Математика в черчении реферат

Обновлено: 30.06.2024

Условиями успешного овладения техническими знаниями являются умение читать чертежи и знание правил выполнения и оформления чертежей. Чертеж является одним из главных носителей технической информации, без которой не обходится ни одно производство.

Черчение как предмет изучения ставит следующие задачи:

-научить выполнять различные геометрические построения при помощи чертежных инструментов; строить изображения предметов как при помощи чертежных инструментов, так и от руки; изображать предметы в прямоугольных проекциях на чертежах;

-научить читать чертежи и самостоятельно выполнять эскизы и чертежи несложных деталей и узлов; развить пространственное представление.

Значение чертежей в науке и технике очень велико. По чертежам строители возводят жилые дома, фабрики, заводы, дороги, мосты и другие инженерные сооружения; машиностроители по чертежам изготовляют машины, станки, турбины; монтажники по чертежам собирают и устанавливают оборудование на фабриках, заводах, электростанциях и других объектах.

При изучении многих дисциплин пользуются чертежами, поясняющими устройство машин, узлов, элементов зданий, инженерных сооружений и других предметов.

Потребность изображать предметы появились у людей очень давно. Еще в древности люди изображали на камнях диких зверей, охоту и др. Позднее подобные изображения появились на предметах домашнего обихода - сосудах, вазах и на другой утвари. Так возникли первые изображения предметов и явлений, которые человек наблюдал в окружающей его жизни.

В процессе трудовой деятельности человека возникла необходимость изображать еще не существующие предметы и строения. Такая задача стала, например, перед зодчими при сооружении храмов, театров и дворцов.

Чертежи планов и фасадов зданий были известны еще в Древнем Египте, о чем свидетельствуют дошедшие до нас изображения построек на папирусах. Однако потребовался большой период времени, прежде чем отдельные изображения плана и фасада предмета были объедены в систему двух видов, т.е. чертеж предмета в современном понимании этого слова.

В России способы изображения предметов на плоскости развивались своими путями от примитивных и условных зарисовок до более совершенных, приближающихся к современным проекционным чертежам.

Индустриализация нашей страны, создание отечественного машиностроения и других производств, сооружение новых фабрик, заводов и городов привели к более широкому использованию чертежей, к разработке конструкторских проектов.

Под конструированием понимается творческий и системный процесс разработки конструкторской документации, объем и качество которой позволяет изготовить машину с соблюдением всех требований машиностроительной технологии.

Ведущая роль в конструировании принадлежит конструктору машины. Он должен разработать проект, включающий полный комплект графической и текстовой документации, на основе которой возможно изготовить машину, провести ее испытания, убедиться в правильности принятых технических и конструктивных решений, а также наладить единичное, серийное или массовое производство таких машин; разобраться в процессе использования машины, в принципах ее работы, правилах эксплуатации и обслуживания для обеспечения ее надежности и долговечности.

В разработке конструкторской документации немалая роль отводится чертежнику-конструктору. Он выполняет рабочие чертежи отдельных деталей по чертежу общего вида изделия(при этом используются геометрические построения),разработанного конструктором, предопределяет технологию изготовления отдельных деталей в зависимости от наличия на предприятии технологического оборудования, отрабатывает конструкции деталей на технологичность и т.д.

Работа чертежника-конструктора является наилучшей начальной школой для будущего конструктора. Через эту школу прошли многие конструкторы, получившие мировое признание: выдающееся конструкторы космических кораблей и ракетно-космической техники С.П.Королев и М.К.Янгель, известные авиаконструкторы С.В.Ильюшин, А.С.Яковлев, А.И.Микоян и многие другие.

Чтобы умело выполнять свои обязанности, чертежник-конструктор должен обладать определенной суммой знаний и умений, позволяющих ему грамотно читать и выполнять чертежи и схемы, а также пользоваться технической литературой и справочниками. Но знать основные правила чтения и выполнения чертежей важно не только их разработчику. Ведь чертеж - язык техники, и любой квалифицированный рабочий, участвующий в создании, эксплуатации и ремонте оборудования, должен хорошо разбираться в технической документации.

Главные цели моей работы:

¨изучить литературу;

¨рассмотреть различные способы выполнения геометрических построений;

¨применить полученные знания при решении практических задач.

При составлении чертежей приходится делать различные геометрические построения на плоскости. Простейшие геометрические построения выполняются циркулем, угольником, линейкой и рейсшиной.

При вычерчивании деталей, построении разверток поверхностей приходится выполнять различные геометрические построения, например делить на равные части отрезки и окружности, строить углы, выполнять сопряжения и др.

Геометрические построения.

Геометрические построения - это способ решения задачи, при котором ответ получают графическим путем. Построения выполняют чертежными инструментами при максимальной точности и аккуратности работы, так как от этого зависит правильность решения.

Условия задач и вспомогательные построения выполняют тонкими сплошными линиями.

Выбор рационального способа решения задачи сокращает время, затрачиваемое на работу. Например, при построении равностороннего треугольника, вписанного в окружность, более рационален способ, при котором построение выполняют рейсшиной и угольником с углом 60 градусов без предварительного определения точек деления. Менее рационален способ решения этой же задачи при помощи циркуля и рейсшины с предварительным определением точек деления.

Деление отрезков.

Деление отрезка прямой на две и четыре равные части выполняется в следующей последовательности.

Из концов отрезка АВ циркулем проводят две дуги окружности радиусом R , несколько большим половины данного отрезка, до взаимного пересечения в точках n и m (рис. 1). Точки n и m соединяют прямой, которая пересекает отрезок АВ в точке С. Точка С делит отрезок АВ на две равные части. Проделав подобное построение для отрезка АС, находим его середину-точку D. Повторив построение для отрезка СВ, разделим отрезок AB на четыре равные части.

Деление отрезка прямой на любое число равных частей.

Пусть отрезок АВ требуется разделить на шесть равных частей. Для этого из любого конца данного отрезка, например из точки В (рис.2) , проводят под произвольным острым углом вспомогательную прямую линию ВС, на которой от точки В измерительным циркулем откладывают 6 равных отрезков произвольной величины. Крайнюю точку 6 последней отложенной части соединяют с точкой А прямой АВ . Затем с помощью линейки и угольника проводят ряд прямых параллельных прямой 6А, которые и разделяют отрезок АВ на 6 равных частей.

Построение углов.

Построение и измерение углов транспортиром.

Транспортир - это прибор для измерения и построения углов. Это полукруг с разбивкой на градусы, соединенный с опорной планкой. Для измерения угла транспортир прикладывают опорной планкой к одной из сторон данного угла так, чтобы вершина угла (точка А) совпадала с точкой О на транспортире. Величину угла САВ в градусах определяют по шкале транспортира.

Для построения угла заданной величины (в градусах) со стороной АВ и вершиной в точке А к АВ прикладывают транспортир так, чтобы его центр (точка О)совпал с точкой А прямой АВ, затем у деления шкалы транспортира, соответствующего заданному числу градусов, наносят точку n . Транспортир убирают и проводят через точку n отрезок АС - получают заданный угол САВ.

Углы можно строить при помощи угольников и линейки. На рис.3 показано, как при различных положениях угольников на линейке можно строить углы 60 градусов (120 градусов), 30 градусов (150 градусов), 45 градусов (135 градусов) и другие при использовании одновременно двух угольников.

Деление угла на две и четыре равные части.

Из вершины угла провести произвольным радиусом дугу до пересечения со сторонами угла ВАС в точках n и k (рис. 4,а). Из полученных точек проводят две дуги радиусом R, несколько большим половины длины дуги nk, до взаимного пересечения в точке m. Вершину угла соединяют с точкой m прямой, которая делит угол ВАС пополам. Эта прямая называется биссектрисой угла ВАС . Повторяя это построение с полученными углами ВА m и mАС угол ВАС можно разделить на четыре и более равных частей.

Деление прямого угла на три равные части.

Из вершины А прямого угла (рис. 4,б) произвольным радиусом R описывают дугу окружности до пересечения ее со сторонами прямого угла в точках а и в, из которых проводят дуги окружности того же радиуса R до пересечения с дугой ab в точках m и n. Точки m и n соединяют с вершиной угла А прямыми и получают стороны А m и А n углов ВAm и nАС, равных 1/3 прямого угла , т.е. 30 градусов. Если каждый из этих углов разделить пополам , то прямой угол будет разделен на шесть равных частей , каждый из углов будет равняться 15 градусам . Прямой угол АВС можно разделить на три равные части угольником с углами 30 градусов и 60 градусов ( рис. 5,а). При выполнении чертежей нередко требуется разделить прямой угол на две равные части . Это можно выполнять угольником с углом 45 градусов (рис. 5,б).

Построение угла, равного данному.

Пусть задан угол ВАС . Требуется построить такой же угол. Через произвольную точку А1 проводим прямую А1С 1 . Из точки А описываем дугу произвольным радиусом R, которая пересечет угол ВАС в точках m и n (рис. 6,а). Из точки А1 проводим дугу тем же радиусом и получаем точку m1 . Из точки m1 проводим дугу радиусом R1 , равным отрезку mn, до пересечения с ранее проведенной дугой радиуса R в точке n1 (рис. 6,б). Точку n1 соединяем с точкой А1 и получаем угол В1А1С1, величина которого равна заданному углу ВАС.

Деление окружностей.

Деление окружности на четыре и восемь равных частей.

Необходимо разделить окружность на восемь равных частей. Это можно сделать с помощью угольника с углами 45 градусов (рис. 7,б) , гипотенуза угольника должна проходить через центр окружности , или построением.

Два взаимно перпендикулярных диаметра окружности делят ее на четыре равные части (точки 1,3,5,7 на рис. 7,а). Чтобы разделить окружность на восемь равных частей, применяют известный прием деления прямого угла с помощью циркуля на две равные части. Получают точки 2,4,6,8.

Деление окружности на три, шесть и двенадцать равных частей.

Для нахождения точек, делящих окружность радиуса R на три равные части, достаточно из любой точки окружности, например точки А , провести дугу радиусом R . Пересечения дуги с окружностью дают две искомые точки 2 и 3; третья точка деления будет находиться на пересечении оси окружности, проведенной из точки А1 с окружностью (рис. 8,а).

Разделить окружность на три равные части можно также угольником с углами 30 градусов и 60 градусов (рис. 8,б), гипотенуза угольника должна проходить через центр окружности.

На рис. 9,а показано деление окружности циркулем на шесть равных частей. В этом случае выполняется то же построение, что на рис. 8,а , но дугу описывают не один, а два раза , из точек 1 и 4 радиусом R, равным радиусу окружности.

Разделить окружность на шесть равных частей можно и угольником с углами 30 и 60 градусов (рис. 9,б).

При делении окружности на 12 равных частей с помощью циркуля можно использовать тот же прием, что и при делении окружности на шесть равных частей (рис. 9,а), но дуги радиусом R описывают четыре раза из точек 1,7,4,10 (рис. 10,а).

Используя угольник с углами 30 и 60 градусов с последующим поворотом его на 180 градусов, делят окружность на 12 равных частей (рис. 10,б)

Деление окружности на пять, десять и семь равных частей.

Через намеченный центр О (рис. 11) при помощи рейсшины и угольника проводят осевые линии и из точки О циркулем описывают окружность заданного диаметра. Из точки А радиусом R, равным радиусу данной окружности, проводят дугу, которая пересечет окружность в точке n. Из точки n опускают перпендикуляр на горизонтальную осевую линию, получают точку С. Из точки С радиусом R1, равным расстоянию от точки С до точки 1, проводят дугу, которая пересечет горизонтальную осевую линию в точке m. Из точки 1 радиусом R2, равным расстоянию от точки 1 до точки m, проводят дугу, пересекающую окружность в точке 2. Дуга 12 является 1/5 длины окружности. Точки 3,4,5 находят, откладывая циркулем отрезки, равные m1. Следует окружность разделить на 10 равных частей (рис. 12). В этом случае следует применить то же построение, что и при делении окружности на пять частей (см. рис. 11). Отрезок n1 будет равняться хорде , которая делит окружность на 10 равных частей.

Деление окружности на семь равных частей показано на рис. 13. Из точки А проводится вспомогательная дуга радиусом R , равным радиусу данной окружности, которая пересечет окружность в точке n. Из точки n опускают перпендикуляр на горизонтальную осевую линию. Из точки 1 радиусом, равным отрезку nc , делают по окружности семь засечек и получают семь искомых точек.

Деление окружности на любое число равных частей.

С достаточной точностью можно делить окружность на любое число равных частей, пользуясь таблицей коэффициентов для подсчета длины хорды(табл. 1)

Зная, на какое число (n) следует разделить окружность, находят по таблице коэффициент k. При умножении коэффициента k на диаметр окружности D. получают длину хорды l, которую циркулем откладывают на окружности n раз.

Например, необходимо окружность диаметра D=42 мм разделить на 20 равных частей. Количеству частей окружности n=20 соответствует коэффициент k=0,156. Подсчитав длину хорды l=Dk=42х0,156=6,552 мм, ее циркулем откладывают на окружности 20 раз (рис. 14).

Проектная деятельностью называют один из видов творческой деятельности учащихся. Такой вид деятельности предполагает четкое прогнозирование результата и ясное представление о конечном продукте деятельности.

Данная деятельность связана с решением учащимися творческой задачи.

Мы поставили перед собой цель:

показать применимость математических знаний в повседневной жизни и прикладной характер геометрии.

В этом проекте учащиеся изучают правила геометрии, которые применяются при построении чертежей.

Актуальность нашего исследования в том, мы хотели бы показать значение геометрии в жизни.

1. Настоящее время значение геометрических знаний велико, так как геометрический материал применяется при изучении курса физики, химии, астрономии, технологии, черчении и т.д. Например,

- площадь прямоугольника – выражает абсолютное значение перемещения тела за данный промежуток времени при ее равномерном движении по прямой.

- Площадь трапеции – изображает перемещение тела при равнопеременном движении

- Движение по любой криволинейной траектории можно приближенно представить как движение по дугам некоторых окружностей.

- Определение массы Луны основывается на понятиях окружности, ее центра и радиуса.

2. Одной из важнейших моментов является то, что умение разбираться в геометрии лежит на основе овладения различными профессиями.

Геометрические преобразования применяются в искусстве, архитектуре, дизайне и т.д. Использования свойств гомотетии, подобия лежит на основе профессии портнихи, так как преобразование гомотетия и подобия используются при раскрое ткани.

3. Изучаемые в геометрии фигуры являются отражением реальных форм предметов, с которыми мы постоянно встречаемся в жизни. В своей практической деятельности человек часто имеет дело с равными и симметричными фигурами, фигурами прямоугольной формы, кругами. Например, если решим украсить свой костюм нашивкой из другого материала, мы рисуем на бумаге изображение нашивки, вырезаем его, затем накладываем на материал, из которого будет нашивка, и вновь вырезаем по границе. Здесь фигуры, вырезанные из бумаги и из материала, равны, потому что они совмещаются одна с другой.

Цель:

Развить познавательные интересы, интеллектуальные. Творческие и коммуникативные способности учащихся, определяющих компетентной личности, способной к жизнедеятельности и самоопределению в информационном обществе.

Работа над проектом направлена на :

на осознание целей учебно – исследовательской деятельности;

умение поставить цель и организовать её достижение;

развитие творческих качеств, критичность, наличие своего мнения, коммуникативных качеств;

использование исторических сведений;

Актуальность проекта обусловлена её методологической значимостью. Знания и умения необходимые для организации проектной деятельности, в будущем станут основой для организации научно-исследовательской деятельности в вузах, колледжах.

Задачи :

Приобретение знаний о структуре проектной деятельности;

о способах поиска необходимой информации ; о способах обработки результатов;

освоение основных компетенций: учебно-познавательной, учебно- информационной, информационно – коммуникативной.

Методы работы на проектом:

Теоретические
Специальные
Общенаучные
Исторические

Способы работы над проектом :

Анализ
Синтез
Абстрагирование
Аналогия
Наблюдение

Приемы работы над проектом :

Этапы работы на проектом.

Содержание работы на этапе

Деятельность учащихся

Деятельность учителя

1 Этап: подготовка

Проведение вводной беседы с целью:

-формирования первичного представления о изучаемом объекте;

-формирование интереса к данной теме;

Создание условий и возможностей для дальнейшей творческой деятельности;

2 Этап: организация проектной деятельности:

Выбор темы проекта.

Выбор состава группы.

Помощь в постановке целей

1.Определение источников информации;

2. Планирование способов сбора и анализа информации

3. Планирование итогового продукта

4. Выборка критериев оценки результатов работы.

5. Распределение обязанностей

Выборка плана действий

Определение основных методов;

Выдвижение идей, высказывание предложений,

определение сроков работы.

Сбор информации, решение промежуточных задач.

Основные формы работы: изучение научных и литературных источников, наблюдения.

Решение промежуточных задач.

Фиксирование информации несколькими способами.

Советы, руководство деятельностью организация и координирование отдельных этапов проекта

Результаты и выводы

Анализ информации. Формулировка выводов. Оформление результатов.

Анализ информации. Оформление результатов.

3 Этап: представление готового продукта (презентация)

Представление результата работы в различных формах

Отчёт, ответы на вопросы, отстаивание своей точки зрения

Знакомство с готовой работой, формулировка вопросов

4 Этап: оценка процессов и результатов работы

Участие в оценке путём коллективного обсуждения

Оценивание усилий учащихся , креативности мышления, качества использования источников информации.

Вложение	Размер
Презентация проекта	1.79 МБ
Проект	2.67 МБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Актуальность нашей темы. Актуальность в том ,что чтобы спроектировать юбку или кофту нам нужно знать математические расчёты, чтобы их употребить в построении нашего изделия.

Методы исследования: Анализ литературы и интернет.

Цели нашей работы: 1. Расширение и углубление знаний о способах и средствах решения задач, способах моделирования явлений, процессов и применение геометрии в построении выкройки. 2. Развитие логического мышления, их алгоритмической культуры и математической интуиции. 3. Интеллектуальное развитие, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе и решения практических проблем. .

Расширение знаний о методах и способах решения математических задач, связанных с окружающими на жизненными процессами. Формирование умения моделировать реальные ситуации, в результате анализа условий задачи и установления взаимосвязей с величинами и явлениями . Развитие исследовательской и познавательной деятельности. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ И ПРОБЛЕМЫ:

Гипотеза. Нам нужны геометрические исследования для того ,чтобы мы могли спроектировать наше изделие. Произвести какие-либо расчёты в математике.

ВВЕДЕНИЕ В соответствии со стандартом нового поколения учащиеся должны осознавать значение математики в повседневной жизни человека, иметь представление о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления, что формирует внутреннюю мотивацию к изучению математики. Математика в наши дни проникает во все сферы жизни. Овладение практически любой профессией требует тех или иных знаний по математике. Применение на практике различных задач, связанных с окружающей нас жизнью, позволяет создавать такие учебные ситуации, которые требуют умения смоделировать математически определённые ситуации, составить план решения (алгоритм) реальной проблемы.

Чертеж — это документ, содержащий изображение изделия и другие данные необходимые для его изготовления и контроля

Изображение различных предметов — рисунки появились как средство общения между людьми еще до создания письменности. С тех пор как научились возводить сначала простейшие, а потом более сложные сооружения, мастера стали использовать при строительстве рисунки, а затем и чертежи . Сохранившиеся наскальные рисунки свидетельствуют о зарождении картографического способа передачи информации, который совершенствовался в течение многих веков. Одной из древнейших карт (за 2500 лет до н.э.) считается так называемый вавилонский чертеж, выполненный на глиняной табличке. История развития чертежа

Геометрические фигуры и линии, которые используются при работе с чертежами. Когда изображают предметы приёмами черчения, не полагаются на один глазомер и верность руки, а пользуются разными вспомогательными инструментами. Зато от чертежа требуется точное воспроизведение размеров предмета, в определённом масштабе, вследствие чего перспективное изображение употребляется весьма редко (так как оно искажает размеры частей) и заменяется проекциями, по правилам начертательной геометрии. С развитием применений графической статики при помощи черчения стали легко и быстро решать множество численных задач, встречающихся при проектировании сооружений и машин и требующих сложных алгебраических выкладок .

Ф игуры. Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости. Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур. Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Этим фигурам в геометрии не даётся определений. Неопределяемыми геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Фигуры, изучаемые планиметрией: 1. Точка 2. Прямая 3. Параллелограмм (частные случаи: квадрат, прямоугольник, ромб) 4. Трапеция 5. Окружность 6. Треугольник 7. Многоугольник

Используемые геометрические фигуры в проекте Построение выкройки для конуса-дело нехитрое. Рассмотрим два случая :для полного конуса и для усеченного. На картинке показаны эскизы таких конусов и их выкроек

Обозначения: D -диаметр основания конуса; H -высота конуса; R -радиус дуги выкройки; L -центральный угол выкройки.

Построение выкроек детского платья, туники и юбки солнце - клеш. Возьмем основу выкройки спинки платья, достроим его до прямоугольника – вычислим площадь прямоугольника со сторонами равными длин отрезков: B 1 F 1 и E 1 E 2. Если ширина ткани равна двум длинам отрезка E 1 E 2, то мы размещаем выкройку переда и спинки .

Если же ширина ткани меньше суммы двух длин отрезков E 1 E 2, то размещаем на ткани только выкройку полочки или спинки и на остатке от ширины мы размещаем выкройку рукава .

Чтоб разместить на ткани выкройку детского платья - клеш, аналогично мы измеряем длины отрезков АА 1 и ВВ 1. Длина отрезка ВВ 1 равна длина платья девочки, а длина отрезка АА 1 равна половине ширины окружности груди. Чтоб сделать выкройку платья клеш снизу мы к отрезку АА 1 прибавляем длину отрезка В 2 В 1. Сравним длину отрезка В 2 В и ширину ткани.

Построение выкроек: Юбка солнце. Построение выкройки юбки солнце 1. На горизонтальной прямой отмечают точку О, от которой влево и в право откладывают значение, равное радиусу, который находят по формуле: К (СТ + СО) = 0,32 (38 + 1) = 12,48см К – коэффициент , характеризующий кривизну верхнего среза юбки по талии. Для юбки солнце он равен 0,32 Отрезок ОТ 1 = ОТ 2 = 12,48см. 2. Через точки Т 1 , Т 2 проводят полуокружность, и тогда получена новая точка Т 3. От точек Т 1 , Т 2 , Т откладывают необходимую длину юбки (в нашем примере 70см). Отрезок Т 1 Н 1 = Т 2 Н 2 = ТН = 70см. 4. Для того чтобы откорректировать в сторону уменьшения фалду по середине переда, так как при движении она выглядит больше, выпрямляют линию талии. Для этого от точки Т подняться вверх на 2см. Отрезок ТТ 3 = 2см. Через точки Т 1 , Т 3 , Т 2 оформить новую линию талии. 5. Чтобы сохранить длину юбки от точки Н вверх отложить 2см. Отрезок НН 3 = 2см. И тогда отрезок Т 3 Н 3 останется 70см. Чер ез точки Н 1 , Н 3 , Н 2 оформить новую линию низа. 6. Если юбка или двухшовная , то для того, чтобы в области швов создать искусственную косину ткани для более легкой ее оттяжки, по низу юбки уменьшают фалду на 2-12см. При этом если ткань плохо тянется, срезают до 12см, если хорошо – 2см. 7. Если юбка собирается на резинку, то окружность талии увеличивают минимум на 1/4 ОТ, и тогда ее можно будет одевать через голову. Например 1/4 ОТ = 1/4 76 = 19см, 76 + 19 = 95см, 0,32 (95/2) = 15см и тогда ОТ 1 = ОТ 2 = ОТ = 15см

В проекте мы использовали: Свойства фигур: 1. Равенство диагоналей прямоугольника 2. Свойства фигуры квадрат 3. окружность( радиус, диаметр, построение окружностей) 4. равенства отрезков, сравнение отрезков 5. осевая и центральная симметрии Фигуры: 1. прямоугольник 2. квадрат 3. окружность 4. отрезок 5. понятие симметрии

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Авторы: ученики 10 класса

Руководитель:

учитель математики
Замбатова Асият Муаедовна

Математика-это не только стройная система законов, теорем и задач, но и уникальное средство познания красоты. Многие математические теории нередко кажутся искусственными, оторванными от реальной жизни, просто непонятными. Если же подойти к этим проблемам с позиции исторического развития, то станет, виден их глубокий жизненный смысл, их необходимость.

Математика и архитектура развивались одновременно. Нельзя было провести строгую границу между этими двумя видами искусств. В древности математика, как и архитектура, относилась к искусствам. Образование человека считалось неполным, если он, наряду с философией, поэзией, музыкой, не овладевал современной ему математикой, не умел ставить и решать задачи, доказывать теоремы. Развитие математики требовало знаний архитектуры и наоборот. Потребности зарождающегося строительства и, возникшей вслед за ним архитектуры явились одним из стимулов, благодаря которым возникла и сделала первые шаги математика.

Архитектура — древнейшая сфера человеческой деятельности и ее результат. Главный смысл понятия архитектура состоит в том, что это совокупность зданий и сооружений различного назначения, это пространство, созданное человеком и необходимое для его жизни и деятельности.

Архитектура зарождается вместе с человечеством, сопровождает его в историческом развитии. В ней отражаются мировоззрение, ценности, знания людей, живших в различные исторические эпохи. В ней сосредоточены особенности культуры представителей разных национальностей.

Тесная связь архитектуры и математики известна давно. Хороший архитектор должен знать аналитическую геометрию и математический анализ, основы высшей алгебры и теории матриц, владеть методами математического моделирования и оптимизации.

Для чего возводились архитектурные сооружения? Прежде всего они возводились для удобства жизни и деятельности человека. Они должны были служить его пользе: беречь его от холода и жары, дождей и палящего солнца. Они должны были создавать комфортные условия для различной деятельности человека – давать достаточное освещение, обеспечивать звукоизоляцию или хорошее распространение звука внутри помещения. Возводимые сооружения должны быть прочными, безопасными и долго служить людям. Но человеку свойственно еще и стремление к красоте, поэтому все, что он делает, он старается сделать красивым.

Пирамиды - фантастические фигуры из камня, устремленные к Солнцу. Своими громадными размерами, совершенством геометрической формы они поражают воображение. Недаром эти творения рук человеческих считали одним из чудес света.

Почему из всех геометрических тел именно пирамиду выбрали древнеегипетские зодчие, для того чтобы в веках прославить своих фараонов? Скорее всего причина кроется в том, что такая конструкция — одна из самых устойчивых. Ведь с увеличением высоты пирамиды масса ее верхней части уменьшается, а это — главный принцип надежности постройки. Они служили символами величия и могущества фараонов, свидетельством могущества страны.

Математика предлагает архитектору ряд, если так можно назвать, общих правил организации частей в целое, которые помогают:

 расположить эти части в пространстве, так, что в них проявлялся порядок;

 установить определенное соотношение между размерами частей и задать для изменения размеров (уменьшения или увеличения) определенную единую закономерность, что обеспечивает восприятие целостности и представление о порядке;

 выделить определенное место в пространстве, где будет размещаться сооружение, описать его определенной математической формой, которая также позволит выделить его из других сооружений и внести в их состав, создав новую композицию, новый архитектурный ансамбль.

Возникает естественный вопрос – откуда математика черпает эти общие правила. А получает она их из природы. Главная заслуга математики состоит в том, что она выявляет глубинные свойства, которые заложены в природе, но не лежат на поверхности.

Прочность архитектурных сооружений

Прочность архитектурных сооружений - важнейшее их качество. Прочность связана, во-первых, с теми материалами, из которых они созданы, во-вторых, с особенностями конструктивных решений. То есть прочность сооружения напрямую связана с той геометрической формой, которая является для него базовой. Другими словами, речь идет о той геометрической фигуре, которая может рассматриваться в сооружении.

От чего же зависит прочность сооружения?

Первое - фундамент, толщина и прочность стен.

Но еще важнее для обеспечения прочности сооружений особенности тех материалов, из которых они построены. Самым прочным строительным материалом всегда был камень. С развитием промышленности стали создаваться новые материалы, которые, с одной стороны, были похожи на камень, а, с другой, превосходили его, обеспечивая прочность сооружений. К ним относятся кирпич, металл и железобетон. В современной архитектуре широко используются материалы, которые раньше не существовали, или были слишком дороги в производстве. К ним относится пластмасса, стекло и титан. Многие специалисты считают, что титан - это металл для будущих архитектурных сооружений, которые люди будут возводить.

Появление новых строительных материалов делает возможным создание тонкого железобетонного каркаса и стен из стекла. Достаточно вспомнить американские небоскребы или здание Кремлевского дворца. Именно эти материалы и каркасные конструкции стали преобладающими в архитектурных сооружениях ХХ века. Они обеспечивают зданиям высокую степень прочности.

Изучить прочность сооружений самым прочным архитектурным сооружением с давних времен считаются египетские пирамиды. Как известно они имеют форму правильных четырехугольных пирамид Египетские пирамиды

На смену пирамидам пришла стоечно-балочная система

рис.1 Египетские пирамиды

рис.2 Стоечно-балочная система

Прежде чем построить привлекательное сооружение, мало иметь воображения, нужно точно знать где, как и сколько потребуется материалов для строительства пусть даже обычного дома.

В своих творениях архитекторы должны совместить функциональность, красоту, гармоничность, комфортность, экономичность и долговечность. В этом им и помогают знания математики. Например, для измерения площади земельного участка, архитектору необходимы знания формулы расчета площади и, конечно же, единиц измерения.

При расчете размеров помещения архитектору необходимо учитывать средний рост человека, приблизительно равный 175 см. Это нужно для того, чтобы человек мог спокойно находиться и перемещаться по комнате. Значит, в данном случае он должен знать формулу вычисления среднего арифметического действия. При планировке здания руководствуются некоторыми правилами:

- При перенесении размеров земельного участка и проецировании здания архитектор пользуется признаками подобия фигур, т.е. он не чертит объект в натуральную величину, а пользуется масштабом, стандартное отношение которого 1:100.

-При планировке архитектор пользуется многими теоремами и аксиомами. Например, чтобы отложить несколько последовательно равных отрезков, используется знаменитая теорема Фалеса.

-При построении параллельных прямых, архитекторы пользуются рейсшиной.

Также построение параллельных прямых выполняют с помощью чертежного угольника и линейки.

После того, как все детали здания построены, на план наносят все необходимые надписи и размеры. Математические расчеты, измерения, построения – это самые важные и незаменимые методы для архитектора.

В России нашел широкое распространение прогрессивный метод строительства по типовым проектам, который наряду с уменьшением объема проектных работ позволяет привести к единообразию (объединению) строительные изделия и способствует индустриализации строительства. Объекты, изображаемые на строительных чертежах – всевозможные здания и сооружения, состоят из отдельных частей – конструкций. Примерами конструкций здания могут служить его фундаменты (стены, перегородки), перекрытия, крыша.

В разное время в России создавали здания, отличавшиеся по внешнему виду, материалу и конструкции. В таблице показаны названия, время постройки и сроки использования домов.

Геометрические формы в разных архитектурных стилях.

Ни один из видов искусств так тесно не связан с геометрией как архитектура.

Рис.4 Мечеть в г.Нальчик

Рис.5 Замок Эркенова.

с.п Черная Речка

Новый спортивный комплекс

Архитектурные произведения живут в пространстве, являются его частью, вписываясь в определенные геометрические формы. Кроме того, они состоят из отдельных деталей, каждая из которых также строится на базе определенного геометрического тела. Часто геометрические формы являются комбинациями различных геометрических тел.

Рассмотрим еще один яркий архитектурный стиль — средневековая готика. Готические сооружения были устремлены ввысь, поражали величественностью, главным образом за счет высоты. И в их формах также широко использовались пирамиды и конусы, которые соответствовали общей идее — стремлению вверх. Характерными деталями для готических сооружений являются стрельчатые арки порталов, высокие стрельчатые окна, закрытые цветными витражами.

Обратимся к геометрическим формам в современной архитектуре.

Во-первых, в архитектурном стиле “Хай Тек”, где вся конструкция открыта для обозрения. Здесь мы можем видеть геометрию линий, которые идут параллельно или пересекаются, образуя ажурное пространство сооружения. Примером, своеобразной прародительницей этого стиля может служить Эйфелева башня.

Во-вторых, современный архитектурный стиль, благодаря возможностям современных материалов, использует причудливые формы, которые воспринимаются нами через их сложные, изогнутые (выпуклые и вогнутые) поверхности.

Золотое сечение в архитектуре

Теперь для полной убедительности и понимания ценности и значения отношения золотого сечения, рассмотрим пропорциональность пирамид Хеопса и Хефрена, где наиболее явно используется этот принцип, т.е. принцип золотого сечения. Нет сомнений в том, что, предпринимая строительство таких гигантов, зодчие очень и очень внимательно рассчитывали все их размеры. Иначе невозможно мыслить организацию этого чрезвычайного по масштабам строительства. Точные соразмерности этих сооружений не вызывают ни малейших сомнений.

В книгах о «ЗОЛОТОМ сечении” можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими “золотое сечение”, то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. «Сечение” дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон .

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным

рис.9 Въезд в г. Грозный

B настоящее время, в архитектуре, делаются попытки все шире и шире использовать математические методы, но до сих пор, оценка качества произведений искусства, удобными для измерения количественными категориями, оказывается для современной науки непосильной.

Таким образом, тема проекта актуальна, особенно на нынешнем этапе развития архитектуры. Сложно представить современное градостроительство без математических моделей-прогнозов. Появляются все новые возможности моделирования, основанные на математических расчетах, компьютерные программы, позволяющие архитектору быстрее производить точные измерения, расчеты.

Рассмотрев математику в архитектуре, мы увидели больше, чем красивые здания, мы увидели всю сложность проекта и возведения этих сооружений. На языке архитектуры, можно сказать, что математика – это грандиозное мысленное сооружение. Все сказанное убеждает нас в том, что архитектура и математика на протяжении веков активно влияли друг на друга. Они давали друг другу новые идеи и стимулы, совместно ставили и решали задачи.

1. А.В. Волошинов. Математика и искусство. М.: Просвещение. 2000.

2. А.В. Иконников. Художественный язык архитектуры. М: Стройиздат. 1992.

И.М. Шевелёв, М.А. Марутаев, И.П. Шмелёв. Золотое сечение. М.: Стройиздат. 1990.

Захидов П.Ш. Основы гармонии в архитектуре. – Ташкент: Фан, 1982. – 163 с.

5. Фремптон Кеннет Современная архитектура: Критический взгляд на историю развития/ Пер. с англ. Е.А. Дубченко; под ред. В.Л.Хайта. – М.: Стройиздат, 1990.

Удивительный мир пропорций

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Пропорция обретается не только в числах и мерах,

но также в звуках, тяжестях, временах и положениях

Леонардо да Винчи

В древности люди осознавали, что окружающий их мир пребывает в гармонии и равновесии. Они прибегали к помощи мифов и религии, чтобы больше узнать о порядке, которому подчинена природа. Сегодня мы обращаемся главным образом к ученым и математикам, чтобы они помогли нам объяснить то, что происходит в окружающем нас мире.

Актуальность проекта:

Практическая значимость:

Заключается в том, что данный материал можно использовать на уроках математики, на внеурочных занятиях. Он развивает воображение, мышление, смекалку.

Цель исследования:

Сформировать представление о пропорции через анализ имеющихся уже знаний, а также анализ деятельности человека и явлений живой природы.

изучение свойства пропорции в окружающем нас мире ;

выяснить, в каких науках, кроме геометрии, мы можем встретиться с пропорцией.

Объект исследования: пропорция

Предмет изучения: применение пропорции в жизни человека.

Методология исследования:

Изучение определения пропорции;

Знакомство с историей возникновения пропорции;

Исследование роли пропорции в нашей жизни;

Моя исследовательская работа посвящена изучению практического применения пропорциональности в науке и жизни человека. В этой работе, я попыталась найти тесную связь существования пропорций в разных областях науки, а так же в реальной жизни человека. Оказывается, что в повседневной жизни нередко возникают ситуации, когда пропорции помогают решать различные задачи.

Для начала я изучила различные источники информации, проанализировала и систематизировала материал, интернет-ресурсы, изучила уровень математической культуры одноклассников методом опроса (анкетирование) и анализа (статистической обработки данных).

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Теоретическая часть

История возникновения пропорции

Пропорции начали изучать еще в древности. В IV в. до н. э. древнегреческий математик Евдокс дал определение пропорции, составленной из величин любой природы.

Пифагор – выдающийся древнегреческий философ и математик был убежден в том, что в природе существует органическая гармония, которая может быть выражена посредством чисел и пропорции, а также в то, что эти пропорции можно применять для строительства домов или других зданий.

Что такое пропорция?

Практическая часть

Пропорция в биологии, медицине

В медицинской практике врачи следят за тем, сколько и когда надо давать лекарства больному. В правильных дозах лекарство даёт лечебный эффект, в меньших – оно бесполезно, в больших – приносит вред. При изготовлении лекарств тоже соблюдаются пропорции. Здесь необходима точность, так как при нарушении пропорций, составляющих лекарство ингредиентов, может получиться не лекарство, а яд. Отношения и пропорции используются также в аптеках при изготовлении лекарств и лечебных напитков. Чтобы изготовить лекарственный препарат надо точно знать, сколько частей приходится на какую-либо часть.

Биологи на своих уроках, когда рассматривают, допустим, клетки кожицы луковицы, увеличивают с помощью микроскопа её размеры. Микроскопом также пользуются лаборанты, определяющие состав крови, мочи и т.д.

Пропорция в географии

В географии также применяют пропорцию – масштаб. Масштабом называют отношение длины отрезка на карте или плане к длине соответствующего отрезка на местности. Масштаб показывает во сколько раз расстояние на плане меньше, чем указанное расстояние на самом деле.

Пропорции в искусстве, живописи

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Все говорили о том глубоком знании Леонардо да Винчи о строении человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту загадочную улыбку. Говорили о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, небывалом спутнике портрета. Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал еще небывалое: на картине изображен воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой.

Пропорции в геометрии

Отрезок прямой AB можно разделить на две части следующими способами:

1. На две равные части – AB: AC = AB: BC;

2. На две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);

3. На две части, когда AB: AC = AC: BC

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение –это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как большая часть относится к меньшей.

a: b=b: c или c: b=b: a

Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Пропорции в черчении

На уроках черчения при выполнении чертежей тоже нужно соблюдать масштаб, значит, и здесь присутствует пропорция.

Пропорции в химии

Больше всего сталкиваются на уроках химии с пропорциями при решении задач на концентрации растворов (процентное содержание вещества в растворе). Точные весовые пропорции различных веществ при соединении дают возможность получения нового вещества.

Пропорции в физике

Пропорции в математике

Отношения 3:2 и 12:8 равны, т. к. 3:2=1,5 и 12:8=1,5.

Получаем равенство 3:2=12:8, или 3/2=12/8.

Равенство двух отношений называют пропорцией:

m/k = n/t, или m:k = n:t .

Все члены пропорции отличны от нуля: m≠0, k≠0, n≠0, t≠0.

Обрати внимание!

Числа m и t называют крайними членами пропорции, а числа k и n — средними.

Основное свойство пропорции:

произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Если m/k = n/t, или m:k = n:t , то m⋅t = k⋅n.

Действительно, в пропорции 3/2=12/8 произведение крайних членов 3⋅8=24 и произведение средних членов2⋅12=24 равны.

Верно и обратное утверждение. Если m, k, n и t — не равные нулю числа, и m⋅t=k⋅n, то m/k=n/t

если 3⋅8=2⋅12, то3/2=12/8.

В пропорции 3/2=12/8 поменяем местами средние члены или крайние члены, тогда получим снова верные равенства:

Пропорции в архитектуре

Пропорция в архитектуре – отношение подобных отрезков или фигур, составляющих архитектурное сооружение и придающих ему целостность и гармоничность. Архитектурные пропорции определяются как художественным замыслом, так и конструктивно-техническими требованиями.

Существует несколько теорий архитектурных пропорций, относящихся к различным историческим периодам. В своей основе они имеют понятие симметрии.

При постройке храма в честь богини Дианы римляне взяли такую пропорцию, которой отличаются стройные женщины: толщина колоны составила лишь 1/8 ее высоты. Благодаря этому колонны казалась выше, чем она была на самом деле, как раз за счет уменьшения толщины. В архитектуру вошли оба вида колонн, сохраняющие одна мужскую, другая женскую пропорции в отношениях между основанием и высотой.

Храм богини Дианы Храм Василия Блаженного в Москве

Пропорции в быту

А летом, в период заготовки продуктов впрок, ваши мамы тоже пользуются пропорциональными соотношениями. Например, в магазине часто продается 80% уксусная эссенция, а в рецептах заготовки продуктов используется столовый 9% столовый уксус. Как решить эту проблему?

В результате получится 90 + 710 = 800 г столового уксуса

• без пропорций не удастся приготовить суп или компот,

• нельзя по своему размеру связать свитер

• невозможно точно рассчитать количество корма

• или лекарства для своего питомца.

Из 1 кг крупы получается 2,1 кг гречневой каши. Сколько нужно взять крупы, чтобы получить 1600 г каши?

Мы имеем отношение

1 кг крупы = 2, 1 кг каши

х кг крупы = 1,6 кг каши
x * 2,1 = 1,6 * 1
х = 16 : 21

х = 0,762 кг.

В школе две уборщицы могут сделать уборку за 3 ч. Сколько нужно времени, чтобы три уборщицы выполнили ту же работу?

Мы имеем отношение

2 уборщицы - 3 часа

3 уборщицы - х часов

обратно пропорциональная зависимость
2 : 3 = х : 3
х = 6 : 3

х = 2 часа

Определите процент всхожести семян гороха, если из 200 горошин взошло 170 штук?

Мы имеем отношение

200 горошин = 100 %

170 горошин = х %
200 * x = 170 * 100
х = 17000 : 200

х = 85 %

Заведующая пришкольным участком сообщила, что на 3 сотки у нее ушло 9 ведер картофеля. А огород у нее 15 соток. Сколько ведер картофеля нужно, чтобы засадить весь огород?

Мы имеем отношение

3 сотки = 9 ведер

15 соток = х ведер
3 * x = 15 * 9
х = 135 : 3

х = 45 ведер

В школьном коридоре длиной 33 м нужно покрасить пол. Покрасив 11 м, израсходовали 4,125 кг краски. Сколько нужно краски, чтобы выкрасить остальной пол?

Мы имеем отношение

11 м = 4,125 кг краски

22 м = х кг краски
11 * x = 22 * 4,125
х = 90,75 : 11

х = 8,25 кг краски

Повар школы решил сварить варенье из смородины. По рецепту на 2 кг ягод расходуют 3 кг сахара. Сколько нужно сахара, чтобы сварить варенье из 2,5 кг смородины?

Мы имеем отношение

2 кг ягод = 3 кг сахара

2,5 кг ягод = х кг сахара
2 * x = 2,5 * 3
х = 7,5 : 2

х = 3,75 кг сахара

Решите задачи:

Для лекарственного отвара ромашки на 100г кипятка необходимо 20 г сухой ромашки. Сколько г ромашки необходимо для 500г отвара.

Больному прописан курс лекарства, которое нужно принимать по 250 мг два раза в день в течение 7 дней. В одной упаковке лекарства содержится 10 таблеток по 125 мг. Какое наименьшее количество упаковок понадобится на весь курс лечения.

Найдите расстояние от Москвы до Северного полюса, если на карте это расстояние – 3,5 см, а М 1:100000000.

На строительство дома идет 4 тыс. штук кирпича. Сколько тысяч штук кирпича необходимо для строительства 15 таких же домов.

Для перевозки песка при строительстве потребовалось 14 автомашин грузоподъемностью 4,5 т. Сколько потребуется автомашин грузоподъемностью 7 т для перевозки этого же песка?

- Исследования показали, что в окружающем мире есть величины, которые связаны между собой пропорциональными зависимостями и эти зависимости люди используют в повседневной жизни.

- Пропорция играет огромную роль в биологии и медицине, географии, живописи, геометрии, черчении, химии, физике, математике и в быту.

- Пропорция широко используется в архитектуре. Симметрия форм зданий, отдельных их элементов придает им красоту. Использование симметрии в конструкции зданий, симметричных элементов в отделке, а также симметрично расположенные строения создают красоту и гармонию.

В своем проекте по математике "Удивительный мир пропорций" мною была изучена теория пропорции. Пропорции сопровождают нас повсюду и являются неотъемлемой частью нашей жизни.

Совершенные конструкции в космическом пространстве, завитки самого древнего существа на Земле – улитки Наутилус и расположение визуальных элементов на полотнах великих мастеров живописи находятся в соотношении 0,618 или 1,618. Сплавы металлов обладают лучшими свойствами, если атомарные веса составляющих их элементов находятся в данной пропорции. Совсем недавно было обнаружено, что существует наномир, подчиняющийся золотой пропорции. Окислы урана и других металлов образуются в соответствии с числами Фибоначчи. Можно предполагать, что золотая пропорция является основополагающим принципом образования химических соединений.

С глубокой древности люди используют математический аппарат в повседневной жизни. Одним из них является пропорция. Она используется, начиная с приготовления пищи и заканчивая произведениями искусства, такими как скульптура, живопись, архитектура, а также в живой природе.

Исследовательская работа по математике на тему "Удивительный мир пропорций" будет интересна учащимся всех классов.

В процессе своей работы я расширила знания о пропорциях, убедилась, что они присутствуют во многих областях жизни, с пропорцией мы сталкиваемся в живой и не живой природе, при изучении различных предметов. Пропорция действительно создаёт порядок, красоту и совершенство в окружающем нас мире.

Над темой я работала с ноября месяца. В дальнейшем я планирую расширять свой кругозор, пополнять знания по этой теме.

Я выбрала эту тему потому, что люблю математику.

Надеюсь на то, что моя исследовательская и практическая работа вам была понятна, интересна и познавательна.

Спасибо за внимание!

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

И.Агеева “Занимательные материалы по информатике и математике” –М.: Творческий центр, 2005.

CD-ROM “От плуга до лазера 2.0”, Новый диск, 1998 г.

Математика: наглядная геометрия: учеб. Для учащихся 6 кл. общеобразоват. учреждений/ Т.Г. Ходот, А.Ю. Ходот. – М.: Просвещение, 2007. – 143с.

Математика 5 класс Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, Учебник для образовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2013 г.

Математика. Школьная энциклопедия. С.М. Никольский.- М: Большая Российская энциклопедия: Дрофа 1997-527с.

Читайте также: