Многоугольники на решетке формула пика реферат

Обновлено: 02.07.2024

Объект исследования: формула Пика.

Предмет исследования: применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Цель исследования
1. Изучение формулы Пика.
2. Расширение знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач.

Задачи:
1.Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
2.Проанализировать и систематизировать полученную информацию
3.Создать презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам
4.Сделать выводы по результатам работы.
5.Подобрать наиболее интересные, наглядные примеры.

Методы исследования:
1. Моделирование.
2. Построение.
3. Анализ и классификация информации.
4. Сравнение, обобщение.
5. Изучение литературных и Интернет-ресурсов

Гипотеза: Вычисление площади фигуры по формуле Пика обеспечит правильное и быстрое решение задачи по сравнению с вычислением площади фигуры по формулам планиметрии.

Исследование формулы Пика.
Формула Пика. Решетки. Узлы.
При решении задач на клетчатой бумаге необходимы понятия решетки и узла.
Клетчатая бумага (точнее — ее узлы), на которой мы часто предпочитаем рисовать и чертить, является одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости.
Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные квадраты (Рис. 1). Любой из этих квадратов называется фундаментальным квадратом или квадратом, порождающим решетку. Множество всех точек
Рис. 1. пересечения этих прямых называется точечной решеткой или просто решеткой, а сами точки – узлами решетки.
Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге (Рис.1), достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки принимаем за единицу).
А также, площадь любого многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника. Чтобы вычислить площадь многоугольника, изображенного на рисунке, необходимо достроить его до прямоугольника ABCD, вычислить площадь прямоугольника ABCD, найти площадь заштрихованной фигуры как сумму площадей треугольников и прямоугольников её составляющих, вычесть её из площади прямоугольника. И хотя многоугольник и выглядит достаточно просто, для вычисления его площади нам придется потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причудливо, как на следующих рисунках?

Доказательство формулы Пика.
Пусть В – число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника, Г – число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины, — его площадь. Тогда справедлива формула Пика: S=В+Г/2-1.
Пример 1. Вычислить площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге по формуле Пика.
S = В + Г/ 2 – 1
В = 14, Г = 8, S = 14 + 8/2 -1= 17 ( кв.ед.)

Покажу справедливость формулы Пика. Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата.
Действительно, в этом случае имеем: В=0, Г=4 иS=0+4/2-1=1.

Фундаментальный квадрат порождает решетку, то есть решетку можно построить следующим образом. Отметим вершины квадрата. Затем сдвинем его параллельно одной из его сторон на длину этой стороны и отметим две вновь полученные вершины. Если этот процесс продолжать сначала в одном направлении до длины a, а затем полученную полоску сдвинем параллельно себе в направлении другой стороны квадрата на длину этой стороны до длины b, то получим решетку.

Причем, число узлов решетки, лежащих внутри решетки, В = (а-1)(b-1), а число узлов решетки, расположенных на его границе, Г = 2a + 2b.
Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны и . Имеем в этом случае, В=(а-1)(b-1), Г=2a+2b, тогда по формуле Пика S= (a -1)(b-1) +(2a+2b)/2 -1 = ab-a-b+1+a+b-1=ab. Получили формулу площади прямоугольника со сторонами a, b.
Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами a и b. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами a и b, рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат c целочисленных точек. Тогда для этого случая, В= ((а-1)(b-1)-c+2 , )/2 Г=(2a+2b )/2+с-1 и получаем, что S = ((a-1)(b-1)-c+2)/2 + (a+b+c-1)/2 -1 = ab/2- a/2 - b/2 - c/2 + 3/2 +a/2 + b/2 + c/2 - 1/2 - 1 = ab/2. Таким образом, получили формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника. Значит, формула Пика верна для прямоугольного треугольника.
Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник (Рис.2). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

Исследование площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге.
Найдите площадь окрашенной фигуры, изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см * 1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Задача 1.
Дано:
Г=10, В=27.
Решение:S=27+10:2-1=31(кв. ед.)
Ответ: 31 кв.ед.

Задача 2.
Дано:
Г=3, В=0.
Решение: S=0+3:2-1=1 (кв. ед)
Ответ: 1 кв. ед.

Задача 3.
Дано:
Г=4, В=0.
Решение: S=0+4:2-1=1 (кв.ед.)
Ответ: 1 кв.ед.

Задача 4.
Дано:
Г=6, В=3.
Решение: S=3+6:2-1=5(кв.ед.)
Ответ: 5 кв.ед.

Задача 5.
Дано:
Г=6, В=16.
Решение:S=16+6:2-1=17(кв.ед.)
Ответ: 17 кв.ед.

Задача 7: Найти площадь кувшина.
Дано:
Г=6, В=14.
Решение:S=14+6:2-1=16 (кв.ед.)
Ответ: 16 кв.ед.

Задача 9.
Дано:
Г-9, В=11.
Решение:S= 11+9:2-1=14,5(кв.ед.)
Ответ: 14,5 кв.ед.

Задача 10.
Дано:
Г=26, В=32.
Решение:S=32+26:2-1=44 (кв.ед.)
Ответ: 44 кв.ед.

Задача 11.
Дано:
Г=16, В=27.
Решение: S=27+16:2-1=34(кв.ед.)
Ответ: 34 кв.ед.

Задача 12.
Дано:
Г=26, В=32.
Решение:S=32+26:2-1=44(кв.ед.)
Ответ: 44 кв.ед.

Задача 13.
Дано:
Г=22, В=30.
Решение:S=30+22:2-1=40 (кв.ед.)
Ответ: 40 кв.ед.

Задача 14.
Дано:
Г=28, В=52.
Решение:S=52+28:2-1=65 (кв.ед.)
Ответ: 65 кв.ед.

Задача 15.
Шахматный король обошел доску 8*8 клеток, побывав на каждом поле ровно один раз и последним ходом вернувшись на исходное поле. Ломаная, соединяющая последовательно центры полей, которые проходил король, не имеет самопересечений. Какую площадь может ограничивать эта ломаная? (Сторона клетки равна 1.)
Из формулы Пика сразу следует, что площадь, ограниченная ломаной, равна 64/2 - 1 = 31; здесь узлами решетки служат центры 64 полей и, по условию, все они лежат на границе многоугольника. Таким образом, хотя таких траекторий короля достаточно много, но все они ограничивают многоугольники равных площадей.
Ответ: 31

Задача 16.
Середины сторон квадрата соединены отрезками с вершинами. Найти площадь восьмиугольника и отношение площади квадрата к площади восьмиугольника, образованного проведенными отрезками.
Так как нужно найти отношение площадей, то размеры квадрата роли не играют. Поэтому рассмотрю квадрат, расположенный на целочисленной решетке, размером 12*12; стороны квадрата лежат в узлах клеточек. Тогда, нетрудно заметить, все вершины восьмиугольника являются узлами решетки; более того, отсюда легко заметить, что этот восьмиугольник правильным не является— он равносторонний, но не равноугольный. Из формулы Пика теперь легко следует, что площадь восьмиугольника равна
S=21 + 8/2 - 1 = 24 кв.ед. Площадь квадрата равна 122 =144 кв.ед. Поэтому искомое отношение площадей равно 6.
Ответ:24 кв.ед., 6.

Задача 17:Вычислить площадь многоугольника.
Дано:
В=33, Г=28.
Решение: S=33+28:2-1=46 (кв.ед.)
Ответ. 46 кв.ед.

Задача 18: Вычислить площадь многоугольника.
Дано:
В=117, Г= 68.
Решение:S=117+68:2-1=150 (кв.ед.)
Ответ:150 кв.ед.

Точки
Правила игры:
Отметьте на листке несколько точек (не меньше 8). Играют двое, поочередно соединяя любые две точки отрезком. Захватывать какую- либо третью точку нельзя. Каждая точка может быть концом только одного отрезка. Линии не должны пересекаться. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очередного хода.

T1 T2 О1 О2 Э1 Э2
8 класс
(20 учеников) 6,8 3,5 13 4 11 16
9 класс
(12 учеников) 6,6 3,7 13 6 5 7
10 – 11 класс
(7 человек) 4,7 2,4 2 0 5 0
Всего
(39 учеников) 6,3 3,4 28 10 21 23

Проведенный эксперимент показал, что:
никто из учеников не знал формулу Пика;
28 из 39 учащихся допустили ошибки при решении задач известными способами;
10 из 39 учащихся допустили ошибки при решении задач, используя формулу Пика;
количество ошибок, допущенных при решении задач по формуле Пика, сократилось в 2 раза, а у 10 - 11 – классников почти 100 %;
количество безошибочных работ увеличилось в 2 раза, а у 10-11 - классников – в 9 раз;
время, затраченное на решение по формуле Пика, сократилось в 2 раза.
Результаты эксперимента:
Количество участвующих в эксперименте Затраченное время Количество ошибок
ИФ ФП О1 О2
1/8 6 4 2 1
2/8 6 3 0 0
3/8 7 4 0 0
4/8 6 3 0 0
5/8 6 3 0 0
6/8 4 2 0 0
7/8 9 3 2 1
8/8 6 4 1 0
9/8 6 3 0 0
10/8 9 2 0 0
11/8 4 3 1 0
12/8 5 3 2 1
13/8 6 3 0 0
14/8 9 2 0 0
15/8 10 5 1 0
16/8 5 6 2 1
17/8 8 6 1 0
18/8 10 5 0 0
19/8 7 3 1 0
20/8 6 3 0 0
21/9 6 3 1 0
22/9 7 4 2 1
23/9 8 4 2 1
24/9 6 3 0 0
25/9 9 5 2 1
26/9 9 5 3 2
27/9 6 3 0 0
28/9 5 3 0 0
29/9 7 4 2 1
30/9 5 3 0 0
31/9 5 3 0 0
32/9 6 4 1 0
33/10 5 3 0 0
34/10 4 2 0 0
35/10 6 3 1 0
36/10 4 2 0 0
37/10 6 3 1 0
38/11 4 2 0 0
39/11 4 2 0 0
Всего
(39 учеников)

ИФ – решение задач известными способами,
ФП – решение задач по формуле Пика.

Заключение
В процессе исследования я изучил много справочной, научно-популярной литературы, побывал на сайтах: малый Мехмат МГУ, ФИПИ, прочитал некоторые книги в электронном виде. Рассмотрел различные задачи на построение и вычисления, заданные на клетчатой бумаге, подобрал нестандартные задания. Эти задачи отличаются от обычных задач, изложенных в действующих учебниках и задачниках по математике.
Любители головоломок увлекаются решением задач на клетчатой бумаге, прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берётся за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению, поскольку здесь не требуется глубокого знания геометрии.
Вместе с тем, задачи на клетчатой плоскости не являются несерьёзными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьёзных математических задач.
В результате работы я расширил свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определил для себя классификацию исследуемых задач, убедился в их многообразии.
Рассмотренные задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.

Баранова Александра
Введение
Клетчатая бумага (точнее — ее узлы), на которой мы часто предпочитаем рисовать и чертить, является одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости. Уже эта простая решетка послужила К. Гауссу отправной точкой для сравнения площади круга с числом точек с целыми координатами, находящихся внутри него. То, что некоторые простые геометрические утверждения о фигурах на плоскости имеют глубокие следствия в арифметических исследованиях, было в явном виде замечено Г. Минковским в 1896 г., когда он впервые для рассмотрения теоретико-числовых проблем привлек геометрические методы.
Решетка на плоскости является мощным средством, которое позволяет переводить аналитические задачи на геометрический язык и обратно. Движение на этом своеобразном мосту между анализом и геометрией стало достаточно интенсивным и двусторонним.
Решетки на плоскости и в пространстве
Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные параллелограммы; множество L всех точек пересечения этих прямых (или множество вершин всех параллелограммов) называется точечной решеткой или просто решеткой, а сами точки — узлами решетки. Любой из этих параллелограммов называется фундаментальным параллелограммом или параллелограммом, порождающим решетку.

Задать решетку можно еще и так. Предположим, что на плоскости

заданы две пересекающиеся прямые l0 и m0, а также два положительных числа a и b. По обе стороны от прямой l0 проведем параллельные прямые l±1, l±2, l±3,… на расстояниях a, 2a, 3a,… от нее. Аналогично по обе стороны от прямой m0 на расстояниях b, 2b, 3b,… проведем прямые m±1, m±2, m±3,…

Отметим все точки пересечения прямых l_i c прямыми m_j; множество всех этих точек пересечения и является решеткой L

Важно иметь в виду, что решетка состоит из точек (узлов), а сами

прямые к ней не относятся. Одна и та же решетка может быть получена

при помощи различных семейств параллельных прямых.

Отметим ряд простейших свойств произвольных точечных решеток.

1. Прямая, проходящая через два узла решетки, содержит бесконечно много узлов решетки. При этом все расстояния между соседними узлами, лежащими на этой прямой, равны между собой.

2. Преобразование параллельного переноса плоскости (пространства), переводящего один узел решетки в другой ее узел, переводит решетку саму в себя.

3. Решетка центрально-симметрична относительно середины любого отрезка, который соединяет два узла этой решетки. Более того, середины всех отрезков с концами в узлах данной решетки образуют новую решетку, включающую старую.

4. (Правило параллелограмма.) Если три вершины параллелограмма являются узлами решетки, то и четвертая его вершина — тоже узел решетки. В пространстве: если четыре вершины параллелепипеда, не лежащие в одной плоскости, являются узлами решетки, то и остальные его вершины — также узлы решетки.

5. Если параллелограмм с вершинами в узлах решетки не содержит других узлов на сторонах и внутри себя, то он эту решетку порождает, т.е. является ее фундаментальным параллелограммом. Более того, это свойство является критерием того, что параллелограмм является фундаментальным.

На рисунке изображена так называемая ортогональная целочисленная решетка Z 2 , состоящая из точек с целыми координатами в декартовой системе координат. То же семейство точек можно получить пересечением других семейств прямых, не являющихся ортогональными. Таким образом, решетка точек напрямую не связана с семейством прямых в отличие от ее фундаментального параллелограмма.
Правильные многоугольники на решетках

Треугольник и квадрат.

Правильный треугольник нельзя расположить на целочисленной решетке Z 2 .

Предположим, что какой-либо правильный треугольник можно расположить на решетке нужным образом и что начало координат находится в одной из его вершин, а две другие его вершины имеют координаты (a, b) и (c, d). Можно считать, что четыре целых числа a, b, c, d не имеют общих делителей, отличных от ±1. Последнее следует из того, что точки (0, 0), (a/k, b/k), (c/k, d/k) также являются вершинами правильного треугольника, если k — общий делитель всех четырех чисел.

Так как a 2 +b 2 =c 2 +d 2 =(a−c) 2 +(b−d) 2 , то отсюда заключаем, что a 2 +b 2 =c 2 +d 2 = 2(ac+bd).
Следовательно, a 2 +b 2 +c 2 +d 2 = 4(ac+bd), т.е. сумма квадратов четырех чисел делится на 4. Но тогда или все четыре числа четные, или все нечетные. Первое невозможно потому, что эти числа, по нашему выбору, взаимно просты. Второе же невозможно потому, что тогда не выполняется соотношение a 2 +b 2 = (a−c) 2 + (b−d) 2 , ибо его левая часть не делится на 4, а правая — делится. Полученное противоречие и доказывает сформулированное утверждение.

Существует еще много самых разнообразных доказательств для правильного треугольника.

Ясно, что правильный шестиугольник также нельзя расположить

на решетке Z 2 , так как в противном случае, соединив его вершины через одну, мы получили бы правильный треугольник, расположенный на решетке, что, как мы уже знаем, невозможно. Однако в пространстве на решетке Z 3 можно расположить как правильный треугольник, так и правильный шестиугольник. Достаточно предъявить правильный шестиугольник.
Теорема 2:

Не существует плоской решетки, содержащей одновременно квадрат и правильный треугольник.

Предположим противное, т.е. что на некоторой решетке L можно одновременно расположить правильный треугольник T=ABC и квадрат K=APQR.

Итак, внутри квадрата K находится бесконечно много различных точек решетки L, что означает, что найдутся два ее узла, которые находятся на произвольно малом расстоянии друг от друга. На решетках это невозможно и полученное противоречие доказывает теорему.

Правильный пятиугольник, так же как и правильный треугольник, нельзя поместить ни на целочисленную решетку Z 2 в плоскости, ни на решетку Z3 в пространстве. Не существует ни одной решетки L (двух или более измерений), куда можно было бы поместить правильный пятиугольник.

Единственным правильным многоугольником на плоскости, все координаты вершин которого рациональны, является квадрат.

Рассмотрим множество равноугольных (равносторонних) многоугольников—таких, у которых все внутренние углы (все стороны) равны, но стороны (внутренние углы) могут и отличаться друг от друга; пересечение этих множеств составляет множество правильных многоугольников. Примерами равноугольных многоугольников, расположенных на решетке, служат квадрат и восьмиугольник.

Из всех возможных равноугольных многоугольников на решетке Z2 можно расположить только прямоугольник и восьмиугольник.
Формула Пика

Пусть — число целочисленных точек внутри многоугольника, — количество целочисленных точек на его границе, — его площадь. Тогда справедлива формула Пика :

Доказательство: Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны и . Имеем в этом случае

и, по формуле Пика,

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами и , рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат целочисленных точек. Тогда для этого случая

Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник. Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к многоугольникам. Любой многоугольник можно разбить на треугольники (например, диагоналями). Поэтому нужно просто доказать, что при добавлении любого треугольника к произвольному многоугольнику формула Пика остается верной.

Пусть многоугольник и треугольник имеют общую сторону. Предположим, что для формула Пика справедлива, докажем, что она будет верна и для многоугольника, полученного из добавлением . Так как и имеют общую сторону, то все целочисленные точки, лежащие на этой стороне, кроме двух вершин, становятся внутренними точками нового многоугольника. Вершины же будут граничными точками. Обозначим число общих точек через и получим

Работа Лазарева Данила посвящена изучению свойств целочисленных решеток, выводу формулы Пика и их применению к решению олимпиадных задач.

Вложение	Размер
formula_pika.docx	801.38 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное автономное образовательное учреждение лицей №14 имени Заслуженного учителя Российской Федерации А.М. Кузьмина

Выполнил: ученик 10 А класса

Неверовская Светлана Владимировна

Моя работа посвящена формуле Пика. Также я постараюсь больше рассказать о целочисленных решетках и триангуляции многоугольника.

На данную тему я наткнулся при подготовке к олимпиаде, при решении олимпиадных задач. К одной из задач предлагалось два решения, одно из которых основывалось на формулу Пика. Заинтересовавшись этой формулой, я начал искать, применяется ли он где-то еще или же это был единичный случай. Как оказалось, она часто используется не только при решении олимпиадных задач, но даже и при решении задач из ЕГЭ и ГИА.

После этого я решил обязательно изучить, как решать подобного рода задачи и вообще узнать больше об этой на тот момент неизвестной мне теореме. Начав собирать информацию об этом, я узнал, что для изучения формулы Пика, мне необходимо разобраться и в том, что такое целочисленные решетки.

Актуальность: данная формула может помочь вам и при решении олимпиадных задач, и при решении задач из ГИА и ЕГЭ.

Цель работы: исследовать формулу Пика и все темы, связанные с ней. Создать сайт, суммируя весь собранный материал, который поможет людям, желающим разобраться в этой теме. Разобрать примеры решения некоторых задач.

Изучить литературу по теме о целочисленных решетках
Изучить литературу по теме формула Пика
Разобраться в решении задач как простых, так и сложных
Собрав все воедино, создать сайт, посвященный моей теме.

Практическая значимость моего проекта состоит в возможности совмещения алгебры, геометрии и информатики.

1.1. Целочисленные решетки.

Рассмотрим на плоскости сетку, образованную двумя семействами параллельных прямых, разрезающих плоскость на одинаковые параллелограммы_(рис.1). .

Множество всех вершин этих параллелограммов назовем точечной решеткой или целочисленной решеткой, сами вершины – узлами решетки, а любой из параллелограммов разбиения – основным параллелограммом разбиения, или параллелограммом, порождающим решетку. Заметим, что одна и та же решетка может получиться из разных сеток прямых: на рисунке 2 изображена так называемая целочисленная решетка, т.е. множество точек, имеющих в декартовой (прямоугольной) системе координат целочисленные координаты. Целочисленную решетку вместе с сеткой прямых можно представлять себе как бесконечный лист клетчатой бумаги (тогда основным параллелограммом будет квадрат со стороной 1). Ту же самую целочисленную решетку можно получить, проводя пунктирные прямые (тогда основным параллелограммом служит параллелограмм ABCD).

Таким образом, понятие основного параллелограмма решетки связано не только с самой решеткой, но и с сеткой прямых, составляющих эту решетку.

Важное свойство решеток отражает следующая задача:

В некотором узле A решетки находится охотник, а в остальных зайцы (рис.3,а). Охотник наугад стреляет (траекторией пули будет являться луч с вершиной в A). Вернется ли он домой с добычей?

Теорема. Пусть множество М на плоскости обладает следующими свойствами: 1) расстояние между любыми двумя точками не меньше некоторого положительного числа d; 2) если три точки A,B,C множества М являются вершинами некоторого параллелограмма ABCD, то и четвертая вершина D этого параллелограмма принадлежит множеству М. Тогда М – решетка.

Доказательство. Возьмем произвольную точку В, принадлежащую множеству М. Пусть А – ближайшая к В точка из М (такая точка существует, так как все попарные множества М больше d).

Через точки А и В проведем прямую. Среди точек множества М, не лежащих на этой прямой, выберем ближайшую к точке В – точку С – и построим параллелограмм АВСD. В силу второго свойства точка В также принадлежит множеству М.

Построим решетку, порождаемую параллелограммом АВСD. Докажем, что множество М. Из второго свойства следует, что все узлы этой решетки принадлежат множеству М.

Осталось проверить, что ни на границе, ни внутри параллелограмма АВСD нет точек множества М, отличных от его вершин. Если какая-то точка S лежит внутри параллелограмма (рис.4,б), то хотя бы один из углов ASB, BSC, CSD и ASD будет тупым или прямым. Поэтому расстояние от S до одной из его вершин окажется меньше какой-нибудь стороны (если S лежит на границе – то же самое); пусть, например, это расстояние SC. Построим параллелограмм BCSS` (S` принадлежит М). Тогда BS` меньше либо ВС, либо ВА, что противоречит выбору точки С, либо точки А. Аналогично доказываются и остальные случаи. Теорема доказана.

1.2. Правильные многоугольники

Возьмем лист клетчатой бумаги. Понятно, что квадрат с вершинами в узлах такой решетки можно нарисовать многими способами. А можно ли на клетчатой бумаге нарисовать, например, правильный треугольник? Очевидно, что нет, ведь тангенс угла правильного треугольника равен – нерациональное число. Но, с другой стороны, не трудно построить решетку, на которую можно поместить правильный треугольник (рис. 5).

Но что же с остальными многоугольниками? Существуют, например, решетка, на которую можно поместить правильный пятиугольник так, чтобы все его вершины оказались узлами этой решетки?

Оказывается, что такой решетки нет. Предположим, что нам удалось построить решетку так, чтобы вершины правильного пятиугольника оказались в ее узлах (рис. 6).

Проведем диагонали этого пятиугольника. По лемме 2 точки пересечения диагоналей являются узлами решетки: каждая из них служит четвертой вершиной параллелограмма, три другие вершины которого – узлы решетки (точка А1, например, - вершина параллелограмма А1CDE). Эти точки образуют правильный пятиугольник со стороной в раз большей стороны исходного пятиугольника. Проведя диагонали нового пятиугольника, получим еще меньший пятиугольник с вершинами в узлах нашей решетки и так далее. В конце концов сторона пятиугольника станет меньше минимального расстояния между узлами решетки. Значит, мы не сумеем придумать такую решетку, в которую можно было бы поместить правильный пятиугольник.

Докажем, что то же самое происходит со всеми остальными правильными q-угольниками при q ≥ 7.

Доказательство очень схоже с предыдущим. Предположим, что правильный многоугольник с вершинами в узлах существует, и построим меньший q-угольник с вершинами в узлах. В итоге вновь получим противоречие. Поэтому нужно лишь указать, как из данного правильному q-угольника с вершинами в узлах решетки построить меньший правильный q-угольник, вершины которого будут находиться в узлах нашей решетки.

Пусть А 1 , А 2 , … А q – узлы некоторой решетки, являющиеся вершинами правильного q-угольника, и пусть М – произвольный узел решетки (рис.7). Отложим от точки М отрезки MА` 1 , МА` 2 , МА` 3 , …, MА` q , равные параллельные и так же направленные, как сторона А q А 1 , А 1 А 2 , А 2 А 3 , …, А q-1 А q нашего многоугольника. Точки А` 1 , А` 2 , А` 3 ,…, А` q – узлы решетки, так как каждая из них является четвертой вершиной параллелограмма, три другие вершины которого – узлы. Легко видеть, что многоугольник А` 1 , А` 2 , А` 3 ,…, А` q – правильный, а длина его стороны в kq = раз больше длины стороны исходного q-угольника.

Таким образом, мы доказали, что многоугольниками, помещающимися на точечных решетках, могут быть только квадраты, правильные треугольники и правильные шестиугольники.

1.3. Формула Пика.

Теперь перейдем к самой формуле Пика. Формула пика гласит, что площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна , где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Докажем эту формулу. Для начала, затем что формула Пика верна для квадрата со стороной 1. В таком случае количество узлов внутри равно нулю, на границах количество узлов равно 4, а площадь равна одному. Подставив в формулу, мы убедимся все верно .

Теперь рассмотрим прямоугольник, стороны которого лежат на линиях решетки. Длины его сторон обозначим как X и Y. Тогда количество узлов внутри прямоугольника будет равно , а количество узлов на его сторонах будет равно . Из курса геометрии мы знаем, что площадь нашего прямоугольника будет равна XY, но чему же будет равна площадь по формуле Пика? . То есть формула Пика оказалась верной и для любого прямоугольника.

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник, который можно получить из уже рассмотренного нами прямоугольника проведением в нем диагонали. Пусть на диагонали этого треугольника лежит Z узлов решетки. Тогда в этом случае количество точек внутри будет равно: , а количество точек на границах будет равно: . Подставив это в формулу, мы получим, что площадь равна . Очевидно, что формула Пика оказалась верна для прямоугольного треугольника.

Любой остроугольный треугольник можно получить отрезанием от прямоугольника прямоугольных треугольников, а любой тупоугольный, можно получить отрезанием от прямоугольника не только нескольких прямоугольных треугольников, но и прямоугольника поменьше. И если для любого прямоугольника и прямоугольного треугольника эта формула верна, то она верна и для любого треугольника.

Осталось перейти от треугольников к многоугольникам. Так как любой многоугольник можно разбить на треугольники, по крайней мере, диагоналями, нам осталось доказать, что при добавлении любого треугольника к произвольному многоугольнику формула Пика остается верной.

Пусть многоугольник и треугольник имеют общую сторону. Предположим, что формула Пика справедлива для данного многоугольника (М), и докажем, что она останется справедлива и при добавлении к нему треугольника (Т). Так как треугольник и многоугольник имеют общую сторону, то все целочисленные точки, принадлежащие этой стороне, кроме двух вершин, становятся внутренними точками нового многоугольника (нМ). Вершины же будут точками границ. Обозначим число общих точек за а, тогда:

1) число внутренних целочисленных точек многоугольника будет равно

2) число точек границ нового многоугольника будет равно , где В- количество точек внутри фигуры, Г- количество точек на границе фигуры. Отсюда получаем, что и . А из нашего предположения, что теорема верна отдельно и для многоугольника и треугольника, следует:

Таким образом, мы доказали теорему Пика для любого многоугольника.

Но можно ли посчитать количество узлов как-то иначе?

1.4. Подсчет узлов на отрезке с вершинами в узлах сетки.

Обозначим произвольные узлы сетки за M и L. Пусть первый узел, встречающийся на отрезке ML это узел P 1 . Тогда построим прямоугольный треугольник MP 1 T 1 . Если точка P 1 не совпадает с L, то сместим треугольник MP 1 T 1 вдоль по оси ML на расстояние MP 1 . Мы получили равный ему треугольник P 1 P2T 2 , следовательно, P 2 будет являться узлом и между P 1 и P 2 не будет ни одного узла. Очевидно, что после нескольких таких смещений точка Pn совпадет с L. Теперь рассмотрим треугольник MNL: MN=n×MT 1 , NL=n×T1P 1 , ML=n×MP 1 . Таким образом, вы можем узнать, сколько узлов лежит между двумя узлами сетки.

Положим, что в треугольнике MLN MN=r, а LN=s, тогда существует следующая теорема:

Если r и s взаимно просты, то между А и В на отрезке АВ нет узлов сетки. Если же наибольший общий делитель r и s равен d, где d > 1, то на отрезке АВ между точками А и В расположены ровно (d – 1) узлов сетки.

Докажем эту теорему: пусть числа r и s взаимно просты, тогда НОД(r;s)=1 Если между А и В были n узлов (n ≥ 1), то, взяв ближайший к А узел С, мы получим, что r = n×MT 1 , s = n×T1P 1 , то есть r и s имеют общий делитель n, больший 1. Но мы предположили, что они взаимно просты, следовательно, получили противоречие.

Теперь предположим, что НОД(r;s)=d >1. Тогда, разделив отрезки MN и NL на d равных частей, вернемся к нашему рисунку. В таком случае, между точками M и L расположено не более чем (d-1) узлов, иначе между M и P 1 были бы и другие узлы. Пусть P` 1 – ближайший к M узел. В таком случае MP` 1 – целое число k, большее d (поскольку ML/MP=d ). Но r = MN = k×MT` 1 , s = NL = k×P` 1 T` 1 , где k = ML/MP` 1 , но тогда НОД(r;s)=k. Опять получили противоречие, а значит наше предположение неверно и теорема доказана.

После всей теоретической части я бы хотел еще разобрать задачу, которую я встретил при поиске олимпиадных задач на формулу Пика. Условие задачи состоит в следующем: шахматный король обошел доску 8 на 8 клеток, побывав на каждом поле ровно один раз и последним ходом вернувшись на исходное поле. Ломанная, соединяющая последовательно центры полей, которые проходил король, не имеет самопересечений. Какую площадь может иметь эта ломаная? Какую наибольшую длину она может иметь?

Из формулы Пика следует, что площадь, ограниченная ломаной, равна 64/2-1=31 (узлами сетки будут служить 64 центра полей, а по условию они все лежат на границе многоугольника).

Теперь ответим на второй вопрос задачи. Приведем пример пути, в котором 36 из 64 ходов имеют длину .

Докажем, что больше таких ходов быть не может. На каждом отрезке длинною , входящем в путь короля, построим, как на диагонали, квадрат 1 на 1. Одна половина этого квадрата лежит вне многоугольника, который ограничивает путь короля. Но общая площадь, занятая такими половинками, не превышает 49-31=18 поскольку все они не выходят за пределы квадрата 7 на 7 клетчатой бумаги. Значит, количество диагональных ходов не превышает 36. Следовательно, ответом на второй вопрос будет являться

Подводя итог моей работы, могу сказать, что выбранная тема оказалась куда более объемной, чем я предполагал. На основе изученного мною материала я создал сайт, который, надеюсь, поможет и другим разобраться в этой, как оказалось, не простой теме. По мере исследования теоретических материалов по математике я решал ряд практических задач из этой области, изучил новые приемы по работе на языке HTML, а также освоил графический редактор. В ходе изучения формулы Пика я коснулся и других тем. К сожалению, я не успел подробно разобраться в таких аспектах как, например, триангуляция многоугольника. Поэтому я рассчитываю продолжить изучение данной темы и в следующем полугодии, вместе с этим совершенствуя и свой сайт.

ФОРМУЛА ПИКА ДЛЯ МНОГОУГОЛЬНИКОВ НА КВАДРАТНОЙ РЕШЕТКЕ

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

I. Основные свойства решеток на плоскости. 3

II. Правильный треугольник на квадратной решетке………………..…..…. ………………..5

III. Формула Пика для вычисления площадей многоугольников, расположенных на решетках…………………………………………………………………………………………………………..10

Введение

На клетчатой бумаге нарисован многоугольник с вершинами в узлах клеток. Как найти его площадь, подсчитывая лишь количества узлов?

Решетка на плоскости является интересным средством, которое позволяет переводить аналитические задачи на геометрический язык и обратно.

В работе для решения задач рассматривается квадратная решетка, то есть решетка, узлы которой являются вершинами квадрата.

1) поиск альтернативной формулы для вычисления площади многоугольника, расположенного на квадратной решетке;

2) доказательство формулы Пика для квадратной решетки.

1) научиться находить площади многоугольников, расположенных на решетке;

2) определить вид треугольника, который можно расположить на решетке;

3) применить формулу Пика для заданий из ЕГЭ по математике.

если многоугольник расположен на решетке и у него можно подсчитать количество узлов внутри контура и количество узлов на контуре, то можно найти его площадь, не разбивая на простые фигуры.

3) анализ и обобщение полученных экспериментальных данных.

Предмет исследования: площадь плоского многоугольника.

Объект исследования: плоский многоугольник, расположенный на решетке.

I. Основные свойства решеток на плоскости

Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные параллелограммы; множество L всех точек пересечения этих прямых (или множество вершин всех параллелограммов) называется точечной решеткой или просто решеткой, а сами точки — узлами решетки. Любой из этих параллелограммов называется фундаментальным параллелограммом или параллелограммом, порождающим решетку; площадь фундаментального параллелограмма решетки L обозначим через

Решетка состоит из точек (узлов), а сами прямые к ней не относятся. Одна и та же решетка может быть получена при помощи различных семейств параллельных прямых.

Простейшие свойства произвольных точечных решеток:

1) прямая, проходящая через два узла решетки, содержит бесконечно много узлов решетки. При этом все расстояния между соседними узлами, лежащими на этой прямой, равны между собой.

2) преобразование параллельного переноса плоскости, переводящего один узел решетки в другой ее узел, переводит решетку саму в себя.

3) решетка центрально-симметрична относительно середины любого отрезка, который соединяет два узла этой решетки. Более того, середины всех отрезков с концами в узлах данной решетки образуют новую решетку, включающую старую.

4) (правило параллелограмма.) Если три вершины параллелограмма являются узлами решетки, то и четвертая его вершина — тоже узел решетки.

5) если параллелограмм с вершинами в узлах решетки не содержит других узлов на сторонах и внутри себя, то он эту решетку порождает, т. е. является ее фундаментальным параллелограммом.

II. Правильный треугольник на квадратной решетке

Будем говорить, что некоторый многоугольник расположен на какой-либо решетке, если все его вершины совпадают с узлами этой решетки.

Проводя построение треугольников на квадратной решетке, были получены прямоугольные, равнобедренные и произвольные треугольники. Но правильный (равносторонний) треугольник не был построен ни в одном эксперименте.

Теорема 1. Равносторонний треугольник нельзя расположить на квадратной решетке.

Предположим, что какой-либо правильный треугольник можно расположить на квадратной решетке нужным образом и что начало координат находится в одной из его вершин, а две другие его вершины имеют координаты (a, b) и (c, d).

Можно считать, что четыре целых числа a, b, c, d не имеют общих делителей, отличных от ±1. Последнее следует из того, что точки (0, 0), (a/k, b/k), (c/k, d/k) также являются вершинами правильного треугольника, если k —общий делитель всех четырех чисел (рис. 1).

По теореме Пифагора a 2 +b 2 = c 2 +d 2 = (a−c) 2 +(b−d) 2 .

Отсюда a 2 +b 2 = c 2 +d 2 = 2(ac+bd).

Следовательно, a 2 +b 2 + c 2 +d 2 = 4(ac+bd), то есть сумма квадратов четырех чисел делится на 4. Но тогда или все четыре числа четные, или все нечетные. Первое невозможно потому, что эти числа, по нашему выбору, взаимно просты. Второе же невозможно потому, что тогда не выполняется соотношение a 2 +b 2 = (a−c) 2 +(b−d) 2 , так как его левая часть не делится на 4, а правая — делится. Получили противоречие, значит, равносторонний треугольник нельзя расположить на квадратной решетке.

III. Формула Пика для вычисления площадей многоугольников, расположенных на решетках

В работе рассматриваются простые многоугольники, то есть такие многоугольники, у которых границей является простая замкнутая несамопересекающаяся ломаная, и к каждой вершине примыкает ровно две стороны.[1] Геометрическую фигуру будем называть простой, если ее можно разбить на конечное число плоских треугольников. [2]

Примитивные треугольники – такие треугольники, которые на своей границе и внутри себя не содержат узлов решетки, отличных от своих вершин.

Любой простой многоугольник имеет по крайней мере одну диагональ, которая целиком расположена внутри многоугольника. Отсюда следует, что простой многоугольник (не обязательно расположенный на решетке) можно разбить на (n−2) треугольника, все вершины которых являются вершинами исходного многоугольника; если многоугольник находится на решетке, то все вершины полученных треугольников являются узлами решетки.

Лемма 1. Любой простой многоугольник на решетке можно разбить на примитивные треугольники.

1)Если треугольник является примитивным, то утверждение доказано.

2)Если внутри треугольника ABC нет точек решетки, но имеются узлы решетки на его сторонах, то, выбрав любую вершину, например A, соединим ее со всеми узлами решетки, которые имеются

на противоположной этой вершине стороне треугольника. Тогда все треугольники, кроме ABP и AQC, окажутся примитивными, а у этих двух крайних треугольников имеется по две стороны, которые не содержат узлов решетки (рис. 2). Соединив точки P и Q с узлами решетки, находящимися соответственно на сторонах AB и AC, мы разобьем треугольники ABP и AQC на примитивные треугольники. Поэтому любой треугольник на решетке, не содержащий внутри себя узлов решетки, можно разбить на примитивные треугольники.

3) Пусть внутри данного треугольника имеются узлы решетки. Выбрав один из них, соединим его отрезками с вершинами исходного треугольника ABC (рис. 3). Проведенные отрезки разобьют ABC на три треугольника, которые внутри себя содержат меньше внутренних узлов решетки, чем их имел треугольник ABC.

Теорема 2. Вершины многоугольника расположены в узлах квадратной решётки. Внутри его лежит nузлов решётки, а на границе m узлов. Тогда его площадь равна

Пусть многоугольник P имеет k вершин. Тогда на его границе имеется m −k узлов решетки, не являющихся вершинами многоугольника.

Через N обозначим число примитивных треугольников в каком-либо его разбиении на такие треугольники многоугольника P. Покажем, что число N не зависит от способа

разбиения. Каждый из узлов решетки, находящихся внутри P, участвует в разбиении на примитивные треугольники и сумма углов всех примитивных треугольников при каждом таком узле равна 360º (см. рис. 4 а). Поэтому сумма всех углов всех примитивных треугольников c вершинами во внутренних узлах решетки равна 360ºn.

Каждый из узлов решетки, который находится на границе многоугольника P, но не является его вершиной, также участвует в разбиении и является вершиной некоторых примитивных треугольников (рис. 4 б); сумма всех углов всех примитивных треугольников при таких вершинах равна 180º(m −k).

Вершины многоугольника также являются вершинами некоторых примитивных треугольников разбиения (рис. 4 в).

Сумма всех углов всех примитивных треугольников при таких вершинах равна сумме внутренних углов многоугольника P и, то есть равна 180º(k −2).

Таким образом, для суммы всех углов всех примитивных треугольников, которая, с одной стороны, равна 180ºN, получаем равенство

180ºN = 360ºn +180º(m −k)+180º(k −2) и, следовательно,

N = 2n +m −2. Значит, число N не зависит от способа разбиения многоугольника.

Любой примитивный треугольник на квадратной решетке является половиной фундаментального квадрата, значит, площадь любого примитивного треугольника на решетке L равна S(L)/2. Отсюда следует, что

Экспериментальная часть работы состояла в следующем:

- поиск формулы для треугольника 1) без узлов внутри и на сторонах, 2) с узлами на сторонах, 3) с узлами внутри, 4) с узлами внутри и на сторонах. Придумываем общую формулу.

- повторяем исследование для 4-угольников и для 5-угольников. Объединяя результаты, придумываем формулу для n-угольника.

В работе для решения задач рассматривалась квадратная решетка.

Было доказано, что на квадратной решетке нельзя расположить правильный треугольник.

Доказана формула Пика для площади простого многоугольника, расположенного на квадратной решетке. Эта формула является альтернативой формул вычисления площади многоугольников.

Сделан вывод, что количество элементарных треугольников не зависит от способа

разбиения многоугольника. Поэтому, зная количество узлов внутри контура и количество узлов на контуре, можно найти площадь многоугольника, не разбивая его на простые фигуры.

В ходе серии вычислительных экспериментов был сформирован навык применения формулы Пика.

Формулу Пика можно успешно применять для заданий из ЕГЭ по математике как для многоугольников на решетке, так и для многоугольников на координатной плоскости, у которых вершины выражаются целочисленными координатами.

1. Вавилов В. В., Устинов А. В. Многоугольники на решетках.—М.: МЦНМО, 2006.

2. Погорелов А.В. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций. М.: Просвещение, 2013..

Читайте также: