Метод простых итераций решения нелинейных уравнений реферат

Обновлено: 05.07.2024

Цель работы: научиться решать нелинейные уравнения методом простых итераций, методом Ньютона и модифицированным методом Ньютона с помощью ЭВМ. Доказать графическим и аналитическим методами существование единственного корня нелинейного уравнения. Построить рабочие формулы метода простых итераций, метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона, реализующие процесс поиска корня нелинейного уравнения (1) на указанном отрезке. Составить программу (программы) на любом языке программирования, реализующие построенные итерационные процессы.

Содержание

1. Изучить метод простых итераций, метод Ньютона и модифицированный метод Ньютона для решения нелинейных уравнений.
2. На конкретном примере усвоить порядок решения нелинейных уравнений с помощью ЭВМ указанными методами.
3. Составить программу (программы) на любом языке программирования и с ее помощью решить уравнение с точностью и . Сделать вывод о скорости сходимости всех трех методов.
4. Изменить и снова решить задачу. Сделать выводы о: скорости сходимости рассматриваемых методов; влиянии точности на скорость сходимости; влиянии выбора начального приближения в методе простых итераций на скорость сходимости.
5. Составить отчет о проделанной работе.

Прикрепленные файлы: 1 файл

ВЫЧ.МАТ ЛАБы.docx

Министерство образования И НАУКИ Российской Федерации

Казанский Государственный Технический Университет

им. А. Н. Туполева

Колледж Информационных Технологий.

Вариант 16

Лабораторная работа №1-2

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Цель работы: научиться решать нелинейные уравнения методом простых итераций, методом Ньютона и модифицированным методом Ньютона с помощью ЭВМ.

1. Изучить метод простых итераций, метод Ньютона и модифицированный метод Ньютона для решения нелинейных уравнений.

2. На конкретном примере усвоить порядок решения нелинейных уравнений с помощью ЭВМ указанными методами.

3. Составить программу ( программы) на любом языке программирования и с ее помощью решить уравнение с точностью и . Сделать вывод о скорости сходимости всех трех методов.

4. Изменить и снова решить задачу. Сделать выводы о: скорости сходимости рассматриваемых методов; влиянии точности на скорость сходимости; влиянии выбора начального приближения в методе простых итераций на скорость сходимости.

5. Составить отчет о проделанной работе.

1. Доказать графическим и аналитическим методами существование единственного корня нелинейного уравнения

2. Построить рабочие формулы метода простых итераций, метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона, реализующие процесс поиска корня нелинейного уравнения (1) на указанном отрезке.

3. Составить программу ( программы) на любом языке программирования, реализующие построенные итерационные процессы.

1. Докажем графическим методом единственность корня нелинейного уравнения (1). Из графика функции на Рис.1 видно, что функция пересекает ось в одной точке, являющейся приближенным значением корня нелинейного уравнения (1). Но так как данная функция имеет сложный аналитический вид, то преобразуем уравнение 1+sin(x) (1) к виду и построим два графика и

имеющих более простой аналитический вид (Рис.2). Абсцисса точки пересечения графиков является приближенным значением корня. Заметим, что графический метод показы показывает количество корней исходного уравнения, но не доказывает единственность корня на отрезке.

Аналитический метод. Функция непрерывна на отрезке [4.7;-3.5]

имеет на концах отрезка разные знаки + и –, а производная функции не меняет знак на отрезке (+cosx>0; [-4,7;-3,5]. Следовательно, нелинейное уравнение (1) имеет на указанном отрезке единственный корень.

2. Метод простых итераций.

Построим функцию . Константа выбирается из достаточного условия сходимости

Если производная , то значение выбирается из интервала , если производная , то – из интервала

Так как для рассматриваемого примера всюду положительна на отрезке то придавая переменной различные значения из интервала и выбирая наименьший интервал -1 получим -4,4.Выбираем произвольное значение из этого интервала. Пусть c=-0.7. Тогда рабочая формула метода простых итераций будет иметь вид:

Итерационный процесс (3) можно начать, задав произвольное начальное приближение. Итерационный процесс (3) заканчивается при одновременном выполнении двух условий:

В этом случае значение является приближенным значением корня нелинейного уравнения (1) на отрезке[-1,5; -0,5].

Метод Ньютона. В качестве начального приближения здесь выбирается правый или левый конец отрезка, в зависимости от того, в котором выполняется достаточное условие сходимости метода Ньютона вида:

Заметим, что в точке x=-1,5 условие (5) не выполняется, а в точке x=-0,5 - выполняется. Следовательно, в качестве начального приближения выбирается точка . Рабочая формула метода Ньютона для данного уравнения запишется так:

Условия выхода итерационного процесса (6) аналогичны условиям (4) метода простых итераций.

Модифицированный метод Ньютона . Начальное приближение выбирается аналогично методу Ньютона, т.е.. Рабочая формула модифицированного метода Ньютона для данного примера запишется так:

Условия выхода итерационного процесса (7) аналогичны условиям (4) метода простых итераций.

Замечание: для того, чтобы сделать вывод о скорости сходимости методов, необходимо в каждом методе выбирать одинаковое начальное приближение.

3. Блок-схема метода простых итераций, метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона приведена на рисунке 3

Ниже в качестве примера приведены программы на языках программирования С++, реализующие итерационный процесс метода простых итераций.

Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

1. точные методы ;

2. итерационные методы .

Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности.

Пусть дано уравнение

1. Функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ] вместе со своими производными 1-го и 2-го порядка.

2. Значения f (x ) на концах отрезка имеют разные знаки (f (a ) * f (b ) 3 - 6х + 2 = 0.

Составим приблизительную схему:

Следовательно, уравнение (2) имеет три действительных корня, лежащих в интервалах [-3, -1], [0, 1] и [1, 3].

Приближенные значения корней (начальные приближения ) могут быть также известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, или могут быть найдены графическим способом.

В инженерной практике распространен графический способ определения приближенных корней.

Принимая во внимание, что действительные корни уравнения (1) - это точки пересечения графика функции f (x ) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f (x ) и отметить точки пересечения f (x ) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение (1) равносильным ему уравнением:

где функции f ₁ (x ) и f ₂ (x ) - более простые, чем функция f (x ). Тогда, построив графики функций у = f ₁ (x ) и у = f ₂ (x ), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.

Рисунок 2.

Пример 2. Графически отделить корни уравнения (Рисунок 2):

x lg x = 1.

Уравнение (4) удобно переписать в виде равенства:

Отсюда ясно, что корни уравнения (4) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы y = . Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень уравнения (4) или определим его содержащий отрезок [2, 3].

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х ₀ . Каждый такой шаг называется итерацией . В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х ₁ , х ₂ , . х_n . Если эти значения с увеличением числа итераций n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится .

Для использования метода итерации исходное нелинейное уравнение f (х ) = 0 заменяется равносильным уравнением

x = j(x ).

Пусть известно начальное приближение корня х = х ₀ . Подставляя это значение в правую часть уравнения (8), получим новое приближение:

Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в (8), получаем последовательность значений:

Геометрически метод итерации может быть пояснен следующим образом. Построим на плоскости хОу графики функций у = х и у = j (х ). Каждый действительный корень уравнения (8) является абсциссой точки пересечения М кривой у = j (х ) с прямой у = х (Рисунок 6, а ).

Отправляясь от некоторой точки А ₀ [x ₀ , j (x ₀ )], строим ломаную А ₀ В ₁ А ₁ В ₂ А ₂ . (“лестница”), звенья которой попеременно параллельны оси Ох и оси Оу , вершины А ₀ , А ₁ , А ₂ , . лежат на кривой у= j (х ), а вершины В ₁ , В₂ , В ₃ , …, - на прямой у = х. Общие абсциссы точек А ₁ и В ₁ , А ₂ и В ₂ , . очевидно, представляют собой соответственно последовательные приближения х ₁ , х ₂ , . корня .

Возможен также другой вид ломаной А ₀ В ₁ А ₁ В ₂ А ₂ . - “спираль” (Рисунок 6, б ). Решение в виде “лестницы” получается, если производная j' (х ) положительна, а решение в виде “спирали”, если j' (х ) отрицательна.

На Рисунке 6, а, б кривая у = j (х ) в окрестности корня - пологая, то есть 1, то процесс итерации может быть расходящимся (Рисунок 7).

Поэтому для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса.

Теорема: Пусть функция j (х ) определена и дифференцируема на отрезке [a, b ], причем все ее значения j (х ) [a , b ].

Тогда, если существует правильная дробь q такая, что

q 3 - x - 1 = 0

имеет корень x [1, 2], так как f (1) = - 1 0.

Уравнение (10) можно записать в виде

х = х 3 - 1.

j (х ) = х 3 - 1 и j' (х ) = 3х 2 ;

j' (х ) 3 при 1 х 2

и, следовательно, условия сходимости процесса итерации не выполнены.

Если записать уравнение (10) в виде

Отсюда при 1 х 2 и значит, процесс итерации для уравнения (12) быстро сойдется.

Найдем корень x уравнения (10) с точностью до 10 -2 . Вычисляем последовательные приближения х_n с одним запасным знаком по формуле

Выполнение решения системы алгебраических уравнений вручную в редакторе Microsoft Excel, математическом пакете MathCAD. Реализация алгоритма решения на языке VBA. Вычислительная схема метода простой итерации. Результат решения нелинейных систем уравнений.

Рубрика	Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид	курсовая работа
Язык	русский
Дата добавления	15.12.2019
Размер файла	408,5 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Санкт-Петербургский Горный Университет

Кафедра информатики и компьютерных технологий

Курсовая работа

По дисциплине: Информатика

"Решение систем нелинейных уравнений итерационными методами"

Студенту группы МО-18 Иванову Алексею Владимировичу

1. Тема работы Решение систем нелинейных уравнений итерационными методами

2. Исходные данные к работе Система нелинейных уравнений. Вариант № 8

3. Содержание пояснительной записки Титульный лист, индивидуальное задание, аннотация, оглавление, введение, вычислительная схема, блок-схема, решение нелинейных систем уравнений(вручную, средствами MS EXCEL, MATHCAD, VBA), заключение, библиографический список.

4. Перечень графического материала Схемы, рисунки, таблицы

5. Срок сдачи законченной работы 15.05.2019

Руководитель работы Кротова С.Ю. (должность) (подпись) (Ф.И. О.)

Дата выдачи задания 12.02 20 19 г.

Аннотации

Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсовой работы на тему "Решение систем нелинейных уравнений методом простых итераций с параметрами". В работе выполнено решение системы алгебраических уравнений вручную, в редакторе Microsoft Excel, математическом пакете MathCAD, реализован алгоритм решения на языке VBA.

The explanatory note is a report on the execution of the course work on the theme "Solving systems of nonlinear equations by simple iteration with parameters". The solution of the algebraic equations system has been solved manually, in the Microsoft Excel package, in MathCAD, the VBA solution algorithm has been implemented.

1. Вычислительная схема метода простой итерации с параметрами

2. Блок-схема алгоритма

3. Результат решения нелинейных систем уравнений, полученный вручную

4. Решение нелинейных систем уравнений средствами MS EXCEL

5. Решение системы нелинейных уравнений средствами пакета MATHCAD

6. Решение системы нелинейных уравнений с использованием VBA

Введение

Одной из самых сложных задач является решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Существует множество методов решения таких систем, которые успешно приводят к решению, если начальное приближение было заданно достаточно близко к нему. Но если подобрать произвольное приближение, есть вероятность вовсе не найти решения данной системы.

Итерационные методы состоят в последовательном уточнении начального приближения. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня. Если при этом с увеличением n значения приближаются к точному решению заданного уравнения, то говорят, что данный итерационный процесс сходится. уравнение редактор алгоритм

Целью данной курсовой работы является изучение и развитие умения и навыка решения систем нелинейных алгебраических уравнений итерационными методами, а именно методом простых итераций с параметром. А также закрепление навыков работы с программами MS EXCEL, MatCAD и программирования в VBA.

1. Вычислительная схема метода простой итерации с параметрами

Пусть дана нелинейная система n уравнений с n неизвестными, корни которой необходимо найти с заданной точностью .

Для решения данной системы можно применить метод простой итерации с параметрами, алгоритм которого приведен ниже.

1. Задаем точность вычисления ? (обычно ?=10-3 - 10-6.

2. Переписываем систему виде (1):

3. Выбираем начальное приближение

4. Полагаем переменную k, которая нумерует приближения, равной нулю.

5. Полагаем Тi=1, i=1,2,…,n.

6. Вычисляем (k+1)-е приближение по формуле (2).

7. Проверяем условие (3):

8, Проверяем качество нового приближения.

Если условие выполняется, то проверяем пункт 6 при следующем i, в противном случае переходим к пункту 9.

9. Подбираем новое Тi. Если Тi>0, то заменяем Тi на -Тi, в противном случае на -Тi/2. После корректировки Тi возвращаемся к пункту 6, увеличив k на единицу.

2. Блок-схема алгоритма

Рисунок 1 - Блок-схема алгоритма (метод простой итерации)

3. Результат решения нелинейных систем уравнений, полученный вручную

Методом простой итерации с точностью ?=0,001 решим систему нелинейных уравнений:

Согласно приведенному выше алгоритму, принимаем x=x1, y=x2.

Таким образом система принимает вид:

Далее необходимо выбрать начальные приближения. Для этого в системе координат х 1 и х 2 строим графики приведенных выше зависимостей (рис. 2).

Рисунок 2 - Графики зависимости х 2 от х 1

Из графика видно, что система имеет одно решение, заключенное в области ---1.4 0 Then

Основной целью реферата является изучение и сравнительный анализ итерационных методов решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений; реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и практическое решение уравнений на ЭВМ.

При разработке алгоритмов, входящих в состав математического обеспечения САПР, часто возникает необходимость в решении нелинейных уравнений вида

где функция f(x) определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном интервале a 0. Тогда уравнение хорды, проходящей через точки A0 и B, имеет вид

Приближение корня x = x1, для которого y = 0, определяется как

Аналогично для хорды, проходящей через точки A1 и B, вычисляется следующее приближение корня

В общем случае формула метода хорд имеет вид:

Если первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е.

f '(x)f "(x) 0. Если справедливо неравенство f(a)f "(a) > 0, то целесообразно применять формулу (3).

Итерационный процесс метода хорд продолжается до тех пор, пока не будет получен приближенный корень с заданной степенью точности. При оценке погрешности приближения можно пользоваться соотношением:

Тогда условие завершения вычислений записывается в виде:

где e - заданная погрешность вычислений. Необходимо отметить, что при отыскании корня метод хорд нередко обеспечивает более быструю сходимость, чем метод половинного деления.

4. Метод Ньютона (касательных)

Пусть уравнение (1) имеет корень на отрезке [a, b], причем f '(x) и f "(x) непрерывны и сохраняют постоянные знаки на всем интервале [a, b].

Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что дуга кривой y = f(x) заменяется касательной. Для этого выбирается некоторое начальное приближение корня x0 на интервале [a, b] и проводится касательная в точке C0(x0, f(x0)) к кривой y = f(x) до пересечения с осью абсцисс (рис. 3). Уравнение касательной в точке C0 имеет вид

y = f(x0) + f '(x0)Ч(x - x0).

Далее за приближение корня принимается абсцисса x1, для которой y = 0:

Затем проводится касательная через новую точку C1(x1, f(x1)) и определяется точка x2 ее пересечения с осью 0x и т.д. В общем случае формула метода касательных имеет вид:

В результате вычислений получается последовательность приближенных значений x1, x2, . xi, . каждый последующий член которой ближе к корню x*, чем предыдущий. Итерационный процесс обычно прекращается при выполнении условия (4).

Начальное приближение x0 должно удовлетворять условию:

f(x0) f ўў(x0) > 0. (6)

В противном случае сходимость метода Ньютона не гарантируется, так как касательная будет пересекать ось абсцисс в точке, не принадлежащей отрезку [a, b]. На практике в качестве начального приближения корня x0, обычно выбирается одна из границ интервала [a, b], т.е. x0 = a или x0 = b, для которой знак функции совпадает со знаком второй производной.

Метод Ньютона обеспечивает высокую скорость сходимости при решении уравнений, для которых значение модуля производной Ѕf ў(x)Ѕвблизи корня достаточно велико, т.е. график функции y = f(x) в окрестности корня имеет большую крутизну. Если кривая y = f(x) в интервале [a, b] почти горизонтальна, то применять метод касательных не рекомендуется.

Существенным недостатком рассмотренного метода является необходимость вычисления производных функции для организации итерационного процесса. Если значение f ў(x) мало изменяется на интервале [a, b], то для упрощения вычислений можно пользоваться формулой

т.е. значение производной достаточно вычислить только один раз в начальной точке. Геометрически это означает, что касательные в точках Ci(xi, f(xi)), где i = 1, 2, . заменяется прямыми, параллельными касательной, проведенной к кривой y = f(x) в начальной точке C0(x0, f(x0)), как это показано на рис. 4.

В заключение необходимо отметить, что все изложенное справедливо в том случае, когда начальное приближение x0 выбрано достаточно близким к истинному корню x* уравнения. Однако это не всегда просто осуществимо. Поэтому метод Ньютона часто используется на завершающей стадии решения уравнений после работы какого-либо надежно сходящегося алгоритма, например, метода половинного деления.

5. Метод простой итерации

Чтобы применить этот метод для решения уравнения (1) необходимо преобразовать его к виду . Далее выбирается начальное приближение и вычисляется x1, затем x2 и т.д.:

x1 = j(x0); x2 = j(x1); …; xk = j(xk-1); .

нелинейный алгебраический уравнение корень

Полученная последовательность сходится к корню при выполнении следующих условий:

1) функция j(x) дифференцируема на интервале [a, b].

2) во всех точках этого интервала jў(x) удовлетворяет неравенству:

При таких условиях скорость сходимости является линейной, а итерации следует выполнять до тех пор, пока не станет справедливым условие:

может использоваться только при 0 Ј q Ј Ѕ. Иначе итерации заканчиваются преждевременно, не обеспечивая заданную точность. Если вычисление q затруднительно, то можно использовать критерий окончания вида

Возможны различные способы преобразования уравнения (1) к виду . Следует выбирать такой, который удовлетворяет условию (8), что порождает сходящийся итерационный процесс, как, например, это показано на рис. 5, 6. В противном случае, в частности, при Ѕjў(x)Ѕ>1, итерационный процесс расходится и не позволяет получить решение (рис. 7).

Проблема повышения качества вычислений нелинейных уравнений при помощи разнообразных методов, как несоответствие между желаемым и действительным, существует и будет существовать в дальнейшем. Ее решению будет содействовать развитие информационных технологий, которое заключается как в совершенствовании методов организации информационных процессов, так и их реализации с помощью конкретных инструментов – сред и языков программирования.

Список использованных источников

1. Алексеев В. Е., Ваулин А.С., Петрова Г. Б. - Вычислительная техника и программирование. Практикум по программированию :Практ .пособие/ -М.: Высш. шк. , 1991. - 400 с.

2. Абрамов С.А., Зима Е.В. - Начала программирования на языке Паскаль. - М.: Наука, 1987. -112 с.

3. Вычислительная техника и программирование: Учеб. для техн. вузов/ А.В. Петров, В.Е. Алексеев, А.С. Ваулин и др. - М.: Высш. шк., 1990 - 479 с.

4. Гусев В.А., Мордкович А.Г. - Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1990. - 416 с.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.

Очень часто в различных областях экономики приходится встречаться с математическими задачами, для которых не удается найти решение классическими методами или решения выражены громоздкими формулами, которые не приемлемы для практического использования. Поэтому большое значение приобрели численные методы. В большинстве случаев численные методы являются приближенными, так как с их помощью обычно решаются задачи, аппроксимирующие исходные. В ряде случаев численный метод строится на базе бесконечного процесса, который в пределе сводится к искомому решению. Однако реально предельный переход не удается осуществить, и процесс, прерванный на некотором шаге, дает приближенное решение. Кроме того, источниками погрешности являются несоответствие математической модели изучаемому реальному явлению и погрешность исходных данных.

Решение систем нелинейных алгебраических уравнений – одна из сложных и до конца не решенных задач. Даже о расположении и существовании корней систем нелинейных уравнений почти ничего нельзя сказать. Большинство методов решения систем нелинейных уравнений сходятся к решению, если начальное приближение достаточно близко к нему, и могут вообще не давать решения при произвольном выборе начального приближения. Условия и скорость сходимости каждого итерационного процесса существенно зависят от свойств уравнений, то есть от свойств матрицы системы, и от выбора начальных приближений.

В своей курсовой работе я поставила три основные цели и задачи:

Изучение разновидности комбинаторных задач.
Изучение основных комбинаторных операций.
Изучение комбинаторики как раздел элементарной алгебры.

Для достижения поставленных целей и решения задач в курсовой работе я использовала различные источники информации. В основном это были книги Бахвалов Н. С. Численные методы и Вержбицкий В. М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. В них четко и точно изложен нужный для моей курсовой работы материал.

Курсовая работа построена таким образом, что сначала идут сведения о численных методах в целом, а уже после более подробно рассмотрены решения нелинейных уравнений.

Проблема численного решения линейных уравнений интересует математиков уже несколько столетий. Первые математические результаты появились в XVIII веке. В 1750 году Г. Крамер (1704-1752) опубликовал свои труды по детерминантам квадратных матриц и предложил алгоритм нахождения обратной матрицы, известный как правило Крамера. Гаусс в 1809 году опубликовал работу, посвященную движению небесных тел, в которой был изложен метод для решения линейных систем, известный как метод исключения.

В 40-х годах XX века с появлением компьютеров сильно возрос интерес к численным методам. Тогда же началось активное исследование существующих методов для их реализации на ЭВМ и предпринимались активные попытки увеличить их точность.

Вплоть до 80-х годов решение вычислительных задач было ограничено ресурсами ЭВМ, поэтому особое значение придавалось экономичности алгоритмов.

В настоящее время ограничения по оперативной памяти и быстродействию ЭВМ потеряли актуальность в связи с появлением относительно дешевых мини- и суперкомпьютеров.

Постановка задачи.

Пусть имеется уравнение вида

где f (x) - заданная алгебраическая или трансцендентная функция. (Функция называется алгебраической, если для получения её значения нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем. Примеры трансцендентных функций - показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.)

Решить уравнение - значит найти все его корни, то есть те значения x, которые обращают уравнение в тождество, или доказать, что корней нет.
Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложно, то довольно редко удается точно найти его корни. Кроме того, в некоторых случаях уравнение может содержать коэффициенты, известные лишь приблизительно, поэтому сама задача о точном нахождении корней теряет смысл. В таких случаях применяют численные (приближенные) методы решения.

Поставим задачу найти такое приближенное значение корня xпр, которое мало отличается от точного значения корня x*, так что выполняется неравенство │x* – xпр │ нелинейных уравнений.

Приближенное решение уравнения состоит из двух этапов:

Отделение корней, то есть нахождение интервалов из области определения функции f (x), в каждом из которых содержится только один корень уравнения (1).
Уточнение корней до заданной точности.

Отделение корней можно проводить графически и аналитически.
Для того чтобы графически отделить корни уравнения (1), необходимо построить график функции y=f(x). Абсциссы точек его пересечения с осью Ox являются действительными корнями уравнения (рис. 1).

Рис. 1. Графическое отделение корней (1-ый способ).
На практике же бывает удобнее заменить уравнение (1) равносильным ему уравнением

где φ(x) и ψ(x) - более простые функции, чем f(x). Абсциссы точек пересечения графиков функций y= φ(x) и y= ψ(x) дают корни уравнения (2), а значит и исходного уравнения (1) (рис.2).

Рис 2. Графическое отделение корней (2-ой способ).

Пример 1. Отделить графически корень уравнения 1-x 2 +x 3 =0.
Решение. Для решения задачи построим график функции y=1-x 2 +x 3 (рис. 3).

Рис. 3. График функции y=1-x 2 +x 3 .

Из рисунка видно, что один из корней уравнения принадлежит отрезку [-1,2;-0,8], второй – отрезку [0,8;1,2]. Так как рассматриваемое уравнение имеет третью степень, то должен существовать еще один корень на интервале (3,2;+∞).

Аналитическое отделение корней основано на следующих теоремах.
Теорема 1. Если непрерывная функция y=f(x) принимает на концах отрезка [a;b]значения разных знаков, т.е. f(a)∙f(b) 2 -e x =0.

Решение. Для отрезка [0;1] имеем: f(0)=(0-1) 2 -e 0 =0,5;

f(1)=(1-1) 2 -e 1 =-e=-1.359 . Значит, f(0)∙f(1) 0, граница a сдвигается вправо – заменить a на с: a:= c.

Перейти к шагу 1.

Алгоритм деления отрезка пополам довольно медленный, но зато абсолютно застрахован от неудач. Основное достоинство метода состоит в том, что его скорость сходимости не зависит от вида функции f (x). Данный метод не имеет дополнительных условий сходимости, кроме f(a)∙f(b) 0, то нулевое приближение выбираем x₀=a. Рассмотрим геометрический смысл метода. Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f ‘(x) > 0 и f “(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)). Ее уравнение будет иметь вид:

y = f (b) + f ’(b) * (x – b)

Полагая в уравнении y = 0 и учитывая, что f ’(x) ¹ 0, решаем его относительно x. Получим :

Нашли абсциссу x₁ точки c₁ пересечения касательной с осью Оx:

Проведем касательную к графику функции в точке b₁ (x₁; f (x₁)).Найдем абсциссу x₂ точки с₂ пересечения касательной с осью Ox :

Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (x_k) корня, получаемые из уравнения касательной , проведенной к графику функции в точке b _k (x _k; f (x _k0) метод уточнения корня c [a;b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.

Читайте также: