Моделирование случайных процессов реферат

Обновлено: 05.07.2024

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Введение Случайные процессы - современный и актуальный подход к изучению вероятностных наук. Для более эффективного продвижения в данной области спроектируем, разработаем (реализуем) некоторые концепции из неё на практике.

Целью данного труда есть проанализировать теоретические и реализовать практические концепции рассматриваемого подхода. Для её реализации выделим следующие задачи:

. Повторение (изучение) основ теории случайных процессов.

. Изучение алгоритмов компьютерного моделирования случайных последовательностей.

. Создание программ моделирования случайных последовательностей.

. Создание программ оценивания моментных функций стационарной случайной последовательности.

. Создание программы прогнозирования случайной последовательности общего типа.

. Создание программы, реализующей фильтр Калмана для векторной гауссовской марковской последовательности.

. Применение разработанных программ в примере прогнозирования случайной последовательности.

Путём напряжённой работы попробуем освоиться в данной области, применяя самые актуальные на сегодняшний день инструменты - превосходную среду математических вычислений Matlab 2016, текстовый редактор Word и другие. 1. Повторение (изучение) основ теории случайных процессов 1.1 Случайный процесс Случайный процесс (вероятностный процесс, случайная функция, стохастический процесс) в теории вероятностей - семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты.

Пусть дано вероятностное пространство . Параметризованное семействослучайных величин, где Т произвольное множество, называется случайной функцией.

Обычно рассматривают два случая:

· если , то параметрможет интерпретироваться как время. Тогда случайная функцияназывается случайным процессом;

· если множестводискретно, например, то такой случайный процесс называется случайной последовательностью;

· если , где, то параметрможет интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случайным полем.

· случайный процессназывается процессом дискретным во времени, если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени, число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени;

· случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями, если значением случайного процесса является дискретная случайная величина;

Модели cлучайныx пpоцеccов.
Клаccификация моделей cлучайныx пpоцеccов.
Модели на базе гауccовыx cлучайныx функций.
Модель пpоцеccов c незавиcимыми пpиpащениями.
Модель пpоцеccов, cтационаpныx в шиpоком cмыcле.
Модели маpковcкиx пpоцеccов.
Модели cиcтем маccового обcлуживания.
Список литературы.

Васильев К.К., Омельченко В.А. Прикладная теория случайных процессов и полей

формат djvu
размер 23.91 МБ
добавлен 24 июня 2010 г.

Ульяновск. УлГУ. 1995. 256 стр. Коллективная монография посвящена моделям и методам обработки случайных сигналов и полей. Представлены современные вероятностные модели сигналов с конечными энергетическими характеристиками, линейные случайные процессы и поля, новые кенетические уравнения для непрерывных немарковских процессов, описания и методы стохастического анализа случайных полей на многомерных сетках, модели и методы обработки разрывных сигна.

Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов Том 1

формат pdf
размер 114.86 МБ
добавлен 21 января 2011 г.

Пер. с англ. - М.: Издательская фирма "Физико-математическая литература", 1994. - 544 с. - (Теория вероятностей и математическая статистика. Вып. 47). - ISBN 5-02-015152- 1. В двух томах. Содержится систематическое изложение теории функциональных и конечномерных предельных теорем для классов случайных процессов семимаргингального вида, включающих процессы с независимыми приращениями, диффузионные, точечные, образованные суммами случайных величин.

Жовинский А.Н., Жовинский В.Н. Инженерный экспресс-анализ случайных процессов

формат djvu
размер 2.07 МБ
добавлен 02 февраля 2010 г.

М.: Энергия, 1979, 113 стр. Методические особенности экспресс-анализа случайных процессов. Методы экспресс-анализа распределения вероятностей. Определение средних значений. Определение среднеквадратических отклонений. Определение корреляционных и спектральных характеристик случайных процессов. Анализ стационарности случайных процессов.

Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований

формат djvu
размер 6.72 МБ
добавлен 02 февраля 2010 г.

М.: Советское радио, 1978г. , 376 стр. Раздел I. Кумулянтное описание случайных величин. Кумулянты. Кумулянтные скобки и диаграммы. Кумулянтные уравнения. Кумулянтный анализ преобразования случайных величин. Модельные распределения. Раздел II. Кумулянтное описание случайных процессов. Кумулянтные функции. Стационарные случайные процессы. Спектры случайных процессов. Производная и интеграл от случайного процесса. Марковские процессы. Раз.

Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах

формат djvu
размер 2.18 МБ
добавлен 10 февраля 2009 г.

М.: Физматлит, 2002. - 320 с. В книге изложены основы современной теории случайных процессов. Описаны важнейшие модели процессов с дискретным и непрерывным временем, методы их исследования и использования для решения прикладных задач. Рассмотрены решения многочисленных типовых примеров, приведены задачи для самостоятельного решения. Для студентов и аспирантов технических университетов, специализирующихся в области прикладной математики, теории у.

Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах

формат pdf
размер 1.55 МБ
добавлен 12 февраля 2011 г.

Основы теории случайных процессов

формат pdf
размер 145.58 КБ
добавлен 07 февраля 2011 г.

Тема: случайные процессы. Основные определения. Важнейшие классы случайных процессов. Некоторые важные примеры. Обзор методов теории случайных процессов. Производная и интеграл. Каноническое разложение. Задачи

Прохоров С.А. Математическое описание и моделирование случайных процессов

формат pdf
размер 3.82 МБ
добавлен 07 октября 2010 г.

Математическое описание и моделирование случайных процессов/Самар. гос. аэрокосм. ун-т, 2001. 209 с.: ил. Рассматриваются методы описания, алгоритмы и программные средства генерирования случайных процессов, потоков событий, неэквидистантных временных рядов с заданными вероятностными характеристиками, а также методы и средства оценки качества генерирования, основанные на аппроксимативном подходе и анализе фазовых портретов. Приводится описание ра.

Прохоров С.А., Куликовских И.М. Ортогональные модели корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов

формат pdf
размер 6.98 МБ
добавлен 28 сентября 2011 г.

Zakoian J.-M., Francq C., GARCH Models

формат pdf
размер 2.43 МБ
добавлен 13 сентября 2011 г.

Chichester, John Wiley & Sons Ltd, 2010 Книга посвящена находящему широкое применение прежде всего в финансовой математике классу случайных процессов - Generalized AutoRegressive cConditionally Heteroscedastic (GARCH) Рассмотрены модели их генерации, статистическое оценивание параметров, обобщения моделей, многомерные процессы, а также их приложения к опционной торговле, оцениванию риска и т.п. Ориентирован как на математиков в области случа.

Построение и изучение математической модели случайного стационарного эргодического процесса с вероятностными характеристиками: ожидание и дисперсия. Построение графиков динамики изменения эмпирических данных и гистограмм распределения для всех выборок.

Подобные документы

Производственно-экономическая характеристика СПК "Озеры" Гродненского района, землепользование и специализация. Анализ уровня использования ресурсов в хозяйстве. Построение экономико-математической модели оптимальной специализации и сочетания отраслей.

дипломная работа, добавлен 16.05.2012

Построение имитационной модели бизнес-процесса "Управление инцидентами" компании "МегаФон" с целью прогнозирования совокупной стоимость ИТ-сервиса по обслуживанию инцидентов. Разработка моделирующих алгоритмов для реализации компьютерных программ модели.

курсовая работа, добавлен 09.04.2012

Теоретическая оценка инфляционных процессов, обзор исследований по российской инфляции и статистических данных. Обзор используемых методов эмпирического анализа, особенности эконометрического моделирования инфляционных процессов в современной России.

курсовая работа, добавлен 04.02.2011

Сущность корреляционно-регрессионного анализа и экономико-математической модели. Обеспечение объема и случайного состава выборки. Измерение степени тесноты связи между переменными. Составление уравнений регрессии, их экономико-статистический анализ.

курсовая работа, добавлен 27.07.2015

Построение ряда динамики. Расчет параметров линейного, степенного, экспоненциального (показательного), параболического, гиперболического трендов с помощью пакета Excel. Вычисление относительной ошибки аппроксимации. Оценка адекватности линейной модели.

практическая работа, добавлен 13.05.2014

Классификация систем массового обслуживания. Исследование стационарного функционирования однолинейной СМО с ограниченным числом мест для ожидания и моделирование ее работы в среде Maple. Вычисление характеристик стационарного функционирования систем.

курсовая работа, добавлен 13.04.2015

Описание деятельности предприятия ОАО "КГОК". Корреляционно-регрессионный анализ и построение однофакторной модели отгрузки продукции с использованием программного продукта CurveExpert 1.4. Прогноз количественных показателей отгрузки на будущие периоды.

курсовая работа, добавлен 08.02.2013

Графический метод решения и построение экономико-математической модели производства. Определение выручки от реализации готовой продукции и расчет оптимального плана выпуска продукции. Баланс производства проверка продуктивность технологической матрицы.

задача, добавлен 03.05.2009

Построение математической модели выбранного экономического явления методами регрессионного анализа. Линейная регрессионная модель. Выборочный коэффициент корреляции. Метод наименьших квадратов для модели множественной регрессии, статистические гипотезы.

курсовая работа, добавлен 22.05.2015

Понятие имитационного моделирования, применение его в экономике. Этапы процесса построения математической модели сложной системы, критерии ее адекватности. Дискретно-событийное моделирование. Метод Монте-Карло - разновидность имитационного моделирования.

В данной статье рассмотрены методы статистического моделирования применительно к моделированию на ЭВМ случайных процессов, имитирующих непрерывные случайные функции с заданными вероятностными характеристиками.

Ключевые слова: статистическое моделирование, случайные величины, стохастические процессы.

Существуют два типа алгоритмов, при помощи которых на ЭВМ могут вырабатываться дискретные реализации случайного процесса U(t). Алгоритмы первого типа предусматривают вычисление дискретной последовательности значений , т. е. значений реализаций процесса U(t) в совокупности заранее выбранных моментов времени . Шаг дискретизации обычно принимается постоянным: ∆t = const, тогда из стационарности процесса U(t) следует стационарность последовательности <>.

В основе алгоритмов этого типа положено линейное преобразование стационарной последовательности независимых гауссовских чисел ζ с параметрами = 0, = 1 в последовательность <> коррелированную по заданному закону

(1)

где K(τ) корреляционная функция моделируемого процесса. При этом оператор соответствующего линейного преобразования записывается или в виде скользящего суммирования с весом

или в виде рекуррентного уравнения типа

Вид корреляционной функции воспроизводимого при помощи соотношений (2), (3) случайного процесса определяет набор значений коэффициентов .

Ко второму типу относятся алгоритмы, основанные на представлении моделируемых процессов в виде разложений

где некоторая система детерминистических функций; U случайный вектор. При этом моделирование случайного процесса сводится к воспроизведению реализаций векторов U и последующему вычислению значений Um = U(tm) по формуле (4).

Целью статистического моделирования случайных полей является воспроизведение совокупности реализаций значений поля U(x) в дискретных точках [x = (), n=1,…,N]. В дальнейшем не будем делать формального различия между пространственными координатами и временем и ограничимся случаем однородных случайных полей. Алгоритмы моделирования случайных полей, как правило, являются обобщением соответствующих алгоритмов моделирования случайных процессов на случай m переменных.

Моделирование гауссовского белого шума.

При статистическом моделировании случайных процессов и полей возникает необходимость в моделировании стационарного дельта-коррелированного гауссовского процесса ζ(t) (белого шума интенсивности s) или его многомерного аналога ζ(x). На ЭВМ можно воспроизводить только усеченный белый шум ζ(f) с конечной дисперсией. Параметр при моделировании подбирается таким образом, чтобы последовательность ζm = ζ(m∆t) была некоррелированной. Это условие будет выполняться, если выбрать ∆t где ∆t шаг дискретизации. Моделирующий алгоритм при этом имеет вид [1]:

Метод скользящего суммирования для моделирования случайных процессов.

Алгоритм (2) позволяет воспроизводить на ЭВМ последовательности сколь угодно большой длины, которые с самого начала обладают свойством стационарности. Весовые коэффициенты могут быть вычислены различными способами. Эффективным является способ, основанный на разложении в ряд Фурье спектральной плотности моделируемого процесса. Преобразование (2) при этом берется в виде

Шаг дискретизации ∆t и число членов ряда P выбираются из условия

где ε — допустимая погрешность;

Моделирование стационарных случайных процессов с дробно-рациональной спектральной плотностью.

Для моделирования случайных процессов с дробно-рациональной спектральной плотностью вида

где B(i) и С(i) полиномы относительно (i) порядка r и p соответственно (r и заменяя интеграл конечной суммой, получим:

Здесь гауссовские случайные величины со следующими вероятностными характеристиками:

Число членов ряда (14) выбирается из условия

Наряду с (14) можно использовать разложение

Здесь случайные величины с совместной плотностью вероятности

Реализации, получаемые при помощи выражений (14), (15), являются периодическими (T = 2π/∆ω) следовательно, свойством эргодичности не обладают. Общее достоинство разложений (14) и (15) — простота алгоритма моделирования, а недостаток — необходимость учитывать большое число членов ряда.

Разложения (14) и (15) удобно использовать для получения дискретных реализаций случайных процессов в неравноотстоящих точках [3].

Другие методы моделирования случайных процессов.

Во многих случаях эффективным оказывается метод моделирования, основанный на использовании разложения [4]:

Здесь случайные величины с совместной плотностью вероятности

Согласно центральной предельной теореме распределение реализаций (16) при стремится к гауссовскому. Кроме того, при реализации будут асимптотически эргодическими по отношению к математическому ожиданию и корреляционной функции.

Наряду с (16) можно использовать разложение

Здесь случайные величины с совместной плотностью вероятности

Кроме того, Закон распределения величин можно принять равномерным на интервале (0,1), при этом их реализации моделируются при помощи соотношений

Здесь — случайные числа, равномерно распределенные на интервале (0,1), которые вырабатываются на ЭВМ с помощью программных датчиков. Моделирование реализаций выполняют одним из методов моделирования случайных величин с заданным законом распределения.

Заключение

В данной статье были рассмотрены методы статистического моделирования применительно к моделированию на ЭВМ случайных процессов, заключающихся в решении задачи воспроизведения дискретных последовательностей, имитирующих непрерывные случайные функции с заданными вероятностными характеристиками.

3. Шведов А. С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Изд. дом, ГУ-ВШЭ, 2005. — 254с

Shinozuka M. Simulation of multivariate and multidimensional random processes. — “Journ. Acoust. Soc. Am.”, 1971, vol. 49, N 1, p. 556–583.

Основные термины (генерируются автоматически): процесс, статистическое моделирование, корреляционная функция, метод моделирования, моделирование, моделируемый процесс, случайный процесс, совместная плотность вероятности, число членов ряда, шаг дискретизации.

Читайте также: