Основы теории случайных ошибок и методов оценки случайных погрешностей в измерениях реферат

Обновлено: 02.07.2024

На процесс измерения и получение результата измерения оказывает воздействие множество факторов: характер измеряемой величины, качество применяемых средств измерений, метод измерений, условия окружающей среды (температура, влажность, давление и др.), индивидуальные особенности оператора (специалиста, выполняющего измерения) и др. Поэтому результат измерений будет отличаться от истинного значения измеряемой величины.

Отклонение результата измерений от истинного значения измеряемой величины называют погрешностью измерения. Это теоретическое определение, так как истинное значение величины неизвестно. При метрологических работах вместо истинного значения используют действительное, за которое принимают обычно показание эталонов. В практической деятельности вместо истинного значения используют ее оценку, например, действительное значение измеряемой величины.

Абсолютная погрешность (Δ) является разностью между измеренным (X) и действительным (Q) значениями физической величины. С другой стороны, абсолютная погрешность является суммой систематической (Θ) и случайной (δ) погрешностей. Абсолютная погрешность имеет ту же размерность, что и измеряемая величина.

Относительная погрешность (ε) – это отношение абсолютной погрешности к истинному (действительному, или измеренному) значению. Она может измеряться в долях единицы или в процентах. В последнем случае отношение необходимо умножить на 100%.

Приведенная погрешность (K) – это отношение абсолютной погрешности к нормировочному множителю, в качестве которого может выступать диапазон измерений. Разновидностью приведенной погрешности, выраженной в процентах максимальной абсолютной погрешности от диапазона измерений, является класс точности прибора.

Таблица 1. Классификация погрешностей

Параметр классификации	Виды погрешностей	Обозначение, расчетная формула
Тип (Форма числового выражения)	Абсолютная	Δ = X – Q Δ = Θ + δ
Относительная	ε = (Δ / Q) (´ 100%)
Приведенная	K = (Δ / K_НОРМ) (´ 100%) К = Δ_MAX / (Q_MAX – Q_MIN)
Вариация	V = X – X_¯ V = R + G
Источник возникновения	Погрешность средств измерения (инструментальная)
Погрешность метода измерения (методическая)
Субъективная погрешность оператора
Условия проведения измерений
Характеристика процесса во времени	Статическая
Динамическая
Вероятность возникновения	Систематическая	Θ
Случайная	δ
Грубая
Условия нормировки	Основная
Дополнительная
Способы устранения	Устранимая
Неустранимая

Вариация (V) – это разность показаний прибора в одной и той же точке на прямом (X) и обратном (X_¯)ходу, т.е. при подходе к одной и той же точке со стороны меньших и со стороны больших значений. Вариация показаний включает в себя размах (R) и погрешность обратного хода (G).

Непостоянство или размах (R) показаний прибора – это разность между наибольшим и наименьшим из показаний измерительного прибора, соответствующих одному и тому же значению измеряемой величины.

Погрешность обратного хода (G) возникает из-за зазоров и трения в сочленениях подвижных деталей механизмов прибора и других гистерезисных явлений, свойственных его элементам.

Еще одной важной характеристикой измерительного прибора является порог реагирования (чувствительности). Под порогом реагирования понимается изменение измеряемой величины, вызывающее наименьшее изменение показаний измерительного прибора, которое еще может быть обнаружено наблюдателем при нормальном для данного прибора способе отсчета показаний.

Причинами возникновенияпогрешностей являются:

– несовершенство методов измерений;

– несовершенство технических средств, применяемых при измерениях;

– особенности органов чувств наблюдателя;

– условия проведения измерений.

Таким образом, погрешность средства измерения обусловлена несовершенством средств измерения, погрешность метода измерения – несовершенством метода измерения. Различные наблюдатели по разному воспринимают цвета и звуки, пользуются одним и тем же прибором индивидуальным образом. На чувствительность наблюдателя влияют условия проведения измерений (температура, давление и влажность воздуха, вибрация в помещении и другие факторы).

Условия проведения измерений проявляются двояко:

– Все физические величины, играющие роль при проведении измерений, в той или иной степени зависят друг от друга. Поэтому с изменением внешних условий изменяются истинные значения измеряемых величин.

– Условия проведения измерений влияют на характеристики средств измерений и физиологические свойства органов чувств наблюдателя и через их посредство становятся источником погрешности измерения.

Погрешности методов измерения бывают следующими:

– неправильный выбор модели объекта;

– функциональная (для косвенных методов);

– машинная (погрешность округлений, связанная с разрядностью сетки вычислительного устройства);

– субъективная и другие.

Формулы для расчета вычислительной погрешности:

Последняя формула определяет погрешность функции, зависящей от N параметров, каждый из которых задан с собственной погрешностью.

Если измеряемая величина не меняет своего значения в процессе измерений, то сама величина и ее погрешность являются статическими. Если измеряемая величина изменяется в процессе измерений или происходит измерение переменной величины, то сама величина и ее погрешность являются динамическими.

Систематическая погрешность (Θ) остается постоянной или изменяется по определенному, известному нам, закону при повторных измерениях одной и той же величины. Если известны причины, вызывающие ее появления, то ее можно обнаружить и исключить из результатов измерений.

Случайная погрешность (δ) изменяется случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. В отличие от систематической ее нельзя исключить из результатов измерений. Однако ее влияние может быть уменьшено путем применения специальных способов обработки результатов измерений, основанных на положениях теории вероятности и математической статистики. Случайные погрешности измерительных средств обязаны своим возникновением случайным изменениям параметров, являются случайной функцией времени, измеряемых параметров и влияющих величин. Для оценки случайной погрешности рассматривают среднее арифметической показаний прибора и дисперсию отклонений.

Грубая погрешность (промах) сильно отличается от среднестатистической погрешности. При статистической обработке данных промахи не обрабатывают.

Рассмотрим основные разновидности систематических погрешностей средств измерений. Назовем статической характеристикой измерительного прибора зависимость между математическим ожиданием его показаний и истинным значением измеряемой величины: m_X = f(Q). Тогда систематическую погрешность в функции измеряемой величины можно представить в виде разности математических ожиданий показаний m_X = f(Q) реального и m_X₀ = f₀(Q) идеального, т.е. лишенного систематических погрешностей, измерительных приборов: Θ = m_X – m_X₀ = f(Q) – f₀(Q)

Тогда результатом проявления технологических погрешностей являются следующие виды смещения статической характеристики, т.е. разновидности систематических погрешностей:

А) Поступательное смещение статической характеристики относительно характеристики идеального прибора и возникновение погрешности, постоянной в каждой точке шкалы. Эта погрешность называется аддитивной (рис. 1.1а).

Б) Поворот статической характеристики и появление погрешности, линейно возрастающей или убывающей с ростом измеряемой величины. Такая погрешность называется мультипликативной (рис. 1.1б).

В) Нелинейные искажения статической характеристики (рис. 1.1в).

Г) Появление погрешности обратного хода, выражающееся в несовпадении статических характеристик прибора при увеличении и уменьшении значений измеряемой величины (вариация показаний) (рис. 1.1г).

Для устранения систематической погрешности вводят поправку. Поправка по знаку противоположна погрешности. При введении поправки учитывают вид погрешности. Аддитивные погрешности устраняют вычитанием поправки.

а) б)

Анализ случайных погрешностей, дающих возможность с определенной гарантией вычислить действительное значение измеренной величины и оценить ее ошибки. Интервальная оценка с помощью доверительной вероятности. Определение минимального количества измерений.

Рубрика	Математика
Вид	лекция
Язык	русский
Дата добавления	23.02.2014
Размер файла	183,8 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Основы теории случайных ошибок и методов оценки случайных погрешностей в измерениях

Анализ случайных погрешностей основывается на теории случайных ошибок, дающей возможность с определенной гарантией вычислить действительное значение измеренной величины и оценить возможные ошибки.

Основу теории случайных ошибок составляют следующие предположения:

при большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;

большие погрешности встречаются реже, чем малые (вероятность появления погрешности уменьшается с ростом ее величины);

при бесконечно большом числе измерении истинное значение измеряемой величины равно среднеарифметическому значению всех результатов измерений;

появление того или иного результата измерения как случайного события описывается нормальным законом распределения.

На практике различают генеральную и выборочную совокупность измерений.

Под генеральной совокупностью подразумевают все множество возможных значений измерений или возможных значений погрешностей .

Для выборочной совокупности число измерений ограничено, и в каждом конкретном случае строго определяется. Считают, что, если , то среднее значение данной совокупности измерений достаточно приближается к его истинному значению.

1. Интервальная оценка с помощью доверительной вероятности

Для большой выборки и нормального закона распределения общей оценочной характеристикой измерения являются дисперсия и коэффициент вариации :

Дисперсия характеризует однородность измерения. Чем выше , тем больше разброс измерений.

Коэффициент вариации характеризует изменчивость. Чем выше , тем больше изменчивость измерений относительно средних значений.

Для оценки достоверности результатов измерений вводятся в рассмотрение понятия доверительного интервала и доверительной вероятности.

Доверительным называется интервал значений , в который попадает истинное значение измеряемой величины с заданной вероятностью.

Доверительной вероятностью (достоверностью) измерения называется вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал, т.е. в зону . Эта величина определяется в долях единицы или в процентах

где - интегральная функция Лапласа (табл.1.1)

Интегральная функция Лапласа определяется следующим выражением:

Аргументом этой функции является гарантийный коэффициент:

Таблица 1.1 Интегральная функция Лапласа

0,0000

0,0399

0,0797

0,1192

0,1585

0,1974

0,2357

0,2737

0,3473

0,3829

0,4177

0,4515

0,4843

0,5161

0,5467

0,5763

0,6319

0,6579

0,6827

0,7063

0,7287

0,7419

0,7699

0,7887

0,8230

0,8385

0,8529

0,8664

0,8789

0,8904

0,9011

0,9109

0,9281

0,9357

0,9426

0,9488

0,9545

0,9756

0,9876

0,9973

Если же на основе определенных данных установлена доверительная вероятность (часто ее принимают равной ), то устанавливается точность измерений (доверительный интервал ) на основе соотношения

Половина доверительного интервала равна

где - аргумент функции Лапласа, если (табл.1.1);

- функции Стьюдента, если (табл.1.2).

Таким образом, доверительный интервал характеризует точность измерения данной выборки, а доверительная вероятность - достоверность измерения.

Пример

Выполнено измерений прочности дорожного покрытия участка автомобильной дороги при среднем модуле упругости и вычисленном значении среднеквадратического отклонения .

Необходимо определить требуемую точность измерений для разных уровней доверительной вероятности , приняв значения по табл.1.1.

В этом случае соответственно |

Следовательно, для данного средства и метода измерений доверительный интервал возрастает примерно в раза, если увеличить только на .

Таблица 1.2 Коэффициент Стьюдента

127,30

637,20

Пример

Определить достоверность измерений для установленного доверительного интервала .

По формуле (1.2) имеем:

По табл.1.1 для определяем .

Это означает, что в заданный доверительный интервал из измерений не попадают только .

Значение называют уровнем значимости. Из него следует, что при нормальном законе распределения погрешность, превышающая доверительный интервал, будет встречаться один раз из измерений, где

Это означает, что приходится браковать одно из измерений.

По данным приведенных выше примеров можно вычислить количество измерений, из которых одно измерение превышает доверительный интервал.

Если , то по формуле (1.4) определяется измерений.

Если равна и , соответственно и измерений.

2. Определение минимального количества измерений

Для проведения опытов с заданной точностью и достоверностью необходимо знать то количество измерений, при котором экспериментатор уверен в положительном исходе.

В связи с этим одной из первоочередных задач при статистических методах оценки является установление минимального, но достаточного числа измерении для данных условий.

Задача сводится к установлению минимального объема выборки (числа измерении) при заданных значениях доверительного интервала и доверительной вероятности .

При выполнении измерений необходимо знать их точность:

где - среднеарифметическое значение среднеквадратического отклонения .

Значение часто называют средней ошибкой.

Доверительный интервал ошибки измерения определяется выражением

С помощью легко определить доверительную вероятность ошибки измерений по табл.1.1.

В исследованиях часто по заданной точности и доверительной вероятности измерения определяют минимальное количество измерений, гарантирующих требуемые значения и .

Для определения может быть принята такая последовательность вычислений.

1. Проводится предварительный эксперимент с количеством измерений , которое составляет в зависимости от трудоемкости опыта от до .

2. Вычисляется среднеквадратическое отклонение по формуле (1.1).

3. В соответствии с поставленными задачами эксперимента устанавливается требуемая точность измерений , которая не должна превышать точности прибора.

4. Устанавливается нормированное отклонение , значение которого обычно задается (зависит также от точности метода).

5. По формуле (2.2) определяют и в дальнейшем в процессе эксперимента число измерений не должно быть меньше .

Пример

При приемке сооружений комиссия в качестве одного из параметров замеряет их ширину. Согласно инструкции требуется выполнять измерений. Допускаемое отклонение параметра . Если предварительно вычисленное значение , то можно определить, с какой достоверностью комиссия оценивает данный параметр.

Из формулы (2.2) можно записать

В соответствии с табл.10.1 доверительная вероятность для .

Это низкая вероятность.

Погрешность, превышающая доверительный интервал , согласно выражению (1.4) будет встречаться один раз из , т.е. из четырех измерений. Это недопустимо.

В связи с этим необходимо вычислить минимальное количество измерений с доверительной вероятностью , равной и .

По формуле (2.2) имеем измерения при и измерения при , что значительно превышает установленные измерений.

Для нахождения границы доверительного интервала при малых значениях () применяют метод, предложенный в 1908 г. английским математиком Госсетом В.С. (псевдоним Стьюдент).

Кривые распределения Стьюдента в случае (практически при ) переходят в кривые нормального распределения (рис.10.1).

Рис.2.1. Кривые распределения Стьюдента для различных значений: 1 - при ; 2 - при ; 3 - при

Для малой выборки доверительный интервал

где - коэффициент Стьюдента, принимаемый по табл.1.2

в зависимости от значения доверительной вероятности .

Зная , можно вычислить действительное значение изучаемой величины для малой выборки

Возможна и иная постановка задачи.

По известных измерений малой выборки необходимо определить доверительную вероятность при условии, что погрешность среднего значения не выйдет за пределы .

Задачу решают в такой последовательности:

1. Вначале вычисляется среднее значение , и .

2. С помощью величины , известного и табл.1.2 определяют доверительную вероятность.

В процессе обработки экспериментальных данных следует исключить грубые ошибки ряда. Появление этих ошибок вполне вероятно, а наличие их ощутимо влияет на результат измерений. Однако прежде чем исключить то или иное измерение, необходимо убедиться, что это действительно грубая ошибка, а не отклонение вследствие статистического разброса.

Известно несколько методов определения грубых ошибок статистического ряда. Наиболее простым способом исключения из ряда резко выделяющегося измерения является правило "трех сигм": разброс случайных величин от среднего значения не должен превышать

Более достоверными являются методы, базируемые на использовании доверительного интервала.

Пусть имеется статистический ряд малой выборки, подчиняющийся закону нормального распределения. При наличии грубых ошибок критерии их появления вычисляются по формулам

где - наибольшее и наименьшее значения из измерений.

В табл.2.1 приведены максимальные значения , возникающие вследствие статистического разброса, в зависимости от доверительной вероятности.

Если , то значение необходимо исключить из статистического ряда как грубую погрешность.

Если исключается величина .

После исключения грубых ошибок определяют новые значения и из или измерений.

Основу теории случайных ошибок составляют следующие предположения:

На практике различают генеральную и выборочную совокупность измерений.

Под генеральной совокупностью подразумевают все множество возможных значений измерений или возможных значений погрешностей.

Для выборочной совокупности число измерений ограничено, и в каждом конкретном случае строго определяется. Считают, что, если, то среднее значение данной совокупности измеренийдостаточно приближается к его истинному значению.

1. Интервальная оценка с помощью доверительной вероятности

Для большой выборки и нормального закона распределения общей оценочной характеристикой измерения являются дисперсия и коэффициент вариации:

; . (1.1)

Дисперсия характеризует однородность измерения. Чем выше , тем больше разброс измерений.

Коэффициент вариации характеризует изменчивость. Чем выше , тем больше изменчивость измерений относительно средних значений.

Для оценки достоверности результатов измерений вводятся в рассмотрение понятия доверительного интервала и доверительной вероятности.

Доверительным называется интервал значений , в который попадает истинное значение измеряемой величины с заданной вероятностью.

Доверительной вероятностью (достоверностью) измерения называется вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал, т.е. в зону . Эта величина определяется в долях единицы или в процентах

где - интегральная функция Лапласа (табл.1.1)

Интегральная функция Лапласа определяется следующим выражением:

Аргументом этой функции является гарантийный коэффициент:

. (1.2)

Интегральная функция Лапласа

Если же на основе определенных данных установлена доверительная вероятность (часто ее принимают равной), то устанавливаетсяточность измерений(доверительный интервал) на основе соотношения

Половина доверительного интервала равна

, (1.3)

где - аргумент функции Лапласа, если(табл.1.1);

- функции Стьюдента, если (табл.1.2).

Таким образом, доверительный интервал характеризует точность измерения данной выборки, а доверительная вероятность - достоверность измерения.

Пример

Выполнено измерений прочности дорожного покрытия участка автомобильной дороги при среднем модуле упругостии вычисленном значении среднеквадратического отклонения.

В этом случае соответственно |

Читайте также: