Метод простой итерации реферат

Обновлено: 05.07.2024

Если известно начальное приближение к корню уравнения f(x)=0, то эффективным методом уточнения корней является метод Ньютона (метод касательных).

Пусть функция f(x) имеет первую и вторую производную на отрезке [a,b], причем выполнено условие знакопеременности функции f(a)*f(b) 0, можно построить итерационную последовательность

сходящуюся к единственному на [a,b] решению x уравнения f(x)=0.

В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню принимаются значения x0,x1,x2. точек пересечения касательной к кривой y=f(x) с осью абсцисс. То есть, геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой y=f(x) касательной. При этом не обязательно задавать отрезок [a,b], содержащий корень уравнения, а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня х=х0 (рисунок 1).

Рисунок 1 –Метод касательных

В качестве начального приближения выберем х0=a, для которого выполняется условие f(x0)* f'І(x0)>0. Проведем касательную в точке A0[x0,f(x0)]. Первым приближением корня будет точка пересечения этой касательной с осью абсцисс х1. Через точку A1[x1,f(x1)] снова проводим касательную, точка пересечения которой с осью ОХ даст нам второе приближение корня х2 и т.д.

На рисунке 2 приведены возможные варианты выбора правого или левого конца отрезка в качестве начального приближения.

Условие выбора: f(x)*f ''(x)>0.

Рисунок 2 – Выбор отрезка

Вывод формулы Ньютона.

Уравнение касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке А0[x0,f(x0)], имеет вид:

Отсюда найдем следующее приближение корня. Примем х=х1 (y=0), тогда

-f (x0) = f ' (x0) (x1-x0),

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения, как точки пересечения с осью ОХ касательных, проведенных в точках А1, А2 и т.д. Формула Ньютона для n+1-го приближения будет иметь вид: .

Для окончания итерационного процесса может быть использовано условие: .

2.1 Метод простых итераций

Одним из наиболее важных численных методов решения нелинейных уравнений является метод итераций. Сущность метода заключается в следующем.

Пусть функция f(x) монотонная на отрезке [a,b], причем выполнено условие: f(a)*f(b) l (x)| l (x)>0 (а, б) и при φ l (x) l (x). Чем меньше |φ l (x)| вблизи корня, тем быстрее сходится процесс

Итерационные процессы могут быть односторонними, если φ l (x)>0 и двусторонними, если φ l (x) e, где q=0,052. Если условие выполняется x0:=x и снова считаем значение функции. Если не выполняется – выходим из цикла.

Шаг 4: Выводим полученный результат.

Шаг 5: Конец задачи.

3.2 Блок схема

3.3 Текст программы

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Выполнение решения системы алгебраических уравнений вручную в редакторе Microsoft Excel, математическом пакете MathCAD. Реализация алгоритма решения на языке VBA. Вычислительная схема метода простой итерации. Результат решения нелинейных систем уравнений.

Рубрика Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 15.12.2019
Размер файла 408,5 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Санкт-Петербургский Горный Университет

Кафедра информатики и компьютерных технологий

Курсовая работа

По дисциплине: Информатика

"Решение систем нелинейных уравнений итерационными методами"

Студенту группы МО-18 Иванову Алексею Владимировичу

1. Тема работы Решение систем нелинейных уравнений итерационными методами

2. Исходные данные к работе Система нелинейных уравнений. Вариант № 8

3. Содержание пояснительной записки Титульный лист, индивидуальное задание, аннотация, оглавление, введение, вычислительная схема, блок-схема, решение нелинейных систем уравнений(вручную, средствами MS EXCEL, MATHCAD, VBA), заключение, библиографический список.

4. Перечень графического материала Схемы, рисунки, таблицы

5. Срок сдачи законченной работы 15.05.2019

Руководитель работы Кротова С.Ю. (должность) (подпись) (Ф.И. О.)

Дата выдачи задания 12.02 20 19 г.

Аннотации

Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсовой работы на тему "Решение систем нелинейных уравнений методом простых итераций с параметрами". В работе выполнено решение системы алгебраических уравнений вручную, в редакторе Microsoft Excel, математическом пакете MathCAD, реализован алгоритм решения на языке VBA.

The explanatory note is a report on the execution of the course work on the theme "Solving systems of nonlinear equations by simple iteration with parameters". The solution of the algebraic equations system has been solved manually, in the Microsoft Excel package, in MathCAD, the VBA solution algorithm has been implemented.

1. Вычислительная схема метода простой итерации с параметрами

2. Блок-схема алгоритма

3. Результат решения нелинейных систем уравнений, полученный вручную

4. Решение нелинейных систем уравнений средствами MS EXCEL

5. Решение системы нелинейных уравнений средствами пакета MATHCAD

6. Решение системы нелинейных уравнений с использованием VBA

Введение

Одной из самых сложных задач является решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Существует множество методов решения таких систем, которые успешно приводят к решению, если начальное приближение было заданно достаточно близко к нему. Но если подобрать произвольное приближение, есть вероятность вовсе не найти решения данной системы.

Итерационные методы состоят в последовательном уточнении начального приближения. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня. Если при этом с увеличением n значения приближаются к точному решению заданного уравнения, то говорят, что данный итерационный процесс сходится. уравнение редактор алгоритм

Целью данной курсовой работы является изучение и развитие умения и навыка решения систем нелинейных алгебраических уравнений итерационными методами, а именно методом простых итераций с параметром. А также закрепление навыков работы с программами MS EXCEL, MatCAD и программирования в VBA.

1. Вычислительная схема метода простой итерации с параметрами

Пусть дана нелинейная система n уравнений с n неизвестными, корни которой необходимо найти с заданной точностью .

Для решения данной системы можно применить метод простой итерации с параметрами, алгоритм которого приведен ниже.

1. Задаем точность вычисления ? (обычно ?=10-3 - 10-6.

2. Переписываем систему виде (1):

3. Выбираем начальное приближение

4. Полагаем переменную k, которая нумерует приближения, равной нулю.

5. Полагаем Тi=1, i=1,2,…,n.

6. Вычисляем (k+1)-е приближение по формуле (2).

7. Проверяем условие (3):

8, Проверяем качество нового приближения.

Если условие выполняется, то проверяем пункт 6 при следующем i, в противном случае переходим к пункту 9.

9. Подбираем новое Тi. Если Тi>0, то заменяем Тi на -Тi, в противном случае на -Тi/2. После корректировки Тi возвращаемся к пункту 6, увеличив k на единицу.

2. Блок-схема алгоритма

Рисунок 1 - Блок-схема алгоритма (метод простой итерации)

3. Результат решения нелинейных систем уравнений, полученный вручную

Методом простой итерации с точностью ?=0,001 решим систему нелинейных уравнений:

Согласно приведенному выше алгоритму, принимаем x=x1, y=x2.

Таким образом система принимает вид:

Далее необходимо выбрать начальные приближения. Для этого в системе координат х 1 и х 2 строим графики приведенных выше зависимостей (рис. 2).

Рисунок 2 - Графики зависимости х 2 от х 1

Из графика видно, что система имеет одно решение, заключенное в области ---1.4 0 Then

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.



МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Реферат на тему: «Решение нелинейных уравнений

Выполнил:. Бубеев Б.М.

Проверил: Ширапов Д.Ш.
Улан-Удэ

Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.


  1. точные методы ;

  2. итерационные методы .

Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности.


  1. Функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a, b ] вместе со своими производными 1-го и 2-го порядка.

  2. Значения f ( x ) на концах отрезка имеют разные знаки ( f ( a )  f ( b ) .

  3. Первая и вторая производные f' ( x ) и f'' ( x ) сохраняют определенный знак на всем отрезке.

Решить уравнение (1) итерационным методом значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней с нужной точностью.

Всякое значение , обращающее функцию f ( x ) в нуль, т.е. такое, что:




называется корнем уравнения (1) или нулем функции f ( x ) .


  1. отделение корней - отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;

  2. уточнение приближенных корней - доведение их до заданной степени точности.

Приближенные значения корней ( начальные приближения ) могут быть также известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, или могут быть найдены графическим способом.

В инженерной практике распространен графический способ определения приближенных корней.

Принимая во внимание, что действительные корни уравнения (1) - это точки пересечения графика функции f ( x ) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f ( x ) и отметить точки пересечения f ( x ) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение (1) равносильным ему уравнением:



,

(3)

где функции f 1 ( x ) и f 2 ( x ) - более простые, чем функция f ( x ). Тогда, построив графики функций у = f 1 ( x ) и у = f 2 ( x ) , искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.


Пример 2 . Графически отделить корни уравнения (Рисунок 2):


x lg x = 1 .

(4)

Уравнение (4) удобно переписать в виде равенства:


lg x=.

Отсюда ясно, что корни уравнения (4) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы y = . Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень уравнения (4) или определим его содержащий отрезок [2, 3].

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х 0 . Каждый такой шаг называется итерацией . В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х 1 , х 2 , . х n . Если эти значения с увеличением числа итераций n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится .

Метод простой итерации

Для использования метода итерации исходное нелинейное уравнение f ( х ) = 0 заменяется равносильным уравнением


x = ( x ).

(8)

Пусть известно начальное приближение корня х = х 0 . Подставляя это значение в правую часть уравнения (8), получим новое приближение:



х 1 = ( х 0 ).

Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в (8), получаем последовательность значений:



(9)

Геометрически метод итерации может быть пояснен следующим образом. Построим на плоскости хОу графики функций у = х и у =

( х ) . Каждый действительный корень уравнения (8) является абсциссой точки пересечения М кривой у =

( х ) с прямой у = х (Рисунок 6, а ) .



Отправляясь от некоторой точки А 0 [ x 0 ,

( x 0 )] , строим ломаную А 0 В 1 А 1 В 2 А 2 . (“лестница”), звенья которой попеременно параллельны оси Ох и оси Оу , вершины А 0 , А 1 , А 2 , . лежат на кривой у=

( х ) , а вершины В 1 , В 2 , В 3 , …, - на прямой у = х. Общие абсциссы точек А 1 и В 1 , А 2 и В 2 , . очевидно, представляют собой соответственно последовательные приближения х 1 , х 2 , . корня .

Возможен также другой вид ломаной А 0 В 1 А 1 В 2 А 2 . - “спираль” (Рисунок 6, б ). Решение в виде “лестницы” получается, если производная ' ( х ) положительна, а решение в виде “спирали”, если ' ( х ) отрицательна.

На Рисунке 6, а, б кривая у =  ( х ) в окрестности корня - пологая, то есть 1, то процесс итерации может быть расходящимся (Рисунок 7).


Поэтому для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса.


Теорема: Пусть функция  ( х ) определена и дифференцируема на отрезке [ a, b ], причем все ее значения  ( х ) [ a , b ].

Тогда, если существует правильная дробь q такая, что

q при a x b, то: 1) процесс итерации


сходится независимо от начального значени я х 0  [ a , b ];


2) предельное значение является единственным корнем уравнения х =

( х ) на отрезке [ a, b ].

Пример 5 . Уравнение


f ( x )  x 3 - x - 1 = 0

(10)

имеет корень 
[1, 2], так как f (1) = - 1 f (2) = 5 > 0.

Уравнение (10) можно записать в виде


х = х 3 - 1.

(11)

Здесь

 ( х ) = х 3 - 1 и ' ( х ) = 3 х 2 ;

' ( х ) 3 при 1 х 2

и, следовательно, условия сходимости процесса итерации не выполнены.

Если записать уравнение (10) в виде





(12)

то будем иметь:


.

Отсюда при 1 х 2 и значит, процесс итерации для уравнения (12) быстро сойдется.

Найдем корень  уравнения (10) с точностью до 10 -2 . Вычисляем последовательные приближения х n с одним запасным знаком по формуле

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ А.С. ПУШКИНА

Кафедра информатики и вычислительной математики

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простых итераций и методом Зейделя

студент IV курса

Метод итераций 5

Описание метода 5

Сходимость метода 8

Метод Зейделе 10

Описание метода 10

Сходимость метода. 13

Другая форма метода Зейделя 15

Практическая часть 18

Листинг №1(метод простой итерации) 18

Листинг №2(метод Зейделя) 20

Список используемой литературы 24

Введение

Способы решения линейных систем уравнений разделяют в на 2 группы.

Первые, точные методы представляющие собой конечные алгорифмы для вычисления корней системы (таковыми например, являются правило Крамера, метод Гаусса, метод главных элементов, метод квадратных корней и др.).

Вторые, итерационные методы позволяющие получить корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов (к числу таковых относят, метод итераций, метод Зейделя, метод релаксации).

Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются округленными, причем оценка погрешностей корней в общем случае затруднительна.

При использовании итерационных процессов, сверх того, добавляется погрешность метода.

Заметим, что эффективное применение итерационных методов существенно зависит от удачного выбора приближения и быстроты итерационного процесса.

Сейчас разберем несколько определений которые будем использовать в этой работе.

Система линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Предполагая, что диагональные коэффициенты и т. д. Тогда получим эквивалентную систему

Систему (2) можем записать в матричной форме

Далее строим матрицы столбцы

при малы по абсолютной величине. Иными словами, для успешного применения процесса итерации модули диагональных коэффициентов системы (1) должны быть велики по сравнению с модулями недиагональных коэффициентов этой системы (свободные члены при этом роли не играют).

Читайте также: