Математическое описание автоматических систем реферат

Обновлено: 05.07.2024

На определенном этапе разработки и исследования автоматической системы управления получают ее математическое описание — описание процессов, проистекающих в системе, на языке математики. Математическое описание может быть аналитическим (с помощью уравнений), графическим (с помощью графиков, структурных схем и графов) и табличным (с помощью таблиц).

Для получения математического описания системы обычно составляют описание ее отдельных элементов. В частности, для получения уравнений системы составляют уравнения для каждого входящего в нее элемента. Совокупность всех уравнений элементов и дает уравнения системы.

Уравнения (а также структурные схемы) автоматической системы управления называют ее математической моделью. Такое название обусловлено тем, что при математическом описании (составлении уравнений) физических процессов всегда делают какие-либо допущения и приближения. Математическая модель одной и той же системы в зависимости от цели исследования может быть разной. Более того, иногда полезно при решении одной и той же задачи на разных этапах принимать разную математическую модель: начать исследование с простейшей модели, а затем ее постепенно

усложнять, с тем чтобы учесть дополнительные явления и связи, которые на начальном этапе были отброшены как несущественные. Сказанное обусловливается тем, что к математической модели предъявляются противоречивые требования: она должна, с одной стороны, как можно полнее отражать свойства оригинала, а с другой стороны, быть по возможности простой, чтобы не усложнять исследование.

Система управления и любой ее элемент производят преобразование входного сигнала в выходной сигнал . С математической точки зрения они осуществляют отображение

согласно которому каждому элементу из множества X входных сигналов ставится в соответствие единственный, вполне определенный элемент из множества выходных сигналов . В приведенном соотношении А называется оператором. Оператор, определяющий соответствие между входным и выходным сигналами системы управления (элемента), называется оператором этой системы (элемента). Задать оператор системы — это значит задать правило определения выходного сигнала этой системы по ее входному сигналу.

Рассмотрим математическое описание непрерывных систем управления с помощью дифференциальных уравнений. В большинстве случаев звенья и системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями произвольного порядка. Здесь под звеном понимается математическая модель элемента. Для примера рассмотрим звено (рис. 2.1), которое можно описать дифференциальным уравнением второго порядка

где у — выходная величина; — входные величины; у и u — первыё производные по времени; у — вторая производная по времени.

Уравнение (2.1), описывающее процессы в звене при произвольных входных воздействиях, называют уравнением динамики. Пусть при постоянных входных величинах процесс в звене с течением времени установится:

выходная величина примет постоянное значение Тогда (2.1) примет вид

Это уравнение описывает статический или установившийся режим и его называют уравнением статики.

Статический режим можно описать графически с помощью статических характеристик. Статической характеристикой звена или элемента (а также системы) называют зависимость выходной величины от входной в статическом режиме. Статическую характеристику можно построить экспериментально, подавая на вход Элемента постоянное воздействие и измеряя выходную величину после окончания переходного процесса, или расчетным путем, используя уравнение статики.

Если звено имеет несколько входов, то оно описывается с помощью семейства или семейств статических характеристик. Например, звено, характеризующееся в статическом режиме уравнением (2.2), можно описать графически с помощью семейства статических характеристик, представляющих собой кривые зависимости выходной величины у от одной входной величины и (или при различных фиксированных значениях другой — (или u).

Единичный скачок является распространенным на практике (мгновенный сброс или приложение нагрузки, скачок температуры и т. д. ) и наиболее неблагоприятным. По виду переходной характеристики h (t) можно судить о динамических свойствах системы. Применяя преобразование Лапласа, получаем: Здесьр — комплексная переменная,; — мнимая единица. Функция ДО называется оригиналом, F (p) — ее изображением… Читать ещё >

Математическое описание систем автоматического регулирования. Преобразование Лапласа ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Системы автоматического регулирования и их составные части в динамическом режиме описываются, в основном, дифференциальными уравнениями.

Для облегчения анализа работы САР широко используется операционный метод Лапласа, который позволяет операции дифференцирования и интегрирования по времени заменить операциями умножения и деления на комплексную переменную, а дифференциальные уравнения — свести к алгебраическим [14,15].

Преобразование Лапласа применяется к широкому классу функций, удовлетворяющих следующим условиям:

1) 1/(0 I ^ |М| • exp (s₀0, t > 0; М и s₀ — постоянные;
2) ДО = 0, t Функция ДО называется оригиналом, F (p) — ее изображением по Лапласу, их взаимное соответствие друг другу записывается в виде ДО F (p). Например, если ДО = 1, то F (p) = 1 /р; если ДО = ехр (р₀0, то F (p) = 1/(рр₀). Далее, если ДО ^ F (p), то.

Соотношения (3.4.2), (3.4.3) легко доказываются интегрированием по частям.

Динамические звенья и их характеристики

Системы автоматического регулирования часто представляют в виде комбинации динамических звеньев, описываемых передаточными функциями. Передаточной функцией W (p) звена называется отношение изображения по Лапласу переменной у (0, полученной на выходе звена, к изображению переменной x (t), поданной на вход звена, при нулевых начальных условиях:

Условно звено изображают в виде прямоугольника, вход и выход которого отмечают стрелками (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Динамическое звено на структурной схеме.

Каждому звену соответствует своя, вполне определенная передаточная функция W (p).

Динамические свойства типовых звеньев и САР могут быть не только описаны уравнениями, но и отображены графически временными (переходной и импульсной) и частотными характеристиками. Эти характеристики могут быть построены по известному уравнению звена или сняты экспериментально. И наоборот, по известным характеристикам можно получить уравнение, описывающее динамические свойства звена.

Переходной характеристикой у = h (t) описывается изменение во времени выходной величины звена, обусловленное подачей на его вход единичного ступенчатого воздействия (единичного скачка):

Таким образом, зная передаточную функцию системы, легко определить ее реакцию на единичный скачок. Для этого следует воспользоваться таблицами обратных преобразований Лапласа и отыскать в них функцию времени, соответствующую изображению W (p)/p.

где/(t) — произвольная непрерывная функция. Используя преобразование Лапласа, получаем:

Если на вход звена подать гармоническое воздействие.

то по окончании переходного процесса на выходе звена установятся гармонические колебания.

где ф — фазовый сдвиг между входными и выходными колебаниями. Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) звена называется функция А (со), задаваемая соотношением: А (со) = у_т(ю)/х_т(со). Зависимость Ф = ф (со) называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).

Объединением АЧХ (рис. 3.6, а) и ФЧХ (рис. 3.6, б) в одну, получается амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) (рис. 3.6, е), у которой полярными координатами являются, А (со) и ф (со).

Аналитические выражения для ЧХ получаются по известной передаточной функции звена подстановкой р = jco. Получающаяся при этом комплексная величина WXjoo) как раз и является АФЧХ. Она записывается в виде.

где функции ц (со) и v (co) называются действительной и мнимой частотными характеристиками, соответственно. Отсюда следует, что.

Приведенные соотношения имеют смысл для произвольной совокупности звеньев, образующей линейную систему, т. е. систему, описывающуюся линейными дифференциальными уравнениями. Частотные характеристики позволяют исследовать устойчивость САР и характер протекания переходных процессов. По известной величине W (jcо) можно изучать реакцию системы на любое входное воздействие.

Публикую первую часть второй главы лекций по теории автоматического управления.
В данной статье рассматриваются:

2.1. Получение уравнений динамики системы. Статическая характеристика. Уравнение динамики САУ (САР) в отклонениях
2.2. Линеаризация уравнений динамики САУ (САР)
2.3. Классический способ решения уравнений динамики

Данные лекции только готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.

2.1. Получение уравнений динамики системы. Статическая характеристика. Уравнение динамики САУ (САР) в отклонениях

При составлении уравнений, описывающих нестационарные процессы в САУ (САР) и которые в дальнейшем будем называть уравнениями динамики, система “разбивается” на отдельные элементы (звенья), для каждого из которых не существует проблем в записи соответствующего уравнения динамики.

При составлении уравнений динамики используются фундаментальные законы сохранения из разделов “Механики”, “Физики”, “Химии” и др.

Например, при описании перемещения узла какого-то механизма силового привода используются законы сохранения: момента, энергии, импульса и др… В теплофизических (теплогидравлических) системах используются фундаментальные законы сохранения: массы (уравнение неразрывности), импульса (уравнение движения), энергии (уравнение энергии) и др

Уравнения сохранения в общем случае содержат постоянные и нестационарные члены, причем при отбрасывании нестационарных членов получают так называемые уравнения статики, которые соответствуют уравнениям равновесного состояния САУ (звена). Вычитанием из полных уравнений сохранения стационарных уравнений получают нестационарные уравнения САУ в отклонениях (от стационара).

где: — стационарные значения входного и выходного воздействий;
— отклонения от станционара, соотвесвенно.

Согласно 2-му закону Ньютона, ускорение тела пропорционально сумме сил, действующих на тело:

где, m — масса тела, F_j — все силы воздействующие на тело (поршень демпфера)

Подставляя в уравнение (2.1.1) все силы согласно рис. 2.2, имеем:

где — сила тяжести; — сила сопротивления пружины, — сила вязконо трения (пропорциональна скорости поршеня)

Размерности сил и коэффициентов, входящих в уравнение (2.1.2):

Предполагая, что при t ≤ 0 поршень демпфера находился в равновесии, то есть

перейдем к отклонениям от стационарного состояния:
Пусть при t>0 . Тогда, подставляя эти соотношения в уравнение (2.1.2), получаем:

если , то уравнение принимает вид:

Соотношение (2.1.4) – уравнение звена (демпфера) в равновесном (стационарном) состоянии, а соотношение (2.1.5) – статическая характеристика звена – демпфера (см. рисунок 2.1.3).

Вычитая из уравнения (2.1.3) уравнение (2.1.4), получаем уравнение динамики демпфера в отклонениях:

тогда, разделив на k, имеем:

Уравнение (2.1.6) — это уравнение динамики в канонической форме, т.е. коэффициент при Δy(t) равен 1.0!

Таким образом, получаем, что:
— коэффициент перед первой производной имеет размерность [c] т.е. смысл некоторой постоянной времени;
— коэффициент перед второй производной: [];
— коэффициент в правой части (): [].
Тогда уравнение (2.1.6) можно записать в операторной форме:

где: — оператор диффренцирования;
-линейный дифференциальный оператор;
— линейный дифференциальный оператор, вырожденный в константу, равную .

Анализ уравнения (2.1.6.а) показывает, что такое уравнение имеет размерные переменные, а также размерными являются все коэффициенты уравнения. Это не всегда удобно. Кроме того, если реальная САР (САУ) состоит из многих звеньев, выходными воздействиями которых являются различные физические переменные (скорость, температура, нейтронный поток, тепловой поток и т.д.), то значения коэффициентов могут различаться на большое число порядков, что ставит серьезные математические проблемы при численном решении уравнений динамики на компьютере (поскольку числа в компьютере всегда представляются с какой-то точностью). Одним из наилучших способов избежать численных трудностей является принцип нормализации, т.е. переход к безразмерным отклонениям, которые получены нормированием отклонения на стационарное значение соответствующей переменной.

Введем новые нормированные (безразмерные) переменные:

Подставляя эти соотношения в уравнение (2.1.2), имеем:

Поддчеркнутые члены выражения в сумме дают 0 (см. 2.1.4) Перенося в левую часть члены, содержащие , и, разделив на , получаем:

где: — коэффициент усиления, причем безразмерный.

Проверим размерность коэффициента

На рис. 2.1.4 представлены статические характеристики для механического демпфера:

Процедура нормировки отклонений позволяет привести уравнения динамики к виду:

где дифференциальные операторы.

Если дифференциальные операторы — линейные, а статическая характеристика САУ (звена) – тоже линейна, то выражение (2.1.8) соответствует линейному обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ).

А если – нелинейные дифференциальные операторы, или , то уравнение динамики — нелинейное. Под нелинейными действиями понимаются все математические действия, кроме сложения (+) и вычитания (-).

2.2. Линеаризация уравнений динамики САУ (САР)

Практически все реальные системы автоматического управления (САУ) являются нелинейными, причем нелинейность САУ может определяться различными причинами:

Нелинейностью статической характеристики.
Нелинейностью динамических членов в уравнениях динамики.
Наличием в САУ принципиально нелинейных звеньев.

Если в замкнутой САУ (САР) нет принципиально нелинейных звеньев, то в большинстве случаев уравнения динамики звеньев, входящих в систему, могут быть линеаризованы. Линеаризация основана на том, что в процессе регулирования (т.е. САУ с обратной связью) все регулируемые величины мало отклоняются от их программных значений (иначе система регулирования или управления не выполняла бы своей задачи).

Например, если рассмотреть управление мощностью энергетического ядерного реактора, то главная задача САР — поддержание мощности на заданном (номинальном) уровне мощности. Существующие возмущения (внутренние и внешние) “отрабатываются” САР и поэтому параметры ядерного реактора незначительно отличаются от стационарных. На рис. 2.2.1 представлена временная зависимость мощности ядерного реактора, где нормированные отклонения мощности ΔN /N₀ Рис. 2.2.1 – Пример изменения мощности реактора

Рассмотрим некоторое звено (или САР в целом), описание динамики которого можно представить в переменных “вход-выход”:

Предположим, что динамика данного звена описывается обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка:

Перенесем в левую часть уравнения и запишем уравнение в виде%

где -– функция регулируемой переменной и ее производных, а также управляющего (входного) воздействия и его производных, причем F – обычно нелинейная функция.

Будем считать, что при t ≤ 0 САУ (звено) находилось в равновесии (в стационарном состоянии). Тогда уравнение (2.2.2) вырождается в уравнение статической характеристики:

Разложим левую часть уравнения (2.2.2) в ряд Тейлора в малой окрестности точки равновесного состояния .

C учетом вышеприведенного разложение принимает вид:

Предполагая, что отклонения выходных и входных воздействий незначительны, (т.е.:), оставим в разложении только члены первого порядка малости (линейные). Поскольку , получаем:

Подставляя соотношение (2.2.4) в уравнение (2.2.2), и перенося множители при у и u в разные части получаем уравнения:

Коэффициенты — постоянные коэффициенты, поэтому уравнения 2.2.5 — линейное дифференциальное с постоянными коэффициентами.

В дальнейшем нами будет часто использоваться операторная форма записи уравнений динамики:

где – оператор дифференцирования;
— линейный дифференциальный оператор степени n;
— линейный дифференциальный оператор степени m, причем обычно порядок оператора выше порядка оператора :

Уравнения (2.2.5) и (2.2.6) — уравнения динамики системы (звена) в отклонениях.

Если исходное уравнение (2.2.1) — дифференциальное уравнение в физических переменных (температура, скорость, поток и т.д.), то размерность коэффициентов может быть произвольной (любой).

Переход к нормализованным отклонениям позволяет “упорядочить” размерность коэффициентов. В самом деле, разделив уравнение (2.2.5) на начальные условия (значения в нулевой момент времени) и выполнив некоторые преобразования, получаем:

Приведение уравнения динамики САУ (звена) к нормализованному виду позволяет “унифицировать” размерность коэффициентов уравнений: ==>

Если вынести в правой части (2.2.7) коэффициент за общую скобку и разделить все уравнение на , то уравнение принимает вид:

или в операторном виде:

Линеаризация уравнений динамики и нормализация переменных позволяют привести уравнения динамики САУ (звена) к виду, наиболее удобному для использования классических методов анализа, т.е. к нулевым начальным условиям.

Пример

Нелинейность полного уравнения динамики проявляется в следующем:

• во-первых, в нелинейности статической характеристики:

• во-вторых, слагаемое в левой части — чисто нелинейное, так как действие умножения является нелинейным.

Выполним процесс линеаризации исходного уравнения, динамики без разложения я ряд Тейлора, основываясь на том, что в окрестности состояния (x₀, y₀) нормированные отклонения управляющего воздействия и регулируемой величины намного меньше 1.

Преобразования выполним в следующей последовательности:

Перейдем к безразмерным переменным (нормализованным);
Выполним линеаризацию, отбросив нелинейные члены 2-го и выше порядков малости.

Перейдем к новым безразмерным переменным:

Подставляя значения x(t) и y(t) в исходное уравнение:

Удаляем полученного уравнения уравнения стационара: , а так же пренебрегая слагаемыми второго прядка малости: , получаем следующее уравнение:

Вводим новые обозначения:

Если в правой части вынести за общую скобку и разделить все уравнение на , то уравнение (линеаризованное) принимает вид:

Процедура нормализации позволяет более просто линеаризовать уравнение динамики, так как не требуется выполнять разложение в ряд Тейлора (хотя это и не сложно).

2.3. Классический способ решения уравнений динамики

Классический метод решения уравнений динамики САУ (САР) применим только для линейных или линеаризованных систем.

Рассмотрим некоторую САУ (звено), динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением вида:

Переходя к полной символике, имеем:

Выражение (2.3.2) — обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ), точнее неоднородное ОДУ, так как правая часть ≠ 0.

Известно входное воздействие x(t), коэффициенты уравнения и начальные условия (т.е. значения переменных и производных при t = 0).

Требуется найти y(t) при известных начальных условиях.

где: — решение однородного дифференциального уравнения y_(t) $inline$ - частное решение. $inline$

Будем называть решение однородного дифференциального уравнения , собственным решением, так как его решение не зависит от входного воздействия, а полностью определяется собственными динамическими свойствами САУ (звена).

Вторую составляющую решения (2.3.3) будем называть , вынужденным, так как эта часть решения определяется внешним воздействием , поэтому САУ (САР или звено) “вынуждена отрабатывать” это воздействие:

Напомним этапы решения:

1) Если имеется уравнение вида , то сначала решаем однородное дифференциальное уравнение:

2) Записываем характеристическое уравнение:

3) Решая уравнение (2.3.5), которое является типичным степенным уравнением, каким-либо способом (в том числе и с помощью стандартных подпрограмм на компьютере) находим корни характеристического уравнения
4) Тогда собственное решение записывается в виде:

если среди нет повторяющихся корней (кратность корней равна 1).

Если уравнение (2.3.5) имеет два совпадающих корня, то собственное решение имеет вид:

Если уравнение (2.3.5) имеет k совпадающих корней (кратность корней равна k), то собственное решение имеет вид:

5) Вынужденную часть решения можно найти различными способами, но наиболее распространены следующие способы:
а) По виду правой части.
б) Методом вариации постоянных.
в) Другие методы…

Если вид правой части дифференциального уравнения – относительно несложная функция времени, то предпочтительным является способ а): подбор решения. .

6) Суммируя полученные составляющие (собственную и вынужденную), имеем:

7) Используя начальные условия (t = 0), находим значения постоянных интегрирования . Обычно получается система алгебраических уравнений. Решая систему, находим значения постоянных интегрирования

Пример

Найти аналитическое выражение переходного процесса на выходе звена, если

Решение. Запишем однородное ОДУ:
Характеристическое уравнение имеет вид: ; Решая, имеем: тогда:

где — неизвестные (пока) постоянные интегрирования.

По виду временной функции в правой части запишем как:

Подставляя в исходное уравнение, имеем:

Используя 1-е начальное условие (при t = 0), получаем: , а из 2-го начального условия имеем:

Решая систему уравнений относительно и , имеем:
Тогда окончательно:

Что бы проверить результ, выполним моделирование процесса в SimInTech, для этого преобразуем исходное уравнение к виду:

Создадим модель SimInTech, содержащую исходное динамическое уравнение и полученное аналитическое решение, и выведем результаты на один график (см. рис. 2.3.1).

Рис. 2.3.1 – структурная схема для проверки решения

Введение 3
1. Математические модели САУ 4
2. Передаточные функции САУ 6
3. Динамические характеристики САУ 11
3.1 Временные характеристики САУ 11
3.2 Частотные характеристики САУ 15
3.3 Логарифмические частотные характеристики САУ 18
Заключение 21
Список используемой литературы 22

Введение

Фрагмент работы для ознакомления

Список литературы

Список используемой литературы
1. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Э.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1965. 390 с.
2. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975. 768 с.
3. Бесекерский В.А. и др. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1978. 510 с.
4. Гусев А.Н.,Вьюжанин В.А., Закаблуковский В.Д. Основы теории автоматического управления. Самар. аэрокосм.ун - т. Самара, 1996. 110 с.
5. Д.Сю, Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применение. М.: Машиностроение, 1972. 552 с.
6. Джон М. Смит. Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей. М.: Машиностроение, 1980. 272 с.
7. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Издательство ЛГУ, 1972.
8. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. М.: Машиностроение, 1978. 736 с.
9. Кузин Л.Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления. М.: Гос.науч. - техн. изд - во машиностроительной лит - ры, 1962. 672 с.
10. Метод гармонической линеаризации в проектировании нелинейных систем автоматического управления. Под редакцией Топчеева Ю.И. М.: Машиностроение, 1970. 567 с.
11. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. М.: Главная редакция физико - математической литературы, 1973. 584 с.
12. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. М.: Наука, 1968. 464 с.
13. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1970. 304 с.
14. Солодовников В.В. Плотников В.Н. Яковлев А.В. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1985. 536 с.
15. Теория автоматического регулирования. Книга 1. Математическое описание, анализ устойчивости и качества систем автоматического регулирования. Под редакцией Солодовникова В.В. М.: Машиностроение, 1967. 768 с.
16. Теория автоматического регулирования. Книга 2. Анализ и синтез линейных непрерывных и дискретных систем автоматического регулирования. Под редакцией Солодовникова В.В. М.: Машиностроение, 1967. 680 с.
17. Юревич Е.И. Теория автоматического управления. Л.: Энергия, 1969. 375 с

Пожалуйста, внимательно изучайте содержание и фрагменты работы. Деньги за приобретённые готовые работы по причине несоответствия данной работы вашим требованиям или её уникальности не возвращаются.

* Категория работы носит оценочный характер в соответствии с качественными и количественными параметрами предоставляемого материала. Данный материал ни целиком, ни любая из его частей не является готовым научным трудом, выпускной квалификационной работой, научным докладом или иной работой, предусмотренной государственной системой научной аттестации или необходимой для прохождения промежуточной или итоговой аттестации. Данный материал представляет собой субъективный результат обработки, структурирования и форматирования собранной его автором информации и предназначен, прежде всего, для использования в качестве источника для самостоятельной подготовки работы указанной тематики.

Читайте также: