Определение и примеры алгебры морфизмов фактор алгебры реферат

Обновлено: 03.07.2024

для любых х,yА, αС. Если отображение f биективно, то f называют изоморфизмом (*-изоморфизмом).

Определение 1.8. Совокупность I элементов алгебры А называется левым идеалом, если:

Из х, yI следует x + y I;

Из хI, а αА следует α хI.

Если I = А, то I называют несобственным идеалом.

Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним.

Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй.

Пусть I – двусторонний идеал в алгебре А. Два элемента х, y из А назовем эквивалентными относительно идеала I, если х-yI. Тогда вся алгебра А разбивается на классы эквивалентных между собой элементов. Обозначим через А совокупность всех этих классов. Введем в А1 операции сложения, умножения на число и умножения, производя эти действия над представителями классов. Так как I – двусторонний идеал, то результат операций не зависит от выбора этих представителей.

Следовательно, А1 становится алгеброй. Эта алгебра называется фактор-алгеброй алгебры А по идеалу I и обозначается A/I.

*-гомоморфизм алгебр описывается при помощи так называемых самосопряженных двусторонних идеалов.

Определение 1.9. Идеал I (левый, правый или двусторонний) называется самосопряженным, если из хI следует х*I.

Самосопряженный идеал автоматически является двусторонним. Действительно, отображение х → х* переводит левый идеал в правый и правый идеал в левый; если поэтому отображение х → х* переводит I в I, то I есть одновременно и левый и правый идеал.

В фактор-алгебре A/I по самосопряженному двустороннему идеалу I можно определить инволюцию следующим образом. Если х-yI, то х*-y*I. Поэтому при переходе от х к х* каждый класс вычетов х по идеалу I переходит в некоторый другой класс вычетов по I. Все условия из определения 1.2. выполнены; следовательно, A/I есть *-алгебра.

Если х → х΄ есть *-гомоморфизм А на А΄, то полный прообраз I нуля (то есть ядро данного гомоморфизма) есть самосопряженный двусторонний идеал в А. Фактор-алгебра A/I *-изоморфна *-алгебре А΄.

Обратно, отображение х → [х] каждого элемента хА в содержащий его класс вычетов по I есть *-гомоморфизм алгебра А на A/I.

2.1. Определения и простейшие свойства представлений.

Определение 2.1. Пусть А - *-алгебра, Н – гильбертово пространство. Представлением А в Н называется *-гомоморфизм *-алгебры А в *-алгебру ограниченных линейных операторов L(H).

Иначе говоря, представление *-алгебры А в Н есть такое отображение из А в L(H), что

π (x+y) = π (x) + π (y), π (α x) = α π(x),

π (xy) = π (x) π (y), π (x*) = π (x)*

для любых х, y А и α С.

Размерность гильбертова пространства Н называется размеренностью π и обозначается dimπ. Пространство Н называется пространством представления π.

Определение 2.2. Два представления π1 и π2 инволютивной алгебры А в Н1 и Н2 соответственно, эквивалентны (или унитарно эквивалентны), если существует унитарный оператор U, действующий из гильбертова пространства Н1 в гильбертово пространство Н2, переводящий π1(х) в π2(х) для любого хА, то есть

U π1(х) = π2(х) U для всех х А.

Определение 2.3. Представление π называется циклическим, если в пространстве Н существует вектор f такой, что множество всех векторов π (х)f (для всех хА) плотно в Н. Вектор f называют циклическим (или тотализирующим) для представления π.

Определение 2.4. Подпространство Н1Н называется инвариантным, относительно представления π, если π (А)Н1Н1.

Если Н1 инвариантное подпространство, то все операторы π(х) (хА) можно рассматривать как операторы Н1. Сужения π(х) на Н1 определяют подпредставления π1 *-алгебры А в Н1.

Теорема 2.1. Если Н1 инвариантное подпространство Н, то его ортогональное дополнение также инвариантно.

Доказательство. Пусть f ортогонален к Н1, то есть (f, g) = 0 для всех gН1. Тогда для любого хА (π(х)f, g) = (f, π(х)*g) = (f, π(х*)g) = 0, так как π(х*)gН1. Следовательно, вектор π(х)f также ортогонален к Н1.

Обозначим через Р1 оператор проектирования в Н на подпространство Н1Н1.

Теорема 2.2. Н1 – инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р1 на Н1.

