Модели рождения и гибели реферат

Обновлено: 04.07.2024

Существует широкий класс систем, которые меняют свои состояния в случайные моменты времени . Как и в предыдущем случае, в этих системах рассматривается процесс с дискретными состояниями ,S_. S_" />
. Например, переход объекта от исправного состояния к неисправному, соотношение сил сторон в ходе боя и т. п. Оценка эффективности таких систем определяется с помощью вероятностей каждого состояния (t)" />
на любой момент времени , " />
.

Чтобы определить вероятности состояния системы (t)" />
для любого момента времени необходимо воспользоваться математическими моделями марковских процессов с непрерывным временем (непрерывных марковских процессов).

При моделировании состояния систем с непрерывными марковскими процессами мы уже не можем воспользоваться переходными вероятностями " />
, так как вероятность "перескока" системы из одного состояния в другое точно в момент времени равна нулю (как вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины).

$\lambda_<ij> Поэтому вместо переходных вероятностей вводятся в рассмотрение плотности вероятностей переходов$
:

$\lambda_<ij> = \lim_(\Delta t)>>,$

где (\Delta t)" />
- вероятность того, что система, находившаяся в момент времени в состоянии " />
за время перейдет в состояние " />
.

С точностью до бесконечно малых второго порядка из приведенной формулы можно представить:

$p_ (\Delta t) \approx \lambda_ \cdot \Delta t$

Непрерывный марковский процесс называется однородным,если плотности вероятностей переходов " />
не зависят от времени (от момента начала промежутка ). В противном случае непрерывный марковский процесс называется неоднородным.

. Эти вероятности находятся интегрированием системы дифференциальных уравнений Колмогорова.

Сформулируем методику моделирования по схеме непрерывных марковских процессов.

Определить состояния системы и плотности вероятностей переходов " />
.
Составить и разметить граф состояний.
Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова. Число уравнений в системе равно числу состояний. Каждое уравнение формируется следующим образом.
B левой части уравнения записывается производная вероятности -го состоянии (t)>" />
.
В правой части записывается алгебраическая сумма произведений p_(t)" />
и p_(t)" />
. Число произведений столько, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка графа направлена в данное состояние, то соответствующее произведение имеет знак плюс, если из данного состояния - минус.
Определить начальные условия и решить систему дифференциальных уравнений.

Пример 2.2. Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для нахождения вероятностей состояний системы, размеченный граф состояний которой представлен на рис. 2.3.

$\left \< \begin \cfrac = \lambda_p_3(t) - \lambda_p_1(t) - \lambda_p_1(t) \\ \cfrac = \lambda_p_1(t) + \lambda_p_3(t) - \lambda_p_2(t) \\ \cfrac = \lambda_p_1(t) + \lambda_p_2(t) - \lambda_p_3(t) - \lambda_p_3(t) \end$

Поэтому любое из первых трех уравнений можно исключить, как линейно зависимое.

Для решения уравнений Колмогорова необходимо задать начальные условия. Для рассмотренного примера 2.2, можно задать такие начальные условия: (0) = 1" />
, (0) = p_(0) = 0" />
.

Однородный марковский процесс с непрерывным временем можно трактовать как процесс смены состояний под влиянием некоторого потока событий. То есть плотность вероятности перехода можно трактовать как интенсивность потока событий, переводящих систему из -го состояния в -е. Такими потоками событий являются отказы техники, вызовы на телефонной станции, рождение и т. п.

При исследовании сложных объектов всегда интересует: возможен ли в исследуемой системе установившейся (стационарный) режим? То есть, как ведет себя система при ? Существуют ли предельные значения (k), p_(t)" />
? Как правило, именно эти предельные значения интересуют исследователя.

Ответ на данный вопрос дает теорема Маркова.

Если для однородного дискретного марковского процесса с конечным или счетным числом состояний все \succ 0" />
, то предельные значения (k)" />
существуют и их значения не зависят от выбранного начального состояния системы.

существуют и их значения не зависят от выбранного начального состояния.

она не сможет перейти ни в какое другое состояние.

2.3. Схема гибели и размножения

Часто в системах самого различного назначения протекают процессы, которые можно представить в виде модели "гибели и размножения".

Граф состояний такого процесса показан на рис. 2.5.

Особенностью модели является наличие прямой и обратной связей с каждым соседним состоянием для всех средних состояний; первое и последнее (крайние) состояния связаны только с одним "соседом" (с последующим и предыдущим состояниями соответственно).

Название модели - "гибель и размножение" - связано с представлением, что стрелки вправо означают переход к состояниям, связанным с ростом номера состояния ("рождение"), а стрелки влево - с убыванием номера состояний ("гибель").

Очевидно, стационарное состояние в этом процессе существует. Составлять уравнения Колмогорова нет необходимости, так как структура регулярна, необходимые формулы приводятся в справочниках, а также в рекомендованной литературе.

Для приведенных на рис. 2.5 обозначений формулы имеют вид:

$\begin > > = \cfrac>>><<<\mu _<21>>>> + \cfrac<<<\lambda _<12>><\lambda _<23>>>><<<\mu _<21>><\mu _<32>>>> + \cfrac<<<\lambda _<12>><\lambda _<23>><\lambda _<34>>>><<<\mu _<21>><\mu _<32>><\mu _<43>>>> + \ldots + \cfrac<<<\lambda _<12>><\lambda _<23>> \ldots <\lambda _<n - 1,n>>>><<<\mu _<21>><\mu _<32>> \ldots <\mu _<n,n - 1>>>>>>;> \\ = \cfrac<<<\lambda _<12>><\lambda _<23>>>><<<\mu _<21>><\mu _<32>>>>*; \ldots ; = \cfrac<<<\lambda _<12>><\lambda _<23>> \ldots <\lambda _<n - 1,n>>>><<<\mu _<21>><\mu _<32>> \ldots <\mu _<n,n - 1>>>>*.> \end>& <\left( <2.2>\right)> \end$

Пример 2.3. Имеется система из двух одинаковых и работающих параллельно компьютеров.

Требуется определить надежностные характеристики этой системы.

В этой системе возможны три состояния:

- оба компьютера исправны;

- один компьютер исправен, другой ремонтируется;

- оба компьютера неисправны и ремонтируются. Будем полагать, что процессы отказов и восстановлений - однородные марковские, одновременный выход из строя обоих компьютеров, как и одновременное восстановление двух отказавших компьютеров практически невозможно.

, важно, что один.

С учетом сказанного, ситуация моделируется схемой "гибели и размножения" (рис. 2.6).

" />
, " />
- интенсивности потоков отказов;

" />
, " />
- интенсивности потоков восстановлений.

Пусть среднее время безотказной работы каждого компьютера = 10\;сут" />
, а среднее время восстановления одного компьютера _ = 0,1\;сут" />
.

Тогда интенсивность отказов одного компьютера будет равна <\overline> = \cfrac = 0,1\;\cfrac" />
, а интенсивность восстановления одного компьютера - <\overline_> = \cfrac = 10\;\cfrac" />
.

работают оба компьютера, следовательно:

$\lambda_<12> = 2\lambda = 2*0,1 = 0,2\;\cfrac.$

работает один компьютер , значит:

$\lambda_<23> = \lambda = 0,1\;\cfrac.$

восстанавливается один компьютер , тогда:

$\mu_<21> = \mu = 10\;\cfrac.$

восстанавливаются оба компьютера:

$\mu_<32> = 2\mu = 20\;\cfrac.$

Используем зависимости (2.2). Вероятность состояния, когда обе машины исправны:

$<P_1> = \cfrac>>><<<\mu _<21>>>> + \cfrac<<<\lambda _<12>><\lambda _<23>>>><<<\mu _<21>><\mu _<32>>>>>> = \cfrac>> + \cfrac>>>> = \cfrac> = 0,98.$

(работает один компьютер ):

$P_2 = \cfrac<\lambda_<12> ><\mu_<21>>*P_1 = 0,02*0,98 = 0,0196.$

Аналогично вычисляется и " />
. Хотя найти " />
можно и так:

$<P_3> = 1 - \left( + > \right) = 1 - \left( \right) = 1 - 0,9996 = 0,0004.$

Пример 2.4. В полосе объединения работают передатчики противника. Подразделение операторов-связистов армейской контрразведки ведет поиск передатчиков по их радиоизлучениям. Каждый оператор, обнаружив передатчик противника, следит за его частотой, при этом новым поиском не занимается. В процессе слежения частота может быть потеряна, после чего оператор снова осуществляет поиск .

Разработать математическую модель для определения эффективности службы подразделения операторов. Под эффективностью понимается среднее число обнаруженных передатчиков за установленный промежуток времени.

Будем считать, что наши операторы и радисты противника обладают высокой квалификацией, хорошо натренированы. Следовательно, можно принять, что интенсивности обнаружения частот передатчиков противника и потерь слежения - постоянны. Обнаружение частоты и ее потеря зависят только от того, сколько запеленговано передатчиков в настоящий момент и не зависят от того, когда произошло это пеленгование. Следовательно, процесс обнаружения и потерь слежения за частотами можно считать непрерывным однородным марковским процессом.

Исследуемое свойство этой системы пеленгации: загруженность операторов, что, очевидно, совпадает с числом обнаруженных частот.

- количество операторов;

- количество передатчиков противника, полагаем ;

$\overline<m> $
- среднее число операторов, ведущих слежение ;

$\overline<n> $
- среднее число запеленгованных передатчиков;

$\lambda$

- интенсивность пеленгации передатчика противника одним оператором;

$\mu$

- интенсивность потока потерь слежения оператором;

" />
- текущая численность запеленгованных передатчиков .

В системе пеленгации возможны следующие состояния:

" />
- запеленгованных передатчиков нет, поиск ведут операторов, вероятность состояния " />
;

" />
- запеленгован 1 передатчик, поиск ведут операторов, вероятность состояния " />
;

" />
- запеленгованы 2 передатчика, поиск ведут операторов, вероятность состояния " />
;

" />
- запеленгованы " />
передатчиков, вероятность " />
;

" />
- запеленгованы передатчиков, вероятность " />
.

$\overline<n> Цель моделирования -$
- достигается вычислением:

$\overline<n> = \sum_^P_\cdot n.$

Как и в примере 2.3 полагаем, что одновременное обнаружение или потеря двух и более частот практически невозможно. Граф состояний системы показан на рис. 2.7.

Граф соответствует процессу "гибели и размножения", полносвязный, число состояний системы конечно, значит, установившийся режим, и предельные значения вероятностей в системе пеленгации существуют.

Пусть, к примеру, количество операторов , а количество передатчиков противника . В этом случае граф состояний имеет вид (рис. 2.8):

$\lambda = \mu$

Для упрощения вычислений примем . Тогда для этой схемы "гибели и размножения" по зависимостям (2.2) имеем:

$\begin > = \cfrac> <\mu >+ \cfrac<<12\lambda *6\lambda >><<\mu *2\mu >> + \cfrac<<12\lambda *6\lambda *2\lambda >><<\mu *2\mu *3\mu >>>> = \cfrac> = \cfrac> \approx 0,0137;> \\ \approx 0,168; \approx 0,5; \approx 0,33.> \end$

$\overline<n> = \sum\limits_^3 >>> = 0*0,0137 + 1*0,168 + 2*0,5 + 3*0,33 = 2,17.$

Таким образом, в условиях данного примера в среднем будут пеленговаться не менее двух передатчиков противника.

Непрерывный марковский процесс полностью определяется значениями плотностей вероятностей переходов " />
, " />
. Ранее был установлен их физический смысл как интенсивности потоков событий, переводящих систему из одного состояния в другое. Поток событий в однородных непрерывных марковских процессах характеризуется экспоненциальным законом распределения случайных интервалов времени между событиями. Такой поток называют простейшим или стационарным пуассоновским.

p0(h) = e-λh = 1 - λh + (λh)2/2! - . = 1 - λh + O(h2). (38)

Этот результат показывает, что вероятность поступления клиента на протяжении интервала h прямо пропорциональна h с коэффициентом пропорциональности, равным интенсивности поступлений λ.

Чтобы получить распределение числа клиентов, поступивших на протяжении некоторого интервала времени, обозначим через p_n(t) вероятность поступления n клиентов на протяжении времени t. При достаточно малом h > 0 имеем следующее:

pn(t + h) ≈ pn(t)(1 - λh) + pn-1(t)λh, n > 0, (39) p0(t + h) ≈ p0(t)(1 - λh), n = 0. (40)

Из первого уравнения следует, что поступление n клиентов на протяжении времени t + h возможно в двух случаях: если имеется n поступлений на протяжении времени t и нет поступлений за время h, или существует n - 1 поступлений за время t и одно поступление за время h. Любые другие комбинации невозможны вследствие того, что на протяжении малого периода h возможно наступление только одного события. В соответствии с условием независимости событий к правой части уравнения применим закон умножения вероятностей. Во втором уравнении отсутствие поступлений клиентов на протяжении интервала t + h возможно лишь тогда, когда нет поступлений клиентов за время h.

Перегруппировывая члены и переходя к пределу при h → 0, получаем следующее.

(41)

Решение приведенных выше разностно-дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

(42)

Пример: В небольшом штате каждые 12 минут рождается ребенок. Время между рождениями распределено по экспоненциальному закону. Требуется определить следующее: среднее число рождений за год; вероятность того, что на протяжении одного дня не будет ни одного рождения; вероятность выдачи 50 свидетельств о рождении к концу третьего часа, если известно, что на протяжении последних двух часов было выдано 40 таких свидетельств.

Решение: Вычислим интенсивность рождений за день: λ = (24 * 60) / 12 = 120 рождений за день. Интенсивность рождений в штате за год равна λt = 120 * 365 = 43800 рождений. Вероятность того, что на протяжении одного дня не родится ни один ребенок, вычисляется с использованием пуассоновского распределения p0(1) = [(120 * 1) 0 * e (-120 * 1) ]/0! ≈ 0.

Для вычисления вероятности выдачи 50 свидетельств о рождении к концу третьего часа при условии, что на протяжении последних двух часов было выдано 40 таких свидетельств, заметим, что, поскольку распределение числа рождений является пуассоновским, искомая вероятность сводится к вероятности появления 10 (= 50 - 40) рождений за один (= 3 - 2) час. Так как λ = 60/12 = 5 рождений за час, то p10(1) = [(5 * 1) 10 * e (-5 * 1) ]/10! = 0,01813.

3.2 Модель чистой гибели

pN(t + h) = pN(t)(1 - μh), (43) pn(t + h) = pn(t)(1 - μh) + pn+1(t)μh, 0 3 / 4 3 4 > Следующая > >>

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Пример 1. Линейный рост с иммиграцией. Процесс рождения и гибели называется процессом с линейным ростом, если где Такие процессы возникают при изучении биологического воспроизведения и роста популяций. Если состояние описывает текущий размер популяции, то средняя мгновенная интенсивность роста равна

Аналогично вероятность того, что состояние процесса уменьшится на 1 за малый промежуток времени, равна

Коэффициент соответствует естественному приросту популяции размера в то время как второй коэффициент а можно интерпретировать как инфинитезимальную интенсивность роста популяции за счет внешнего источника, такого, как иммиграция. Коэффициент который равен средней инфинитезимальной интенсивности гибели в популяции размера имеет очевидную интерпретацию.

Если подставить эти значения в (5.3), то получим

Если теперь умножить уравнение на и просуммировать уравнения, получим, что среднее

удовлетворяет дифференциальному уравнению

с начальным условием если Решение этого уравнения имеет вид

Второй момент или дисперсия могут быть найдены аналогично. Интересно заметить, что при если в то время как при средний размер популяции при больших примерно равен

Пример 2. Образование очереди. Процесс образования очереди является процессом, в котором клиенты прибывают в некоторое определенное место (обслуживающий прибор), где им оказываются услуги какого-либо рода, например окно кассира в банке или место около кассира в магазине самообслуживания. Предполагается, что интервалы между прибытиями клиентов (поступлениями требований) и время, которое проведено данным клиентом на обслуживании, управляются вероятностными законами.

Длину очереди в данный момент времени обозначим через

Если в описании общего процесса рождения и гибели положить для всех то получим простой частный случай процесса обслуживания с непрерывным временем. Состояние системы при этом интерпретируется как длина очереди, в которую поступают клиенты через независимые друг от друга интервалы, имеющие экспоненциальное распределение с параметром , и для которой продолжительность времени обслуживания очередного клиента является случайной величиной, имеющей экспоненциальное распределение с параметром который может зависеть от длины очереди. После завершения каждого акта обслуживания длина очереди убывает на 1, а при каждом поступлении очередь увеличивается на 1. Классический случай одноканальной системы (системы с одним обслуживающим прибором) соответствует т. е. каждое время обслуживания имеет одно и то же экспоненциальное распределение с параметром не зависящим от длины очереди.

Классическая модель телефонного узла может быть сформулирована как система обслуживания, описываемая процессом рождения и гибели, с бесконечным числом обслуживающих приборов, каждый из которых имеет экспоненциально распределенное время обслуживания с одним и тем же параметром так что Это обосновывается следующим образом. Предположим, что очередь состоит из клиентов, тогда, поскольку число обслуживающих приборов неограничено, все клиенты одновременно обслуживаются. Далее, времена обслуживания каждого из них независимы и экспоненциально распределены с параметром Отсюда следует, что вероятностное распределение времени до того момента, пока по крайней мере один из клиентов закончит обслуживаться (т. е. времени до момента уменьшения очереди на 1), также является экспоненциальным, но с параметром (читатель должен доказать это).

Кроме двух рассмотренных частных случаев, можно рассмотреть другие многочисленные модели обслуживания, выбирая соответствующим образом параметры Например, система с обслуживающими приборами, каждый из которых имеет экспоненциально распределенное время обслуживания с одним и тем же параметром соответствовала бы случаю при при

Для случая одного обслуживающего прибора при стационарное распределение легко находится. Действительно, в этом

т. е. получили геометрическое распределение со средним

Для модели телефонного узла и легко получить, что

Получили известное пуассоновское распределение со средним

Как и в примере 1, легко показать, что

решение которого имеет вид

Если положить то которое равно среднему значению стационарного распределения, приведенному выше.

Пример 3. Некоторые генетические модели. Рассмотрим популяцию, состоящую из индивидуумов, которые имеют либо гены а, либо гены А. Под состоянием процесса будем понимать число индивидуумов с генами а в момент Предположим, что вероятность того, что состояние изменится за интервал времени равна и не зависит от а вероятность двух или более изменений за время равна

нового индивидуума может измениться после рождения. Именно: пусть вероятность того, что ген а мутирует в ген А, и вероятность того, что ген А мутирует в ген а.

Вероятность того, что новый индивидуум, добавленный к популяции, имеет ген а, равна

Эта формула получена следующим образом. Вероятность того, что будет выбран ген а и не произойдет мутации, равна

Кроме того, новый ген индивидуума может иметь ген а, если будет выбран ген который затем мутирует в ген а. Вероятность этого события равна Комбинация этих двух возможностей дает формулу (6.1).

Мы утверждаем, что вероятность события при условии, что в момент имело место изменение состояния, равна

В самом деле, число индивидуумов с геном а увеличивается только в случае гибели (замены) индивидуума с геном А. Вероятность этого равна Второй сомножитель есть вероятность того, что новый индивидуум имеет ген а (см.

Аналогично вероятность того, что при условии, что в момент произошло изменение состояния, равна

Описанный вероятностный процесс является, таким образом, процессом рождения и гибели с конечным числом состояний, инфинитезимальные интенсивности рождения и гибели которого равны

соответственно при числе индивидуумов с геном а, равном

Хотя эти параметры кажутся довольно сложными, интересно посмотреть, что произойдет со стационарным распределением при и вероятностях мутации для отдельных индивидуумов стремящихся к нулю так, что где Одновременно мы будем считать состояние процесса изменяющимся на отрезке [0, 1], принимая в качестве него т. е. долю индивидуумов с геном а в популяции. Чтобы найти плотность состояния оценим пп при где наибольшее целое число, не превышающее Имея это в виду, запишем

где имеет конечный предел при Следовательно, используя соотношение

Аналогично можно получить

где имеет конечный предел при Используя выписанные соотношения, имеем

где при Заметим, что при Поскольку то при имеем

Далее, из (6.3) имеем

Поскольку при то в правой части стоит аппроксимация суммы Римана для интеграла

так что плотность в (0,1) равна

поскольку Получили бета-распределение с параметрами

Пример 4. Логистический процесс. Предположим, что мы рассматриваем популяцию, размер которой изменяется в пределах от до целые, при всех Пусть

интенсивности рождения и гибели для каждого индивидуума в момент равны

а отдельные индивидуумы в популяции развиваются независимо друг от друга. Результирующие интенсивности рождения и гибели для всей популяции равны

Чтобы показать это, заметим, что если размер популяции равен то каждый из индивидуумов имеет инфинитезимальную интенсивность рождения Я, так что Такое же обоснование можно предложить и для интерпретации

В этих предположениях естественно ожидать, что процесс изменяется между двумя уровнями поскольку если, скажем, близок к то интенсивность гибели высока, а интенсивность рождения низка и, следовательно, стремится к В результате процесс должен флуктуировать стационарным образом между двумя уровнями

Стационарное распределение в этом случае равно

где с — константа, определяемая из условия Чтобы показать это, заметим, что

Данная тема крайне актуальна ввиду высокой значимости марковских процессов в исследовании экономических, экологических и биологических процессов, кроме того, марковские процессы лежат в основе теории массового обслуживания, которая в настоящее время активно используется в различных экономических направлениях, в том числе управлении процессами на предприятии.

Марковские процессы гибели и размножения находят широкое применение в объяснении различных процессов происходящих в биосфере, экосистеме и т.д. Надо отметить, что данный тип марковских процессов получил свое название именно вследствие широкого применения в биологии, в частности моделируя гибель и размножение особей различных популяций.

В данной работе будут использованы процессы гибели и размножения при решении задачи, целью которой является нахождение приблизительного количества пчел в отдельно взятой популяции.

В рамках теоретической части будут написаны алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний. Очевидно, что если две непрерывные цепи Маркова имеют одинаковые графы состояний и различаются только значениями интенсивностей ,

то можно сразу найти предельные вероятности состояний для каждого из графов в отдельности, достаточно составить и решить в буквенном виде уравнения для одного из них, а затем подставить вместо соответствующие значения. Для многих часто встречающихся форм графов линейные уравнения легко решаются в буквенном виде.

Для записи алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний возьмем некую задачу.

Пример. Техническое устройство состоит из трех одинаковых узлов; каждый из них может выходить из строя (отказывать); отказавший узел немедленно начинает восстанавливаться. Состояния системы нумеруем по числу неисправных узлов:

S₀ — все три узла исправны;

S₁ — один узел отказал (восстанавливается), два исправны;

S₂ — Два узла восстанавливаются, один исправен;

S₃ — все три узла восстанавливаются.

Схема гибели и размножения очень часто встречается в самых разнообразных практических задачах; поэтому имеет смысл заранее рассмотреть эту схему в общем виде и решить соответствующую систему алгебраических уравнений с тем, чтобы в дальнейшем, встречаясь с конкретными процессами, протекающими по такой схеме, не решать задачу каждый раз заново, а пользоваться уже готовым решением.

Итак, рассмотрим случайный процесс гибели и размножения с графом состояний, представленным на рис. 1.3

Напишем алгебраические уравнения для вероятностей состояний. Для первого состояния S₁ имеем:

Для второго состояния S₂ суммы членов, соответствующих входящим и выходящим стрелкам, равны:

Но, в силу (1.2), можно сократить справа и слева равные друг другу члены и получим:

и далее, совершенно аналогично,

Одним словом, для схемы гибели и размножения члены, соответствующие стоящим друг над другом стрелкам, равны между собой:

где k принимает все значения от 2 до n.

Итак, предельные вероятности состояний р_ъ р₂ > . р_п в любой схеме гибели и размножения удовлетворяют уравнениям:

и нормировочному условию:

Решим эту систему следующим образом: из первого уравнения (1.4) выразим р₂ :

из второго, с учетом (1.6), получим

из третьего, с учетом (1.7):

Эта формула справедлива для любого k от 2 до п.

Обратим внимание на ее структуру. В числителе стоит произведение всех плотностей вероятности перехода (интенсивностей) стоящих у стрелок, направленных слева направо, с начала и вплоть до той, которая идет в состояние S_k ; в знаменателе — произведение всех интенсивностей , стоящих у стрелок, идущих справа налево, опять-таки, с начала и вплоть до стрелки, исходящей из состояния S_k . При k=n в числителе будет стоять произведение интенсивностей , стоящих у всех стрелок, идущих слева направо, а в знаменателе — у всех стрелок, идущих справа налево.

Итак, все вероятности выражены через одну из них: . Подставим эти выражения в нормировочное условие: . Получим:

Остальные вероятности выражаются через

Процессы Маркова, в частности гибели и размножения, используют для описания работы и анализа широкого класса систем с конечным числом состояний, в которых происходят неоднократные переходы из одного состояния в другое под воздействием каких-либо причин. В таких системах они происходят случайным образом, скачкообразно в произвольный момент времени, когда наступают некоторые события (потоки событий). Как правило, они бывают двух типов: одно из них условно называют рождением объекта, а второе — его гибелью.

Естественное размножение пчелиных семей — роение — с точки зрения протекающих в системе в текущий момент времени процессов можно рассматривать как вероятностный процесс, когда семья в определенный момент времени может перейти из рабочего состояния в роевое. В зависимости от различных факторов, как контролируемых технологических, так и слабоконтролируемых биологических и климатических, оно может закончиться роением или возвратом семьи в рабочее состояние. При этом семья может неоднократно переходить то в одно, то в другое состояние. Таким образом, для описания математической модели процесса роения допустимо применять теорию однородных процессов Маркова.

Вероятность перехода пчелиной семьи в роевое состояние в первую очередь будет определяться интенсивностью проходящих в ней процессов, приводящих к роению λ, и противороевых приемов μ, которые зависят от технологий, используемых для снижения ройливости семей. Следовательно, чтобы влиять на обсуждаемые процессы, необходимо изменить интенсивность и направленность потоков λ и μ (рис. 1).

Решим практическую задачу, касающуюся процесса роения у пчел.

Для начала построим граф, похожий на граф на рис 1, с интенсивностями перехода в то или иное состояние.

Где - это рабочее состояние, - роевое состояние, - роение.

Имея интенсивности перехода в то или иное состояние, можем найти предельные вероятности состояний для данного процесса.

Используя формулы, приведенные в теоретической части находим:

Получив предельные вероятности состояний, можем свериться с таблицей с целью нахождения приблизительного числа особей (сот шт. пчел) и количество отобранных рамок с расплодом, получаем, что, скорее всего, было отобрано 5000 пчел и одна рамка с расплодом.

В данной работе была приведена теоретическая справка, а также практическое применение марковским процессам гибели и размножения на примере пчелиной популяции, также была решена практическая задача с использованием марковского процесса гибели и размножения.

Было показано, что марковские процессы имеют прямое отношение ко многим процессам, происходящим в окружающей среде и в экономике. Также марковские процессы лежат в основе теории массового обслуживания, которая в свою очередь является незаменимой в экономике, в частности при управлении предприятием и различными процессами, происходящими в нем.

На мой взгляд марковские процессы гибели и размножения безусловно полезны в различных сферах деятельности человека, но у них есть ряд недостатков, в частности система из любого своего состояния непосредственно может перейти только в соседнее с нею состояние. Данный процесс не отличается особой сложностью и сфера его применения немного узко-специализирована, но, тем не менее, данный процесс может использоваться в сложных моделях в качестве одного из компонента новой модели, например при моделировании документооборота в компании, задействовании станков в цеху и так далее.

Читайте также: