Основы эллиптической теории реферат

Обновлено: 19.05.2024

В комплексный анализ, эллиптическая функция это мероморфная функция это периодический в двух направлениях. Подобно тому, как периодическая функция действительной переменной определяется своими значениями на интервале, эллиптическая функция определяется своими значениями на некотором интервале. основной параллелограмм, которые затем повторяются в решетка. Такой двоякопериодическая функция не может быть голоморфный, как тогда было бы ограниченный вся функция, и по Теорема Лиувилля каждая такая функция должна быть постоянной. На самом деле эллиптическая функция должна иметь как минимум два полюса (с учетом кратности) в фундаментальном параллелограмме, как легко показать, используя периодичность, что a контурный интеграл вокруг его границы должен исчезнуть, подразумевая, что остатки всех простых полюсов надо отменить.

Исторически эллиптические функции были впервые открыты Нильс Хенрик Абель так как обратные функции из эллиптические интегралы, и их теория была улучшена Карл Густав Якоби; они, в свою очередь, изучались в связи с проблемой длина дуги из эллипс, откуда и произошло название. Эллиптические функции Якоби нашли многочисленные приложения в физике и были использованы Якоби для доказательства некоторых результатов в элементарной теории чисел. Более полное изучение эллиптических функций было позднее предпринято Карл Вейерштрасс, который нашел простую эллиптическую функцию, через которую можно выразить все остальные. Помимо их практического использования при вычислении интегралов и явном решении некоторых дифференциальных уравнений, они имеют глубокую связь с эллиптические кривые и модульные формы.

Содержание

Определение

Формально эллиптическая функция - это функция ж мероморфный на ℂ для которого существуют два ненулевых комплексных числа ω₁ и ω₂ с участием ω₁ / ω₂ ∉ ℝ , так что ж(z) = ж(z + ω₁) и ж(z) = ж(z + ω₂) для всех z ∈ ℂ .

С точки зрения сложная геометрия, эллиптическая функция состоит из первого рода Риманова поверхность Икс и голоморфное отображение Икс → ℂℙ 1 . С этой точки зрения мы рассматриваем две решетки Λ и Λ ' как эквивалент, если существует ненулевое комплексное число α с участием Λ '= αΛ .

Эллиптические функции Вейерштрасса

С приведенным выше определением эллиптических функций (которое принадлежит Вейерштрассу) эллиптическая функция Вейерштрасса ℘(z) строится наиболее очевидным образом: по решетке Λ как указано выше, положите

Эта функция инвариантна относительно преобразования z ↦ z + ω для любого ω ∈ Λ как видно из дифференцирования и четности функции, что означает, что постоянная интегрирования должна быть 0. Добавление − 1 / ω 2 условия необходимы, чтобы сумма сходилась. Техническое условие, гарантирующее, что такая бесконечная сумма сходится к мероморфной функции, заключается в том, что на любом компакте после исключения конечного числа членов, имеющих полюсы в этом наборе, оставшийся ряд сходится как обычно. На любом компакт-диске, определяемом | z | ≤ р , и для любого | ω | > 2р , надо

и можно показать, что сумма

сходится независимо от Λ . [1]

Написав ℘ как Серия Laurent и явно сравнивая члены, можно убедиться, что он удовлетворяет соотношению

Это означает, что пара (℘,℘′) параметризовать эллиптическую кривую.

Функции ℘ принимать разные формы в зависимости от Λ , и богатая теория развивается, когда Λ варьироваться. Для этого положим ω₁ = 1 и ω₂ = τ , с участием Я(τ) > 0 . (После поворота и масштабного коэффициента любая решетка может быть представлена в этом виде.)

Голоморфная функция в верхней полуплоскости ЧАС = z ∈ ℂ | Я(z) > 0> который инвариантен относительно дробно-линейные преобразования с целыми коэффициентами и определителем 1 называется модульная функция. То есть голоморфная функция час : ЧАС → ℂ является модульной функцией, если

Одна из таких функций - Кляйна j -инвариантный, определяется

где г₂ и г₃ такие же, как указано выше.

Эллиптические функции Якоби

Существует двенадцать эллиптических функций Якоби. Каждому из двенадцати соответствует стрелка, проведенная из одного угла прямоугольника в другой. Углы прямоугольника условно обозначены s , c , d и п . Подразумевается, что прямоугольник лежит на комплексная плоскость, так что s находится в начале, c находится в точке K на действительной оси, d находится в точке K + iK′ и п находится в точке iK′ на мнимой оси. Число K и K′ называются квартальные периоды. Тогда двенадцать эллиптических функций Якоби равны pq , где п и q две разные буквы в s, c, d, n .

Тогда эллиптические функции Якоби являются единственными двояковыпериодическими, мероморфный функции, удовлетворяющие следующим трем свойствам:

На углу простой ноль п , и простой столб на углу q .
Шаг от п к q равна половине периода функции pq ты ; то есть функция pq ты периодичен по направлению pq , причем период вдвое больше расстояния от п к q . Функция pq ты также периодичен в двух других направлениях, с периодом таким, что расстояние от п к одному из других углов - четверть периода.
Если функция pq ты расширяется с точки зрения ты в одном из углов главный член разложения имеет коэффициент 1. Другими словами, главный член разложения pq ты в углу п является ты ; ведущий член расширения на углу q является 1 / ты , а главный член расширения в двух других углах равен 1.

В общем, прямоугольник накладывать не нужно; параллелограмм подойдет. Однако если K и iK′ хранятся на действительной и мнимой оси соответственно, то эллиптические функции Якоби pq ты будут настоящими функциями, когда ты это реально.

Эллиптические функции Абеля

Эллиптические интегралы были детально изучены Legendre который свел их к трем основным типам. Абель написал интеграл первого рода как

где c и е два параметра. [2] Это обобщение интеграла, дающего длина дуги из лемниската соответствующие особым значениям c = е = 1 и расследуется Карл Фридрих Гаусс. Длина дуги круга будет результатом установки c = 1 и е = 0 .

Значение ты интеграла является возрастающей функцией верхнего предела для 0 1 / c и достигает максимума

Гениальный ход Абеля заключался в том, чтобы рассмотреть обратную функцию Икс = φ(ты) который теперь хорошо определен в интервале 0 ≤ ты ≤ ω / 2 . Поскольку определяющий интеграл является нечетной функцией от Икс , функция φ(ты) также нечетное со специальными значениями φ(0) = 0 и φ(± ω / 2 ) = ± 1 / c . Производная функции φ′(ты) = dφ / ду следует также из интеграла как

и является четной функцией. Два квадратных корня можно рассматривать как новые, даже функции аргумента ты . Авель определил их как

Таким образом, производную можно записать в более компактном виде φ′(ты) = ж(ты)F(ты) . Эти новые функции имеют производные ж′(ты) = −c 2 φ(ты)F(ты) и F′(ты) = е 2 φ(ты)ж(ты) . Все три эллиптические функции зависят от параметров c и е хотя обычно эта зависимость явно не выписывается.

Для тригонометрические функции Абель смог показать, что эти новые функции удовлетворяют теоремы сложения в согласии с чем Эйлер ранее были найдены из таких интегралов. [2] Они позволяют выполнять функции на весь интервал −ω ≤ ты ≤ ω и показать, что они периодичны с периодом 2ω . Кроме того, позволяя т → Это в интеграле функции также могут быть определены для комплексных значений аргумента. Таким расширением параметры c и е поменяны местами и означает, что функции также имеют мнимый период 2iω′ с участием

Таким образом, эллиптические функции имеют двойную периодичность. Эквивалентно можно сказать, что у них есть два сложных периода ω_1,2 = ω ± iω′ . Таким образом, их нули и полюса образуют правильную двумерную решетку. Соответствующие свойства лемнискатические эллиптические функции также был установлен Гауссом, но не опубликован до его смерти. [3]

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Амурский государственный университет

Кафедра математического анализа и моделирования ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОЙ РАБОТЕ

на тему: Эллиптические функции

по дисциплине: Теория функций комплексного переменногоИсполнитель

Реферат Работа 21с., 2 рисунка, 5 источников.

Эллиптические функции, эллиптические интегралы, эллиптические координаты, полюс, мероморфность, конгруэнтность, голоморфность, свойства.

В этой работе будут рассмотрены свойства эллиптических интегралов и эллиптических функций. Эллиптические функции встречаются во многих задачах динамики твердого тела, аэродинамики, электротехники, теории упругости и др. Начнем с изложения общих свойств мероморфных периодических функций, в совокупность которых входит, в частности, и класс эллиптических функций. Одна из наших задач заключается в том, чтобы построить посредством того или иного аналитического аппарата элементы, с помощью которых можно выразить в конечном виде все эллиптические функции.

интеграл эллиптическая функция

СодержаниеВведение

1 Общие свойства эллиптических функций

1.1 Определение эллиптической функции

1.2 Параллелограммы периодов

1.3 Основные теоремы

1.4 Эллиптические функции второго порядка

2 Примеры. Приложения

2.1 Вычисление длины дуги эллипса

2.2 Эллиптические координаты

1. Общие свойства эллиптических функций 1.1 Определение эллиптической функции Эллиптической функцией называется мероморфная функция, допускающая периоды, которые все могут быть образованы посредством сложения и вычитания из двух первоначальных периодов 2 и 2, имеющих мнимое отношение . Короче говоря, мероморфная функция называется эллиптической, если она двоякопериодическая с периодами 2 и 2, отношение которыхесть мнимое число. Такая функция f(z) удовлетворяет соотношениям (1) откуда вытекает, что (2) где m и n обозначают любые целые числа, положительные, отрицательные или нули.

Установим две формулы для эллиптической функции, из которых одна будет давать ее разложение на сумму простейших элементов с явным выделением ее полюсов и их главных частей, а другая будет представлять эллиптическую функцию посредством отношения произведений элементарных множителей с явным выделением ее нулей и полюсов. Прежде чем приступить к осуществлению этой задачи, мы установим ряд общих свойств эллиптической функции.

Примечание - при определении эллиптической функции предполагалось, что отношение ее первоначальных периодов является мнимым числом. Если это отношение есть число действительное, то функция является просто периодической или приводится к постоянному. Кроме того, во всем дальнейшем будем считать коэффициент при мнимой части отношения положительным, так как это достижимо путем изменения знака у одного из первоначальных периодов. 1.2 Параллелограммы периодов Чтобы дать геометрическое истолкование двоякой периодичности, рассмотрим в плоскости комплексного переменного четыре точки

Короче говоря, мероморфная функция называется эллиптической, если она двоякопериодическая с периодами 2о> и 2а/, отношение которых т есть мнимое число. Такая функция f (z) удовлетворяет соотношениям. При мнимои части отношения т= — положительным, так как этого мы всегдаг можем достигнуть путём изменения знака у одного из первоначальных периодов. Где тип обозначают любые целые числа… Читать ещё >

введение в теорию функций комплексного переменного

Элементы теории эллиптических функций ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Общие свойства эллиптических функций

Определение эллиптической функции.

Эллиптической функцией называется мероморфная функция, допускающая периоды, которое все могут быть образованы посредством сложения и вычитания из двух первоначальных периодов 2(0 и 2(о имеющих мнимое отношение.

Короче говоря, мероморфная функция называется эллиптической, если она двоякопериодическая с периодами 2о> и 2а/, отношение которых т есть мнимое число. Такая функция f (z) удовлетворяет соотношениям

откуда вытекает, что.

где тип обозначают любые целые числа, положительные, отрицательные или нули.

Одна из наших задач будет заключаться в том, чтобы построить посредством того или иного аналитического аппарата элементы, с помощью которых можно выразить в конечном виде все эллиптические функции. Иными словами, мы ставим проблему дать аналитическое представление любой эллиптической функции, отправляясь от вышеформулированного её дескриптивного определения. Для рациональных функций мы имеем два аналитических представления. В основе первого из них лежит задание полюсов рациональной функции и соответствующих им главных частей, что приводит нас к разложению рациональной функции на простейшие дроби. В основе второго аналитического представления рациональной функции лежит задание её нулей и полюсов, что даёт нам возможность представить её в виде отношения произведений линейных множителей (7, "https://referat.bookap.info").

Аналогично при решении вышеупомянутой задачи для эллиптической функции мы установим две формулы, из которых одна будет давать её разложение на сумму простейших элементов, с явным выделением её полюсов и их главных частей, а другая будет представлять эллиптическую функцию посредством отношения произведений элементарных множителей с явным выделением её нулей и полюсов. Прежде чем приступить к осуществлению этой задачи, мы установим ряд общих свойств эллиптической функции.

'Замечание. При определении эллиптической функции мы предпола- ' ;

гали отношение ?= — ее первоначальных периодов мнимым числом.

Можно было бы доказать, что если это отношение есть число действительное, то функция является просто периодической или приводится к постоянному. Кроме того, во всем дальнейшем мы будем считать коэффициент «'.

при мнимои части отношения т= — положительным, так как этого мы всегдаг можем достигнуть путём изменения знака у одного из первоначальных периодов.

В задачах небесной механики и динамики космического -лета весьма часто приходится пользоваться специальными функциями. К их числу относятся эллиптические функции Якоби, функции Бесселя, сферические функции, гипергеометрические функции и т. д.

Функции Бесселя нашли применение в разложениях координат невозмущенного кеплеровского движения (см. ч. II, гл. 3), в теории движения ИСЗ в сопротивляющейся среде (см. ч. VI, гл. 2). Сферические функции и, в частности, полиномы Лежандра используются в теории притяжения (см. ч. VI, гл. 1). Большие удобства дает применение гипергеометрической функции при разложении возмущающей функции в классических задачах небесной механики (см. гл. 6). Через эллиптические функции Якоби выражается решение задачи о движении ИСЗ с учетом возмущений от фигуры Земли [19].

В этой главе содержатся основные сведения из теории специальных функций. Дополнительные сведения можно найти в учебных пособиях и монографиях [13] — [16]. Кроме того, можно рекомендовать таблицы и справочные руководства И. С. Градштейна и И. М. Рыжика [17], А. М. Журавского [18], Е. Янке и Ф. Эмде [19].

§ 5.01. Эллиптические интегралы и эллиптические функции

Определение. Эллиптическим интегралом 1-го рода называется функция

Величина называется модулем эллиптического интеграла. Величина называется дополнительным модулем. Целесообразно рассматривать лишь

Определение. Эллиптическим интегралом 2-го рода называется функция

Определение. Эллиптическим интегралом рода на Зывается функция

Величина — параметр эллиптического интеграла рода. Полный эллиптический интеграл 1-го рода:

Полный эллиптический интеграл 2-го рода:

Полный эллиптический интеграл рода:

Функциональные соотношения для эллиптических интегралов:

В приложениях часто используются следующие тригонометрические и степенные разложения:

При близком к 1 удобнее пользоваться разложениями

Для полных эллиптических интегралов 1-го и 2-го рода имеются разложения

Функции удовлетворяют рекуррентным соотношениям.

Из рекуррентных соотношений (4.5.11) следует, что все при выражаются через Ни которые представляют собой эллиптические интегралы 1-, 2- и 3-го рода.

Определение. Функция, являющаяся результатом обращения эллиптического интеграла рода, называется амплитудой. Другими словами, если

Амплитуда — бесконечнозначная функция своего аргумента с периодом

Эллиптические функции Якоби:

Функции Якоби — двоякопериодические с периодами:

Эллиптические функции удовлетворяют следующим основным тождествам:

Основные степенные разложения для эллиптических функций:

Эти ряды сходятся при

Основные тригонометрические разложения:

Эллиптические функции Якоби удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:

Дифференцирование эллиптических функций выполняется по формулам

Эллиптической функцией Вейерштрасса называется решение дифференциального уравнения

причем штрих в суммах означает, что тип одновременно не обращаются в нуль, любые комплексные числа, отношение которых не является вещественным числом.

Функция Вейерштрасса обозначается символом и одно из ее разложений вблизи имеет вид

Числа являются периодами функции

Основные соотношения для функции Вьйерштрасса:

— вещественные корни уравнения

Тэта-функции определяются соотношениями

Связь между тэта-функциями и эллиптическими функциями Якоби дается равенствами

Представление функций Якоби через тэта-функции является одним из наиболее эффективных способов вычисления их значений, поскольку разложения тэта-функций обладают очень быстрой сходимостью член имеет порядок

В настоящее время издано много таблиц, содержащих численные значения эллиптических интегралов и эллиптических функций [20] — [23].

Читайте также: