Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных реферат

Обновлено: 07.07.2024

По найденному значению 2 и числу степеней свободы r по таблице вероятностей 2 получим искомое значение вероятности Р и сравним его с выбранным условием значимости в = 0.05. Если Р 0.05, то статистический и теоретический законы распределения наблюдаемой случайной величины согласуются, следовательно… Читать ещё >

Определение законов распределения и числовых характеристик случайной величины на основе опытных данных ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королева Кафедра высшей математики

Расчетно-пояснительная записка к курсовой работе по математике

Определение законов распределения и числовых характеристик случайной величины на основе опытных данных

Задание

В протокол внесено n=100 измерений случайной величины Х.

1. По выборке построить статистический ряд и гистограмму.

2. Найти статистическую функцию распределения и построить её график.

3. Вычислить числовые характеристики статистического ряда .

4. Выровнять полученное распределение с помощью нормального закона.

Построить график теоретической кривой распределения в одной системе координат с гистограммой.

Построить график теоретической функции распределения в одной системе координат с графиком функции.

5. Найти доверительный интервал, в котором находится точное значение математического ожидания m случайной величины Х с доверительной вероятностью .

6. С помощью критерия согласия проверить согласованность статистического и выбранного теоретического (нормального) распределения.

Генеральная совокупность и выборка, статистический ряд и гистограмма

Генеральной совокупностью- называется совокупность всех подлежащих изучению объектов или возможных результатов всех наблюдений, производимых в одинаковых условиях над одним объектом.

Выборочной совокупностью или выборкой называется совокупность объектов или результатов наблюдения над объектом, отобранных случайным образом из генеральной совокупности.

Объемом выборки называется число объектов или наблюдений в выборке.

Конкретные значения выборки называются наблюдаемыми значениями случайной величины Х. Наблюдаемые значения заносятся в протокол. Протокол представляет собой таблицу. Составленный протокол является первичной формой записи обработки полученного материала. Для получения достоверных, надежных выводов выборка должна быть достаточно представительной по объему. Большая выборка — это неупорядоченное множество чисел. Для исследования выборку приводят к наглядному упорядоченному виду. Для этого в протоколе находят наибольшее и наименьшее значения случайной величины. Выборка, отсортированная по возрастанию, приведена в таблице 1.

Таблица 1. Протокол

Размахом выборки называется разность между наибольшим и наименьшим значением случайной величины Х:

Размах выборки разбивают на k интервалов — разрядов. Число разрядов устанавливают в зависимости от величины размаха выборки от 8 до 25, в этой курсовой работе примем k = 10.

Тогда длина интервала будет равна:

В протоколе подсчитаем число наблюдаемых значений, попавших в каждый интервал, обозначим их m1, m2,…, m10.

Назовем mi частотой попадания случайной величины в i интервал. Если какое-либо наблюдаемое значение случайной величины совпадает с концом интервала, то это значение случайной величины по договоренности относят в один из интервалов.

После того как определили частоты mi, определим частости случайной величины, т. е. найдем отношение частот mi к общему числу наблюдаемых значений n.

— частость, условие полноты ;

Найдем середину каждого интервала:

Составим таблицу 2

Таблица значений границ интервалов и соответствующих частостей, где i = 1, 2, 3, …, k, называется статистическим рядом. Графическим изображением статистического ряда называется гистограмма. Она строится следующим образом: по оси абсцисс откладывают интервалы и на каждом таком интервале, как на основании, строится прямоугольник, площадь которого равна соответствующей частости.

Левая граница интервала

Правая граница интервала

Статистическая функция распределения

Статистической функцией распределения называется частость случайной величины, не превосходящая заданного значения Х:

Для дискретной случайной величины Х статистическая функция распределения находится по формуле:

Запишем статистическую функцию распределения в развернутом виде:

где — это середина интервала i, а — это соответствующие частости, где i=1, 2,…, k.

График статистической функции распределения есть ступенчатая линия, точками разрыва которой являются середины интервалов, а конечные скачки равны соответствующим частотам (Рисунок 2).

Вычисление числовых характеристик статистического ряда

— статистическое математическое ожидание,

— статистическое среднеквадратическое отклонение.

Статистическим математическим ожиданием или статистическим средним называется среднеарифметическое наблюдаемых значений случайной величины Х.

Статистической дисперсией называется среднеарифметическое значение величиныили При большом объеме выборки вычисления по формулам и приводят к громоздким выкладкам. Для упрощения расчетов используют статистический ряд с границами и частостями, где i = 1, 2, 3, …, k, находят середины интервалов, а затем все элементы выборки, которые попали в интервал, заменяют единственным значением, тогда таких значений будетв каждом интервале .

гдесреднее значение соответствующего интервала;- частость интервала Вычисление числовых характеристик статистического ряда сведем в таблицу 3.

Таблица 3. Числовые характеристики

Середина интервала Xi

Статистическое математическое ожидание

Статистическое среднее квадратическое отклонение

определяет положение центра группировки наблюдаемых значений случайной величины.

характеризуют рассеяние наблюдаемых значений случайной величины вокруг

Выравнивание (сглаживание) статистического ряда и статистической функции распределения с помощью нормального закона

Выравнивание статистического ряда

Во всяком статистическом распределении неизбежно присутствуют элементы случайности. Однако при очень большом числе наблюдений эти случайности сглаживаются, и случайные явления обнаруживают присущую ему закономерность.

При обработке статистического материала приходится решать вопрос о том, как подобрать для данного статистического ряда теоретическую кривую. Эта теоретическая кривая распределения должна выражать существенные черты статистического распределения — эта задача называется задачей сглаживания или выравнивания статистического ряда.

Иногда общий вид распределения случайной величины Х вытекает из самой природы этой случайной величины.

Пусть случайная величина Х — это результат измерения некоторой физической величины прибора.

Х = точное значение физической величины + ошибка прибора.

Случайная ошибка прибора при измерении имеет суммарную природу и распределена по нормальному закону. Следовательно такое же распределение имеет случайная величина Х, т. е. нормальное распределение с плотностью вероятности:

Параметры и определяются так, чтобы числовые характеристики теоретического распределения были равны соответствующим числовым характеристикам статистического распределения. При нормальном распределении полагают, что, , тогда функция нормального распределения примет вид:

Вычисления сведем в таблицу 4.

Таблица 4. Выравнивающая кривая

Номер интервала

Середина интервала Xi

Теоретическую нормальную кривую строим по точкам на одном графике с гистограммой статистического ряда (Ошибка! Источник ссылки не найден.).

Выравнивание статистической функции распределения

Статистическую функцию распределения выравниваем функцией распределения нормального закона:

где, — функция Лапласа.

Таблица 5. Функция распределения

Номер интервала

Середина интервала Xi

Строим график теоретической функции распределения по точкамвместе с графиком статистической функции распределения.

Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Точечные оценки числовых характеристик случайной величины

Пусть изучается случайная величина Х с математическим ожиданием и дисперсией, оба параметра неизвестны.

Пусть х1, х2, х3, …, хn — выборка, полученная в результате проведения n независимых наблюдений случайной величины Х. Чтобы подчеркнуть случайный характер величин х1, х2, х3, …, хn перепишем их в виде:

Х1, Х2, Х3, …, Хn, где Хi — значение случайной величины Х в i-ом опыте.

Требуется на основании этих опытных данных оценить математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Такие оценки называются точечными, в качестве оценки m и D можно принять статистическое математическое ожидание и статистическую дисперсию, где

До проведения опыта выборка Х1, Х2, Х3, …, Хn есть совокупность независимых случайных величин, которые имеют математическое ожидание и дисперсию, а значит распределение вероятности такие же как и сама случайная величина Х. Таким образом:

, где i = 1, 2, 3, …, n.

Исходя из этого, найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины (пользуясь свойствами математического ожидания).

Таким образом математическое ожидание статистического среднего равно точному значению математического ожидания m измеряемой величины, а дисперсия статистического среднего в n раз меньше дисперсии отдельных результатов измерений.

при Это значит, что при большом объеме выборки N статистическое средние является величиной почти неслучайной, оно лишь незначительно отклоняется от точного значения случайной величины m. Этот закон называется законом больших чисел Чебышева.

Точность статистической оценки. Доверительная вероятность (надежность оценки), доверительный интервал

Точечные оценки неизвестных значений математического ожидания и дисперсии имеют большое значение на первоначальном этапе обработки статических данных. Их недостаток в том, что неизвестно с кокой точностью они дают оцениваемый параметр.

Пусть по данной выборке Х1, Х2, Х3, …, Хn получены точные статистические оценки и, тогда числовые характеристики случайной величины Х будут приближенно равны. Для выборки небольшого объема вопрос поточности оценки существенен, т. к между m и, D и будут недостаточно большие отклонения. Кроме того при решении практических задач требуется не только найти приближенные значения m и D, но и оценить их точность и надежность. Пусть, т. е является точечной оценкой для m. Очевидно, чтотем точнее определяет m, чем меньше модуль разности. Пусть, где е>0, тогда, чем меньше е, тем точнее оценка m. Таким образом, е>0 характеризует точность оценки параметра. Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка истинного значения m удовлетворяет, можно лишь говорить о вероятности б, с которой это неравенство выполняется:

Таким образом, бэто доверительная вероятность или надежность оценки , значение б выбираются заранее в зависимости от решаемой задачи. Надежность б принято выбирать 0.9; 0.95; 0.99; 0.999. События с такой вероятностью являются практически достоверными. По заданной доверительной вероятности можно найти число е>0 из .

Тогда получим интервал, который накрывает с вероятностью б истинное значение математического ожидания m, длина этого интервала равна 2е. Этот интервал называется доверительным интервалом . А такой способ оценки неизвестного параметра m — интервальным .

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения случайной величины при известном у.

Пусть дана выборка Х1, Х2, Х3, …, Хn, и пусть по этой выборке найдено ,.

Требуется найти доверительный интервал для математического ожидания m с доверительной вероятностью б. Величина есть величина случайная с математическим ожиданием,.

Случайная величина имеет суммарную природу, при большом объеме выборки она распределена по закону близкому к нормальному. Тогда вероятность попадания случайной величины в интервал будет равна:

Из формулы (3) и таблиц функции Лапласа находим число е>0 и записываем доверительный интервал для точного значения случайной величины Х с надежностью б.

В этой курсовой работе значение у заменим, и тогда формула (3) примет вид:

Найдем доверительный интервал, в котором находится математическое ожидание. При б = 0.99, n = 100, ,.

по таблицам Лапласа находим:

Отсюда е = 0,5986.

— доверительный интервал, в котором с вероятностью 99% находится точное значение математического ожидания.

Понятия о критериях согласия

Во многих случаях закон распределения случайной величины неизвестен, но на основании опытных данных делается предположение о виде закона распределения случайной величины Х. Однако для окончательного решения вопроса о виде распределения следует проверить согласуются ли результаты наблюдения с высказанным предположением. При этом, если даже предположение о виде распределения сделано правильно, закон распределения наблюдаемой случайной величины будет отличаться от теоретического закона, т.к. число наблюдений ограничено.

Поэтому следует выяснить: является ли расхождение между статистическим и теоретическим законами распределения только следствием ограниченного числа наблюдений, или оно является чем-то более существенным.

Для решения этой задачи служит критерий согласия. Существует несколько видов критерия согласия: критерий согласия Пирсона, Колмогорова, Смирного, Фишера и т. д.

Для проверки гипотезы о законе распределения случайной величины применим критерий согласия Пирсона или 2.

Гдечастота каждого интервала или разряда,

n — объем выборки (n = 100),

— теоретическая вероятность попадания случайной величины в i интервал.

где, — границы интервалов.

— статистическое математическое ожидание,

— статистическое среднеквадратическое отклонение.

Формула (4) следует из формулы вероятности попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, в интервал (a;b):

2. Определим число степеней свободы, где K — число интервалов или разрядов, 3 — число связей наложенных при выборе теоретического закона распределения. Связи:

1) Условие полноты ,

Замечание: частота mi каждого интервала должна быть не меньше 5 — 8, т. е. в этот интервал должно попадать не меньше 5 — 8 значений случайной величины. Если это не выполняется, то малочисленные интервалы следует объединить в один интервал или присоединить к соседнему, суммируя частоты.

Построение распределений и оценка выборочных характеристик случайных величин на основе опытных данных. Схема применения критерия Пирсона к оценке согласованности теоретического и статистического распределений. Схема применения критерия А.Н. Колмогорова.

Рубрика	Математика
Вид	лабораторная работа
Язык	русский
Дата добавления	22.03.2016
Размер файла	156,7 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное ГОСУДАРСТВЕННОЕ бюджетное ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

по лабораторной работе по дисциплине

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ

1. Теоретическая часть

Цель работы - приобретение практических навыков построения распределений и оценки выборочных характеристик случайных величин на основе опытных данных.

Статистический ряд оформляется графически в виде так называемой гистограммы. Она строится следующим образом. По оси абцисс откладываются, а на каждом из интервалов как основании строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного интервала. Для построения гистограммы нужно частоту каждого интервала разделить на его длину и полученное число взять в качестве высоты прямоугольника. В случае равных по длине интервалов высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частотам. Из способа построения гистограммы следует, что полная ее площадь равна единице.

Допустим, что некоторый статистический ряд выровнен с помощью некоторой теоретической кривой f(x). Обычно в качестве такой кривой принимается функция распределения F(x). Как бы хорошо ни была подобрана теоретическая кривая, между ней и статистическим распределением всегда будут некоторые расхождения. Встает вопрос: чем объясняются эти расхождения? Случайными обстоятельствами, в первую очередь, связанными с малым количеством наблюдений, или неправильно подобранной функцией f(x)=F(x), определяющей эту кривую? Для ответа на этот вопрос служат так называемые критерии согласия.

1.1 Критерий Пирсона

Рассмотрим один из наиболее часто применяемых критериев согласия - так называемый критерий ч 2 (критерий Пирсона). Он требуется для проверки согласования экспериментальных данных статистического ряда с гипотезой о том, что СВ X имеет данный закон распределения, соответствующей выбранной нами теоретической функции распределения F(x) или плотности распределения вероятности f(x).

Схема применения критерия Пирсона к оценке согласованности теоретического и статистического распределений сводится к следующему:

1) Определяются оценки среднего арифметического значения и среднего квадратического отклонения (СКО) у по формулам

2) Группируются результаты измерений (наблюдений) по интервалам длиной h, число которых определяют так же, как и при построении гистограммы.

3) Определяются границы интервалов x_i, x_i₊₁

4) Для каждого интервала находятся вероятности попадания в него наблюдений. Если в качестве теоретического используется нормальное распределение вероятностей СВ X, то используются формулы

где Ф . (t) - функция Лапласа, при и

Для распределений, отличающихся от нормального, используют другие формулы.

5) Определяется количество наблюдений m_i, попавших в каждый i-й интервал. Если в какой-либо интервал попадает меньше 5 наблюдений, то его объединяют с соседними.

6) Заполняется таблица на основе таблицы, используемой при построении статистического ряда

7) Определяется мера расхождения ч 2 по ранее приведенной формуле

8) Определяется число степеней свободы r, и задается вероятность P, которая обычно выбирается равной 0,95 или 0,9

9) По числу степеней свободы и вероятности находится критическое значение ч_кр 2

10) Сравнивается рассчитанное ч 2 и критическое значение ч_кр 2 , найденное по таблице, если при этом ч 2 2 , то гипотеза о соответствии выбранной теоретической функции распределения F(x)

и статистической F * (x) с вероятностью P принимается, и функцию F(x) можно использовать для описания статистического распределения.

Если ч 2 >ч_кр 2 , то гипотеза с вероятностью P отвергается и выбранную теоретическую функцию распределения F(x) нельзя использовать для описания статистического распределения.

1.2 Критерий Колмогорова

Критерий согласия Колмогорова предназначен для проверки гипотезы о принадлежности выборки некоторому закону распределения, то есть проверки того, что эмпирическое распределение соответствует предполагаемой модели.

Схема применения критерия А.Н. Колмогорова следующая: строятся статистическая функция распределения и предполагаемая теоретическая функция распределения , и определяется максимум модуля разности между ними (рис. 7.6.2).

Далее, определяемая величина

колмогоров пирсон распределение согласованность

и находится вероятность . Это есть вероятность того, что (если величина действительно распределена по закону ) за счет чисто случайных причин максимальное расхождение между и будет не меньше, чем фактически наблюденное. Если вероятность весьма мала, гипотезу следует отвергнуть как неправдоподобную; при сравнительно больших ее можно считать совместимой с опытными данными.

1.3 Составной критерий

Для проверки соответствия распределения данных нормальному распределению используют составной критерий. Если гипотеза о нормальности отвергается хотя бы по одному из критериев, считают, что распределение результатов измерения отлично от нормального.

Критерий 1. Вычисляют отношение

где S* - смещенная оценка среднего квадратического отклонения, вычисляемая по формуле

Результаты наблюдений группы можно считать распределенными нормально, если

где и - квантили распределения

Критерий 2. Можно считать, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, если не более m разностей превзошли значение z_p_/2 S, где S - оценка среднего квадратического отклонения, вычисляемая по формуле

где z_p/2 - верхний квантиль распределения нормированной функции Лапласа, отвечающий вероятности Р/2.

Значения Р определяются по выбранному уровню значимости q₂ и числу результатов наблюдений n.

При уровне значимости, отличном от предусмотренных, значение Р находят путем линейной интерполяции.

В случае, если при проверке нормальности распределения результатов наблюдений группы для критерия 1 выбран уровень значимости q₁, а для критерия 2 - q₂, то результирующий уровень значимости составного критерия

Если хотя бы один из критериев не соблюдается, считают, что распределение результатов наблюдений группы не соответствует нормальному.

2. Практическая часть

Оборудование

1. Универсальный цифровой измеритель-мультиметр типа М 832, М 838.

2. Набор (не менее 30шт.) дискретных элементов-резисторов

2.1 Результаты измерений

1) В соответствии с методическими указаниями по лабораторной работе проведены измерения собственного сопротивления.

По заданию преподавателя было проведено 40 измерений сопротивления. Результаты измерений представлены в табл.1.

Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий, мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная.

Содержание работы

Введение
3
1.
Случайные величины
4
2.
Классификация случайных величин
5
3.
Закон распределения случайной величины
6
4.
Функция распределения случайной величины и ее свойства
7
5.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
9
5.1
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства
9
5.2
Дисперсия случайной величины и ее свойства
13
5.3
Среднеквадратическое отклонение
16

Файлы: 1 файл

случ.величина.docx

ФГОУ ВПО Государственный аграрный университет Северного Зауралья

Институт экономики и финансов

Кафедра математических наук

Выполнила: студентка 2 курса

группы Б-ЭБ24 Глухова Н.Д

Проверила: доцент кафедры математики

Классификация случайных величин

Закон распределения случайной величины

Функция распределения случайной величины и ее свойства

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства

Дисперсия случайной величины и ее свойства

Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Назову, например, Ферма, Бернулли, Паскаля. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения, особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники.

Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайная величина является числовой характеристикой результата эксперимента, которая принимает свои значения в зависимости от элементарного события. Примером случайной величины могут быть: число очков, выпадающих при одном бросании игральной кости, число граждан, которые имеют высшее образование среди взятых наугад n человек, число бракованных изделий в партии из N штук, время безотказной работы прибора и т.д.

Случайная величина обычно обозначается прописной латинской буквой , ее конкретные значения – строчными буквами .Случайной величиной называется функция , определенная на множестве элементарных событий , .

2.Классификация случайных величин

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Величина называется дискретной, если она может принимать определенные, фиксированные значения.

Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга. Пусть дискретная случайная величина может принимать значений: . Для полной характеристики этой случайной величины должны быть заданы еще и вероятности появления указанных значений .

3.Закон распределения случайной величины

Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.

Законом распределения случайной дискретной величины называется совокупность пар чисел ( ), где – возможные значения случайной величины, а – вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем .

Таблицу значений дискретной случайной величины , если это целесообразно, формально всегда можно пополнить конечным набором любых чисел, считая их значениями с вероятностями, равными нулю.

Случайные величины и называются независимыми, если возможные значения и закон распределения каждой из них один и тот же при любом выборе допустимых значений другой и не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина. В противном случае эти величины называются зависимыми. Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если возможные значения и законы распределения любой из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.

4. Функция распределения случайной величины и ее свойства

Как для дискретной величины, так и для непрерывной вводится понятие функции распределения.

Пусть – случайная величина, определенная на множестве элементарных событий , , а – произвольное действительное число. В общем случае функция должна быть такова, чтобы для любых событие , состоящее в том, что случайная величина попадает в интервал , принадлежала полю событий и, таким образом, для любого такого события была определена вероятность .

Тогда вероятность того, что примет значение, меньшее, чем , равна значению функции распределения вероятностей данной случайной величины , соответствующее значению аргумента , т.е. функция распределения вероятностей данной случайной величины представляет собой вероятность события , где – задаваемые непрерывно изменяющиеся значения, т.е. .

Рассмотрим функцию распределения случайной дискретной величины , принимающей значения .

Если , то , так как в этом случае событие является невозможным.

Если , то событие наступит тогда и только тогда, когда наступит событие , поэтому .

Если , то событие равно сумме событий , и .

Аналогично, если , то .

Таким образом, функция распределения случайной дискретной величины равна , где , и суммирование производится по тем , для которых .

Если дискретные значения случайной величины расположены в порядке возрастания, то каждому значению этих величин ставится в соответствие сумма вероятностей всех предыдущих значений и вероятности , это указано в таблице (см.Приложение1)

В точках функция распределения имеет скачки, равные вероятности того, что случайная величина примет соответствующее значение.

Свойства функции распределения:

Функция распределения принимает значения из промежутка : .

Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала , равна разности : .

Функция распределения – неубывающая функция, т.е. при .

5. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

5.1 Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства

В некоторых случаях закон распределения случайной величины неизвестен, или просто целесообразно использовать не таблицу или функцию распределения для представления случайной величины, а так называемые числовые характеристики ее распределения, в частности математическое ожидание.

Математическое ожидание дискретной случайной величины – это сумма парных произведений всех возможных ее значений на соответствующие вероятности:

Очевидно, математическое ожидание случайной величины не изменится, если таблицу значений этой случайной величины пополнить конечным числом любых чисел, считая, что вероятности этих чисел равны нулю. Математическое ожидание случайной величины есть величина постоянная и поэтому представляет числовую характеристику случайной величины .Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания можно сформулировать в виде теорем.

1. Теорема. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине.

Доказательство. Постоянную величину можно рассматривать как случайную дискретную величину, принимающую лишь одно возможное значение с вероятностью . Поэтому .

2. Теорема. Математическое ожидание суммы двух (или нескольких) случайных величин и равно разности их математических ожиданий

1) Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями ( ), а случайная величина принимает значения с вероятностями ( ). Тогда возможными значениями случайной величины будут суммы , вероятности которых равны:

Как уже отмечалось ранее, все комбинации ( ) ( , ) можно считать допустимыми, причем, если сумма невозможна, то полагаем, чт .

Сумма представляет собой вероятность события, состоящего в том, что случайная величина принимает значения при условии, что случайная величина примет одно из своих возможных значений (что достоверно); это сложное событие, очевидно, эквивалентно тому, что принимает значение и поэтому

Для нескольких случайных величин, например для трех , и , имеем:

Следствие. Если – постоянная величина, то:

3. Теорема. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин и равно произведению их математических ожиданий:

Доказательство. Пусть случайная величина принимает значения ( , ) ( ) и ( , ) ( ) – законы распределения случайных величин и . Так как и – независимы, то полный набор значений случайной величины состоит из всех произведений ( , ), причем вероятности этих значений по теореме умножения для независимых событий равны

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. . Если – постоянная величина и – любая случайная величина, то, учитывая, что и – независимы, получим:

Следствие. Математическое ожидание разности двух случайных величин и равно разности их математических ожиданий:

Самарский государственный аэрокосмический университет

им. академика С.П. Королева

Кафедра прикладной математики

Выполнил студент группы №

Евгений В. Репекто

Задание на расчетно-графическую работу

Дан протокол содержащий 120 пронумерованных значений:
|№ | |№ | |№ | |№ | |
|1 |4 |31 |10 |61 |20 |91 |44 |
|2 |19 |32 |25 |62 |16 |92 |12 |
|3 |25 |33 |38 |63 |15 |93 |16 |
|4 |-4 |34 |1 |64 |32 |94 |9 |
|5 |58 |35 |19 |65 |52 |95 |12 |
|6 |34 |36 |55 |66 |-5 |96 |40 |
|7 |32 |37 |9 |67 |21 |97 |17 |
|8 |36 |38 |11 |68 |30 |98 |10 |
|9 |37 |39 |6 |69 |27 |99 |31 |
|10 |4 |40 |31 |70 |12 |100 |49 |
|11 |24 |41 |17 |71 |19 |101 |25 |
|12 |3 |42 |-6 |72 |1 |102 |33 |
|13 |48 |43 |14 |73 |23 |103 |26 |
|14 |36 |44 |9 |74 |7 |104 |19 |
|15 |27 |45 |13 |75 |4 |105 |25 |
|16 |20 |46 |25 |76 |16 |106 |34 |
|17 |1 |47 |11 |77 |38 |107 |10 |
|18 |39 |48 |18 |78 |40 |108 |24 |
|19 |11 |49 |2 |79 |30 |109 |2 |
|20 |16 |50 |29 |80 |14 |110 |38 |
|21 |49 |51 |20 |81 |51 |111 |30 |
|22 |25 |52 |48 |82 |17 |112 |10 |
|23 |26 |53 |16 |83 |25 |113 |39 |
|24 |30 |54 |29 |84 |34 |114 |1 |
|25 |19 |55 |12 |85 |23 |115 |40 |
|26 |32 |56 |-3 |86 |20 |116 |7 |
|27 |3 |57 |16 |87 |9 |117 |26 |
|28 |40 |58 |41 |88 |29 |118 |36 |
|29 |45 |59 |19 |89 |18 |119 |22 |
|30 |35 |60 |0 |90 |46 |120 |28 |

Все эти протокольные значения считаются значениями выборки

[pic] некоторой случайной величины [pic], а 60 из них, имеющие нечетные номера
– значениями выборки

[pic] другой случайной величины [pic]
Требуется:
1. Построить вариационные ряды для случайных величин [pic] и [pic].
2. Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу

Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных величин [pic] и [pic].
Образец заполнения таблицы для статистического ряда.
|№ |Границы |Середина |Количество |Частота для |
|пр-ка|промежутка |промежутка |элементов выборки|промежутка |
| |[pic] |[pic] |в промежутке |[pic] |
| | | |[pic] | |
|1 |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|2 | | | | |
|… |… |… |… |… |
|[pic]|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

3. Построить гистограммы распределения случайных величин [pic] и [pic].
4. Найти выборочное среднее [pic], [pic] и исправленные выборочные дисперсии: [pic], [pic] случайных величин [pic] и [pic].
5. Проверить, используя метод [pic] гипотезу о нормальном распределении, каждой из случайных величин [pic] и [pic] при уровне значимости [pic].
6. Построить график функции плотности распределения [pic] случайной величины [pic] в одной системе координат с гистограммой.([pic] взяв в качестве математического ожидания их статистические оценки [pic] и

[pic]) и вычислив значение функции [pic] в точках: [pic], [pic], а также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки.
7. Выполнить задание 6 для случайной величины [pic].
8. Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий случайных величин [pic] и [pic], соответствующие доверительной вероятности [pic].
9. Проверить статистическую гипотезу [pic] при альтернативной гипотезе

[pic] на уровне значимости [pic].
10. Проверить статистическую гипотезу [pic] при альтернативной гипотезе

[pic] на уровне значимости [pic].

1. Построить вариационные ряды для случайных величин [pic] и [pic].
Вариационный ряд величины [pic]
|-6 |12 |22 |33 |
|-5 |12 |23 |34 |
|-4 |12 |23 |34 |
|-3 |12 |24 |34 |
|0 |13 |24 |35 |
|1 |14 |25 |36 |
|1 |14 |25 |36 |
|1 |15 |25 |36 |
|1 |16 |25 |37 |
|2 |16 |25 |38 |
|2 |16 |25 |38 |
|3 |16 |25 |38 |
|3 |16 |26 |39 |
|4 |16 |26 |39 |
|4 |17 |26 |40 |
|4 |17 |27 |40 |
|6 |17 |27 |40 |
|7 |18 |28 |40 |
|7 |18 |29 |41 |
|9 |19 |29 |44 |
|9 |19 |29 |45 |
|9 |19 |30 |46 |
|9 |19 |30 |48 |
|10 |19 |30 |48 |
|10 |19 |30 |49 |
|10 |20 |31 |49 |
|10 |20 |31 |51 |
|11 |20 |32 |52 |
|11 |20 |32 |55 |
|11 |21 |32 |58 |

Вариационный ряд величины [pic]
|1 |21 |
|2 |22 |
|2 |23 |
|3 |23 |
|4 |24 |
|4 |25 |
|6 |25 |
|9 |25 |
|9 |25 |
|10 |26 |
|10 |26 |
|11 |26 |
|11 |27 |
|12 |27 |
|12 |30 |
|13 |30 |
|14 |31 |
|15 |32 |
|16 |37 |
|16 |38 |
|16 |38 |
|17 |39 |
|17 |40 |
|18 |44 |
|19 |45 |
|19 |48 |
|19 |49 |
|19 |51 |
|20 |52 |
|20 |58 |

2. Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу

Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных величин [pic] и [pic].
Найдем количество элементов выборок после группировки элементов
Величина [pic]: [pic]
Величина [pic]: [pic]
Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины [pic]

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: шпаргалки для студентов, титульный дипломной работы.

В протокол внесено измерений случайной величины Х.

1. По выборке построить статистический ряд и гистограмму.

2. Вычислить числовые характеристики статистического ряда .

3. Выровнять статистическое распределение с помощью теоретического (нормального) закона.

Построить график теоретической (нормальной) кривой распределения в одной системе координат с гистограммой.

4. С помощью критерия согласия проверить согласованность статистического и выбранного теоретического (нормального) распределения.

Все вычисления вести с точностью до 0,0001.

Генеральная совокупность и выборка, статистический ряд и гистограмма

Генеральной совокупностью называется совокупность всех подлежащих изучению объектов или возможных результатов всех наблюдений, производимых в одинаковых условиях над одним объектом.

Выборочной совокупностью или выборкой называется совокупность объектов или результатов наблюдений над объектом, отобранных случайным образом из генеральной совокупности.

Объемом выборки называется число объектов или наблюдений в выборке.

Конкретные значения выборки называются наблюдаемыми значениями случайной величины . Наблюдаемые значения заносятся в протокол, который является первичной формой записи полученного материала (Таблица 1). Для получения достоверных, надежных выводов выборка должна быть достаточно представительной по объему. В данной работе .

Большая выборка представляет собой неупорядоченное множество чисел. Выборку приводят к наглядному упорядоченному виду. Для этого в протоколе находят наибольшее и наименьшее значения случайной величины : и .

Размахом выборки называется разность между наибольшим и наименьшим значениями случайной величины :

Размах выборки разбивают на интервалов (разрядов). Число разрядов устанавливают в зависимости от величины размаха выборки от 8 до 25. В этой работе примем k = 10.

Тогда длина интервала равна:

В протоколе подсчитаем число наблюдаемых значений случайной величины , попавших в каждый интервал. Обозначим их , где .

Назовем частотой попадания случайной величины в -ый интервал. Если какое-либо наблюдаемое значение случайной величины совпадает с концом интервала, то это значение случайной величины по договоренности относят в один из интервалов – левый или правый.

После того как найдены частоты попадания случайной величины в -ый интервал, определяют частости случайной величины :

Заметим, что - условие полноты.

Найдем середину каждого интервала: .

Таблица значений границ интервалов и соответствующих частостей , попадания случайной величины в -ый интервал называется статистическим рядом (Таблица 2).

Графическое изображение статистического ряда называется гистограммой (Рисунок 1).

Она строится следующим образом: в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладываются значения границ интервалов и на каждом интервале как на основании строится прямоугольник высоты , площадь которого равна соответствующей частости .

- высота -го прямоугольника, .

Числовые характеристики статистического ряда

Рассмотрим следующие числовые характеристики статистического ряда:

- статистическое математическое ожидание,

- статистическая дисперсия,

-статистическое среднее квадратическое отклонение.

Статистическим математическим ожиданием или статистическим средним называется среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины Х :

(1)

Статистической дисперсией называется среднее арифметическое значение величины :

(2)

При большом объеме выборки вычисления по формулам (1) и (2) приводят к громоздким выкладкам. Для упрощения расчетов используют статистический ряд с границами и частостями , . Находят середины интервалов .

Затем все элементы выборки, которые попали в интервал , заменяют единственным значением . Тогда в формулах (1) и (2) вместо различных значений будет одинаковых значений.

где - середина интервала , - частость интервала , .

Итак, числовые характеристики статистического ряда будем находить по следующим формулам:

Вычисление числовых характеристик статистического ряда оформим в виде таблицы 3.

Статистическое математическое ожидание

Статистическая дисперсия

Статистическое среднее квадратическое отклонение

определяет положение центра группировки наблюдаемых значений случайной величины.

, характеризуют рассеяние наблюдаемых значений случайной величины вокруг .

Выравнивание (сглаживание) статистического ряда с помощью нормального закона

При обработке статистического материала приходится решать вопрос о том, как подобрать для данного статистического ряда теоретическую кривую распределения, выражающую только существенные черты статистического материала, а не случайности, связанные с недостаточным объемом экспериментальных данных. Эта задача называется задачей сглаживания или выравнивания статистического ряда. Задача выравнивания состоит в том, чтобы подобрать теоретическую кривую распределения, наилучшим образом описывающую данное статистическое распределение.

Случайная величина - есть результат измерения некоторой физической величины прибором, и представляет собой сумму точного значения физической величины и случайной ошибки измерительного прибора. Случайные ошибки прибора имеют суммарную природу и поэтому распределены по нормальному закону. Следовательно, можно предположить, что случайная величина также имеет нормальное распределение с плотностью вероятности

, где .

Параметры и определяют так, чтобы числовые характеристики теоретического распределения были равны соответствующим числовым характеристикам статистического распределения, то есть . Тогда плотность вероятности нормального закона примет вид:

Нормальная (выравнивающая) кривая строится по точкам (Рисунок 1).

Вычисления сведем в таблицу 4.

Номер интервала	Середина интервала		(Приложение 1)
1	1,1075	-1,8395	0,0735	0,0508
2	1,7225	-1,4146	0,1467	0,1013
3	2,3375	-0,9898	0,2444	0,1688
4	2,9525	-0,5650	0,3401	0,2349
5	3,5675	-0,1402	0,3950	0,2729
	0	0,3989	0,2756
6	4,1825	0,2846	0,3831	0,2646
7	4,7975	0,7094	0,3102	0,2143
8	5,4125	1,1343	0,2097	0,1448
9	6,0275	1,5591	0,1183	0,0817
10	6,6425	1,9839	0,0558	0,0385

4. Статистическая проверка гипотез. Критерий согласия

Во многих случаях закон распределения случайной величины неизвестен, но на основании опытных данных делается предположение о виде закона распределения случайной величины . Однако для окончательного решения вопроса о виде распределения следует проверить, согласуются ли результаты наблюдений с высказанным предположением. При этом если даже предположение о виде распределения сделано правильно, закон распределения наблюдаемой случайной величины будет отличаться от теоретического закона. Поэтому следует выяснить, является ли расхождение между статистическим и теоретическим законами распределения следствием ограниченного числа наблюдений или оно является чем-то более существенным, то есть на самом деле случайная величина подчинена другому закону распределения. Для решения этой задачи служит критерий согласия.

Идея применения критерия согласия состоит в том, что на основании статистического материала проводится проверка гипотезы о том, что исследуемая случайная величина подчинена некоторому определенному закону распределения, например, нормальному, показательному и т.д.

Наиболее часто для проверки гипотезы о законе распределения случайной величины применяется критерий согласия Пирсона или критерий .

Для проверки того, что статистическое распределение случайной величины согласуется с теоретическим (нормальным) распределением, вычисляют величину:

где - частота - го интервала (из Таблицы 1),

- объем выборки ( =100),

- теоретическая вероятность попадания случайной величины в интервал :

где - статистическое математическое ожидание,

- статистическое среднее квадратическое отклонение,

- границы интервалов, ,

- функция Лапласа, значения которой находят из таблицы (Приложение 2).

Значение зависит от числа степеней свободы ,

где - число интервалов,

3 – число связей, наложенных при выборе теоретического (нормального) закона распределения

, , .

Замечание: Частота m_i каждого интервала должна быть не менее 5 – 8. Если это условие не выполняется, то малочисленные интервалы следует объединить в один интервал или присоединить к соседнему интервалу, суммируя частоты.

Определим число степеней свободы .

Число интервалов , т.к. два последних интервала были объединены в один в силу их малочисленности.

Читайте также: