Метрические и топологические пространства реферат

Обновлено: 05.07.2024

Проведенный выше анализ основных проблем философско- методологических исследований научных представлений о пространстве и времени свидетельствует о том, что наряду с крушением представлений об абсолютном пространстве и времени в науке XX в.

возник вопрос о том, насколько многообразными могут быть свойства времени и пространства. Иными словами, развитие естествознания привело к возникновению проблемы соотношения изучаемого математикой разнообразия свойств концептуальных пространств и возможного разнообразия пространственно-временных свойств, соответствующих различным условиям и уровням изучения явлений. Например, в рамках диалектического материализма принцип неисчерпаемости материи имеет определенное отношение к предположению о многообразии свойств пространства и времени. Хотя свойства пространства и времени по степени общности аналогичны лишь наиболее фундаментальным свойствам, взаимосвязям и закономерностям, из принципа неисчерпаемости материи следует, что даже последние не должны абсолютизироваться. В свою очередь, общефилософские принципы требуют конкретизации и развития с учетом данных современной физики, космологии и геометрии.

Например, можно сказать, что, по существу, теория относительности - это теория метрических свойств пространственно-временного континуума, которые зависят от физических условий, проявляя определенное многообразие (см. дополнение А).

Подобная точка зрения в методологическом отношении означает, что, например, при изучении явлений микромира следует пытаться использовать концептуальные пространства с комплексом специфических метрических и топологических свойств [Шарыпов, 2000]. Причем следует стремиться к теоретическому обоснованию топологических свойств макропространства и времени исходя из закономерностей других, более фундаментальных уровней материи. Кроме того, можно сделать вывод, что геометрия и ее приложения в области создания новых концептуальных моделей пространства-времени имеют важное значение для развития физики и других наук.

В этом описании природы геометрия описывает не просто искривленное пространство, а искривленное динамическое пространство (см. дополнение А).

С создания общей теории относительности началась эпоха использования геометрических методов и представлений в физике, которая продолжается по сей день. Во всем многообразии геометрических идей, вторгающихся в физику, можно выделить два основных направления, одно из которых связано с непрерывными (архимедовыми) геометриями, другое - с прерывными (неархимедовыми) геометриями. Первое направление предполагает многообразие метрических свойств пространства при сохранении топологических, второе предполагает многообразие в том числе и топологических свойств. К первому направлению относится и сама общая теория относительности, в которой составляющие фундаментального метрического тензора являются потенциалами поля тяготения, а теория гравитационного поля интерпретируется как теория структуры риманова пространства (т. е. геометрия).

Результаты Калуцы были обобщены в 1926 г. О. Клейном, который получил уравнения движения заряженной частицы в гравитационном и электромагнитном поле.

Итак, учет симметрии уравнений силовых полей приводит к их возможной интерпретации на языке геометрии при условии изменения наших представлений об одном из топологических свойств пространства - размерности. Кроме того, известны гипотезы, затрагивающие и другие топологические свойства пространства. Уилером была предложена геометрическая интерпретация электрического заряда.

В § 2.3 мы еще раз вернемся к проблеме соотношения метрических и топологических свойств пространства-времени, хотя обсуждение будет иметь уже скорее философский характер, чем конкретно-научный. За- вершить данную главу мы бы хотели кратким экскурсом в одну из наиболее интересных топологических проблем - проблему числа измерений пространства-времени.

В начале нашего изложения мы говорили о прикосновении (различных частей данной фигуры) как об основном топологическом понятии и определили непрерывные преобразования как такие, которые сохраняют это отношение. Однако точного определения этого основного понятия дано не было; сделать это достаточно общим образом можно лишь на основе понятий теории множеств. Это и составляет задачу настоящего параграфа; ее решение завершается введением понятия топологического пространства.

Понятие расстояния позволяет определить прикосновение сначала между множеством и точкой, затем — между двумя множествами. Мы говорим, что точка А есть точка прикосновения множествам, если в множестве М имеются точки, расстояние которых от точки А меньше всякого наперед заданного положительного числа. Очевидно, любая точка данного множества есть его точка прикосновения, но и точка, не являющаяся точкой данного множества, может быть его точкой прикосновения. Возьмем, например, открытый промежуток (0,1) на числовой прямой, т. е.

множество всех точек, Лежащих между 0 и 1; сами точки 0 и 1 не принадлежат этому промежутку, но являются его точками прикосновения, так как в промежутке (0, 1) имеются точки, сколь угодно близкие к нулю, и точки, сколь угодно близкие к единице. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения. Например, отрезок [0,1] числовой прямой, т. е. множество всех точек х, удовлетворяющих неравенству замкнуто.

Таким образом, идеи Лобачевского о соприкосновении и рассечений множеств получают в современной топологии свое точное и в высшей степени общее выражение. Мы уже видели, как на этих идеях основывается данное Урысоном определение размерности любого множества (см. примечание на стр. 206); формулировка этого определения получает теперь совершенно точное содержание. Это же относится и к определению непрерывного отображения или преобразования: отображение множества X на множество У называется непрерывным, если при этом отображении сохраняется соприкосновение, т. е. если из того, что некоторая точка А множества X есть точка прикосновения какого-либо подмножества Р множества У, следует, что образ точки А есть точка прикосновения образа множества Р. Наконец, взаимно однозначное отображение множества X на множество У называется топологическим, если оно само непрерывно и если обратное ему отображение множества У на множество X также непрерывно. Эти определения подводят точную базу всему сказанному в первых параграфах настоящей статьи.

Однако теоретико-множественная топология не ограничивается той степенью общности, которая достигается рассмотрением в качестве геометрических фигур всех точечных множеств. Оказывается естественным вводить понятие расстояния не только между точками какого-либо

эвклидова пространства, но и между другими объектами, казалось бы вовсе не относящимися к геометрии.

Если дано какое-нибудь метрическое пространство, то можно говорить о точках прикосновения его подмножеств, а следовательно, и о соприкосновении его подмножеств между собою и вообще о топологических понятиях (замкнутых множествах, непрерывном отображении и дальнейших понятиях, вводимых на основе этих простейших). Таким путем открывается обширное и чрезвычайно плодотворное поле применения топологических и вообще геометрических идей к таким кругам математических объектов, в применении к которым, казалось бы, совершенно невозможно говорить ни о какой геометрии. Приведем поясняющий пример.

Возьмем снова дифференциальное уравнение (2)

Если при есть решение этого уравнения, принимающее, положим, для значения значение то функция очевидно, удовлетворяет интегральному уравнению

Рассмотрим теперь интеграл где какая-нибудь непрерывная функция, определенная на отрезке

Этот интеграл есть некоторая непрерывная функция также определенная на отрезке [0, 1]. Так, выражение ставит в соответствие каждой функции функцию другими словами, мы имеем отображение как легко видеть — непрерывное, метрического пространства С в себя. Чем же характеризуется при этом функция (их может быть нисколько), являющаяся решением уравнения (2) или эквивалентного ему уравнения Тем, очевидно, что при нашем отображении она переходит сама в себя, т. е. является неподвижной точкой нашего отображения Оказывается, такая неподвижная точка у отображения G действительно существует — это вытекает из весьма общей теоремы о неподвижных точках непрерывных отображений метрических пространств, доказанной в 1926 г. П. С. Александровым и В. В. Немыцким. В настоящее время рассмотрение различных метрических пространств, точками которых являются те или иные функции (такие пространства называются функциональными), является постоянно применяемым аппаратом анализа, а изучение функциональных пространств посредством отчасти топологических, а главным образом, в широком смысле слова, алгебраических методов, составляет содержание функционального анализа (см. главу XIX).

Функциональный анализ, как уже упоминалось в вводной главе, занимабт в современной математической науке чрезвычайно видное место ввиду многообразия своих связей со всевозможными другими частями математики и по своему значению для естествознания, в первую очередь для теоретической физики. Исследование топологических свойств функциональных пространств тесно связано с вариационным исчислением и теорией уравнений с частными производными (исследования Л. А. Люстерника, Морса, Лерэ, Шаудера, М. А. Красносельского и др.). Вопросы существования неподвижных точек при непрерывных отображениях функциональных пространств занимают в этих исследованиях значительное место.

Топология функциональных и вообще метрических пространств — всё еще не последнее слово общности в современных топологических теориях. Дело в том, что в метрических пространствах основное топологическое понятие прикосновения вводится на основе расстояния между точками, которое само по себе не является топологическим понятием. Поэтому возникает задача непосредственного, аксиоматического определения прикосновения. Так мы приходим к понятию топологического пространства — самому общему понятию современной топологии.

Топологическое пространство есть множество объектов любой природы (называемых точками топологического пространства), в котором для каждого подмножества тем или инымспособом заданы его точки

1. Элементы общей топологии.

1.1 Понятие топологического пространства.

1.11 Понятие метрического пространства.
Определение 1. Декартово произведение множеств А и В определяется как множество всех упорядоченных пар (х, у), где х(А, у(В, то есть
А(В = ((х, у)| х(А, у(В(. (1)
В частности,возможно А = В. [1]
Определение 2. В множестве Х задана метрика (, если определено отображение:
(: Х ( Х ( R, (2)
удовлетворяющее следующим аксиомам:
1. ( х, у ( Х ( ( (х, у) ( 0(, причем ( (х, у) = 0 ( х = у.
2. ( х, у ( Х ( ( (х, у) = ( (у, х)(.
3. ( х, у, z ( Х <( (х, у) + ( (у, z) ( ( (х, z)>.
Условия 1, 2, 3 называютсяаксиомами метрики, при этом условие 2 называется аксиомой симметрии, а 3 – аксиомой треугольника. [1]
Определение 3. Множество Х с заданной на нем метрикой ( называется метрическим пространством и обозначается (Х, ().
В тех случаях, когда ясно, о какой метрике идет речь, метрическое пространство (Х, () обозначают просто Х.
Число ((х, у) называют расстоянием между точками х и у в пространстве Х. [1]1.12 Примеры метрических пространств.
Пример 1. Определим для элементов произвольного непустого множества Х расстояние следующим образом:
((х, у) =[pic]. (1)
Очевидно, аксиомы 1 – 3 выполняются, а, следовательно, (Х, () – метрическое пространство. [2]
Пример 2. Множество действительных чисел R с расстоянием
((х, у) = (у – х)2 не являетсяметрическим пространством.
Действительно не выполняется третья аксиома. Например, для трех точек 2, 3 и 4 получим:
((2, 3) = (3 – 2)2 = 1, ((3, 4) = (4 – 3)2 = 1,
((2, 4) = (4 – 2)2 = 4 и ((2, 3) + ((3, 4) ( – действительное число. Назовём открытым шаром с центром в точке х0 и радиусом rмножество [2]
U (x0, r) = (x | x ( X, ( (x, x0) ( r (. (3)
Определение 2. Подмножество G ( Х будем называть открытым в
(Х, (), если любая его точка является центром некоторого открытого шара, содержащегося в G. [2]
Пустое множество ( также считаем открытым множеством.
Определение 3. Окрестностью точки А.

1. Определение и основные примеры. Одной из важнейших операций анализа является предельный переход. В основе этой операции лежит тот факт, что на числовой прямой определено расстояние от одной точки до другой. Многие фундаментальные факты анализа не связаны с алгебраической природой действительных чисел (т. е. с тем, что они образуют поле), а опираются лишь на понятие расстояния. Обобщая представление о действительных числах как о множестве, в котором введено расстояние между элементами, мы приходим к понятию метрического пространства — одному из важнейших понятий современной математики. Ниже мы изложим основные факты теории метрических пространств и их обобщения — топологических пространств. Результаты этой главы существенны для всего дальнейшего изложения.

р (x, y) = 0 тогда и только тогда, когда х = у,
р(x,y)= р(у,x) (аксиома симметрии),
р(x,z ) ≤ р(x, y) + р(у,z) (аксиома треугольника).

Примеры метрических пространств
Приведем примеры метрических пространств. Некоторые из этих пространств играют в анализе весьма важную роль.

мы получим, очевидно, метрическое пространство. Его можно назвать пространством изолированных точек.

2. Множество действительных чисел с расстоянием

образует метрическое пространство R 1 .

3. Множество упорядоченных групп из n действительных чисел x=(x₁,x₂,…x_n) с расстоянием

называется n-мерным арифметическим евклидовым пространством R n . Справедливость аксиомы 1) и 2)для R n очевидна. Покажем что, в R n выполнена и аксиома треугольника.

тогда аксиома треугольника записывается в виде
≤ + (2)

Полагая y_k – x_k = a_k, z_k – y_k= b_k, получаем z_k – x_k = a_k + b_k,
≤+ (3)
Но это неравенство сразу следует из известного неравенства Коши-Бурянковского

≤ (4)
Действительно в силу этого неравенства имеем
=+2++2+=

Тем самым неравенство (3), а следовательно и (2), доказано. 4. Рассмотрим то же самое множество упорядоченных групп из п действительных чисел х = (х _х ,… ,х _п ), ио расстояние определим в нем формулой

Справедливость аксиом 1)—3) здесь очевидна. Обозначим это метрическое пространство символом R n .

Возьмем снова то же самое множество, что и в примерах 3 и 4, и определим расстояние между его элементами формулой

Справедливость аксиом 1)—3) очевидна. Это пространство, которое мы рбозначим , во многих вопросах анализа не менее удобно, чем евклидово пространство R n .

Последние три примера показывают, что иногда и в самом деле важно иметь различные обозначения для самого метрического пространства и для множества его точек, так как один и; тот же запас точек может быть по-разному метризован.

Множество С [а, b ] всех непрерывных действительных функ ций, определенных на сегменте [a, b], с расстоянием
(7)
также образует метрическое пространство. Аксиомы 1)—3) проверяются непосредственно. Это пространство играет очень важную роль в анализе. Мы будем его обозначать тем же символом С [а, b ], что и само множество точек этого пространства. Вместо С[0, 1] мы будем писать просто С.

Открытые и замкнутые множества

Рассмотрим важнейшие типы множеств в метрическом пространстве, а именно, открытые и замкнутые множества.

Множество М, лежащее в метрическом пространстве R, называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием: [М] = М. Иначе говоря, множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

В силу теоремы 1 замыкание любого множества М есть замкнутое множество. Из той же теоремы вытекает, что [М] есть наименьшее замкнутое множество, содержащее М.

Примеры. 1. Всякий отрезок [а, b] числовой прямой есть замкнутое множество.

2. Замкнутый шар представляет собой замкнутое множество. В частности, в пространстве С[а,b] множество функций f, удовлетворяющих условию ≤К, замкнуто.

3. Множество функций в С [а, b], удовлетворяющих условию (открытый шар), не замкнуто; его замыкание есть совокупность функций, удовлетворяющих условию .

4. Каково бы ни было метрическое пространство R, пустое множество Ø и все R замкнуты.

5. Всякое множество, состоящее из конечного числа точек, замкнуто.

Основные свойства замкнутых множеств можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 3. Пересечение любого числа и сумма любого конечного числа замкнутых множеств суть замкнутые множества.

Доказательство. Пусть F = F_a ■— пересечение замкнутых множеств F_a и пусть х — предельная точка для F. Это означает, что любая ее окрестность О_в(х) содержит бесконечно много точек из F. Но тогда тем более О_е (х) содержит бесконечно много точек из каждого F_a и, следовательно, так как все F_a замкнуты, точка х принадлежит каждому F_a; таким образом, xF = F_a, т. е. F замкнуто.

Пусть теперь F — сумма конечного числа замкнутых множеств: F = и пусть точка х не принадлежит F. Покажем, что х не может быть предельной для F. Действительно, х не принадлежит ни одному из замкнутых множеств F_i, следовательно, не является предельной ни для одного из них. Поэтому для каждого i можно найти такую окрестность точки х, которая содержит не более чем конечное число точек из F_i. Взяв из окрестностей , . наименьшую, мы получим окрестность точки х, содержащую не более чем конечное число точек из F.

Итак, если точка х не принадлежит F, то она не может быть предельной для F, т. е. F замкнуто. Теорема доказана.

Точка х называется внутренней точкой множества М, если существует окрестность этой точки, целиком содержащаяся в М.

Множество, все точки которого внутренние, называется открытым.

Примеры. 6. Интервал (а, b) числовой прямой R 1 есть открытое множество; действительно, если а Определение групп и полугрупп
В основе всех понятий, изучаемых в различных разделах алгебры, лежит понятие алгебраической операции.
Ограничимся определением бинарной операции, которую назовем умножением и будем для нее употреблять обычную мультипликативную запись. Говорят, что на множестве G задана бинарная алгебраическая операция, если для любой упорядоченной пары элементов a,b∈G однозначно определено произведение a⋅b∈G. Всякое непустое множество G, в котором задана алгебраическая операция этого типа, называется группоидом.
Более узким понятием является полугруппа — это группоид, в котором выполняется закон ассоциативности, т.е. для любых элементов a,b,c∈G верно (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c). Свойство ассоциативности придает однозначный смысл произведению a⋅b⋅c любых трех элементов полугруппы. Отсюда следует, что и произведение a1,a2,…,an∈G любых n элементов, взятых в указанном порядке, также будет однозначно определенным элементом полугруппы.
Еще более узким является понятие группы, одно из самых важных алгебраических понятий.

Определение группы
Опеределение. Группой называется непустое множество G с бинарной алгебраической операцией ০ (будем называть умножением) такой, что выполняются следующие аксиомы:
1. ∀ a,b ∈G ∃ c∈G a⋅b=c — замкнутость операции ∘.
2. ∀ a,b,c∈G a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c — ассоциативность операции ∘.
3. ∃!e∈G ∀a∈G e⋅a=a⋅e=a — существование единичного элемента e.
4. ∀ a∈G ∃! a−1∈G a⋅a−1=a−1⋅a=e — существование обратного элемента a−1.
Определение. Группа называется коммутативной, если выполняется аксиома коммутативности:
5. ∀a,b∈G a⋅b=b⋅a — коммутативность операции ∘.

Примеры групп
1. G1= < n | n∈Z >– группа с операцией сложения чисел, где Z – множество целых чисел. Действительно, 0 – единица группы; n−1=(−n) – обратный элемент к n∈G1.
2. G2= < 2n | n∈Z >– группа с операцией сложения чисел.
3. G3= < 2n | n∈Z >– группа с операцией умножения чисел.
4. G4 – множество квадратных матриц порядка n, определитель которых не равен нулю, является группой с операцией умножения матриц.
5. G5 – множество ортогональных матриц порядка n является группой с операцией умножения матриц.
6. G6= < −1, 1 >– группа с операцией умножения чисел.
7. G7 = Q – множество рациональных чисел является абелевой группой относительно операций сложения и умножения (без нуля). Это поле F= рациональных чисел.
Замечание.

Непустое множество F с двумя бинарными алгебраическими операциями +, ∘ (сложение и умножение) называется полем, если выполняются условия:

1) F – абелева группа по сложению (аддитивная группа);

2) F0= < x∈F | x≠0 >– абелева группа по умножению (мультипликативная группа), где 0 – единица группы по сложению;

3) операции +, ∘ связаны законами дистрибутивновсти:

∀ x,y,z∈F x(y+z)=xy+xz и (y+z)x=yx+zx.
8. G8 = R – множество вещественных чисел является абелевой группой относительно операций сложения и умножения (без нуля). Это поле F= вещественных чисел.
9. G9 = – абелева группа с операцией (⊕) сложения чисел по модулю 2. G9 без нуля – абелева группа по умножению. Значит F= является полем (конечным).
10. G10 = M множество квадратных матриц порядка n является кольцом. G1 кольцо целых чисел.

Непустое множество M с двумя бинарными алгебраическими операциями +, ∘ (сложение и умножение) называется кольцом K=, если выполняются условия:

1) M – абелева группа по сложению (аддитивная группа);

2) M – группоид по умножению;

3) операции +, ∘ связаны законами дистрибутивности:

∀x,y,z ∈ M x(y+z)=xy+xz и (y+z)x=yx+zx.
11. G11=Sm — множество подстановок (перестановок) является группой с операцией умножения подстановок (симметрическая группа Sm, см. п.8.7.).

Определение. H ⊆ G называется подгруппой группы G, если H — группа относительно бинарной операции, определенной в G, т.е. для элементов H выполняются аксиомы 1—4. Так, например, являются подгруппами: G2 ⊂ G1, G5 ⊂ G4, G7 ⊂ G8.

Утверждение 8.1.1. Пусть M — подмножество группы G и ∀a,b ∈ M выполняется ab-1 ∈ M. Показать, что M — подгруппа. Данное условие можно рассматривать как характеристическое свойство группы.

Доказательство. Проверим выполнение аксиом группы.

1. Существование единичного элемента. Пусть a ∈ M, тогда

aa-1 ∈ M или e ∈ M.

2. Существование обратного элемента. Пусть a ∈ M и так как

e ∈ M, то ea-1 ∈ M или a-1 ∈ M.

3. Замкнутость. Пусть a,b ∈ M, тогда и b-1 ∈ M. Значит, и a(b-1)-1 ∈ M или ab ∈ M.

Примеры полугрупп и групп частных
Что значит привести пример полугруппы? Во- первых. это значит указать множество, во-вторых, задать на этом множестве бинарную операцию и, в-третьих, убедиться (доказать или вспомнить ранее установленное), что заданная операция ассоциативна. В примерах, которые последуют ниже, заинтересованному читателю как раз и предлагается либо вспомнить известное ранее о тех пли иных операциях, либо провести необходимые умозаключения пли выкладки, доказывающие ассоциативность соответствующих операций. Стандартные обозначения N. Z. Q и R используются для "главных" числовых множеств: всех натуральных, всех целых, всех рациональных и всех действительных чисел.

1.1 Аддитивная полугруппа натуральных чисел.

Это м есть первая полугруппа, с которой встречается всякий начинающий изучать математику в начальной школе и с которой люди, можно сказать, не расстаются всю жизнь.

1.2 Мультипликативная полугруппа натуральных чисел. Это определенно вторая среди полугрупп, с которой знакомятся все изучающие математику.

1.3 Назовем сразу шесть числовых полугрупп: каждое из множеств Z, Q. R является как аддитивно, так и мультипликативной полугруппой. В средних и старших классах школы это постоянные спутники изучающих математику. Три только что упомянутые аддитивные полугруппы являются даже группами. Напомним, что группой называется полугруппа, и которой есть нейтральный элемент и каждый элемент обладает симметричным к нему элементом; элемент е называется нейтральным относительно операции о, если для любого .у из рассматриваемого множества, элемент у симметричен элементу x если . Нейтральный элемент аддитивной [мультипликативной] полугруппы называют нулем [единецей], симметричный элемент --- противоположным [соответственно обратным].
Инвариантная метрика в полугруппах

Определение:

Метрика ρ на полугруппе S называется инвариантной, если ρ(x,y)=ρ(zx,zy) для любых x,y,z из S.

Пример 1. Рассмотрим полугруппу S=N с операцией умножения, ρ(m,n)=. Проверим является ли метрикой полугруппа , ρ(m,n)=.

Проверим, что это инвариантная метрика.

ρ(mz,zn)= Пример 2. Пусть мы имеем полугруппу S=R₊ с операцией сложения , ρ(x,y)=R₊ . Проверим является ли метрикой.

ρ(x,y)=, то по свойству модуля ρ(x,y)= x=y,

Проверим является ли инвариантной метрикой

Понятие метрического пространства…………………………………… 1

Примеры метрических пространств…………………………………….. 1

Открытые и замкнутые множества……………………………………… 2

Определение полугрупп и групп частных………………………………. 4

Примеры полугрупп и групп частных……………………………………6

Инвариантная метрика в полугруппах…………………………………. 6

Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

Кафедра математического анализа

Инвариантная метрика на абелевых полугруппах

Курсовая работа

Исполнитель:

студент группы М-31 _______________ Птушко П.Г.
Научный руководитель:

Вся база рефератов, курсовых, дипломных работ и прочих учебных материалов предоставляется бесплатно. Используя материалы сайта Вы подтверждаете, что ознакомились с пользовательским соглашением и согласны со всеми его пунктами в полной мере.

Метрические и топологические пространства реферат

Похожие работы