Метод малого параметра реферат

Обновлено: 05.07.2024

Метод малого параметра. Исследование МММА колебаний в автогенераторе на туннельном диоде.
Среди нелинейных дифференциальных уравнений в теории колебаний особую роль играет уравнение Ван-дер-Поля

(9)
Это уравнение описывает широкий спектр колебаний в различного типа автогенераторах. Параметр ε изменяется в широких пределах от 10-3 до 104. Это уравнение описывает процесс развития и установления колебаний, как в автогенераторах гармонических колебаний (ε - малая величина ~ 10-2 ÷ 10-3 ), так и в генераторах релаксационных колебаний (ε - большая величина ~ 102 ÷ 104). В автогенераторе R2 можно положить равным 0.
Рабочую точку на ВАХ туннельного диода для автогенераторов выбирают на середине отрицательного участка ВАХ туннельного диода. Т.к. R2 = 0, то нагрузочная линия пройдет перпендикулярно к оси абсцисс.

Аппроксимируем ВАХ полиномом третьей степени φ(V)= - k1V + k2 V3 (укороченным полиномом).

k1 = | Gд | - туннельного диода.

Методы применяются и для анализа вынужденных колебаний и для анализа процессов установления автоколебаний.

Основная идея, метода малого параметра, заключается в следующем - пусть дифференциальное уравнение (или система уравнений), описывающие поведение колебаний в цепи удается представить в таком виде, что его правую часть входит малый параметр ε. Например,

(1)
Если решение при известно и равно, например, S0(t), тогда при решение S(t) ищется в виде ряда по степеням малого параметра

(2)
Максимальная величина степени ε в решении определяет степень приближения. Путем подстановки решения вида (2) в исходное уравнение (1) и выполнения ряда преобразований можно получить уравнение для определения поправок приближений Sν(t). Обычно 1е приближение находится легко, 2е находится значительно труднее 1го, 3е еще труднее и т.д. Однако, часто удовлетворительным оказывается уже 1е или 2е приближение.

Быстро и правильно выбрать порождающее решение S0(t) и определить, что следует использовать в качестве малого параметра ε, удается только для уравнений 2го порядка.

Существуют различные разновидности методов малого параметра. Наиболее строгим является асимптотический метод Крылова-Боголюбова.

Рассмотрим подробно один из методов малого параметра – метод медленно меняющегося амплитуд анализируя с его помощью установление колебаний в автогенераторе на туннельном диоде.

В методе медленного меняющегося амплитуд предполагается, что кроме условия малости параметра ε .
Схема автогенератора на туннельном диоде представлена уравнение, описывающее колебание в цепи можно составить используя
1 закон Кирхгофа (МУН) после дифференцирования получим . Полное напряжение Un содержит постоянную составляющую Е0 и переменную U, (Un=E0+U).

Для переменной составляющей дифференциальное уравнение принимает вид

Используя для аппроксимацию полиномом 3й степени, разложения в ряд Тейлора функции .
Окончательно получим уравнение вида
называемое уравнением Ван-дер-Поля

Уравнение Ван-дер-Поля описывает колебательные процессы в большом классе разнообразных нелинейных цепей. Параметр может принимать значение от долей д сотен если >>1 – то оно описывает релаксационный колебательный процесс.

Пусть в нашем случае

Пусть .
Имеем решение в виде , (при , имеем , поэтому при малых решение должно незначительно отличаться от . Найдем производные и подставим результат в Ур-е Ван-дер-Поля.

Подставляя имеем

Если разделить уравнение на А. и так как sin=0 получим

или . Для установившихся, т.е для смежнопарных колебаний . Следовательно 4А2=А4, откуда А=2
Таким образом . Учитывая получаем этот рядок был получен при использовании метода гармонической линеаризации.

Возвращаясь к уравнению описывающему амплитуды колебаний в автогенераторе . Заменим , тогда откуда

Разделяем переменные и интегрируем ,

а) замечаем, что по мере увеличения , (это было найдено ранее, и является признаком правильности)
б) при малых , а также при малой амплитуде А0 ,

Получен знакомый по методу линеаризации результат – экспоненциальное нарастание амплитуды пока колебания малы. Т.е. метод медленно меняющихся амплитуд объединил результаты методов линеаризации и метода гармонической линеаризации и позволил кроме того определить характер установления колебаний.

Боголюбова, Ю. А. Митропольский. Напишите желаемое периодическое решение в следующем формате х-ХL iLXl ntxi … 2 часа дня. Где x0, xi x-неизвестная периодическая функция частот, кратных циклическим частотам p и p, определяемая later. At одновременно разверните p — 2 нужной круговой частоты-с мощностью малого параметра p. п а АИП ПДП… 3 часа дня. Где ocj, a4-постоянный коэффициент, который определяется при интегрировании Формулы 1.

При вычислении момента инерции однородной плоской фигуры относительно некоторой оси выделяют в плоской фигуре такую элементарную площадь, момент инерции которой относительно соответствующей оси известен, либо легко может быть подсчитан. Людмила Фирмаль

Значения Oj, a выбираются таким образом, чтобы решение 2 было периодическим, то есть не содержало так называемых резонансных или долговременных членов, которые растут бесконечно с time. To для ясности предположим, что при решении задачи необходимо интегрировать дифференциальные уравнения. У1 п х м грех ст НТ грех 3 ПТ… Коэффициент Mt зависит от at. Среди конкретных решений этого уравнения есть бесконечно возрастающее резонансное решение-cos pt. To чтобы искомый закон движения был цикличным, необходимо учесть M равное нулю. Искомый коэффициент a определяется по формуле Mi 0. Решите задачу указанным методом и определите следующий закон свободных нелинейных колебаний.

Рекомендуется в следующем порядке 1 Создайте дифференциальное уравнение движения 1, представленное в виде—p f x 0. 2 используя формулы 2 и 3, в разложении мощности малого параметра p опишем искомый закон движения x и неизвестную мощность 2 круговой частоты p. 3 вычислить I и I, используя формулу 2 4 заменить значения x, I и I в абзаце. 2 и 3 подраздел 1 дифференциал equations. At в то же время замените коэффициент а с помощью Формулы 3.То есть, ki-pt-a1p, — a ii— …И еще write. As результатом этих подстановок является дифференциальное уравнение с членами, содержащими малый параметр p различной степени obtained. In кроме того, без членов p А. А. Андронов, А. А. Вит, О. Е.

Теория колебаний, физмати, 1959. Н. м. Крылов и Н. Н. Боголюбов, введение в нелинейную механику, Изд-во АН УССР, Киев, 1937. 5 в дифференциальном уравнении части 4 мы собираем член, который содержит меньший параметр той же степени, и член, который не содержит p. то есть выражение выражается в виде А у см. .- .- О. 6 малые коэффициенты параметров различных порядков, а также отсутствие членов p, то есть АО 0 11 0 22 0…равняясь нулю, мы получаем систему дифференциальных уравнений. Д х.- О. х0 Л Pax2 Р2 А1,а, ХД, хD 7 запишите начальные условия движения дифференциальных уравнений в п. 6. Итак, гипотетически, если 0, то x 0 a, b 0 0, то, исходя из выражений H и H, получим п.

Используя начальные условия 7, интегрируем дифференциальное уравнение X0 p9×0 0 и x0 0 9 ввести полученную формулу xe t в дифференциальное уравнение я Р Х Fi в ОИ. х0 После простой тригонометрии с правой стороны мы получаем следующую форму п Х2 l1x потому что ПТ потому что 3 ф… Чтобы не увеличиваться бесконтрольно со временем, его следует считать равным нулю. Определите C из уравнения 0. 10 используя начальные условия движения в пункте 7 интегрировать дифференциальное уравнение А Х1 Н COS на 3 ПТ… определите xj f.

Значения x0 0, ots и x1 0-это пункт 8, 9 и 10 вставить в дифференциальное уравнение А Р2 1 ф я а ХV ХД. Повторите расчет, а также расчет абзаца. 9 и 10, А и Х2 0 и т. д 12 определите искомые значения x 0 и p9, пункт 2 и введите расчетные значения xv 0, aj Xj 0, a2, x2 0 и т. д При решении задачи строки 2 и 3 обычно усекаются терминами, включающими p или A. ниже приведен пример х х0 jxx1 p2×2, Р2 А2 СА1 п a9. Задача 20.2.Используя метод малых параметров, определите уравнение физического маятника конечной амплитуды и частоту круговых колебаний, если P — его вес. I-расстояние от оси подвески z до центра тяжести см. рисунок, а 1-момент инерции маятника относительно подвески axis.

В первый момент маятник отклонялся от вертикали на равный угол и отпускался без начальной скорости. Решение. Применить дифференциальное уравнение для вращения твердого тела вокруг неподвижной оси r Внешняя сила-P-гравитация, задача 20.2. Ри 7 А-это компонент реакции по оси Z. Сумма моментов внешней силы — будет равна PZsincp. So, вид дифференциального уравнения равен xp — PZsintp, то есть А грех Р 0, 1 Где это показано Формула 1 имеет вид nonlinear. To разверните sin g G g -.. 2 Если вариация мала, то есть sin pia p, то уравнение 1 становится линейным. д р 0. При заданных начальных условиях i 0, a0 и 0 решение имеет вид Ф. о. soaI.

Чтобы определить закон колебаний конечной амплитуды, запишите первые 2 члена в ряд 2. То есть sin p q —в этом случае уравнение 1 примет вид A -RF 0, 4 где малый параметр p имеет значение Для определения закона колебаний маятника применяется метод малых параметров. он всесторонне выполняет точный расчет для термина, содержащего p в 1-м порядке. Таким образом, искомый угол склонения и неизвестная круговая частота p составляют 2 раза ф 0 Ф 0 МФ1 0. 6 ПГ ка парад 7 Где, 1 0 и константы подлежат последующим решениям. Используя 6 и 7, введем 0 1 и k pa-pa в уравнение 4.Ты найдешь его. ФО Ра-на1 Фо УХЛ1 -а Фо IF1 0.

До члена, содержащего малый параметр p первого порядка, уравнение принимает вид Fo 4-R Fo I F1 F1 1fo-FY 0. а также коэффициенты в скобках без p, если мы уравняем члены уравнения без p до нуля ФО Фо О, 8 Ф1 ргУ1 1фо Ф5 — 9 Учитывая начальные условия t 0, p aQ, 0, используя уравнение 0 Фо 0 нф1 0 О О Ф О нФ О пиши ФО 0 ЛF1. О Фо о ЛF1 о. В каждом из этих уравнений члены без p и с p слева и справа делаются равными начальным условиям функций 0 0 и 1. ФО 0 АО. Ф1 О. ФО О. Ф1 0 0.

Если в ходе решения задачи требуется вычислить момент инерции твердого тела относительно оси, не проходящей через центр тяжести, то проводят параллельную ось через центр тяжести твердого тела и применяют теорему Штейнера (при этом момент инерции твердого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести, масса твердого тела и расстояние между параллельными осями должны быть известны). Людмила Фирмаль

Переходим к интегрированию дифференциальных уравнений 8.как известно, формат его общего решения имеет вид о 0 Cx cos pt С, sin pt А производная по времени-это 0 — С psin пт Хгп потому что ПТ. Если ввести в эти уравнения начальные условия 10 t Q, oa, 0, то получим Cx a0 Ca 0.И так оно и есть. Пхо 0 о cospt. И Это первое приближение, в котором круговая частота p еще не определена. Для закрепления дифференциального уравнения 9 введем результат 11 справа и формулу cos pf y cos pt используйте cos 3 pt. Возьми Ф1 П ти О Б 4 в Потому что ПТ -Т Адж, потому что 3 РФ.

Конкретное решение этого уравнения, соответствующее первому члену правой части, неограниченно возрастает частное решение x — — tsinp является дифференциальным уравнением J Помните, что это соответствует P8x bcosp .Поскольку закон искомого движения является периодическим, то коэффициент формулы 12 в cos pt должен быть равен нулю, то есть ax aj 0.

Где формула 12 имеет вид i p4i 4a8cos3P О4 Его общее решение fx равно сумме F1 f, 11 f, 1, 15 Где f — частное решение уравнения 14, а f 1 — общее решение соответствующего однородного уравнения F1 p ph1-0.In это дело Ф Ф 1 Ди cospt да грех, пт, ТП Альф соз 3 ПТ Ф И f — Если вы назначите 9apcos 3pt формуле 14, вы найдете a — atsthr1.Теперь общее решение 15 можно записать следующим образом Форекс ДХ, потому что ПТ да грех пт-потому что 3 ПТ 16 Функция 16 и ее производная по времени —DJ slnjrf d2pcos RF — sin3pf Начальные условия движения 10 7 0, 0 0, 1 0 0, поиск.

Введите эти значения Dx и D в Формулу 16 Pi C spf-cos3pf — О Чтобы определить искомый закон вибрации p и крутую частоту маятника p, воспользуемся результатами 11, 13 и 17. В Формуле Б и 7 р a0cos РФ п. — Кос РФ-cos3 ТФ пр — к вторичный марки. Используйте значение малого параметра p 5, чтобы, наконец, найти 2-е приближение. 18 19 Где a0-начальный угол отклонения маятника от вертикали, 6 PI I,.Из Формулы 19 следует, что p k l — — a Г 2.Узнайте больше. до тех пор, пока член, включающий a, 1—g-aoj 1-pj-a , не найдет круговую частоту P, представляющую интерес.

Как видно из Формулы 20, маятник колеблется по закону 20 на частоте кривизны Р 18, которая зависит от начального отклонения маятника А0.Поэтому вибрации нет isochronous. In другие слова Условия эксплуатации. Напомним, что приближенное линейное дифференциальное уравнение A p 0 соответствовало изохронным гармоническим колебаниям 3 p a0cos6f. поэтому даже приближенное решение нелинейных уравнений, выполненных в этой задаче, смогло обнаружить отсутствие изохронности колебаний. Влияние начального углового отклонения маятника a0 на круговую частоту p равно small.

Если из Формулы 20 ab 30 0,52 рад, то р 0,9836. В заключение воспользуемся 18 результатами формулы 20 и применим приближенное уравнение — — — — — найти 1 Tb Dem, искомый закон вибрации маятника в форме — Ля. , 21 Если проигнорировать член, содержащий aj в уравнении 21, то приближенный результат, соответствующий линейному дифференциальному уравнению 6а p 0 3 p av cos kt.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Теорема 9.1. Если вырожденная система (9.22) экспоненциально устойчива, то существует такое достаточно малое р, что исходная система (9.21) также экспоненциально устойчива. Используем эту же функцию V (x) для анализа устойчивости исходной системы. Ее полная производная в силу системы (9.21) имеет вид. На вопрос о том, насколько процессы в системе (9.21) близки к процессам в системе (9.22… Читать ещё >

Метод малого параметра ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Этот метод дает обоснование возможности пренебрежения малыми величинами, которые присутствуют в математической модели и обычно не учитываются при проектировании реальной системы управления. Следует заметить, что подобное пренебрежение допустимо, если при этом не изменяются качественные свойства системы, а количественно они изменяются несущественно.

Рассмотрим суть метода малого параметра для системы, поведение которой описывают уравнения состояния.

Здесь f (x) и (р (х) — непрерывные, дифференцируемые функции с ограниченными производными,/(0) = 0 и ф (0) = 0, а нормы векторов соизмеримы (||/(х)|| ~ Цф (Х)11); Р — малый параметр, причем о его малости можно говорить, когда р ~ 0,1||/(.г)||.

Наряду с исходной системой будем рассматривать вырожденную, которая получается из системы (9.21) при р = 0:

На вопрос о том, насколько процессы в системе (9.21) близки к процессам в системе (9.22), отвечает следующая теорема.

Теорема 9.1. Если вырожденная система (9.22) экспоненциально устойчива, то существует такое достаточно малое р, что исходная система (9.21) также экспоненциально устойчива.

Используем эту же функцию V (x) для анализа устойчивости исходной системы. Ее полная производная в силу системы (9.21) имеет вид.

С учетом неравенства (9.23) вместо равенства (9.24) получим неравенство.

Поскольку произведение также можно ограничить сверху квадратом нормы, то при достаточно малом р вторая составляющая правой части неравенства (9.25) будет меньше по модулю, чем первая. При этом значение V (x) будет не просто меньше нуля, а меньше некоторой квадратичной оценки. Следовательно, система (9.21) будет экспоненциально устойчива.

К сожалению, конкретное числовое значение р, начиная с которого будет выполняться условие экспоненциальной устойчивости исходной системы, оценить довольно трудно. Применяемый с этой целью второй метод Ляпунова дает явно заниженное значение. В малой окрестности точки равновесия имеет смысл линеаризовать систему (9.21) и найти граничное значение параметра р с помощью любого критерия устойчивости.

Отметим, что теорема 9.1 позволяет упростить исследование устойчивости сложных нелинейных систем, так как достаточно проверить устойчивость более простой вырожденной системы.

откуда видно, что правая часть (3) терпит разрыв при воспользоваться в этом случае нельзя.

Вопрос ставится так: при каких условиях для малых значений в уравнении (2) можно отбросить член и в качестве приближения к решению дифференциального уравнения (2) рассматривать решение так называемого "вырожденного уравнения"

Пусть для определенности и пусть вырожденное уравнение (4) имеет лишь одно решение . В зависимости от поведения вблизи решения уравнения (4) решение дифференциального уравнения (2) при вырожденного уравнения, либо быстро удаляется от него.

В первом случае решение уравнения (4) называют устойчивым , во втором — неустойчивым .

Именно, если при переходе через график решения вырожденного уравнения (4) функция с возрастанием устойчиво и им можно приближенно заменить решение . уравнения (2) (рис. 47).

Если же функция меняет знак с вырожденного уравнения (4) неустойчиво и заменять решение дифференциального уравнения (2) решением вырожденного уравнения (4) нельзя (рис. 48).

Достаточные условия устойчивости или неустойчивости выражаются следующими предложениями.

1. Если на решении уравнения (4), то решение вырожденного уравнения устойчиво.

2. Если на решении уравнения (4), то решение вырожденного уравнения неустойчиво.

Если вырожденное уравнение (4) имеет несколько решений , то каждое из них должно быть исследовано на устойчивость . При этом поведение интегральных кривых дифференциального уравнения (2) при .

Возможен также полуустойчивый случай , когда функция при переходе через кривую не меняет знак (например, если есть корень четной кратности вырожденного уравнения (4)). В этом случае при малом интегральные кривые уравнения (2) с одной стороны кривой стремятся к этой кривой, а с другой — удаляются от нее.

В первом случае мы говорили, что начальная точка принадлежит области притяжения полуустойчивого решения , а во втором случае — области отталкивания.

В полуустойчивом случае, как правило, нельзя заменять решение исходного уравнения (2) решением вырожденного уравнения (4).

Можно указать критерии, когда интегральные кривые уравнения (2) при соответствующем выборе начальной точки приближаются к решению вырожденного уравнения и остаются в его окрестности при , однако это справедливо лишь при отсутствии возмущений уравнения (2).

Приведем эти критерии.

Пусть в окрестности полуустойчивого решения вырожденного уравнения (4) функция . Если , то интегральные кривые уравнения (2), приближающиеся к кривой , не могут пересечь эту кривую и остаются в ее окрестности при (начальная точка должна находиться в области притяжения полуустойчивого решения ; если находится в области отталкивания, то соответствующая интегральная кривая уравнения (2) быстро удаляется от кривой ) (рис. 49). Если , то интегральные кривые, приближающиеся к графику функции , пересекут его и с другой стороны кривой быстро удалятся от нее. Если при и при , то при достаточно малом интегральные кривые, выходящие из точки , принадлежащей области притяжения корня , остаются вблизи кривой при ; в окрестности точки они пересекают кривую и затем удаляются от нее.

Если в окрестности полуустойчивого решения функция , то для справедливости высказанных утверждений знаки у производной надо заменить противоположными.

Пример 1. Выяснить, стремится ли решение уравнения

удовлетворяющее начальному условию к решению вырожденного уравнения при и .

Решение. Имеем , так что решение вырожденного уравнения , выходящее из любой начальной точки , стремится к решению вырожденного уравнения при (рис.50).

В этом можно убедиться непосредственно проверкой. Решая дифференциальное уравнение (5) как линейное неоднородное при заданном начальном условии , найдем

откуда непосредственно видно, что при , то есть и .

Пример 2. Исследовать на устойчивость решение вырожденного уравнения для уравнения

Решение. Вырожденное уравнение имеет два решения . Имеем

так что решение

Пример 3. Исследовать на устойчивость решение вырожденного уравнения, отвечающего уравнению

Решение. Вырожденное уравнение имеет корень второй кратности. Функция в окрестности этого корня, и . Следовательно, решение — полуустойчивое, и если начальная точка лежит в полуплоскости под прямой (область притяжения корня ), то интегральная кривая , выходящая из точки , будет при оставаться в окрестности линии (рис.52).

Читайте также: