Оптимизационные модели в экономике реферат

Обновлено: 07.07.2024

Аннотация: Лекция посвящена построению и исследованию оптимизационных моделей средствами программы Mathcad. Рассмотрены три модели классической задачи формирования оптимальной производственной программы: модель получения максимальной прибыли от выпуска продукции без заданного плана, модель получения максимальной доли плана для выпуска продукции при нехватке ресурсов, модель нахождения минимума дополнительного количества ресурсов, необходимых для выпуска продукции в соответствии с планом. Описаны два вида транспортной задачи: открытая классическая модель транспортировки и модель с промежуточным пунктом перевозки груза. Решена задача оптимального комплектования штата работников в соответствии с определенными требованиями. Показано применение инструмента межотраслевого баланса для оптимизации производства предприятия – определения эффективных комбинаций ресурсов для максимизации конечного продукта. Задачи решаются в матричном виде с применением блока given и функции maximize (minimize).

Цель лекции. Научить строить математическую модель оптимизационных задач средствами Mathcad. Выделять управляемые переменные, целевую функции. ограничения, затем строить систему уравнений. Применять блок given - maximize ( minimize ) для решения матричных уравнений. Анализировать полученное решение. Строить графики результата.

4.1. Постановка оптимизационной задачи

Принятию любого экономического или финансового решения предшествует перебор и оценка вариантов. Экономико-математические задачи, цель которых состоит в нахождении наилучшего (оптимального) с точки зрения некоторого критерия или критериев варианта использования имеющихся ресурсов (труда, капитала и пр.), называются оптимизационными [18, 19].

Типы оптимизационных задач в экономике:

Задачи оптимального планирования деятельности предприятий.
Задачи оптимального прикрепления потребителей к поставщикам - транспортная.
Задачи оптимального распределения трудовых ресурсов.
Задача оптимального составления смесей
Бинарные задачи распределения.
Задачи формирования оптимального портфеля ценных бумаг (инвестиционных проектов).

Оптимизационные задачи решаются с помощью оптимизационных моделей. Оптимизационные модели возникают при практической реализации принципа оптимальности в управлении. В каждом случае выделяется объект оптимизации, определяется цель оптимизации, ставится задача нахождения экстремума функции, описывающей оптимизируемую цель при заданных условиях. Структура оптимизационной модели состоит из целевой функции, области допустимых решений и системы ограничений, определяющих эту область. В качестве инструмента используется математическое программирование (планирование): линейное, нелинейное, динамическое, и т.п. В зависимости от типа переменных и функциональных связей различают задачи линейного и нелинейного программирования. Многие экономические задачи формулируются в терминах линейного программирования, поскольку функции прибыли, стоимости затрат - линейные функции переменных, связанных с объемами выпуска, продаж и других факторов.

В общем виде задача линейного программирования ЗЛП ставится следующим образом: найти вектор =(x_1,x_2. x_n)" />
, максимизирующий (минимизирующий) линейную форму )=\sum_^c_jx_j\to \max (\min)" />
, удовлетворяющий условиям:

$\sum_<j=1>^a_\le b_i$

( 4.1)

$x_j\ge 0,\;j=1..n$

( 4.2)

где — заданная функции, ,\; b_i" />
— некоторые действительные числа.

Линейная функция )" />
- целевая функция задачи, условия ( 4.1) (4.2) - ограничения задачи, вектор =(x_1,x_2. x_n)" />
, компоненты которого удовлетворяют функциональным и прямым ограничениям задачи, называется планом или допустимым решением ЗЛП. Допустимое решение, максимизирующее (минимизирующее) целевую функцию )" />
, называется оптимальным планом задачи: )=\max \; f(\overline)" />
(или ) где =(x^*_1,x^*_2. x^*_n)" />
- оптимальное решение ЗЛП.

В оптимизационной задаче экономический показатель, для которого определяется максимальное или минимальное значение - целевая функция . Управляемые переменные - аргументы целевой функции - переменные задачи, которые подвергаются изменению в процессе поиска решения. Область допустимых решений – это область, в пределах которой осуществляется выбор решений. В экономических задачах она ограничена наличными ресурсами, условиями, которые записываются в виде системы ограничений, состоящей из уравнений и неравенств.

Приведем примеры экономико-математического моделирования оптимизационных задач средствами Mathcad.

4.2.Оптимальное планирование выпуска продукции

Рассмотрим классическую задачу формирования производственной программы [20,21,22]. Пусть осуществляется выпуск видов продукции. Для этого используется n основных видов ресурсов , (механизмов, оборудования, времени, специалистов), объем которых на предприятии задан. Известно количество каждого ресурса, идущего на выпуск единицы продукции каждого вида. Отдельная продукция реализуется по цене c, норма переменных затрат для нее составляет . Необходимо, чтобы производственная программа была оптимальна и давала наибольшую валовую прибыль ,

Постановка задачи . Цель моделирования – получить максимальную прибыль , которая определяется количеством произведенной продукции в имеющихся условиях с учетом всех ограничений. Найти вариант из множества возможных.

Модель задачи

Определение переменных. Введем обозначения:

–видов продукции, – текущий номер вида продукции.

- прибыль от реализации единицы -го вида продукции.

- переменные затраты производства единицы -го вида продукции

- запасы -го ресурса – текущий номер вида ресурса, - количество ресурсов.

" />
- норма затрат го ресурса для производства -го вида продукции

– требуемое количество выпуска продукции каждого вида по плану,

Выходные показатели – суммарная прибыль ,

Управляемые переменные. - искомый объем продукции -го вида.

Целевая функция – показатель, который определяет цель моделирования - результирующий, оптимизируемый параметр – прибыль . Цель решения задачи – нахождение значений управляемых переменных , доставляющих экстремум целевой функции прибыли .

$Z(x_j)=\sum_<j=1>^(c_j-q_j)\cdot x_j, \; j=\overline$

( 4.3)

$Z(x_j)\to \max \; j=\overline<1,m>$

( 4.4)

Ограничения. условия, налагаемые на данные задачи, определяющие исследуемую величину, которая оптимизируется. Различают три типа ограничений:

Ресурсные ограничения - ограниченность имеющихся ресурсов; обеспечивающих выпуск:

\cdot x_j" />
– планируемые затраты ресурса для производства продукции ,

^a_\cdot x_j" />
– планируемые затраты ресурса на производство всех видов продукции,

$\sum_<j> ^a_\cdot x_j \le B_i \; i=\overline$
- условие ограниченности ресурсов

плановые ограничения - необходимость выполнения заданных значений для искомых объемов продукции -го вида:

$x_j\ge P_j\; j=\overline<1,m> $
- условие ограниченности по плану

технологические соотношения между группами управляемых переменных, здесь

$x_j\ge 0\; j=\overline<1,m> $

Реферат — оптимизационные экономико-математические модели. Работа выполнена специалистами Консультационного центра — Зачёт в 2011 году. Вы можете заказать реферат или купить готовый недорого.

Оптимизационные экономико-математические модели

Содержание

Типы моделей. 4
Оптимизационные методы решения экономических задач. 8
Многокритериальная оптимизация. Методы сведения многокритериальной задачи к однокритериальной. 11

3.1. Стратегия взвешенных сумм. 12

3.2. Метод достижения цели. 13

Гладкая оптимизация. 15
Выпуклая оптимизация. Условие выпуклости. 19

Список литературы.. 23

Введение

В настоящее время процессы принятия решений в экономике опираются на достаточно широкий круг экономико-математических методов и моделей. Ни одно серьёзное решение, затрагивающее управление деятельностью отраслей и предприятий, распределения ресурсов, изучение рыночной конъюнктуры, прогнозирование, планирование и т.п., не осуществляется без предварительного математического исследования конкретного процесса или его частей.

Цель данного реферата – рассмотреть оптимизационные экономико-математические модели.

Заключение

Оптимизационные модели позволяют найти из множества возможных (альтернативных) вариантов наилучший вариант производства, распределения или потребления. Ограниченные ресурсы при этом будут использованы наилучшим образом для достижения поставленной цели.

Экономико-математические задачи, цель которых состоит в нахождении наилучшего (оптимального) с точки зрения некоторого критерия или критериев варианта использования имеющихся ресурсов (труда, капитала и пр.), называются оптимизационными.

Оптимизационные задачи (ОЗ) решаются с помощью оптимизационных моделей (ОМ) методами математического программирования.

Структура оптимизационной модели состоит из целевой функции, области допустимых решений и системы ограничений, определяющими эту область. Целевая функция в самом общем виде в свою очередь также состоит из трех элементов:

управляемых переменных;
неуправляемых переменных;
формы функции (вида зависимости между ними).

Область допустимых решений — это область, в пределах которой осуществляется выбор решений. В экономических задачах она ограничена наличными ресурсами, условиями, которые записываются в виде системы ограничений, состоящей из уравнений и неравенств.

Список литературы

Реферат — оптимизационные экономико-математические модели. Работа выполнена специалистами Консультационного центра — Зачёт в 2011 году.

ВВЕДЕНИЕ 3
1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА 5
1.1 Понятие экономического роста 5
1.2 Базовая модель экономического роста 7
1.3 Эндогенные модели экономического роста 10
2 МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА И ЕГО ОСОБЕННОСТИ В РОССИИ 13
2.1 Описание и исследование модели 13
2.2 Эксперименты с моделью 17
2.3 Модель сбалансированного роста в ресурсозависимойэкономике 22
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 25
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 27

Актуальность темы исследования. Экономический рост является одним из центральных объектов исследования современной макроэкономики. Экономический рост служит основой решения большинства социально–экономических проблем, является главным фактором цивилизационного прогресса и результатом развития науки, техники,институциональных факторов. Параметры экономического роста и их динамика широко используется для характеристики развития национальных хозяйств, в государственном регулировании экономики. Особую актуальность проблема повышения темпов экономического роста имеет в современной России.
Можно сказать, что экономический рост – это увеличение ВВП на душу населения, а увеличение темпов экономического ростаприводит к повышению уровня доходов населения, снижению безработицы, увеличению доходов бюджета. Поэтому содействие увеличению темпов экономического роста является одной из самых основных задач экономической политики любого государства, чему способствуют различные теории экономического роста, которые в какой то мере применяются на практике.
Одной из существенных проблем теории экономического роста, которуюдостаточно обоснованно поставили С. Дюрлаф и Д. Ках1 в качестве центральной для современной теории роста, является то, почему одни страны растут быстрее других. Очевидно, постановка этого вопроса вытекает из эмпирических исследований, свидетельствующих о несокращающемся разрыве между богатыми и бедными странами, при том, что внутри групп богатых и бедных стран уровни развития выравниваются. Страны несближаются в своем развитии. Наоборот, существуют устойчивые различия в уровнях развития и росте. Эти различия не объясняются простым накоплением факторов производства. Общая производительность факторов, точнее, детерминанты, которые за ней стоят, влияют на нее, определяют различия.
В экономической теории разрабатываются динамические модели экономического роста, которые помогают исследоватьусловия достижения оптимального (равновесного) темпа экономического роста для каждой конкретной страны и вырабатывать эффективную долгосрочную экономическую политику. Видные экономисты, авторы теорий экономического роста не раз претендовали на создание всеобъемлющей и универсальной теории, поэтому каждая теория или модель имеет определенные допущения или абстракции, которые позволяют выделить и изучитьнаиболее существенные факторы экономического роста. Вопрос об определении факторов экономического роста, а также об их значении, мерах оценки и способах регулирования остается актуальным и сегодня.
Степень разработанности. Среди ученых, анализирующих развитие теории роста можно отметить Барро Р. Д., Сала-и-Мартин Х.2, Туманову Е.А. и Шагас Н.Л.3, Агапову И.И.4, Лаврова Е.И.5, Шараева Ю.В.6 идругих. Несмотря на наличие публикаций, посвященных развитию теории роста, отсутствуют работы, в которых проводится всесторонний историко–научный анализ развития теории роста.
Целью работы является исследование оптимизационных моделей экономического роста. Для реализации поставленной цели необходимо решение следующих задач:
определение сущности экономического роста;
рассмотрение базовой и эндогенныхмоделей экономического роста;
анализ особенностей и моделирование экономического роста в России.
Объектом исследования в данной работе является экономический рост как категория экономической теории. Предметом исследования являются модели экономического роста.
1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА

ТСО: Электронная доска, мультимедийный проектор, компьютеры.

Материал к уроку:

презентация Power Point (Приложение 3),
заготовка задания в Excel к 1 уроку “Изготовление полок” (Приложение 1),
заготовка задания в Excel ко 2 уроку “Способы раскроя заготовок” (Приложение 2),
заготовка к самостоятельной работе:
вариант 1 Приложение 4,
вариант 2 Приложение 5.
Домашняя работа по вариантам Приложение 6.

Цели урока: научить учащихся решать оптимизационные экономические задачи различных моделей средствами ЭТ Excel.

Поиск решения

продолжать совершенствовать практические навыки работы в программе Excel;
дополнить знания учащихся по теме “Оптимизационное моделирование в экономике”;
формировать умения строить экономико-математические модели;
развивать навыки анализа, логическое мышление.

развитие воображения, памяти, внимания, самостоятельности мышления, навыков работы на ПК;
познавательного интереса;
формирование информационной культуры, потребности в приобретении и применении знаний.

воспитание появления настойчивости в завершении задания;
привитие учащимся навыков самостоятельной работы.

Тип урока: лекция, практика, самостоятельная работа.

Форма проведения урока: коллективная, индивидуальная.

Продолжительность занятия: 2 урока по 45 мин.

Организационный момент – 2 мин;
Изложение нового материала – 13 мин;
Закрепление нового материала (самостоятельная практическая работа) – 25 мин;
Домашнее задание – 2 мин;
Итоги урока – 3 мин.

Ход 1-го урока: презентация (Приложение 3).

1. Перекличка. Объявление темы и цели занятия (Слайд 1).
Человеку практически ежедневно приходится сталкиваться с проблемой принятия решений для достижения тех или иных целей. В экономике целями могут быть увеличение прибыли, снижение затрат, повышение производительности труда, рациональное использование оборудования и материалов, повышение эффективности инвестиций и многое другое. Для решения таких задач очень широко используется метод Оптимизационного моделирования, с которым мы сегодня и познакомимся

Слайд 2. Давайте выясним, что же такое “оптимизация”. Заглянем в Википедию.

В математике это – нахождение оптимума (максимума или минимума) функции при выполнении некоторых ограничений

В информатике – процесс модификации системы для улучшения ее эффективности.

За своей сущностью задача оптимизации – это математическая модель определенного процесса производства продукции, его распределение, хранение, переработки, транспортирования, покупки или продажи, выполнение комплекса сервисных услуг и т.д. Это обычная математическая задача типа: Дано/Найти/При условии, но которая имеет множество возможных решений. Таким образом, задача оптимизации – задача выбора из множества возможных вариантов наилучшего, оптимального.

Слайд 3. Объектами планирования могут быть самые разные системы: деятельность отдельного предприятия, отрасли промышленности или сельского хозяйства, региона, наконец, государства.

Слайд 4. Критерием оптимальности могут быть различные параметры: например, в экономике можно стремиться к максимальному количеству выпускаемой продукции, а можно к ее низкой себестоимости и получению максимальной прибыли. Экстремальное значение выбранного целевого параметра (максимальный или минимальный) мы и будем называть целевой функцией.

Слайд 5. Цель исследования состоит в нахождении экстремума этой функции и определении значений параметров, при которых этот экстремум достигается

Слайд 6. Если целевая функция нелинейна, то она имеет экстремумы, которые находятся определенными методами. Однако часто целевая функция линейна и, соответственно, экстремумов не имеет. Задача поиска оптимального режима приобретает смысл только при наличии определенных ограничений на параметры.

Мы будем рассматривать только решение линейных задач с использованием оптимального планирования.

Слайд 7. Постановка задачи планирования выглядит следующим образом:

имеются некоторые плановые показатели: х, у и другие;
имеются некоторые ресурсы: Rl, R2 и другие, за счет которых эти плановые показатели могут быть достигнуты. Эти ресурсы практически всегда ограничены;
имеется определенная стратегическая цель, зависящая от значений х, у и других плановых показателей, на которую следует ориентировать планирование.

Нужно определить значение плановых показателей с учетом ограниченности ресурсов при условии достижения стратегической цели. Это и будет оптимальным планом.

Пусть объектом планирования является детский сад. Ограничимся лишь двумя плановыми показателями: числом детей и числом воспитателей. Основными ресурсами деятельности детского сада являются размер финансирования и площадь помещения. А каковы стратегические цели? Естественно, одной из них является сохранение и укрепление здоровья детей. Количественной мерой такой цели является минимизация заболеваемости воспитанников детского сада.
Планирование экономической деятельности государства. Безусловно, это слишком сложная задача для того, чтобы нам с ней полностью разобраться. Плановых показателей очень много: это объем производства различных видов промышленной и сельскохозяйственной продукции, план подготовки специалистов, количество вырабатываемой электроэнергии, размер зарплаты работников бюджетной сферы и многое другое. К ресурсам относятся: количество работоспособного населения, бюджет государства, природные ресурсы, энергетика, возможности транспортных систем и пр. Как вы понимаете, каждый из этих видов ресурсов ограничен. Кроме того, важнейшим ресурсом является время, отведенное на выполнение плана. Вопрос о стратегических целях довольно сложный. У государства их много, но в разные периоды истории приоритеты целей могут меняться. Например, в военное время главной целью является максимальная обороноспособность, военная мощь страны. В мирное время в современном цивилизованном государстве приоритетной целью должно быть достижение максимального уровня жизни населения.

Кроме того, иногда интересует не конкретный результат, а минимально или максимально возможный. Например, как минимизировать затраты на содержание персонала или максимизировать прибыли от реализации продукции? Как найти нескольких параметров, обеспечивающих некоторый наперед заданный результат.

Слайд 8. Рассмотрим пример.

Фирма производит две модели А и В сборных книжных полок. Их производство ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем машинной обработки. Для каждого изделия модели А требуется 3 м 2 досок, а для изделия модели В – 4 м 2 . Фирма может получать от своих поставщиков до 1700 м 2 досок в неделю. Для каждого изделия модели А требуется 12 мин машинного времени, а для изделия модели В – 30 мин. В неделю можно использовать 160 ч машинного времени. Сколько изделий каждой модели следует выпускать фирме в неделю, еcли каждое изделие модели А приносит 2 долл. прибыли, а каждое изделие модели В – 4 долл. прибыли?.

Решение состоит из трех этапов:

Разбор задачи и создание математической модели
Составление формальной модели
Создание компьютерной модели, которую можно выполнить в среде ЭТ Excel или в среде программирования

Составим математическую модель.

Обозначим: х – количество изделий модели А, выпускаемых в течение недели, у – количество изделий модели В.

Прибыль от этих изделий равна (2х + 4у) долл. Эту прибыль нужно максимизировать. Функция, для которой ищется экстремум (максимум или минимум), носит название целевой функции.

Беспредельному увеличению количества изделий препятствуют ограничения.

Ограничено количество материала для полок, отсюда неравенство (3x + 4y≤1700).
Ограничено машинное время на изготовление полок. На изделие А уходит 0,2 часа, на изделие В – 0,5 часа, а всего не более 160 ч, поэтому (0,2x + 0,5y ≤ 160). Кроме того, количество изделий – неотрицательное число, поэтому х > 0, у > 0 и целое

Слайд 9. Формально эта задача оптимизации записывается так:

Слайд 10–25. Компьютерная модель. Решение задачи в Excel.

1. Создайте новую рабочую книгу, сохраните ее под именем Chll.xls в своей папке.

2. Дайте первому листу имя "Полки".

3. Введите в ячейки рабочего листа информацию (рис.1). Ячейкам В2 и ВЗ присвойте имена х и у. В ячейках С6, С9 и С10 представлены формулы, занесенные в соответствующие ячейки столбца В.

4. Выделите ячейку (B6), в которой вычисляется целевая функция, и вызовите Решатель ("Сервис/ Поиск решения"). В диалоговом окне в поле ввода "Установить целевую ячейку:" уже содержится адрес ячейки с целевой функцией $В$6.

5. Установите переключатель: "Равной максимальному значению".

6. Перейдите к полю ввода "Изменяя ячейки:". В нашем случае достаточно щелкнуть кнопку "Предположить" и в поле ввода появится адрес блока $В$2:$В$3.

7. Перейдите к вводу ограничений. Щелкнем кнопку "Добавить". Появится диалоговое окно "Добавление ограничения".

8. В поле ввода "Ссылка на ячейку:" укажите $В$9.

9. Правее расположен выпадающий список с условными операторами (раскройте его и посмотрите). Выберем условие заготовка (Приложение 1).

4. Домашняя работа. Учебник §5.10, записать в тетрадь 2 этапа создания модели “Способы раскроя заготовки”.

Читайте также: