Модуль действительного числа и его свойства реферат

Обновлено: 05.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа д. Лаврово

Демянского муниципального района

Новгородской области

Научно-исследовательская работа

Ермилова Ксения ученица 10 класса МОУ СОШ д. Лаврово

Руководитель

Борисова Мария Федоровна учитель математики

2. Определение и свойство модуля 5

3. Способы решения уравнений, содержащих модуль 8

4. Решение уравнений, содержащих модуль 18

5. Решение неравенств, содержащих модуль 33

6. Решение тригонометрических уравнений, содержащих модуль 40

7. Построение графиков функций и уравнений, 46

8. Решение логарифмических выражений, содержащих модуль 54

9. Нахождение наибольшего и наименьшего значения 56

с элементами модуля

10. Различные виды заданий, содержащих модуль 58

11. Приложение 60

12. Заключение 65

13. Литература 66

Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик

числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел. Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Знак модуля введен в XIX веке Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в XIX веке.

Слово модуль произошло от латинского modulus , что в переводе означает мера. Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В архитектуре это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.
В технике это термин, применяемый в различных областях технике, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и т. п.

обретение практических навыков выполнения заданий с модулем;

повышение уровня математической подготовки.

Достижение целей происходит путем реализации следующих задач:

формирование навыков применения данных знаний при решении разнообразных задач различной сложности;

подготовка к ЕГЭ;

формирование навыков самостоятельной работы;

формирование навыков работы со справочной литературой, с компьютером;

формирование умения и навыков исследовательской работы;

способствие развитию алгоритмического мышления;

способствие формированию познавательного интереса к математике.

Систематизация решений модульных выражений привела к выявлению следующих методов:

по определению модуля

по свойствам модуля

с помощью нахождения модульных нулей

с помощью геометрической характеристике

с помощью графиков.

Определение и свойство модуля .

Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа а называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное. Модуль числа а обозначается так │а│.

Основные свойства модуля:

1. Модуль любого действительного числа а есть неотрицательное число: | а ≥ 0.

2. Каждое действительное число а не больше своего модуля и не меньше числа, противоположного модулю, т.е. -|а|≤а≤|а|.

3. Если число а ≥ 0 и для числа Х справедливо одно из неравенств х ≥ а или х ≤ а , то модуль числа х удовлетворяет неравенству | x |≥а . Каждое число х , удовлетворяющее неравенству | x |≥а , удовлетворяет одному из неравенств x ≥а или x ≤а.

4. Если число а>0 и число х удовлетворяет неравенству -а х а , то модуль числа х удовлетворяет неравенству |х| а . Если |х| а , то справедливо неравенство : -а≤ х≤ а.

5. Модуль суммы двух или более слагаемых не больше суммы модулей этих чисел: |а + b | ≤ | a |+| b |.

6. Модуль разности двух чисел не меньше разности модулей этих чисел | a - b | ≥ | a |-| b |.

7. Модуль произведения двух или более множителей равен произведению модулей этих чисел: | ab |=| a |•| b |.

8. Модуль частного двух чисел равен частному модулей этих чисел: | a / b |=| a |/| b |.

9. Модуль степени какого-либо числа равен степени модуля этого числа: | a | n =│ a n │ причем если n = 2к – четное число, то │ a │ 2 k = а 2к .

10. Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками числовой прямой, изображающими эти числа: | a - b |= p( a , b ). Из этого свойства следует важное равенство: | a - b |=| b - a |. В частности, | a |=|- a |.

11. Сумма модулей чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое число равно нулю.

12 .Модуль разности модулей двух чисел не больше модуля разности этих чисел: || a |-| b ||≤| a - b |.

13 .Квадратный корень квадрата числа равен модулю этого числа: √а 2 = │а│.

Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа а равна большему из двух чисел а или – а.

1. Если число а положительно, то –а отрицательно, т.е. – а

2. Если а отрицательно, тогда – а положительно и
а

Следствие 1. Из теоремы следует, что | - а | = | а |.
В самом деле, как | - а |. так и | а | равны большему из чисел – а и а, а значит равны между собой.

Следствие 2. Для любого действительного числа а справедливы неравенства а - | а |, справедливые для любого действительного числа а. Объединяя последние два неравенства в одно, получаем:
- | а |

Теорема 2 . Абсолютная величина любого действительного числа a равна арифметическому квадратному корню из а 2 /│ a │= √ a 2

В самом деле, если а ≥ 0 то, по определению модуля числа, будем иметь │а│= а. С другой стороны, при а ≥ 0, √а 2 = а, значит |a| = √а 2 .

Если a 2 = -а, и в этом случае |a| = √а 2 .

Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять |a| на √а 2 .

Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета.

Если а ≠ 0, то на координатной прямой существует две точки a и -a, равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если a = 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой 0 (см. рис.)

Способы решения уравнений, содержащих модуль .

Для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа. Мы решим несколько примеров одним и тем же способом и посмотрим, какой из способов окажется проще для решения уравнений, содержащих модуль.

Пример 1. Решим аналитически и графически уравнение |x - 2| = 3.

Рассуждать будем, исходя из определения модуля. Если выражение, находящееся под модулем неотрицательно, т. е. x – 2 ≥ 0, тогда оно "выйдет" из - под знака модуля со знаком "плюс" и уравнение примет вид: x - 2 = 3. Если значения выражения под знаком модуля отрицательно, тогда, по определению, оно будет равно: - (х – 2) = 3 или x – 2 = -3

Таким образом, получаем, либо x - 2 = 3, либо x - 2 = -3. Решая полученные уравнения, находим: х ₁ = 5, х ₂ = -1.

Теперь можно сделать вывод: если модуль некоторого выражения равен действительному положительному числу a, тогда выражение под модулем равно либо a, либо - а.

Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль, является графический способ. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций. В случае если графики пересекутся, точки пересечений данных графиков будут являться корнями нашего уравнения. В случае если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Этот способ, вероятно, реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными.

Другой способ решения уравнений, содержащих модуль- это способ разбиения числовой прямой на промежутки. В этом случае нам нужно разбить числовую прямую так, что по определению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будет снять. Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данное уравнение и сделать вывод, относительно получившихся корней (удовлетворяют они нашему промежутку или нет). Корни, удовлетворяющие промежутки и дадут окончательный ответ.

Установим, при каких значениях x, модуль равен нулю: х – 2= 0, х = 2.

Получим два промежутка, на каждом из которых решим уравнение.

Получим две смешанных системы:

(1) (2)

Решим каждую систему:

(1) (удовлетворяет данному промежутку)

(2) (удовлетворяет данному промежутку)

Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций у =│х - 2│ и у = 3.

Для построения графика функции у =│х - 2│, построим график функции у = х - 2 - это прямая, пересекающая ось OX в точке (2; 0), а ось OY в точке (0;-2), а затем часть прямой, лежащую ниже оси OX зеркально отразить в оси OX.

Графиком функции у = 3 является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку (0; 3) на оси OY .

Абсциссы точек пересечения графиков функций дадут решения уравнения .

Прямая графика функции y = 3 пересеклась с графиком функции y = |x – 2| в точках с координатами (-1; 3) и (5; 3), следовательно, решениями уравнения будут абсциссы точек: x = -1, x = 5.

Пример 2. Решим аналитически и графически уравнение 1 + | x | = 0,5.

Преобразуем уравнение: 1 + | x | = 0,5

Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как, по определению, модуль всегда неотрицателен.

Ответ: решений нет.

Преобразуем уравнение: 1 + | x | = 0,5

Графиком функции у = │х│ являются лучи - биссектрисы 1-го и 2-го координатных углов. Графиком функции у = -0,5 является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку -0,5 на оси OY.

Графики не пересекаются, значит, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример 3. Решите аналитически и графически уравнение |-x + 2| = 2x + 1.

Прежде следует установить область допустимых значений переменной. Возникает естественный вопрос, почему в предыдущих примерах не было необходимости делать этого, а сейчас она возникла.

Дело в том, что в этом примере в левой части уравнения модуль некоторого выражения, а в правой части не число, а выражение с переменной, - именно это важное обстоятельство отличает данный пример от предыдущих.

Поскольку в левой части - модуль, а в правой части выражение, содержащее переменную, необходимо потребовать, чтобы это выражение было неотрицательным, т. е.

Таким образом, область допустимых значений модуля М = х є [- 1 ; ∞)

Теперь можно рассуждать так же, как и в примере 1, когда в правой части равенства находилось положительной число. Получим две смешанных системы:

(1) и (2)

Решим каждую систему:

(1) (удовлетворяет условию)

(2) (не удовлетворяет условию)

Установим, при каких значениях x модуль в левой части уравнения обращается в нуль:

Получим два промежутка, на каждом из которых решим данное уравнение

В результате будем иметь совокупность смешанных систем:

Решая полученные системы, находим:

(1) (удовлетворяет условию)

(2) (не удовлетворяет условию)

Решение при помощи зависимостей между числами a и b ,

их модулями и квадратами этих чисел.

Помимо приведенных мною выше способов существует определенная равносильность, между числами и модулями данных чисел, а также между квадратами и модулями данных чисел:

a = b или a = -b  |a|=|b| (1)

a = b или a = -b  a 2 =b 2 (2)

Отсюда в свою очередь получим, что

Пример 4. Решим уравнение |x + 1|=|2x – 5| двумя различными способами.

1.Учитывая соотношение (1), получим:

x + 1 = 2x – 5 или x + 1 = -2x + 5

x – 2x = -5 – 1 x + 2x = 5 – 1

Корень первого уравнения x = 6, корень второго уравнения x = 4/3

Таким образом, корни исходного уравнения x ₁ = 6, x ₂ = 4/3

2. В силу соотношения (2), получим

(x + 1) 2 = (2x – 5) 2 , или x 2 + 2x + 1 = 4x 2 – 20x + 25

x 2 – 4x 2 + 2x +1 + 20x – 25=0

-3x 2 + 22x – 24 = 0 |(:-1)

D = 484 – 288 = 196 > 0, => 2 р.д.к.

Как показывает решение, корнями данного уравнения также являются числа 4/3 и 6

Пример 5. Решим уравнение (2x + 3)2 = (x – 1)2.

Учитывая соотношение (2), получим, что |2x + 3|=|x – 1|, откуда по образцу предыдущего примера (и по соотношению (1)):

2х + 3 = х – 1 или 2х + 3 = -х + 1

2х – х = -1 – 3 2х+ х = 1 – 3

Таким образом, корнями уравнения являются х ₁ = -4, и х ₂ = -2/3.

Пример 6. Решим уравнение |x – 6|=|x 2 – 5x + 9|

Пользуясь соотношением (1), получим:

х – 6=х 2 – 5х + 9 или х – 6 = -(х 2 – 5х + 9)

-х 2 + 5х + х – 6 – 9=0 |(-1) x – 6 = -x 2 + 5x - 9

x 2 - 6x + 15 = 0 x 2 – 4x + 3=0

D = 36 – 60 D = 16 – 12 = 4 > 0, => 2 р.д.к.

Решение нестандартных уравнений, содержащих модули.

Пример 9. Решить уравнение 3| x + 2 | + x 2 + 6x + 2 = 0.

Рассмотрим два случая.

Пример10. Решить уравнение | 4 – x | + | (x – 1)(x – 3) | = 1.

Учитывая, что | 4 – x | = | x – 4 |, рассмотрим четыре случая.

так как

Построим графики функций y = |(x–1)(x–3)| и y=1–|x– 4|

1) y = |(x–1)(x–3)| подставим значение х =1 и х = 3. Мы получим у = 0, то есть пересечение графика с осью ОХ. При х равном нулю у = 3, то есть график пересекается с осью ОУ в точке (0;3). И при х = 4 у также равен 3. Мы получили первый график.

2) y =1–|x–4 |. Найдем пересечение с осью ОХ, для этого решим простое уравнение: 1-| x-4|=0

x – 4 =1 или x – 4 = -1

Следовательно, данный график пересекает ось ОХ в точках 5 и 3.

При х = 4 у =1 и как видно из графика: графики обеих функций пересекаются в одной точке 3

Разберем сегодня, что значит модуль числа, как считать модуль и как обозначается модуль в математике. А также его свойства и, конечно же, примеры.

О чем эта статья:

Определение модуля числа

Алгебра дает четкое определение модуля числа. Модуль числа в математике — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.

Знак модуля: |a| = OA.

Разберем на примере:

Точка В, которая соответствует числу −3, находится на расстоянии 3 единичных отрезков от точки O (то есть от начала отсчёта). Значит, длина отрезка OB равна 3 единицам.

Число 3 (длину отрезка OB) называют модулем числа −3.

Точка С, которая соответствует числу +4, находится на расстоянии четырех единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка OС равна четырем единицам.

Число 4 называют модулем числа +4 и обозначают так: |+4| = 4.

Также можно опустить плюс и записать значение, как |4| = 4.

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Свойства модуля числа

Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. Независимо от того, в какой класс перешел ребенок — эти правила пригодятся всегда.

1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:

2. Модуль положительного числа равен самому числу.

3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

4. Модуль нуля равен нулю.

5. Противоположные числа имеют равные модули.

6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.

−(a · b), когда a · b

Геометрическая интерпретация модуля

Как мы уже знаем, модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.

Нарисуем числовую прямую и отобразим это на ней.

Эта геометрическая интерпретация используется для решения уравнений и неравенств с модулем. Давайте рассмотрим на примерах.

Решим уравнение: |х| = 5.

Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно 5. Это точки 5 и −5. Значит, уравнение имеет два решения: x = 5 и x = −5.

Когда у нас есть два числа a и b, то их разность |a - b| равна расстоянию между ними на числовой прямой или длине отрезка АВ.

Расстояние от точки a до точки b равно расстоянию от точки b до точки a, тогда |a - b| = |b - a|.

Решим уравнение: |a - 3| = 4 . Запись читаем так: расстояние от точки а до точки 3 равно 4. Отметим на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.

Уравнение имеет два решения: −1 и 7. Мы из 3 вычли 4 - и это один ответ, а также к 3 мы прибавили 4 - и это второй ответ.

Решим неравенство: |a + 7|

График функции

График функции равен y = |х|.

Для x > 0 имеем y = x.

Этот график можно использовать при решении уравнений и неравенств.

Корень из квадрата

В контрольной работе или на ЕГЭ может встретиться задачка, в которой нужно вычислить √ a 2 , где a – некоторое число или выражение.

При этом, √ a 2 = |a|.

По определению арифметического квадратного корня √ a 2 — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a 2 .

Оно равно a при а > 0 и −а, при а

Модуль рационального числа

Как найти модуль рационального числа — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, которая соответствует этому числу.

Абсолютной величиной (модулем) действительного числа x называется само это число, если x — положительно; нуль, если x равен нулю; число, противоположное числу x , если x — отрицательно.

Модуль действительного числа x обозначается |х|. Функция у =|х|

относится к алгебраическим, так как

Итак, по определению, имеем:

Аналогично водится понятие модуля для произвольного выражения:

Основные свойства модуля

Пусть

Тогда справедливы следующие свойства:

причём неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда числа имеют одинаковые знаки либо хотя бы одно из них обращается в нуль (т.е. когда

Модуль разности двух чисел также не превосходит суммы их модулей: причём равенство имеет место

Доказательство. Пользуясь тем, что обе части неравенства неотрицательны, возведём его в квадрат и получим равносильное неравенствокоторое, очевидно, верно при всех

Следовательно, исходное неравенство также верно. При этом доказываемое неравенство обращается в равенство одновременно с неравенством т.е. когда Для доказательства свойства достаточно подставить в неравенство вместо у выражение (-y).

Приведём здесь также известное обобщение этого неравенства на случай произвольного количества чисел: если — любые действительные числа, то

(неравенство доказывается методом математической индукции).

Модуль суммы (разности) двух чисел не меньше модуля разности их модулей:

причём неравенство обращается в равенство

А также причём неравенство обращается в равенство

Доказательство. Пользуясь тем, что обе части неравенства неотрицательны, возведём его в квадрат и получим равносильное неравенство

которое, очевидно, выполняется при всех При этом исходное неравенство обращается в равенство одновременно с неравенством т.е. когда (числа x, у имеют разные знаки или хотя бы одно из них обращается в нуль). Для доказательства свойства достаточно подставить в доказанное неравенство вместо у выражение (-y) .

10.Действительное число всегда представимо в виде произведения его модуля на функцию его знака: где

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Абсолютная величина – это модуль действительного числа (неотрицательное число), определение которого зависит от типа числа.

Абсолютная величина (модуль). Свойства абсолютных величин обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

Абсолютная величина и свойства модуля

Абсолютная величина или модуль (обозначается ) называется отрицательное число, что совпадает с , если и взятое со знаком минус, если , то есть

В первом уравнении , если , а во втором уравнении , если .

Есть такие свойства модулей:

, тогда согласно (1) . В это же время , поэтому из первого свойства получается Значит . Теперь пусть , тогда из (1) имеем . В то же время , поэтому . Значит .

Доказательство неравенства (3).

а) Если , тогда в первом соотношении , а во втором – .

б) Если же , тогда , а .

Аналогично можно доказать (4).

а) тогда согласно (1) , а согласно (3) дальше у нас получается .

б) , поэтому снова согласно (1), (3), и (2) имеем:

Доказательство неравенства (5).

Так как , тогда из полученных соотношений получается неравенство (5).

По определению модуль произведения чисел и равен либо x , если , либо -( x ), если x . Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел и равно либо x . , либо , если . что доказывает рассматриваемое свойство.

Рассмотрим (7) свойство:

Модуль частного от деления на = частному от деления модуля числа на модуль числа

Так как частное = , тогда

Определение и свойство вышеперечисленных модулей применяются при исследовании функций, построения их графиков, решения уравнений и неравенств с модулями.

Геометрические свойства абсолютной величины

Если смотреть с точки зрения геометрической абсолютной величины, тогда модуль вещественного (действительного) или комплексного чисел находится расстояние между числом и началом координат. Рассмотрим комплексные и вещественные (действительные числа.

Вещественные числа

Область определения – это .
Область значений – .
Чётная функция.
Функция дифференцируема везде, кроме нуля. Если точка , тогда функция претерпевает излом.

Комплексные числа

Область определения, то есть, вся комплексная плоскость.
Область значений – .
Модуль как комплексная функция ни в одной точке не дифференцируема

Обратим внимание, что абсолютной величине можно дать геометрическое объяснение: если задать на числовой оси точку с абсциссой , тогда – это расстояние этой точки к точке .

Алгебраические свойства абсолютной величины

Для любых вещественных чисел имеют место такие соотношения:

= <>.
.
.
Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: .
Только тогда , когда , но модуль совершенно любого числа равен или же больше нуля:.
Модули противоположных чисел всегда равны: .
Модуль произведения, где есть от двух чисел всегда равен произведению их модулей.
Модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел: .
Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля:.
.
.
.
.
, если существует.

Примеры решения задач с модулем

Задача

1) Построить график функции .

2) Решить уравнение .

3) Решить неравенство .

4) Решить неравенство .

Решение

Сначала построим график функции , а за основу берём (1) неравенство:

При этом в первом уравнении , если , а , если . Поэтому графиком функции будет ломаная, см. рис. 1.

2) Первую часть задания выполнили, то есть, график построили а теперь нам необходимо решить уравнение .

Пользуясь изображением выше (рис. 1) по формуле (8) решим сначала уравнение на интервале . Так как , тогда .

Если же , тогда , поэтому .

Если , тогда у нас получается единственное решения .

Решили уравнение и получилось, что , .

Обратим ваше внимание, что решения и легко понять по рис. 1. А если выходить из геометрического содержания абсолютной величины, тогда очевидно, что на расстоянии от точки на оси находятся две точки и .

3) Решаем неравенство .

Можно осуществить на каждом из интервалов и или проще воспользоваться нашим уже построенным рисунком, из которого видно, что график ломаной находится не выше прямой для , то есть

4) Итак, решаем последнее неравенство .

Запишем, согласно с рис. 1:

Соотношение (9) и (10) будут использоваться и в дальнейшем.

Ответ

Решили уравнение и у нас получилось: , ;

Из первого неравенства получилось, что , где .

Задача

Записать без знака модуля для функции . Построить её график.

Решение

Приравняем подмодульное выражение к нулю .

Теперь разделим ось на два интервала и .

Если , тогда , поэтому, согласно с (1) .

Если же , тогда , поэтому . Значит

Строим отдельно графики: для и для . (см. рис. 2)

Мы видим, что график функции можно получить параллельным переносом графика влево вдоль оси на две единицы.

Очевидно, что по большому счёту график функции можно получить параллельным переносом графика по направлению оси на единиц вправо, если и влево, если .

Как и в примере 1 после построения графика можно легко найти решение уравнения , а также неравенств .

Ответ

Запишем: = и неравенство .

Задача

Построить график функции .

Решение

Аналогично предыдущему примеру, приравняем к нулю подмодульное выражение: .

Разбиваем на три интервала:

1. Если , тогда , поэтому ,

2. Если , тогда и , а и , поэтому .

3. Если , тогда , поэтому .

Значит, для нашей функции имеем:

её график см. на рис. 3.

Абсолютная величина (модуль). Свойства абсолютных величин обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

2. Геометрическое изображение действительных чисел. Ось, направленный отрезок, величина отрезка.

3. Основное тождество.

4. Расширенная числовая прямая.

5. Промежутки действительных чисел.

6. Понятие e - окрестности.

Модуль действительного числа

Понятия абсолютной величины (или модуля) действительных чисел, а также неравенства, связанные с ней будут часто использоваться при доказательстве теорем, лемм и следствий.

Определение. Абсолютной величиной или модулем действительного числа называется само число , если больше или равно нулю и равна , если меньше нуля: т.e.

Свойства модуля действительного числа

Свойство 1. Для любого действительного числа выполняется

неравенство . .

1. Если число , то .

2. Если , то .

3. Если , то .

Т.е. . ч.т.д.

Свойство 2. Для любого действительного числа .

1. Если , то . (1)

2. Так как , то .

3. Если , то , но . (2)

4. Сравним (1) и (2): правые части равны, тогда равные и левые части, т.е. . ч.т.д.

Свойство 3. Для любого действительного числа выполняется следующее неравенство .

I 1. Если , то . (3)

2. Если , то .

3. Если , то .

4. Если и , то (по свойству транзитивности)

5. Так как , то в соответствии (3) последнее неравенство можно переписать, т.е. или

II 1. Если , то . (4)

2. Так как , то умножим на 2 левую и правую части неравенства: или или .

3. Так как в соответствии с (4) , то

III 1. Из I и II следует, что или . ч.т.д.

Свойство 4. Пусть – положительное число. Тогда неравенство равносильно ( – эпсилон; строчная буква греческого алфавита).

Теорема 1. Абсолютная величина суммы двух действительных чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел, т.е. .

Доказательство. 1.Пусть и – любые действительные числа, т.е.

, .1.

2. Согласно третьему свойству модуля из них справедливы следующие нера-венства: и .

3. Сложим левую часть с левой, правую с правой, среднюю со средней, т.е. сло-жим 2 неравенства почленно или .

4. По четвертому свойству модулей полученное неравенство равносильно . ч.т.д.

Замечание. Модуль разности двух чисел не больше суммы модулей этих чисел, т.е. .

Теорема 2. Абсолютная величина разности двух действительных чисел, не меньше разности абсолютных величин:

Доказательство. 1.Для любых действительных чисел и

2. Перенесем y в правую часть равенства: .

3. Найдем модули от обеих частей полученного неравенства .

4. По теореме 1 .

5. Но в соответствием с 3 пунктом или

. ч.т.д.

Свойство 5. Каковы бы ни были два действительных числа и имеют место легко проверяемые соотношения: .

A) 1. Пусть .

2. Тогда .

3. По определению модуля .

4. По определению модуля, если , то , и если , то .

5. Перемножим почленно два равенства и .

6. Сравним правые части равенств пунктов 3 и 5. Если правые части

равны, то равны и левые, т.е. . ч.т.д.

Б) 1. Пусть , .

2. Тогда .

3. По определению модуля .

4. По определению модуля, если , то и если то .

5. Перемножим почленно два равенства и : .

6. Сравним правые части равенств пунктов 3 и 5. Так как правые части равны, то должны быть равны и левые, т.е.

. ч.т.д.

В) 1. Пусть .

2. Тогда .

3. По определению модуля .

4. По определению модуля, если , то и, если , то .

5. Перемножим почленно два равенства и .

6. Сравним правые части равенств пунктов 3 и 5. Так как правые части равны, то должны быть равны и левые части равенств, т.е.

. ч.т.д.

Г) 1. Пусть .

2. Тогда .

3. По определению модуля .

4. По определению модуля, если , то и, если , то .

5. Перемножим почленно два равенства и .

. ч.т.д.

А) 1. Пусть

2. Тогда и по определению модуля

3. По определения модуля, если , то и, если то

4. Разделим почленно два равенства: и

5. Получим

6. Сравним правые части равенств пунктов 2 и 5. Так как правые части равны, то равны и левые части, т.е. ч.т.д.

Б) 1. Пусть

2. Тогда и по определению модуля

3. По определения модуля, если , то , и, если то

4. Разделим почленно два равенства: и

5. Получим

6. Сравним правые части равенств пунктов 2 и 5. Так как правые части равны, то равные и левые части, т.е. ч.т.д.

В) 1. Пусть

2. Тогда и по определению модуля

3. По определения модуля, если то и если то .

4. Разделим почленно два равенства: и

5. Получим

6. Сравним правые части равенств пунктов 2 и 5. Так как правые части равны, то равны и левые части, т.е. ч.т.д.

Г) 1. Пусть

2. Тогда и по определению модуля

3. По определения модуля, если то , и если , то

4. Разделим почленно два равенства и

5. Получим

6. Сравним правые части равенств пунктов 2 и 5. Так как правые части равны, то равны и левые части, т.е. ч.т.д.

Геометрическое изображение действительных чисел

1) Ось. Направленный отрезок. Величина отрезка

Рассмотрим произвольную прямую. На ней можно указать два взаимно противоположных направления. Выберем одно из них и обозначим стрелкой. Кроме того, выберем масштабную единицу измерения длины отрезков.

Определение №1. Прямая с выбранным на ней направлением называется осью.

Рассмотрим на оси две произвольные точки и .

Определение №2. Отрезок с граничными точками и называется направленным, если указано, какая из точки и считается началом, а какая – концом отрезка.

1. Направленный отрезок с началом в точке и концом в точке обозначается . Считается, что он направлен от начала к концу.

2. В записи буква, обозначающая начало направленного отрезка, пишется первой, а буква, обозначающая конец пишется второй.

3. Длина направленного отрезка обозначается или .

4. Для направленных отрезков, лежащих на оси (или параллельных оси), вводится понятие величины направленного отрезка.

Определение №3. Величиной направленного отрезка называется такое число, равное длине направленного отрезка если направления отрез-ка и оси совпадают, и равное , если их направления противоположны.

Обозначается величина направленного отрезка :

Для отрезков и , изображенных на рисунке,

, .

Замечание. Величины направленных отрезков и при любом направлении оси отличаются знаками:

5. Если точки и совпадают, то величину направленного отрезка считают равной нулю,

Для любых трех точек , и на оси справедливо следующее равенство: . Оно называется основным тождеством.

Справедливость основного тождества легко установить по рисунку, рассматривая различные случаи взаимного расположения точек: , и на оси. Если три точки , и различны, то таких случаев шесть. В каждом из этих случаев основное тождество проверяется элементарно.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Геометрическое изображение действительных

Определение №1. Прямая с выбранным направлением, началом координат и масштабной единицей называется координатной прямой.

1. Пусть точка – произвольная точка координатной прямой.

2. Поставим в соответствие точке действительное число , равное величине направленного отрезка : .

Определение №2. Действительное число называется координатой точки

Каждой точке координатной прямой будем соответствовать действительное число – её координата.

Справедливо и обратное утверждение: каждому действительному числу соответствуем некоторая точка , координаты которой равна . Действительные числа можно изображать точками на координатной прямой. Как правило, около точки на координатной прямой указывается число – её координата.

Пусть точка имеет координату , а точка имеет координату .

Выразим величины направленного отрезка через координаты точек и

Согласно основного тождества

Следовательно, .

Но величина .

Данная формула широко применяется в геометрии.

Расширенная числовая прямая

I. По определению: 1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Замечание.Операции а) ;

б) ; ;

в) ; не определены.

II. Для любого действительного числа имеют место следующие утверждения:

1. .

2. .

III. " имеют место следующие равенства:

1. ;

2. .

IV. Для " имеют место следующие равенства:

1. ;

2. .

Замечание.

1. бесконечности называются иногда бесконечными числами, а действительные числа ℝ) называются конечными.

2. В дальнейшем под словом число будем подразумеваться конечное действительное число.

Определение 1.Множество действительных чисел ℝ дополненное элементами , называется расширенным множеством действительных чисел или расширенной числовой прямой. Обозначается: ℝ.

Определение 2.Элементы называются иногда бесконечно удаленными точками расширенной числовой прямой.

Читайте также: