Обработка результатов неравноточных измерений реферат

Обновлено: 07.07.2024

Дать краткую характеристику метода измерений (определений, испытаний) и возможных источников возникновения погрешностей. Проанализировать возможную неопределённость метода измерений.

Выполнить статистическую обработку результатов наблюдений и контроль стабильности результатов наблюдений напряжения в условиях повторяемости при выполнении рутинного анализа.

Проверить на гипотезу о нормальности распределения результатов наблюдений.

Таблица – Исходные данные

Аннотация

Курсовая работа содержит 53 страницы, в том числе 2 приложения, 3 источника использованной литературы, 18 таблиц и 10 рисунков.

В курсовой работе выполнена обработка результатов 3 групп результатов наблюдений с определением точечных оценок закона распределения, исключением результатов с грубыми погрешностями по критериям и статистической обработкой.

Проведена статистическая обработка результатов наблюдений и определение параметров закона распределения результатов наблюдений по составному критерию и критерию Колмогорова.

Проведено построение карты Шухарта.

Анализ контрольной карты Шухарта показал, что в измерениях присутствуют критические признаки нестабильности.

Содержание

1 Краткая характеристика метода измерений. 6

2 Обработка результатов наблюдений первой группы. 7

2.1 Определение точечных оценок закона распределения результатов наблюдений 7

2.2 Исключение результатов с грубыми погрешностями по критериям. 10

2.3 Исключение систематической составляющей погрешности измерений 12

2.4 Статистическая обработка результатов измерений. 13

3 Обработка результатов наблюдений второй группы. 19

3.1 Определение точечных оценок закона распределения результатов наблюдений 19

3.2 Исключение результатов с грубыми погрешностями по критериям. 22

3.3 Исключение систематической составляющей погрешности измерений 24

3.4 Статистическая обработка результатов измерений. 25

4 Обработка результатов наблюдений третьей группы. 31

4.1 Определение точечных оценок закона распределения результатов наблюдений 31

4.2 Исключение результатов с грубыми погрешностями по критериям. 34

4.3 Исключение систематической составляющей погрешности измерений 36

4.4 Статистическая обработка результатов измерений. 37

5 Определение параметров закона распределения результатов наблюдений по статистическим критериям. 43

5.1 Определение параметров закона распределения результатов наблюдений по статистическим критериям. 43

5.2 Проверка нормальности распределения по критерию согласия Колмогорова А.Н. ………………………………………………………………45

6 Приближенная идентификация формы и вида закона распределения результатов измерений…………………………………………………………47

6.1 Оценка центрального момента для первой группы…………………….47

6.2 Оценка центрального момента для второй группы……………………..48

6.3 Оценка центрального момента для третьей группы…………………….50

7 Построение контрольных карт Шухарта. 52

7.1 Контроль стабильности стандартного отклонения повторяемости рутинного анализа для результатов измерений. 52

7.2 Проверка структур на тревожные признаки. 53

8 Представление результатов измерений…. ………………………………….54

8.1 Представление результатов измерений первой группы…………………..54

8.2 Представление результатов измерений второй группы…………………..54

8.3 Представление результатов измерений третьей группы………………….55

Список использованных источников. 57

Приложение А. 58

Приложение Б. 63

Введение

Цель курсовой работы – закрепление знаний по основным разделам курса теоретической метрологии, а также практическое обучение методам анализа и обработки статистических данных.

Курсовая работа позволяет получить навыки выявления погрешностей в результатах наблюдений, статистической обработки результатов наблюдений отдельных групп, определения средневзвешенных статистических характеристик групп неравноточных наблюдений; представления результатов измерений; оценки формы и вида законов экспериментальных распределений физических величин; записи результатов измерений. Выполнение курсовой работы также позволяет овладеть практическими навыками в работе с нормативно-технической литературой и стандартами.

Любая отрасль знания характеризуется набором специальных терминов и понятий. Считаем необходимым дать ниже определение некоторым из них вследствие частого их упоминания в рамках настоящей курсовой работы.

Физическая величина – это одно из свойств физического объекта, общее в качественном отношении для многих физических объектов, но в количественном отношении индивидуальное для каждого из них.

Измерение – совокупность операций по применению технического средства, хранящего единицу физической величины , обеспечивающих нахождение соотношения измеряемой величины с её единицей и получение значения этой величины.

Метод измерений – приём или совокупность приёмов сравнения измеряемой физической величины с её единицей в соответствии с реализованным принципом измерений.

Погрешность – отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.

1 Краткая характеристика метода измерений

Основной единицей измерения длины пути, как и вообще длины, служит метр. Первоначально за образец (эталон) метра было принято расстояние между двумя штрихами на специально изготовленном платино-иридиевом стержне длиной 102 см, хранящемся в Международном бюро мер и весов в Париже . Материал и форма сечения стержня и условия его хранения были выбраны так, чтобы наилучшим образом обеспечить неизменность образца. В частности, были приняты меры для поддержания постоянной температуры стержня. Тщательно выполненные вторичные эталоны — копии этого образца — хранятся в институтах мер и весов разных стран. Обилие разных единиц длины (а также и единиц для других физических величин) весьма неудобно на практике.

Поэтому в последнее время были разработаны международные стандартные определения единиц всех физических величин. Сборник этих определений называют системой единиц СИ (от слов Systeme Internationale — Международная система). С 1963 г. в СССР и ряде других стран система СИ рекомендована для применения во всех областях науки и техники.

Согласно этой системе, метр определен как длина, равная 1 650 763,73 длин волн оранжевого света, излучаемого специальной лампой, в которой под действием электрического разряда светится газ криптон. Число длин волн выбрано так, чтобы эта единица длины совпадала возможно точнее с парижским метром. Поэтому за единицу и не была выбрана длина, на которой укладывалось бы какое-либо круглое число (например, один миллион) длин волн. Эту новую единицу длины можно воспроизводить (оптическим путем) с большей точностью, чем архивный образец. Очень удобно, что для воспроизведения единицы длины не нужно обращаться к какому-то единственному хранящемуся образцу, а достаточно изготовить специальную криптоновую лампу и наблюдать испускаемый ею свет.

2 Обработка результатов наблюдений первой группы

Упорядочиваем совокупность результатов наблюдений и представляем в виде таблицы 1:

Пусть некоторая величина X была измерена многократно различными операторами и в разных условиях. В процессе измерений получены следующие результаты хХУ х, хп со средними квадратичными отклонениями 52, л", то наиболее вероятное значение ^ может быть найдено по формуле. В выражении (7.69) каждое слагаемое -^-Ах. представляет собой дх, частную погрешность результата косвенного измерения, вызванную… Читать ещё >

метрология
стандартизация и сертификация

Обработка результатов неравноточных измерений ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Если обработке подлежат ряды измерений, выполненные в разных условиях или разными операторами или в разное время, то для оценки действительного значения измеряемой величины необходимо проверить их на равноточность.

Для проверки гипотезы равноточности двух рядов, состоящих из и, и я, результатов измерений, вычисляют эмпирические диспер;

Затем находят дисперсионное отношение /* = Я^/Я1!, которое составляется так, чтобы 5, >

Измерения считаются неравноточными, если Т7 попадает в критическую область, т. е. /*> ^.

Значение Ря для различных уровней значимости ц и степеней свободы ку = п1 — 1 и = п2 — 1 берутся из таблицы критерия Фишера или вычисляются по аппроксимирующим уравнениям.

Для проверки равноточности результатов измерений применяется также критерий Романовского Я Для этого определяют отношение.

Результаты наблюдений считаются равноточными, если Д , = -,.

где /г — некоторый коэффициент, выбранный таким образом, чтобы отношение - было близким к единице.

С учетом этого формулу (7.51) можно переписать следующим образом:

Среднее квадратичное отклонение результатов измерений вычисляется по формуле.

а для оценки среднего квадратичного отклонения 5^ весового среднего Хр используется формула.

Если значения не вычислялись, а известны лишь средние значения измеряемой величины в каждой /-Й серии (дг,) и количество наблюдений пп то весовое среднее вычисляется по формуле.

Выполнено шесть серий измерений значения размера и получены следующие результаты: значение размера в серии 20,617; 20,666; 20,643; 20,635; 20,629 и 20,654; среднее квадратичное отклонение размера в /-й серии 32; 24; 18; 20; 16; 16.

1. Выберем значение //'равным, например, 24 (значение среднего квадратичного отклонения во второй серии — 2 и
2. Вычислим веса р, по формуле р,=-^-. Получим соответственно: 0,5625; 1;
1,778; 1,44; 2,25 и 2,25.
3. Вычислим весовое среднее

4. Вычислим среднее квадратичное результатов измерений 5.

5. Вычислим среднее квадратичное отклонение*^ весового среднего по формуле.

6. Результат представим в виде.

Обработка результатов косвенных измерений

При косвенных измерениях значение искомой величины находят на основании известной зависимости, связывающей ее с другими величинами, полученными прямыми измерениями.

Рассмотрим простейший случай, когда косвенно измеряемая величина является суммой или разностью величин, определяемых прямыми измерениями, т. е.

Так как результаты прямых измерений величин X и У (после исключения систематических погрешностей) включают в себя некоторые случайные погрешности, то формулу косвенного измерения суммы можно переписать в виде.

гдеЛ У — средние арифметические (или средние взвешенные), полученные при обработке результатов прямых измерений величин X и У; АХ, АУ — случайные погрешности средних значений величин X.

и У2 и А2 — оценка истинного значения косвенно измеряемой величины и его случайная погрешность.

Таким образом, из уравнения (7.57) следует, что Z будет равна сумме оценок X иУу, а случайные погрешности АХ и АУ в сумме дадут случайную погрешность АЖ.

Математическое ожидание oцeнки Z равно, очевидно, истинному значению искомой величины:

и ее дисперсия соответственно равна:

С учетом формулы (7.61) уравнение (7.60) примет вид ["https://referat.bookap.info", 28].

Если косвенно измеряемая величина является разностью величин, определяемых прямыми измерениями, т. е. Z = Х — У, то.

Если погрешности измерения величин Хи Кне коррелированы, то.

Теоретические дисперсии распределения прямых результатов измерений случайных величин Хи У, как правило, неизвестны. В этом случае оценка дисперсии результата косвенных измерений определяется через оценки дисперсий.

В формуле (7.65) знак плюс соответствует условию Z = X + К, а знак минус условию Z = X — У Оценки коэффициента корреляции вычисляют на основании результатов наблюдений исходных величин:

Значения коэффициента корреляции лежат в интервале — 1 0, то имеет место положительная корреляция, т. е. величины Хи К изменяются согласованно в одном направлении — увеличение одной величины влечет за собой увеличение другой.

Многократные измерения производятся в течение длительного времени. За это время могут измениться условия, появиться необходимость замены средства измерения или смена оператора. Это приводит к получению групп измерений с разными характеристиками погрешностей. Группы измерений, в которых измерение одной и той же величины производится разными методами и характеризуется разными погрешностями, называют неравноточными. Неравноточность объясняется различием неисключённых систематических погрешностей.

Если обработке подлежат ряды измерений, выполненные различными операторами или в разное время, то для оценки действительного значения измеряемой величины их необходимо проверить на равноточность. Для проверки равноточности двух рядов, состоящих из n₁ и n₂ измерений, вычисляют эмпирические дисперсии для каждого ряда:

Затем находят дисперсионное отношение при σ₁ ˃ σ₂ . Измерения считаются равноточными при условии F ˃ F_q , где величины критерия F_q выбирается из таблиц в зависимости от уровня значимости q числа степеней свободы n₁ – 1 и n₂ – 1. Этот критерий называется критерием Фишера.

Для проверки равноточности результатов измерений применяют также критерий Романовского R. Для этого определяют отношение

Результаты измерений считаются равноточными, если R

Тогда среднеквадратическая погрешность средневзвешенного значения будет равна:

где P – вес каждого результата измерений, а m – число рядов измерений.

Общая формула обработки неравноточных измерений может быть выражена так

Пусть некоторая величина X была измерена многократно различными операторами и в разных условиях. В процессе измерений получены результаты x₁ , x₁, … x_n со средними квадратичными отклонениями σ₁ , σ₁, … σ_n

Наиболее вероятное значение может быть найдено по формуле:

В эту формулу можно ввести веса экспериментальных точек. Вес:

Где коэффициент, выбранный таким образом, чтобы отношение было близким к единице.

Тогда формулу можно переписать так:

Среднее квадратичное отклонение результатов измерений вычисляется по формуле:

Для оценки среднего квадратичного отклонения средней взвешенной величины применяется формула:

Если σ_i не вычислялись, но известны средние значения измеряемой величины в каждой i – той серии (x_i) и количество наблюдений n_i то весовое среднее вычисляется по формуле:

Образцы сочинений-рассуждений по русскому языку: Я думаю, что счастье – это чувство и состояние полного.

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………. 3
1 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1.1 Оценка точности равноточных измерений………………………………. 4
1.2 Оценка точности неравноточных измерений………………………………6
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….10
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ…………………………. 11

Результаты измерений всегда содержат некоторые погрешности.
Погрешностью Δ называют отклонение результата измерения l от
истинного значения измеряемой величины Х:

Δ = l – Х (1.1)
Погрешности проявляются, например, при многократном измерении
одной и той же величины – получаемые результаты всегда несколько
различаются между собой, и значит, неизбежно отличаются от истинного
значения, т.е. содержат погрешности.
Причинами, порождающими погрешности результатов измерений,
являются несовершенство измерительных приборов, несовершенство органов
чувств наблюдателя, внешние условия, влияющие на измерения.
Измерения, выполненные однотипными приборами, одинаковыми
методами и в одинаковых условиях, принято считать равноточными, а
выполненные разными приборами и методами, в разных условиях считают
неравноточными.
При уравнивании различных геодезических построений выполняют
обработку и оценку равноточных и неравноточных измерений, поэтому
тема реферата является актуальной.
Цель работы – рассмотреть оценку точности равноточных и
неравноточных измерений
В соответствии с поставленной целью, задачами работы являются:
1) анализ методов обработки равноточных и неравноточных
измерений;
2) исследование оценки точности равноточных и неравноточных
измерений
Методы исследования: анализ, синтез, дедукция, сравнение,
описание.

1 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

1.1 Оценка точности равноточных измерений

Равноточными измерениями называют измерения, выполненные
одним геодезическим прибором, с одной и той же точностью
геодезических измерений.
Пусть даны результаты многократных равноточных измерений одной
величины: l 1 , l 2 , …, l n . Рассмотрим их среднее арифметическое:

. (1.2)
Согласно (1.1) измеренную величину можно представить как:
l i = Х + Δ i (i = 1, 2, … n).
Поэтому напишем:


С увеличением числа измерений сумма случайных погрешностей,
деленная на их число, стремится к нулю, и, следовательно, среднее
арифметическое L стремится к истинному значению Х, поэтому значение
определяемой величины принимают равным среднему арифметическому.
Пусть точность результатов измерений l 1 , l 2 , …, l n характеризуется
средними квадратическими погрешностями:
m 1 = m 2 =  = m n = m

и требуется найти среднюю квадратическую погрешность M
арифметической средины.
Представим формулу (1.2) в следующем виде:
L = nl
nl
nl
n
111
21
.

Среднюю квадратическую погрешность арифметической средины
найдем как погрешность функции измеренных величин:
2
2
2
22
2
12
21
. 11
nm
nm
nm
nM

n
m
M
(1.3)
Формула (1.3) показывает, что погрешность арифметической средины с
ростом числа измерений убывает пропорционально квадратному корню из
этого числа. Так, чтобы погрешность среднего арифметического уменьшить в
2 раза, число измерений надо увеличить в 4 раза.
Обработка результатов равноточных измерений
Математическая обработка ряда результатов l 1 , l 2 , …, l n прямых
равноточных измерений одной величины выполняется в следующей
последовательности:
1. Вычисляют среднее арифметическое L

n
l
L
.

2. Вычисляют поправки к v i результатам измерений

Контролем правильности вычислений служит сумма поправок, которая
должна быть близка к нулю.
3. Вычисляют среднюю квадратическую погрешность одного
измерения по формуле Бесселя:

Значение m вычисляют с двумя-тремя значащими цифрами.
4. Вычисляют среднюю квадратическую погрешность среднего
арифметического

1.2 Оценка точности неравноточных измерений

Неравноточными называют измерения, выполненные приборами
различной точности, разным числом приемов, в различных условиях.
При неравноточных измерениях точность каждого результата
измерений характеризуется своей среднеквадратической погрешностью.
Наряду со средней квадратической погрешностью при обработке
неравноточных измерений пользуются относительной характеристикой
точности – весом измерения.
Вес i-го измерения вычисляют по формуле

(1.4)
где с – произвольная постоянная, назначаемая вычислителем, m i –
средняя квадратическая погрешность i-го измерения.
Так, имея ряд результатов измерений l 1 , l 2 , . l n , со средними
квадратическими погрешностями m 1 , m 2 , . m n , определяют их веса:

p 1 = c / m 1 2 , p 2 = c / m 2 2 , . p n = c / m n 2 .

Часто постоянную с для удобства дальнейших вычислений назначают
так, чтобы веса p i оказались целыми числами.
Рассмотрим смысл произвольной постоянной с.
Предположим, что в результате фиксирования значения с вес j-го
измерения стал равен 1, то есть p j = c / m j 2 = 1. Отсюда находим c = m j 2 .
Следовательно, постоянная с есть квадрат средней квадратической
погрешности  2 такого измерения, вес которого принят за единицу (с =  2 ).
Теперь (1.4) можем записать так

2
2
μ
i
i
mp
. (1.5)
Кратко  называют средней квадратической погрешностью единицы
веса.

Вес арифметической средины. Рассмотрим вес арифметической
средины равноточных измерений. Примем в формуле (1.3) за единицу вес
одного измерения, то есть  = m, и запишем nMμ .
Тогда согласно (1.5) вес Р арифметической средины L будет равен

P = 2
2
μ
M = n. (1.6)
Вывод. Если за единицу веса принят вес одного измерения, то согласно
вес арифметической средины равен числу измерений.
Следствие. Если результат l измерения имеет вес р, то можем считать,
что l является средним арифметическим из р измерений с весом 1.
Общая арифметическая средина результатов неравноточных
измерений.
Пусть имеем результаты многократных неравноточных измерений
одной величины: l 1 , l 2 , …, l n , выполненных с весами p 1 , p 2 , …, p n .
Представим каждый из результатов l i (i = 1, 2, …, n) как среднее из p i
результатов с весом 1. Получим такой ряд результатов равноточных
измерений:

l 1  результат p 1 измерений с весом 1,
l 2  результат p 2 измерений с весом 1,

l n  результат p n измерений с весом 1,
где общее число измерений с весом 1 равно p 1 + p 2 ++ p n .
Нами составлен ряд результатов равноточных измерений,
позволяющий найти окончательное значение измеряемой величины как
среднее арифметическое из всех результатов измерений

p
pl
ppp
lplplp
L

. (1.7)
Значение, вычисляемое по формуле (1.7), называют общей
арифметической срединой или весовым средним.

Оценки точности результатов неравноточных измерений.
Приведем без вывода формулы характеристик точности, используемых
при обработке прямых неравноточных измерений.
Средняя квадратическая погрешность  измерения, имеющего вес,
равный единице:

Формула применяется, когда известно достаточно точное, близкое к
истинному, значение X измеряемой величины.

где v i  поправки к результатам измерений:

Средняя квадратическая погрешность общей арифметической средины

Обработка результатов неравноточных измерений.
Математическая обработка ряда результатов прямых неравноточных
измерений одной величины выполняется в следующей последовательности.
1. Вычисление весового среднего (общей арифметической средины)

2. Вычисление поправок к результатам измерений:

iilLv
0 (i = 1, 2,…, n).
Контролем правильности вычислений служит равенство

3. Вычисление средней квадратической погрешности одного измерения
по уклонениям от арифметической средины, используя формулу Бесселя для
неравноточных измерений:

4. Вычисление средней квадратической погрешности весового среднего

На основании проведенного исследования, можно сделать
следующие выводы:
1)измерения, выполненные однотипными приборами, одинаковыми
методами и в одинаковых условиях, принято считать равноточными, а
выполненные разными приборами и методами, в разных условиях считают
неравноточными;
2) оценка точности равноточных измерений выполняют по
формуле Бесселя,для чего вычисляют поправки к измерениям, как
отклонения от среднего арифметического;
2) оценка точности неравноточных измерений связана с
нахождением весов и средней квадратической погрешности одного
измерения по уклонениям от арифметической средины

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Дегтярев А. М. Вероятностно-статистические методы в геодезии.
Конспект лекций. – Новополоцк: ПГУ, 2005. - 208 с.
2. Маркузе Ю. И. Практикум по теории математической обработки гео-
дезических измерений. – М.: Недра, 1986. - 358 с.
3. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инжене-
ров и научных работников. – М.: Физматлит, 2006 г. – 816 с.
4. Гайдышев И.В. Анализ и обработка данных: специальный справоч-
ник. –СПб: Питер, 2002. -752 с.
5. Смоляк С.А., Титаренко Б.П. Устойчивые методы оценивания: Ста-
тистическая обработка неоднородных совокупностей. – М.: Статистика, 1980.
– 208 с.

Читайте также: