси равноудалена от плоскостей боковых граней. Содержание

Нижнее основание Верхнее основание О1 О Высота Радиус нижнего основания Радиус верхнего основания А А1 Образующая Содержание

Площадь боковой поверхности цилиндра: Площадь основания цилиндра: Содержание

S Вершина L Образующая О Высота Образующая L А В R R Радиус основания Основание Содержание

Содержание Высота L О1 А В R Радиус нижнего основания Основание Радиус верхнего основания R R Образующая Образующая L О Верхние основание

Площадь поверхности сферы равна учетверённой площади большого круга этой сферы: Содержание

Содержание R h r

S A B C D O K Содержание

С1 В1 А1 D1 А В D С О О1 Содержание

О1 О А А1 Содержание

S L О L А В R R Содержание

L О1 А В R R R L О Содержание

R h r Содержание

Краткое описание документа:

Презентация была создана для использования на уроках изложения нового материала, на обобщающих уроках, а так же и на консультациях для пропустивших , или слабо усвоивших учебный материал. Презентация построена таким образом, что сначала рассматривается геометрическое тело (многогранник или круглое тело) и его элементы, затем даны формулы площадей поверхностей. Это очень удобно на начальных этапах решения задач. Формулы для вычисления объемов тел на слайдах с чертежами, что дает возможность видеть, какие элементы есть, а какие нужно вычислить.

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 595 781 материал в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

14.05.2014 3283
PPTX 2.3 мбайт
13 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Подберезина Зоя Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Время чтения: 2 минуты

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Шар. Цилиндр. Конус. Площади поверхности и объемы этих фигур.

Подробная теория с наглядными иллюстрациями и основные формулы.

Читай эту статью, здесь все это есть.

Всего за 15 минут ты полностью во всём разберешься!

Тело вращения – это тело в пространстве, которое возникает при вращении какой-нибудь плоской фигуры вокруг какой-нибудь оси.

Вот самый простой пример: цилиндр.

Берем прямоугольник и начинаем вращать его вокруг одной из сторон.

А теперь гораздо хитрее. Бывает так, что ось вращения находится далеко от фигуры, которая вращается.

Что получится? Бублик. А по-научному – ТОР.

Ну и так вот можно любую фигуру вертеть вокруг любой оси, и будут получаться разные более или менее сложные тела вращения.

Ну, а поверхность вращения – это просто граница тела вращения. Ведь поверхность это всегда граница тела.

Здесь мы рассмотрим подробно несколько тел вращения. Те, которые встречаются в школьных задачах. Это шар, цилиндр и конус.

Шар – тело вращения, полученное вращением полуокружности вокруг диаметра.

Вообще-то есть и другое определение шара – через ГМТ (геометрическое место точек)

Шар – геометрическое место точек, удаленных от одной фиксированной точки на расстояние, не более заданного.

Скажу тебе по секрету, что, хоть второе определение и пугающее на вид, оно удобнее в обращении. Задумайся, ведь если тебя попросят сказать, что такое шар, ты скажешь что-то вроде:

Ну, в общем, шар он и есть шар.

Названия, которые ты должен знать:

Незнакомое тебе, наверное, только одно.

Диаметральное сечение шара – сечение, проходящее через центр. Это сечение иногда еще называют большим кругом.

Площадь поверхности сферы

Откуда взялось? Умные математики придумали – это не так уж просто – придется просто запомнить.

Объем шара

Это еще одна хитрая формула, которую придется запомнить, не понимая, откуда она взялась.

Если ты знаком с производной, то можешь заметить это:

И это не случайно! Но почему это так вышло, мы тоже здесь обсуждать не будем. Можешь попробовать доказать это сам!

Цилиндр

Цилиндр – тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из сторон.

Основания у цилиндра – это круги

Еще у цилиндра есть так называемая развертка.

Представь, что у нас от цилиндра осталась только боковая поверхность, и мы ее разрезали вдоль образующей и развернули.

Что получится? Представь себе, прямоугольник.

Развертка цилиндра – прямоугольник.

Площадь боковой поверхности цилиндра

\( H\) – высота, она же образующая.

Откуда взялась эта формула? Это как раз легко! Именно потому, что цилиндр можно развернуть, и получится прямоугольник \( 2\pi R\cdot H\).

Площадь этого прямоугольника и есть площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь прямоугольника, как мы хорошо помним равна произведению сторон, поэтому

Площадь полной поверхности цилиндра

Прибавляем теперь площадь двух кругов – оснований и получаем:

Можно вынести (хотя и не обязательно) \( 2\pi R\):

Но эту формулу неудобно запоминать!

Гораздо проще запомнить, что полная поверхность – сумма боковой поверхности и еще двух кругов – оснований, а боковая поверхность – прямоугольник. И тогда \( _>\) можно вообще не запоминать, ты всегда сам напишешь, что

Объем цилиндра

\( R\) – радиус основания \( H\) – высота

\( V=_>\cdot H\), только у призмы и параллелепипеда \( _>\) — это площадь многоугольника, а у цилиндра \( _>\) — это площадь круга.

Конус

Конус – тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

Названия, относящиеся к конусу:

Что тут нужно твердо помнить?

Ясно ли это? Вроде должно быть ясно, ведь образующая – это гипотенуза (одна и та же!) Треугольника, который вращаем, а радиус основания – катет.

У конуса тоже есть развертка.

Снова представим, что основания нет, разрежем боковую поверхность вдоль образующей и развернём кулек. Что получится?

Представь себе сектор круга. Пусть длина образующей равна \( l\).

Развертка конуса – сектор круга радиуса \( l\)

Площадь поверхности конуса

Как найти площадь боковой поверхности корпуса? Вспомним о развертке, ведь для цилиндра все было просто именно с помощью развертки.

По формуле площади сектора \( _>=^>\cdot \frac\) Где \( \alpha \) – угол при вершине в радианах.

И это уже формула. В некоторых задачах бывает дан именно угол при вершине в развертке конуса.

Но если все же даны только образующая и радиус основания, как быть?

Нужно осознать, что же такое дуга в развертке? Это бывшая окружность основания! Поэтому длина этой дуги равна \( 2\pi R\).

С другой стороны, длина этой же дуги равна \( \alpha \cdot l\), так как это дуга окружности радиуса \( l\). Поэтому

\( \alpha \cdot l=2\pi R\)

\( R\) — радиус окружности основания,

\( l\) — длина образующей

Ну, и осталось площадь полной поверхности конуса. Прибавим к боковой поверхности площадь круга основания, и получаем:

Можно вынести \( \pi R\):

Но, как и для цилиндра, не надо запоминать вторую формулу, гораздо проще всегда пользоваться первой.

Объём конуса

\( R\) – радиус основания \(

Это так же, как у пирамиды

\( _>\) — это не площадь многоугольника, а площадь круга.

А вот откуда взялась \( \frac\)?, по-прежнему остается загадкой, потому что эта \( \frac\) получена в результате довольно хитрых рассуждений умных математиков.

Бонус: Вебинары по стереометрии из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ 14 Стереометрия. Расстояние между точками и от точки до прямой

Затем мы научимся двум основным вещам — находить расстояние между точками на таких рисунках, а также расстояние от точки до прямой.

На этих умениях строится всё дальнейшее изучение стереометрии. В общем это очень важное, базовое видео, с которого нужно начинать изучение стереометрии.

Не перескакивайте, не пропускайте его! Даже если вы знаете стереометрию, вы найдете для себя очень много полезного и нового в этом видео.

ЕГЭ 14. Стереометрия. Пирамида. Разбор варианта профильного ЕГЭ 2020

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.

Алексей Шевчук — ведущий курсов

Твой ход!

Ну как тебе? Понравилось?

Держу пари, даже если ты первый раз слышишь о телах вращения, ты сейчас чувствуешь себя намного увереннее в этой теме!

А теперь мы хотим услышать тебя. Нам очень интересно твое мнение об этой статье!

Напиши его в комментариях ниже!

Помогла ли тебе эта статья? Достаточна ли она подробна?

Остались вопросы? Задай их!

Мы ответим. Мы читаем все.

Добавить комментарий Отменить ответ

Один комментарий

Александр Кель :

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

Мария
07 февраля 2018
Очень понятно, доступно

Александр (админ)
07 февраля 2018
Мария, мы рады! Заходи к нам и делись с друзьями!

Евгений
05 марта 2018
Сайт замечательный! Совокупность лёгкого и понятного для прочтения текста и самих рисунков отличная.

Александр (админ)
05 марта 2018
Спасибо, Евгений! Заходи… )

Левон
09 мая 2018
Потрясающе! Я в восторге. Всё так хорошо расписано и показано, даже предлагают как можно легче формулами воспользоваться. Продолжайте в том же духе!

Александр (админ)
09 мая 2018
Спасибо большое, Левон!

Дилдора
18 мая 2018
Да, отлично! Мне тоже понравился. А как можно скачать, чтобы воспользоваться.

Александр (админ)
18 мая 2018
Дилдора, привет! К сожалению пока скачать никак нельзя ((( Только если по кускам делать скриншоты и потом распечатать. Руки не доходят сделать.

Таня
18 июня 2018
Молодцы, ребята. Это доступно, лаконично, толково. Успехов Вам и нам.

Максим
23 мая 2019
Прекрасный сайт. Дела. сейчас реферат по этой теме, обычно приходится сокращать, а здесь наоборот лить воду) Купил бы что-нибудь не для того, чтобы читать, а чтобы этот сайт жил, но, к сожалению, сам студент и деняк нема(

Александр (админ)
23 мая 2019
Ничего, Максим, студенты становятся профи и начинают зарабатывать. Все будет тип-топ! За добрые слова спасибо!

Геннадий
31 июля 2019
А если образующая колонны — дуга вытянутого эллипса, то какова боковая поверхность этой колонны?

Алексей Шевчук
01 августа 2019
Геннадий, здесь не обойтись без интеграла. Нужно знать зависимость радиуса колонны от высоты (например, можно вывести из уравнения эллипса).

Геннадий
09 августа 2019
Алексей! В одной из традиций такие образующие могли строить по контрольным точкам. Эллипс с полуосями 1040 и 65 (соотношение 16 к 1) модулей являет 36 точек с целочисленными координатами. Высота колонны — 256 модулей, верхний радиус — 14 модулей, а нижний — 16 модулей. Ось колонны паралельна вертикальной оси разметочного эллипса. Растояние между этими осями — 49 модулей. Основание колонны проецируем на малую ось данного эллипса.

Алексей Шевчук
13 августа 2019
Геннадий, ни эллипсы, ни интегрирование (на нужном для этой задачи уровне) в школьной программе не проходятся. Вкратце Ваша задача решается так: 1) Сначала необходимо составить уравнение эллипса. Например, в виде (x-x0)^2/a^2+(y-y0)^2/b^2 = 1 (рекомендую взять x0=49 и y0=0). 2) Пользуясь этим уравнением, можно вывести зависимость радиуса колонны от высоты (при х0=49 и у0=0 нужно будет просто выразить x из уравнения). 3) Нужно вычислить, на каких высотах y1 и y2 радиусы равны 14 и 16 (таких пар будет несколько, зависит от того, выпуклая колонна или вогнутая) — в Вашем случае всё просто, это 256 и 0. 4) наконец, нужно взять определённый интеграл по dy с пределами y1 и y2 от функции 2*pi*x (длины окружности на каждой высоте). Чтобы упростить вычисления, рекомендую пользоваться программами типа wolfram alpha.

Алексей Шевчук
25 августа 2019
Пояс закрытого эллиптического тора вполне подойдёт. Правда, не уверен, что Вы найдёте готовые формулы вычисления для подобных фигур

Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Объемы геометрических тел. Презентация на заданную тему содержит 22 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!

1. Расчет объема цилиндра Цилиндр - геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью (называемой боковой поверхностью цилиндра) и не более чем двумя поверхностями (основаниями цилиндра). Цилиндр - круговой если в основании его лежит круг. Формулы для расчета объема цилиндра: 1) Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту. 2) Объем цилиндра равен произведению числа пи (3.1415) на квадрат радиуса основания на высоту V - объем цилиндра S - площадь основания цилиндра h - высота цилиндра π - число пи (3.1415) r - радиус цилиндра

Задача Найти объем цилиндра, радиус основания- 5см, а высота 7 см Решение: Если радиус основания R=4 см и высота Н = 5 см, то объем V цилиндра V=πR²H=π·4²·5=80π(cм³) Ответ: 80π cм³

2.Расчет объема конуса Конус - тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Круглый конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, поэтому круглый конус называют также конусом вращения. Формулы для вычисления объема конуса: 1) Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. 2) Объем конуса равен одной трети произведения числа пи (3.1415) на квадрат радиуса основания на высоту.

Задача Найти объем конуса, диаметр которого основания равен 8 см, а высота 3 см Решение: Если диаметр основания D=8 cм и высота конуса Н= 3 см, то радиус основания R=D/2=8/2=4 (cм) и объем конуса V=1/3πR²H=1/3π·4²·3=16π(см³) Ответ: 16π см³

3. Объем шара Шар-это геометрическое тело, образованное в результате вращения полукруга на оси своего диаметра. Объем шара можно вычислить по формуле: R – радиус шара V – объем шара π – 3.14

Задача :Найти объем шара, диаметр которому равен 6 см Решение: Если диаметр шара D=6 см, то радиус шара R=D/2=6/2=3 (см) и объем шара V=4/3 ·πR³=4/3π·3³=4/3π·27=36π (см³) Ответ: 36π см³

4. Объем призмы Призма — многогранник, 2 грани это конгруэнтные (равные) многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а оставшиеся грани — параллелограммы, имеющие общие стороны с этими многоугольниками. Либо (что тоже самое) — это многогранник, основаниями которого являются равные многоугольники, а боковыми гранями — параллелограммы. Призма является разновидностью цилиндра где V - объем призмы, So - площадь основания призмы, V = Soh h - высота призмы.

Задача Объем призмы равен 150 см³, а площадь основания- 10 см². Найти высоту призмы Решение: Если объем призмы V=Sосн= 10 см², то высота призмы Н=V/Sосн=150/10=15 (см) Ответ: 15 см

5 Объем пирамиды В геометрии пирамидой называют тело, которое имеет в основании многоугольник, а все его грани представляют собой треугольники с общей вершиной. В зависимости от того, какая именно фигура лежит в основании, пирамиды подразделяются на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д. Кроме того, различают правильные, усеченные, прямоугольные и произвольные пирамиды. Формула для вычисления объема этого тела не отличается сложностью и всем известна из школьного курса геометрии.

Задача Найти объем пирамиды, площадь основания которой равна 36 см²,а высота 8 см Решение: V=1/3SоснH=1/3·36·8= 96(cм³) Ответ: 96 cм³

6. Объем прямоугольного параллелепипеда Параллелепипедом называется призма, основание которой параллелограмм. Параллелепипед имеет шесть граней, и все они — параллелограммы. Параллелепипед, четыре боковые грани которого — прямоугольники, называется прямым. Прямой параллелепипед у которого все шесть граней прямоугольники, называется прямоугольным. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту V= abc a, b, c- стороны параллелепипеда

Задача Найти объем прямоугольного параллелепипеда, линейные размеры которого равны 3 см, 4 см и 5см Решение: Если линейные размеры прямоугольного параллелепипеда а=3 см, b=4 см и с=5 см, то его объем V=abc=3·4·5=60 (см³) Ответ: 60 см³

Читайте также: