Платоновы и архимедовы тела реферат
Обновлено: 13.05.2024
* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.
Управление образования г. Кунгура
Научное общество учащихся
V городской конкурс исследовательских и творческих работ
учащихся ”Первые шаги”.
Шерстобитова Ольга Александровна,
Учитель I категории
Управление образования г. Кунгура
Научное общество учащихся
V городской конкурс исследовательских и творческих работ
учащихся ”Первые шаги”.
Глава 1. Основные понятия. ……………………………………….. (с.) 6-7
Глава 2. Исторические сведения о Платоновых телах. …………. (с.) 8
Глава 3. Изготовление моделей правильных многогранников. …. (с.) 9-13
Глава 4. Формула Эйлера. ………………………………………….. (с.) 14
Глава 5. ,,Закон взаимности” для Платоновых тел. ………………. (с.) 15
Глава 6. Правильные многогранники вокруг нас………………….. (с.) 16-17
Лист 1 (портрет Платона)
Лист 2 (портрет, биография Л. Эйлера)
"Правильных многогранников вызывающе мало, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".
На рисунке изображены тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их форма – образец совершенства! А почему правильные многогранники получили именно такое название? Какими особенностями они обладают? Как изготовить модель какого-либо правильного многогранника? Где можно встретить эти удивительные тела?
Ответить на эти и другие вопросы: цель данной работы.
Многогранник – это геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями.
Стороны граней – рёбра многогранника, а концы рёбер – вершины многогранника. По числу граней различают четырёхгранники, пятигранники и т. д.
Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости , каждой из его граней.
Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – одинаковые правильные многоугольники, в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер, а соседние грани образуют равные углы.
Все правильные многогранники имеют разное число граней и названия получили по этому числу.
Тетраэдр ( от ,,тетра”– четыре и греческого ,,hedra” – грань) составлен из 4-х правильных треугольников, в каждой его вершине сходятся 3 ребра.
Гексаэдр ( от греческого ,,гекса” – шесть и ,,hedra” – грань) имеет 6 квадратных граней, в каждой его вершине сходятся 3 ребра.
Гексаэдр больше известен как куб (от латинского ,, cubus” ; от греческого ,,kubos”.
Октаэдр ( от греческого okto – восемь и hedra – грань) имеет 8 граней (треугольных), в каждой вершине сходятся 4 ребра.
Додекаэдр ( от греческого dodeka – двенадцать и hedra – грань) имеет 12 граней ( пятиугольных), в каждой вершине сходятся 3 ребра.
Икосаэдр (от греческого eikosi – двадцать и hedra – грань) имеет 20 граней (треугольных), в каждой вершине сходится 5 рёбер. (5, с.267-269)
Оказывается, что правильных многогранников ровно пять - ни больше ни меньше. Ведь для того, чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник, в каждой вершине, согласно его определению, должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником.
В последней колонке для всех многогранников один и тот же результат: В+Г- Р=2. Доказал это удивительное соотношение один из величайших математиков Леонард Эйлер (1707 – 1783), поэтому формула названа его именем: формула Эйлера. Этот гениальный учёный, родившийся в Швейцарии, почти всю жизнь прожил в России, и мы с полным основанием и гордостью можем считать его соотечественником.
Самое удивительное в этой формуле, что она верна не только для правильных многогранников, но и для всех многогранников!
Ради интереса можно проверить это для нескольких наугад взятых многогранников. (3, с.42)
Здание лицея №1 г.Кунгура
Прямая призма(прямоугольный параллелепипед)
,,Закон взаимности” для Платоновых тел.
У правильных многогранников есть интересная особенность – своеобразный ,,закон взаимности”. Центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра – вершинами куба.
Центры граней додекаэдра являются вершинами икосаэдра, а центры граней икосаэдра – вершинами додекаэдра.
Особняком от этих 4-х многогранников стоит тетраэдр: если считать центры его граней вершинами нового многогранника, то вновь получится тетраэдр.
Куб и октаэдр, додекаэдр и икосаэдр – это две пары двойственных многогранников. У них одинаковое число рёбер (12 – у куба и октаэдра; 30 – у додекаэдра и икосаэдра), а числа вершин и граней переставлены.
Тетраэдр двойствен сам себе.(5)
Правильные многогранники вокруг нас.
В книге немецкого биолога начала нашего века Э. Геккеля "Красота форм в природе" можно прочитать такие строки: "Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы". Так, например, одноклеточные организмы феодарии, имеют форму икосаэдра.
Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр. Его геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Так, куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl, монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеет форму октаэдра, кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра, сурьменистый сернокислый натрий - тетраэдра, бор - икосаэдра.
Интересная научная гипотеза, авторами которой (в начале 80-х годов) явились московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли, проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Их 62 вершины и середины ребер, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления.
Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место. (2, с.2)
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Всероссийский Конкурс исследовательских проектов,
выполненных школьниками при научном консультировании
ученых Международной ассоциации строительных вузов
Воронежский государственный технический университет
Секция архитектуры и дизайна
Номинация 10-11 классы
Тема проекта: Платоновы и Архимедовы тела как основные формы шаров кусудамы
Коломыцева Яна Андреевна, (ученица 11класса)
МБОУ Калачеевская СОШ № 6, г. Калач
Руководитель: учитель математики СОШ №6, г. Калач
Кашкина Антонина Владимировна
Доцент,к.т.н. Биндюкова Елена Викторовна Кафедры композиции и сохранения архитектурно-градостроительного наследия
Перечень ключевых слов: многогранники, Платоновы и Архимедовы тела, шары кусудамы.
Коломыцева Яна Андреевна, МБОУ Калачеевская СОШ № 6, г. Калач,11 класс
Руководитель : Кашкина Антонина Владимировна, учитель математики МБОУ Калачеевская СОШ №6.
Научный консультант : доцент кафедры высшей математики ВГТУ, к.ф.-м.н. Глазкова Мария Юрьевна
Цель научной работы : Выяснить какие многогранники относятся к Платоновым и Архимедовым телам и как они связаны с шарами кусудамы.Научитьс моделировать многогранники и шары кусудамы, а также провести сравнение и сопоставление шаров кусудамы с правильными многогранниками.
Методы проведенных исследований : моделирование, конструирование, поисковый метод, анализ и сравнение данных.
Основные результаты научного исследования (научные, практические )
Понятие правильного многогранника……………………………6
Виды правильных многогранников и их характеристики………6-9
Полуправильные многогранники. Архимедовы тела.…………9-10
Шары кусудамы и многогранники……………………………. 10-11
Исследование шаров кусудамы и сравнение их с Платоновыми
и Архимедовыми телами…………………………………………11-15
IV .Список использованной литературы………………………………. 16
Все изделия сборника делаются из квадратных заготовок. Отдельные детали каждой работы подклеиваются или собираются вместе с помощью нитки. Кусудамы обычно подвешивают на шнурок или тонкую цветную веревочку к потолку или лампе. Эта книга помогла мне выполнить модели кусудамы сложные и простые. Я в своей исследовательской работе постараюсь рассказать об удивительных многогранниках и красивых шарах кусудамы.
Предметом моего исследования: Платоновы и Архимедовы тела, шары кусудамы.
Цель работы: Выяснить какие многогранники относятся к Платоновым и Архимедовым телам и как они связаны с шарами кусудамы.
Актуальность : Сегодня оригами переживает очередную волну интереса. Появились новые направления оригами и области его применения. Так, математики открыли множество возможностей для решения геометрических и топологических задач. Архитекторы и строители увидели в оригамном конструировании возможности для создания многогранных структур из плоского листа. Даже возник новый термин - "оригамика". Для педагогов оригами уникальная возможность развития тонкой моторики ребенка, что прямо связано с развитием интеллекта. Для психологов оригами - это одно из направлений арттерапии, возможности оказания психологической помощи больному посредством искусства . Я считаю эту тему актуальной, ведь как показывает проведённое мною исследование, очень мало, кто знает, что такое кусудамы. А мне кажется, что эта тема достойна внимания. Тем более что сейчас считается очень модным заниматься декорированием интерьера помещений, а кусудамы может выступать самостоятельной декоративной композицией.
В процессе работы мною были выделены следующие задачи исследования :
Проанализировать и проработать литературу по теме исследования.
Изготовить шары кусудамы.
Составить сравнительную таблицу кусудамы и соответствующих им многогранников
Гипотеза: Если изучить правильные, полуправильные многогранники и шары кусудамы, то можно увидеть в них сходства и дать описание шарам кусудамы с геометрической точки зрения.
Методы исследования:
Анализ теоретической литературы;
Сопоставление полученных данных;
Выполнение и оформление научно-исследовательской работы с применением проектной технологии.
Методы работы. Изучение литературы о правильных многогранниках (Платоновы тела), полуправильных многогранниках (Архимедовы тела), шарах кусудамы.
Моделирование многогранников и шаров кусудамы.
Сравнение и сопоставление шаров кусудамы с правильными многогранниками.
Описание полученных данных.
Основные результаты исследования:
Модели шаров кусудамы;
Оформление папки, создание мультимедийной презентации.
Социальная значимость проекта:
Этот проект направлен на то, чтобы заинтересовать подрастающее поколение наукой геометрией, показать ее связь с искусством, привить навыки моделирования и конструирования.
Основная часть.
Архимедовы и Платоновы тела.
2.1. Понятие правильного многогранника.
Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником.
Многогранники бывают выпуклыми и невыпуклыми. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой вершине меньше
Правильный многогранник или Платоново тело (назван в честь античного философа Платона) — это выпуклый многогранник, гранями которого являются равные правильные многоугольники, и в его каждой вершине сходится одно и то же число ребер.
Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n -угольники при
n ≥6, так как при этом условии угол правильного многогранника не меньше 120 0 , а значит при этом условии сумма плоских углов при каждой вершине была бы не меньше 360 0 , что невозможно. По этой причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, четырех или пяти правильных треугольников, либо трех правильных пятиугольников. [1,70]
2.2. Виды правильных многогранников и их характеристики.
Для трехмерного пространства (в котором мы с вами находимся) существует всего пять правильных многогранников:
Правильные многогранники Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Существует только пять выпуклых правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники , квадраты и пентагоны (правильные пятиугольники) .
Тетраэдр В тетраэдре три равносторонних треугольника встречаются в одной вершине; при этом их основания образуют новый равносторонний треугольник. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел.
Октаэдр . Октаэдр образуется равносторонними треугольниками. В октаэдре в одной вершине встречаются четыре треугольника; в результате получается пирамида с четырехугольным основанием. Если соединить две такие пирамиды основаниями, то получится симметричное тело с восемью треугольными гранями – октаэдр .
Икосаэдр Если соединить в одной точке пять равносторонних треугольников, то получится фигура с 20 треугольными гранями – икосаэдр.
Гексаэдр или куб . Если соединить три квадрата в одной точке и затем добавить еще три, то получим совершенную форму с шестью гранями, называемую гексаэдром или кубом .
Додекаэдр Если собрать 12 пентагонов(правильные пятиугольники) таким образом, чтобы в каждой точке встречалось три пентагона, то получим еще одно Платоновое тело, называемое додекаэдром .
Архимедовы тела (полуправильные многогранники) У них также все многогранные углы равны и все грани – правильные многоугольники, но несколько разных типов. Существует 13 полуправильных многогранников, открытие которых приписывается Архимеду. Архимед (287 г. до н.э. – 212 г. до н.э)
Усечение Платоновых тел Архимедовы тела: усеченный тетраэдр, усеченный куб, усеченный октаэдр, усеченный додекаэдр, усеченный икосаэдр.
Ромбокубооктаэдр и ромбоикосододекаэдр Ромбокубооктаэдр ромбоикосододекаэдр
Звездчатые многогранники В начале прошлого столетия французский математик и механик Л. Пуансо (1777-1859), геометрические работы которого относятся к звездчатым многогранникам, в развитие работ Кеплера открыл существование еще двух видов правильных невыпуклых многогранников. Итак, благодаря работам Кеплера и Пуансо стали известными четыре типа таких фигур. В 1812 г. О. Коши доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует.
Звездчатые многогранники (тела Пуансо)
Художественный мир словенской художницы Матюшки Тейи Крашек Художественное творчество связано с различными видами симметрии, плитками и ромбами Пенроуза, квазикристаллами, золотым сечением как главным элементом симметрии, числами Фибоначчи и др. С помощью рефлексии, воображения и интуиции она пытается подобрать новые отношения, новые уровни структуры, новые и различные виды порядка в этих элементах и структурах. В своих работах она широко использует компьютерную графику как весьма полезное средство для создания художественных работ, которое является связующим звеном между наукой, математикой и искусством.
Многогранник – это замкнутая поверхность, составленная из многоугольников. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.
Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные между собой правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер.
Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.
В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона, который дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.
Земля сопоставлялась , воздух — , вода — , а огонь — . Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды.
Каждая из шести сфер соответствовала одной из (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками.
Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников.
Читайте также: