Методы решения нелинейных уравнений реферат

Обновлено: 02.07.2024

Наука не стоит на месте и все время развивается. Нередко приходится встречаться с математическими задачами, для решения которых нужно пользоваться громоздкими формулами. Это неудобно. Возникла необходимость в развитии численных методов математического анализа, которые в сегодняшнем дне имеют важнейшее значение.

Содержание работы

Введение……………………………………………………….3
Цель и задачи………………………………………………….4
Теория нелинейных уравнений
и метод половинного деления………………………5
Нахождения корней нелинейного уравнения с заданной точностью:
MathCAD………………………………………………. 9
Microsoft Excel………………………………………….12
Pascal…………………………………………………….15
5. Выводы…………………………………………………………
6. Список литературы………………………………………

Файлы: 1 файл

Курсач.docx

Нижегородский государственный технический университет имени Р.Е. Алексеева

(Метод половинного деления)

студент 1 курса группы 13-ТТП

Шувалова Татьяна Евгеньевна

Введение………………………………………………………. 3
Цель и задачи………………………………………………….4
Теория нелинейных уравнений

и метод половинного деления………………………5

Нахождения корней нелинейного уравнения с заданной точностью:
1. MathCAD………………………………………………. 9
2. Microsoft Excel………………………………………….12
3. Pascal…………………………………………………….15
Наука не стоит на месте и все время развивается. Нередко приходится встречаться с математическими задачами, для решения которых нужно пользоваться громоздкими формулами. Это неудобно. Возникла необходимость в развитии численных методов математического анализа, которые в сегодняшнем дне имеют важнейшее значение. В большинстве случаев численные методы являются приближенными. В ряде случаев численный метод строится на базе бесконечного процесса, который в пределе сводится к искомому решению. Однако реально предельный переход не удается осуществить, и процесс, прерванный на некотором шаге, дает приближенное решение. Одним из таких методов является метод бисекции или метод деления отрезка пополам (Метод половинного деления).
1. Изучить метод половинного деления и шаговый метод для решения нелинейных уравнений.
2. Научиться решать нелинейные уравнения в Pascal, Microsoft Excel, MathCAD.
3. Решить данное уравнение и найти корни и построить графики.
4. Проанализировать результаты.
5. Сделать выводы.
Нелинейные уравнения и метод половинного деления

Для ввода использовать кнопку "Локальное присвоение" на панели "Программирование":
1. В следующем темном прямоугольнике, прежде чем вводить выражение, добавить строку программы, а затем в нем же ввести выражение:
Разновидность комбинаторных задач, их характеристика и специфика. Этапы приближенного решения нелинейных уравнений, графическое и аналитическое отделение корней. Описание и отличительные черты методов решения нелинейных уравнений, их применение.

Рубрика Математика

Вид курсовая работа

Язык русский

Дата добавления 14.03.2015

Размер файла 759,7 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Министерство образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

"Численные методы решения нелинейных уравнений"

Кравченко Анна Викторовна

Содержание

Численные методы решения нелинейных уравнений

Этапы приближенного решения нелинейных уравнений

Основные методы решения нелинейных уравнений

Метод половинного деления

Метод касательных (Ньютона)

Метод секущих (хорд)

Метод простой итерации

Список используемой литературы

Очень часто в различных областях экономики приходится встречаться с математическими задачами, для которых не удается найти решение классическими методами или решения выражены громоздкими формулами, которые не приемлемы для практического использования. Поэтому большое значение приобрели численные методы. В большинстве случаев численные методы являются приближенными, так как с их помощью обычно решаются задачи, аппроксимирующие исходные. В ряде случаев численный метод строится на базе бесконечного процесса, который в пределе сводится к искомому решению. Однако реально предельный переход не удается осуществить, и процесс, прерванный на некотором шаге, дает приближенное решение. Кроме того, источниками погрешности являются несоответствие математической модели изучаемому реальному явлению и погрешность исходных данных.

Решение систем нелинейных алгебраических уравнений - одна из сложных и до конца не решенных задач. Даже о расположении и существовании корней систем нелинейных уравнений почти ничего нельзя сказать. Большинство методов решения систем нелинейных уравнений сходятся к решению, если начальное приближение достаточно близко к нему, и могут вообще не давать решения при произвольном выборе начального приближения. Условия и скорость сходимости каждого итерационного процесса существенно зависят от свойств уравнений, то есть от свойств матрицы системы, и от выбора начальных приближений.

В своей курсовой работе я поставила три основные цели и задачи:

1. Изучение разновидности комбинаторных задач.

2. Изучение основных комбинаторных операций.

3. Изучение комбинаторики как раздел элементарной алгебры.

Для достижения поставленных целей и решения задач в курсовой работе я использовала различные источники информации. В основном это были книги Бахвалов Н. С. Численные методы и Вержбицкий В. М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. В них четко и точно изложен нужный для моей курсовой работы материал.

Курсовая работа построена таким образом, что сначала идут сведения о численных методах в целом, а уже после более подробно рассмотрены решения нелинейных уравнений.

Проблема численного решения линейных уравнений интересует математиков уже несколько столетий. Первые математические результаты появились в XVIII веке. В 1750 году Г. Крамер (1704-1752) опубликовал свои труды по детерминантам квадратных матриц и предложил алгоритм нахождения обратной матрицы, известный как правило Крамера. Гаусс в 1809 году опубликовал работу, посвященную движению небесных тел, в которой был изложен метод для решения линейных систем, известный как метод исключения.

В 40-х годах XX века с появлением компьютеров сильно возрос интерес к численным методам. Тогда же началось активное исследование существующих методов для их реализации на ЭВМ и предпринимались активные попытки увеличить их точность.

Вплоть до 80-х годов решение вычислительных задач было ограничено ресурсами ЭВМ, поэтому особое значение придавалось экономичности алгоритмов. комбинаторный нелинейный уравнение графический

В настоящее время ограничения по оперативной памяти и быстродействию ЭВМ потеряли актуальность в связи с появлением относительно дешевых мини- и суперкомпьютеров.

Постановка задачи

Пусть имеется уравнение вида

где f (x) - заданная алгебраическая или трансцендентная функция. (Функция называется алгебраической, если для получения её значения нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем. Примеры трансцендентных функций - показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.)

Решить уравнение - значит найти все его корни, то есть те значения x, которые обращают уравнение в тождество, или доказать, что корней нет.

Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложно, то довольно редко удается точно найти его корни. Кроме того, в некоторых случаях уравнение может содержать коэффициенты, известные лишь приблизительно, поэтому сама задача о точном нахождении корней теряет смысл. В таких случаях применяют численные (приближенные) методы решения.

Поставим задачу найти такое приближенное значение корня xпр, которое мало отличается от точного значения корня x*, так что выполняется неравенство ¦x* - xпр ¦ 2 +x 3 =0.

Решение. Для решения задачи построим график функции y=1-x 2 +x 3 (рис. 3).

Рис. 3. График функции y=1-x 2 +x 3 .

Из рисунка видно, что один из корней уравнения принадлежит отрезку [-1,2;-0,8], второй - отрезку [0,8;1,2]. Так как рассматриваемое уравнение имеет третью степень, то должен существовать еще один корень на интервале (3,2;+?).

Аналитическое отделение корней основано на следующих теоремах.

Теорема 1. Если непрерывная функция y=f(x) принимает на концах отрезка [a;b]значения разных знаков, т.е. f(a)•f(b) 2 -e x =0.

Решение. Для отрезка [0;1] имеем: f(0)=(0-1) 2 -e 0 =0,5;

f(1)=(1-1) 2 -e 1 =-e=-1.359 .Значит, f(0)•f(1) 0, граница a сдвигается вправо - заменить a на с: a:= c.

Перейти к шагу 1.

Алгоритм деления отрезка пополам довольно медленный, но зато абсолютно застрахован от неудач. Основное достоинство метода состоит в том, что его скорость сходимости не зависит от вида функции f (x). Данный метод не имеет дополнительных условий сходимости, кроме f(a)•f(b) 0, то нулевое приближение выбираем x₀=a. Рассмотрим геометрический смысл метода. Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f `(x) > 0 и f “(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)). Ее уравнение будет иметь вид:

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

1п. Общий вид нелинейного уравнения

Нелинейные уравнения могут быть двух видов:

Трансцендентные- это уравнения в которых х является аргументом тригонометрической, логарифмической или показательной функции.

Значение х₀ при котором существует равенство f(x₀)=0 называется корнем уравнения.

В общем случае для произвольной F(x) не существует аналитических формул определения корней уравнения. Поэтому большое значение имеют методы, которые позволяют определить значение корня с заданной точностью. Процесс отыскания корней делиться на два этапа:

Отделение корней, т.е. определение отрезка содержащего один корень.

Уточнение корня с заданной точностью.

Для первого этапа нет формальных методов, отрезки определяются или табуляцией или исходя из физического смысла или аналитическими методами.

Второй этап, уточнение корня выполняется различными итерационными методами, суть которых в том, что строится числовая последовательность x_i сходящихся к корню x₀

Выходом из итерационного процесса являются условия:

рассмотрим наиболее употребляемые на практике методы: дихотомии, итерации и касательных.

2 п. Метод половинного деления.

Дана монотонная, непрерывная функция f(x), которая содержит корень на отрезке [a,b], где b>a. Определить корень с точностью ?, если известно, что f(a)*f(b)

Данный отрезок [a,b] делится пополам, т.е. определяется x₀=(a+b)/2, получается два отрезка [a,x₀] и [x₀,b], далее выполняется проверка знака на концах, полученных отрезков для отрезка, имеющего условия f(a)*f(x₀)?0 или f(x₀)*f(b)?0 снова проводится деление пополам координатой х, снова выделение нового отрезка и так продолжается процесс до тех пор пока ?x_n-x_n_-1.

3п. Метод итерации.

Дана непрерывная функция f(x), которая содержит единственный корень на отрезке [a,b], где b>a. Определить корень с точностью ?.

Заменим уравнение (1) равносильным уравнением x=?(x) (2). Выберем грубое, приближенное значение x₀ , принадлежащее[a,b], подставим его в правую часть уравнения (2), получим:

x₁= ?(x₀) (3) , далее подставим х₁ в правую часть уравнения (3) получим:

Проделаем данный процесс n раз получим x_n=?(x_n_-1)

Если эта последовательность является сходящейся т.е. существует предел

x * =lim x_n , то данный алгоритм позволяет определить искомый корень.

Выражение (5) запишем как x * = ?(x * ) (6)

Выражение (6) является решением выражения (2), теперь необходимо рассмотреть в каких случаях последовательность х₁…х_n является сходящейся.

4 п. Метод касательных (Ньютона).

Дана непрерывная функция f(x), которая содержит единственный корень на отрезке [a,b], где b>a при чем определены непрерывны и сохраняют знак f`(x) f``(x). Определить корень с точностью ?.

Выбираем грубое приближение корня х₀ (либо точку a, либо b)

Наити значение функции точке х₀ и провести касательную до пересечения с осью абсцисс, получим значение х₁

5п. Задание для РГР

Вычислить корень уравнения

На отрезке [2,3] с точностью ?=10 -4 методами половинного деления, итерации, касательных.

6 п. Сравнение методов

Эффективность численных методов определяется их универсальностью, простотой вычислительного процесса, скоростью сходимости.

Наиболее универсальным является метод половинного деления, он гарантирует определение корня с заданной точностью для любой функции f(x), которая меняет знак на [a,b]. Метод итерации и метод Ньютона предъявляют к функциям более жесткие требования, но они обладают высокой скоростью сходимости.

Метод итерации имеет очень простой алгоритм вычисления, он применим для пологих функций.

Программа по методам половинного деления, итерации и метода Ньютона.

a = 2: b = 3: E = .0001

DEF FNZ (l) = 3 * SIN(SQR(l)) + .35 * l - 3.8

F1 = FNZ(a): F2 = FNZ(b)

IF F1 * F2 > 0 THEN PRINT "УТОЧНИТЬ КОРНИ": END

IF ABS((-3 * COS(SQR(x))) / (.7 * SQR(x))) > 1 THEN PRINT "НЕ СХОДИТСЯ"

DEF FNF (K) = -(3 * SIN(SQR(x)) - 3.8) / .35

DEF FND (N) = (3 * COS(SQR(N)) / (2 * SQR(N))) + .35 _

IF F * (-4.285 * (-SQR(x0) * SIN(SQR(x)) - COS(SQR(x))) / (2 * x * SQR(x))) E THEN 1 ?

Статья посвящена изучению методов решения нелинейных уравнений, в том числе, с использованием системы автоматизированного проектирования MathCAD. Рассмотрены шаговый метод, методы половинного деления и Ньютона, приведены подробные алгоритмы применения данных методов, а также проведен сравнительный анализ указанных методов.

Ключевые слова: нелинейные уравнения, прикладная математика, САПР MathCAD, метод Ньютона, шаговый метод, метод дихотомии.

Цель работы: изучить методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным и апробировать их в опытно-экспериментальной работе.

Задачи работы:
1. Проанализировать специальную литературу и выбрать наиболее рациональные способы решения нелинейных уравнений, позволяющие глубоко изучить и усвоить данную тему всем выпускникам средней школы.
2. Разработать некоторые аспекты методики решения нелинейных уравнений с применением ИКТ.
3. Изучить методы решения нелинейных уравнений:
‒ Метод деления пополам

Введение.

Без математической грамотности невозможно успешное освоение методов решения задач по физике, химии, биологии и другим предметам. Весь комплекс естественных наук построен и развивается на базе математических знаний. Например, исследование ряда актуальных задач математической физики приводит к необходимости решения нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений необходимо в нелинейной оптике, физике плазмы, теории сверхпроводимости и физике низких температур. По этой теме есть достаточное количество литературы, но во многих учебниках и статьях трудно разобраться ученику средней школы. В данной работе рассмотрены методы решения нелинейных уравнений, которые можно использовать при решении прикладных задач физики, химии. Интересным представляется аспект применения информационных технологий к решению уравнений и задач по математике.

Шаговый метод.

Пусть требуется решить нелинейное уравнение вида уравнение F(x)=0. Предположим также, что нам задан некоторый интервал поиска [x0,x1]. Требуется найти интервал [а,b] длиной h, содержащий первый корень уравнения, начиная с левой границы интервала поиска.

Рис. 1. Шаговый метод

Решить подобную задачу можно несколькими способами. Шаговый метод является наиболее простым из численных методов решения неравенств, но для достижения большой точности необходимо существенно уменьшить шаг, а это сильно увеличивает время расчётов. Алгоритм решения уравнений с помощью данного метода состоит из двух этапов.

На этом этапе определяются участки, на каждом из которых находится только один корень уравнения. Есть несколько вариантов реализации этого этапа:
- Подставляем значения X (желательно с каким-то достаточно мелким шагом) и смотрим где функция сменит знак. Если функция сменила знак, это значит, что на участке между предыдущим и текущим значением X лежит корень (если функция не меняет характер возрастания/убывания, то можно утверждать, что корень на этом интервале один).
- Графический метод. Строим график и оцениваем на каких интервалах лежит один корень.
- Исследуем свойства конкретной функции.
На данном этапе значение корней уравнения, определенных ранее, уточняется. Как правило на этом этапе используются итерационные методы. Например, метод половинного деления (дихотомии) или метод Ньютона.

Метод половинного деления

Быстрый и достаточно простой численный метод решения уравнений, основанный на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения F(x)=0 до того времени, пока не будет достигнута заданная точность Е. Данный метод обычно используется при решении квадратных уравнений и уравнений высших степеней. Однако у данного метода есть существенный недостаток — если на отрезке [а,b] содержится более одного корня, то с его помощью не удастся добиться хороших результатов.

$C:\Users\Admin\Desktop\1.jpg$

Рис. 2. Метод дихотомии

Алгоритм данного метода следующий:

‒ Определить новое приближение корня х в середине отрезка [а;b]: х=(а+b)/2.

‒ Найти значения функции в точках а и х: F(a) и F(x).

‒ Проверить условие F(a)*F(x) 0. Таким образом, выбирается точка с абсциссой x₀, в которой касательная к кривой y=f(x) на отрезке [a;b] пересекает ось Ox. За точку x₀ сначала удобно выбирать один из концов отрезка.

Рассмотрим данный алгоритм на конкретном примере.

Пусть нам дана возрастающая функция y = f(x) =x 2– 2, непрерывная на отрезке (0;2), и имеющая f '(x) =2x>0 и f ''(x) = 2> 0.

В нашем случае уравнение касательной имеет вид: y-y₀=2x₀·(x-x₀). В качестве точки x₀ выбираем точку B₁(b; f(b)) = (2,2). Проводим касательную к функции y = f(x) в точке B₁, и обозначаем точку пересечения касательной и оси Ox точкой x₁. Получаем уравнение первой касательной:y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Точка пересечения касательной и оси Ox: x₁ =

Рис. 3. Построение первой касательной к графику функции f(x)

Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x₁, получаем точку В₂ =(1.5; 0.25). Снова проводим касательную к функции y = f(x) в точке В₂, и обозначаем точку пересечения касательной и Ox точкой x₂.

Уравнение второй касательной: y-2.25=2*1.5(x-1.5), y = 3x — 4.25. Точка пересечения касательной и оси Ox: x₂ = .

Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x₂, получаем точку В₃ и так далее.

В3 = ( )

Рис. 4. Построение второй касательной к графику функции f(x)

Первое приближение корня определяется по формуле:

= 1.5.

Второе приближение корня определяется по формуле:

=

Третье приближение корня определяется по формуле:

Таким образом, i-ое приближение корня определяется по формуле:

Вычисления ведутся до тех пор, пока не будет достигнуто совпадение десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или заданной точности e — до выполнения неравенства |xi-xi-1| нелинейные уравнения, прикладная математика, САПР MathCAD, метод Ньютона, шаговый метод, метод дихотомии.

Похожие статьи

Организация приближённого решения интегральных уравнений.

Разработано много приближённых методов решения интегральных уравнений и

Приведём краткий обзор о методах решения ИУ. А. Разностный метод или метод квадратурных

уравнение, точное решение, начальное приближение, итерационная формула, формула.

Организация численных методов в MathCAD | Статья в журнале.

«начальная итерация и уравнение. «ссылка к внутренней функции и вывод решения. Пример 2. Определение всех решений уравнения .

«вывод решения. Организуем теперь алгоритмы методов простой итерации ва Ньютона, они имеют важное значение при изучении методов.

Решения нелинейных волновых уравнений методом.

В этой работе метод вариационных итераций (МВИ) применяется для решения волновых уравнений. МВИ обеспечивает последовательность функций, которая сходится к точному решению и способен отменить некоторые из повторных вычислений.

Решение смешанной задачи для волнового уравнения.

Ключевые слова: смешанная задача, волновое уравнение, метод разделения переменных, метод вариационных итераций, метод разложения Адомиана, начальное приближение, последовательность функций, точное решение. Основной задачей строительной механики.

Применение метода вариационных итераций к приближенному.

Метод очень прост и удобен. Ключевые слова: дифференциальные уравнения, метод вариационных итераций, коррекция функционала, начальное приближение, последовательность функции, точное решение. В 1999 году метод вариационных итераций.

О корнях кубического уравнения | Статья в журнале.

Существуют различные методы решения кубических уравнений. Эти методы разделяются на аналитические (точные) и численные. Аналитическим методам относятся метод Карно, тригонометрический способ Виета, использование возвратных уравнений и т. д. [1,2,3].

Алгоритм интегрирования с переменным числом стадий для.

Для численного решения (18) используем метод установления, который заключается в том, что для стационарной задачи строится нестационарный процесс, решение которого с течением времени устанавливается к решению исходной задачи. Рассмотрим задачу.

Касательная. Задачи на касательную | Статья в журнале.

Приведем алгоритм решения этой задачи. 1. Составляем уравнение касательной к графику

Составим уравнение касательной к графику заданной функции в точке : Так как эта прямая

Затем используя прямые методы, решение интегрального уравнения сведено к конечной.

Численная реализация разностного метода решения одной.

Положить ; задать начальное приближение искомого решения во внутренних узлах

Изучить методы решения нелинейных уравнений: ‒ Шаговый метод. Самый точный из численных методов решения; подходит для решения очень сложных уравнений, но усложняется.

Похожие статьи

Организация приближённого решения интегральных уравнений.

Разработано много приближённых методов решения интегральных уравнений и

Приведём краткий обзор о методах решения ИУ. А. Разностный метод или метод квадратурных

уравнение, точное решение, начальное приближение, итерационная формула, формула.

Организация численных методов в MathCAD | Статья в журнале.

«начальная итерация и уравнение. «ссылка к внутренней функции и вывод решения. Пример 2. Определение всех решений уравнения .

«вывод решения. Организуем теперь алгоритмы методов простой итерации ва Ньютона, они имеют важное значение при изучении методов.

Решения нелинейных волновых уравнений методом.

В этой работе метод вариационных итераций (МВИ) применяется для решения волновых уравнений. МВИ обеспечивает последовательность функций, которая сходится к точному решению и способен отменить некоторые из повторных вычислений.

Решение смешанной задачи для волнового уравнения.

Ключевые слова: смешанная задача, волновое уравнение, метод разделения переменных, метод вариационных итераций, метод разложения Адомиана, начальное приближение, последовательность функций, точное решение. Основной задачей строительной механики.

Применение метода вариационных итераций к приближенному.

Метод очень прост и удобен. Ключевые слова: дифференциальные уравнения, метод вариационных итераций, коррекция функционала, начальное приближение, последовательность функции, точное решение. В 1999 году метод вариационных итераций.

О корнях кубического уравнения | Статья в журнале.

Существуют различные методы решения кубических уравнений. Эти методы разделяются на аналитические (точные) и численные. Аналитическим методам относятся метод Карно, тригонометрический способ Виета, использование возвратных уравнений и т. д. [1,2,3].

Алгоритм интегрирования с переменным числом стадий для.

Для численного решения (18) используем метод установления, который заключается в том, что для стационарной задачи строится нестационарный процесс, решение которого с течением времени устанавливается к решению исходной задачи. Рассмотрим задачу.

Касательная. Задачи на касательную | Статья в журнале.

Приведем алгоритм решения этой задачи. 1. Составляем уравнение касательной к графику

Составим уравнение касательной к графику заданной функции в точке : Так как эта прямая

Затем используя прямые методы, решение интегрального уравнения сведено к конечной.

Численная реализация разностного метода решения одной.

Положить ; задать начальное приближение искомого решения во внутренних узлах

Изучить методы решения нелинейных уравнений: ‒ Шаговый метод. Самый точный из численных методов решения; подходит для решения очень сложных уравнений, но усложняется.

Читайте также:

Рубрика	Математика
Вид	курсовая работа
Язык	русский
Дата добавления	14.03.2015
Размер файла	759,7 K

Методы решения нелинейных уравнений реферат

Содержание работы

Файлы: 1 файл

Курсач.docx

Содержание

Постановка задачи

Похожие статьи

Организация приближённого решения интегральных уравнений.

Организация численных методов в MathCAD | Статья в журнале.

Решения нелинейных волновых уравнений методом.

Решение смешанной задачи для волнового уравнения.

Применение метода вариационных итераций к приближенному.

О корнях кубического уравнения | Статья в журнале.

Алгоритм интегрирования с переменным числом стадий для.

Касательная. Задачи на касательную | Статья в журнале.

Численная реализация разностного метода решения одной.