Доказательство. Пусть Н1 – инвариантное подпространство и fН1, но также π(х)f Н1. Отсюда для любого вектора fН

следовательно, Р1π(х)Р1f = π(х)Р1f ,

то есть Р1π(х)Р1 = π(х)Р1.

Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х* вместо х, получаем, что также

Следовательно, Р1π(х) = π(х)Р1; операторы Р1 и π(х) коммутируют.

Обратно, если эти операторы перестановочны, то для fН1

Р1π(х)f = π(х)Р1f = π(х)f ;

Следовательно, также π(х)f Н1. Это означает, что Н1 – инвариантное подпространство.

Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост- ранств есть также инвариантное подпространство.

Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида

h = f1 + … + fn, где f1, …, fn – векторы исходных подпространств. С другой стороны, π(х)h = π(х)f1 +…+ π(х)fn есть сумма того же вида и имеет своим пределом π(х)g.

2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I – произвольное множество. Пусть (πi)iI - семейство представлений *-алгебры А в гильбертовом пространстве Нi (iI). Пусть

где сх – положительная константа, не зависящая от i.

Обозначим через Н прямую сумму пространств Нi, то есть Н = Нi. В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор π(х) в Н, который индуцирует πi (х) в каждом Нi. Тогда отображение х → π(х) есть представление А в Н, называемое прямой суммой представлений πi и обозначаемое πi или π1…..πn в случае конечного семейства представлений (π1…..πn). Если (πi)iI – семейство представлений *-алгебры А, совпадающих с представлением π, и если CardI = c, то представления πi обозначается через сπ. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным π.

Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.

Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент.

Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.

Доказательство. Пусть f0 ≠ 0 – какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторов π(х)f0, где х пробегает всю *-алгебру А. Замыкание этой совокупности обозначим через Н1. Тогда Н1 – инвариантное подпространство, в котором f0 есть циклический вектор. Другими словами, Н1 есть циклическое подпространство представления π.

Если Н1 = H, то предложение доказано; в противном случае H-Н1 есть отличное от инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н2 ортогональное Н1.

Обозначим через М совокупность всех систем , состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система . Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем М будет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальная система . Но тогда Н=Нα; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-(Нα) существовало бы отличное от циклическое подпространство Н0 и мы получили бы систему Н0М, содержащую максимальную систему , что невозможно.

Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 65703
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 0


Лекции


Лабораторные


Справочники


Эссе


Вопросы


Стандарты


Программы


Дипломные


Курсовые


Помогалки


Графические

Доступные файлы (15):

ЛЕКЦИЯ 5_функции,морфизмы.doc

Функции. Алгебры и их морфизмы.

Функциональное соответствие, при котором каждому прообразу соответствует единственный образ, называется функцией.

Прообразы называются аргументами, образы – значениями функции.

Область определения функции (fA) – множество А, область значений функции (fB) – множество В. Говорят, что всюду определенная функция отображает множество А в (на) множество В.

ОБОЗНАЧЕНИЕ. f: AB или f(A)=B.

Функция, областью определения которой является прямое произведение n множеств, называется n-местной: f: A1 A2 A3 A4… AnB.

Мы будем рассматривать одноместные функции, т.к. многоместные функции имеют те же самые свойства, что и одноместные.

Итак, пусть f: AB, тогда

f – инъекция, если у каждого значения функции единственный аргумент. (всюду определенное соответствие)

f – сюръекция, если у каждого аргумента имеется свое значение функции. (сюръективное соответствие)

f – биекция, если у каждого значения функции единственный аргумент и у каждого аргумента единственное значение функции. (взаимно-однозначное соответствие)

Если |В|=1, то это функция-константа.

Отображение типа AА часто называют преобразованием множества А.

Две функции f и g равны, если fA=gA и аА f(a)=g(a).

ПРИМЕРЫ. 1) нумерация элементов счетного множества есть отображение этого множества на N.

2) . Данная функция частично определена, если имеет тип f: NN, но полностью определена, если ее тип NR.

2) Множество студентов вуза на множество фамилий вуза (сюръекция);

Множество студентов группы в множество фамилий вуза (инъекция)
Пусть даны две функции f(x) и g(x). Если f(a)=b и g(b)=a, то функция g называется обратной к функции f и обозначается как f -1 . Понятно, что область значений f совпадает с областью определения g и наоборот. Отсюда ясно, что обратную функцию может иметь только биективная функция.

Поскольку функция – это частный случай соответствия, то для нее можно сформулировать определение композиции (подстановки значения одной функции в другую, в математике это понятие сложной функции):

Из двух функций f: АВ и g: ВС можно построить композицию f ˚g: А С так, что h(x)=fg(x)=g(f(x)).

Для многоместных функций возможны различные варианты подстановки f в g, дающие функции различных типов. Особый интерес представляет случай, когда задано множество функций типа f1: A m 1 A, …, fn AmnA. В этом случае кроме подстановок функций друг в друга мы имеем право переименовывать аргументы. ПРИМЕР. f(x1, x2, x3, x4) заменой x2 на x3 получим f(x1, x3, x3, x4).

Функция, полученная из системы функций f1, …, fn некоторой композицией и переименованием аргументов, называется суперпозицией f1, …, fn. Выражение, описывающее суперпозицию называется формулой.

Также всякая функция, будучи подмножеством прямого произведения (также как и отношение), имеет ядро.

Ker f = f ˚ f -1 .

Ядро функции является отношением эквивалентности.

Т. Е. оно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.


  1. таблицы (конечные списки)

  2. формула (процедура последовательного выполнения каждой функции, входящей в суперпозицию)

  3. описание (без способа вычисления) (sgn(x), abs(x)).

  4. графически

Алгебры и их морфизмы.

Функция φ: A n A называется n-арной операцией на множестве А. n- это арность операции.

Множество А вместе с заданными на нем операциями Σ=< φ1 φ2… φn>, где φi: А ni А, называется алгебраической структурой (универсальной алгеброй, просто алгеброй).

А –основа, основание, несущее множество, носитель;

^ Сигнатура обязательно конечна, а носитель может быть и бесконечным, но не пустым.

В качества основы может быть семейство, тогда алгебра будет многоосновной.

Если в качестве операции в алгебре присутствует хотя бы одно отношение, тогда алгебра называется моделью.

Подмножество А' замкнуто относительно операции φ, если результат применения этой операции на элементах А' лежит в А'.

х1,…,хnА' φ(х1,…,хn) А'. если множество замкнуто относительно всех операций сигнатуры, то оно называется подалгеброй алгебры .

ПРИМЕР. - алгебра; - её подалгебра.

^ СВОЙСТВА БИНАРНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ.


  1. ассоциативность (ab)c= a(b c)

  2. коммутативность ab= bа

  3. дистрибутивность слева a(bc) =(a b)  (ac)

  4. дистрибутивность справа (ab) c= (ac)  (bc)

  5. поглощение (ab) а=а

  6. идемпотентность aа=а.

ПРИМЕР. +: ассоциативно, коммутативно, не дистрибутивно относительно умножения, не идемпотентно;

*: ассоциативно, коммутативно, дистрибутивно относительно сложения, не идемпотентно;

- идемпотентно и поглощаемо относительно объединения
Алгебры с разными типами имеют разное строение. Это понятно и так. Если же алгебры имеют одинаковый тип, то встает вопрос об их сходствах, которые называются морфизмы.

Пусть ^ А= и В = -две алгебры. Если существует функция

f: АВ, такая, что i=1,2,…n f(φi(a1,…an))= ψi(f(a1)… f(an)), то эта функция называется гомоморфизм из алгебры А в В.

В общей алгебре морфизм (или гомоморфизм ) - это приложение между двумя алгебраическими структурами одного и того же типа, то есть наборами, снабженными законами внутренней или внешней композиции (например, две группы или два векторных пространства ), которые уважают определенные свойства при переходе от одной конструкции к другой.

Резюме

Определения

Общий случай ( теория моделей )

  • для любого -арного функционального символа и всего, что у нас есть (в том числе для n = 0, что соответствует случаю констант); нет ж ∈ L >> ( в я ) я ∈ M нет ) _ \ в М ^ > м ( ж M ( в я ) я ) знак равно ж НЕТ ( м ( в я ) ) я > (а_ ) _ ) = е ^ > (м (а_ )) _ >
  • для любого символа отношения -aire и для всего , если тогда нет р ∈ L >> ( в я ) я ∈ M нет ) _ \ в М ^ > ( в я ) я ∈ р M ) _ \ in R ^ >> ( м ( в я ) ) я ∈ р НЕТ <\ Displaystyle (м (а_ )) _ \ in R ^ >>

Случай моноидов

В категории моноидов морфизм - это приложение между двумя моноидами и , которое проверяет: ж : ( M , * , е ) ⟶ ( M ′ , ⋆ , е ′ ) ( M , * , е ) ( M ′ , ⋆ , е ′ )

  • ∀ ( грамм , час ) ∈ M 2 , ж ( грамм * час ) знак равно ж ( грамм ) ⋆ ж ( час ) , ~ f (g * h) = f (g) \ star f (h)> ;
  • ж ( е ) знак равно е ′ .

Случай групп

  • ∀ ( грамм , час ) ∈ грамм 2 , ж ( грамм * час ) знак равно ж ( грамм ) ⋆ ж ( час ) , ~ f (g * h) = f (g) \ star f (h)> .

Чехол для колец

В категории колец морфизм - это отображение между двумя (унитарными) кольцами , которое удовлетворяет трем условиям: ж : В → B

Случай векторных пространств

Случай алгебр

Случай упорядоченных наборов

Морфизм между двумя упорядоченными множествами ( A , ⊑) и ( B , ≼) - это возрастающее отображение f из A в B (которое сохраняет порядок), т.е. которое удовлетворяет: для всех x и y в A таких, что x ⊑ y , имеем f ( x ) ≼ f ( y ).

Определение морфизмов предупорядоченных множеств идентично.

Случай топологических пространств

Случай измеримых пространств

В категории измеримых пространств морфизм - это измеримая функция.

Рейтинг

  • Эндоморфизм морфизм структуры внутри себя;
  • изоморфизм морфизм между двумя наборами , снабженных такой же структурой, таким образом, что существует морфизм в направлении , противоположном, таким образом, что и являются тождеством структур; ж ж ′ ж ∘ ж ′ ж ′ ∘ ж
  • автоморфизм является изоморфизмом структуры внутри себя;
  • эпиморфизм (или эпическая морфизм ) морфизм такой , что для любой пары морфизмов типа (и , следовательно , также и для всего ), если , то ; ж : В → B грамм , час B → E E грамм ∘ ж знак равно час ∘ ж грамм знак равно час
  • -мономорфизм (или унитарный морфизм ) морфизм такой , что для любой пары морфизмов типа (а следовательно , и для всего ), если , то . ж : В → B грамм , час E → В E ж ∘ грамм знак равно ж ∘ час грамм знак равно час

Пример: идентичность множества всегда является автоморфизмом, независимо от рассматриваемой структуры.

Пусть — алгебра и R — отношение эквивалентности на множестве

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отношение R называется конгруэнцией или отношением конгруэнтности в алгебре если R является конгруэнцией относительно каждой главной операции алгебры , т. е. для любых элементов множества из

где — ранг операции

Пусть — алгебра, R — конгруэнция в — фактор-множество множества по R. На множестве определим -местную операцию соответствующую операции f из Q, следующим образом:

Это определение корректно, так как в силу (2) значение правой части (3) не зависит от выбора элементов соответственно в классах эквивалентности (см. доказательство теоремы 1.9). Операция называется операцией, ассоциированной с операцией посредством конгруэнции R. Обозначим через Q множество всех операций, ассоциированных с главными операциями алгебры посредством конгруэнции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть — алгебра и R — конгруэнция в Алгебра называется фактор-алгеброй алгебры по конгруэнции R и обозначается через

ТЕОРЕМА 2.11. Пусть R — конгруэнция в алгебре Тогда отображение h множества такое, что

является гомоморфизмом алгебры на фактор-алгебру

Доказательство. Из (1) следует, что h есть отображение на . Надо показать, что h сохраняет все главные операции алгебры Пусть — произвольная главная операция алгебры — ассоциированная с ней главная операция фактор-алгебры Тогда в силу (1) для любых из

где m — ранг операции Следовательно, h является гомоморфизмом алгебры на фактор-алгебру Отметим, что гомоморфизм h, определяемый с помощью (1), называется естественным гомоморфизмом алгебры на фактор-алгебру

ТЕОРЕМА 2.12. Пусть h — гомоморфизм алгебры в алгебру и R — такое бинарное отношение на что для любых а, b из

Тогда R является конгруэнцией в алгебре А.

Доказательство. Отношение R есть отношение равнообразности отображения силу теоремы 2.4.4 оно является отношением эквивалентности на

Пусть — произвольная главная операция (ранга ) алгебры и — соответствующая ей главная операция алгебры . В силу (1) для любых множества из

Предположим, что элементы удовлетворяют условиям (2) и, следовательно, условиям (3). Тогда, поскольку h — гомоморфизм имеем

Таким образом, из (2) следует равенство

Отсюда, по определению R, получаем

Итак, для любых элементов множества из (2) следует (4). Следовательно, R является конгруэнцией в

Читайте также: